%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Technique 02. Résoudre des équations polynomiales de degré deux.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}
	
	\section{Technique 02. Résoudre des équations polynomiales de degré deux.}
	
	
	\subsection{Un algorithme de résolution pour les équations de la forme $ax^2+bx+c=0$.}
	
	\begin{lecon}
		
		La forme canonique  de la fonction  $P(x)= ax^2+bx+c$ est: \[ P(X)= a\left( X-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}. \]
		
		En résolvant l'équation $P(x)=0$ on voit apparaître: \[ \left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 =\frac{b^2-4ac}{4a^2}. \]
		
		Pour pouvoir prendre la racine carré des deux côtés de l'égalité il faut d'abord s'assurer qu'il s'agit de nombres positifs. Autrement dit il faut déterminer le signe du nombre  $b^2-4ac$.
		
	\end{lecon}
	
	\begin{definition}
		
		Soient $a$, $b$ et $c$ des réels.
		
		\medskip
		On appelle \emph{\color{purple}discriminant} du polynôme de degré deux $aX^2+bX+c$ le nombre réel: \[ \color{purple} \Delta = b^2-4ac.\]
		
	\end{definition}
	
	\begin{proposition}{}
		
		Soient $a$, $b$ et $c$ des réels.
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Si $\Delta >0$ alors le polynôme $aX^2+bX+c$ admet deux racines réelles distinctes: 
			\[ \color{purple} x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]
			
			\item Si $\Delta=0$ alors le polynôme $aX^2+bX+c$ admet une racine double \[ \color{purple}x_0=-\frac{b}{2a}.\]
			
			\item Si  $\Delta <0$ alors $aX^2+bX+c$ n'admet aucune racine réelle mais il admet deux racines complexes conjuguées:
			
			\[ \color{purple} z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \]
			
		\end{enumerate}
		
	\end{proposition}
	
	\begin{lecon}
		
		\medskip
		Si le trinôme $ax^2+bx+c$ admet $x_1$ et $x_2$ pour racine alors il est possible d'écrire ce trinôme \[ \color{purple} a(x-x_1)(x-x_2), \] qu'on appelle \emph{\color{purple}la forme factorisée} du trinôme.
		
	\end{lecon}
	
	\begin{exemples}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $P(X)=X^2+5X+6$.
			
			\item $P(X)=9X^2+6X+1$.
			
			\item $P(X)=X^2+X+3$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exemples}
	
	\begin{exercice}{}
		
		Déterminez les solutions réelles de l'équation $-3x^2-6x+24=0$.
		
	\end{exercice}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\objectif{Déterminons les solutions de l'équation.}
		
		\begin{enumerate}[\color{orange} 1.]
			\item {\color{orange}Nature de l'équation.}
			
			$P(X)=-3X^2-6X+24$ est un polynôme du second degré: $a=-3$, $b=-6$ et $c=24$.
			\item {\color{orange}Calcul du discriminant.}
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2 -4ac\\
				&= (-6)^2-4\times (-3) \times 24\\
				&= 324
			\end{align*}
			
			Comme $\Delta$ est \underline{strictement} positif l'équation admet deux solutions distinctes.
			
			\item {\color{orange}Calcul des solutions.}
			
			\noindent 
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
				$ \begin{aligned}
					x_1 &= \frac{-b{\color{red}-}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
					x_1 &= \frac{-(-6)-\sqrt{324}}{2\times (-3)}\\
					x_1 &= 2
				\end{aligned}$
				&
				$ \begin{aligned}
					x_2 &= \frac{-b{\color{red}+}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
					x_2 &= \frac{-(-6)+\sqrt{324}}{2\times (-3)}\\
					x_2 &= -4
				\end{aligned}$
				
			\end{tabularx}
			
			\item {\color{orange}Conclusion.}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $-3x^2-6x+24=0$ est $\mathcal{S}=\{ -4;2\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
	
	\begin{exercice}{}
		
		Déterminez, si possible, la forme factorisée de $P(X)= 2X^2+24X+72$.
		
	\end{exercice}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\objectif{Déterminons les racines de $f$.}
		
		\begin{enumerate}[\color{orange} 1.]
			\item {\color{orange}Nature de la fonction.}
			
			Il s'agit d'un polynôme de degré deux avec: $a= 2 $, $b= 24$ et $c=72$.
			
			\item {\color{orange}Calcul du discriminant.}
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2 -4ac\\
				&= 24^2-4\times 2\times 72\\
				&=  0
			\end{align*}
			
			Comme $\Delta$ est  nul  l'équation admet une solution (double).
			
			\item {\color{orange}Calcul de la solution.}
			
			\begin{align*}
				\color{purple}x_0 &= \color{purple}\frac{-b}{2a}\\
				x_0 &= \frac{ -24}{ 2\times 2 } \\
				x_0 &=  -6 
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Conclusion.}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La forme factorisée de $P$ est donc \[ P(X)=2(X+6)^2. \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
	
	\begin{exercice}{}
		
		Déterminez les éventuels zéros de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto x^2+x+1$.
		
	\end{exercice}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}[\color{orange} 1.]
			
			\item {\color{orange}Nature de la fonction.}
			
			$X^2+X+1$ est un polynôme de degré deux avec: $a=1 $, $b= 1 $ et $c= 1 $.
			
			\item {\color{orange}Calcul du discriminant.}
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2 -4ac\\
				&= 1^2-4\times 1\times 1 \\
				&=  -3
			\end{align*}
			
			Comme $\Delta$ est  strictement négatif le polynôme n'admet aucune racine.
			
			\item {\color{orange}Conclusion.}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des zéros de $f$ est $\mathcal{S}=\emptyset$.	
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}

\subsection{Application: étude du signe d'une fonction polynomiale de degré deux.}

\begin{lecon}
	
	{\color{orange}Pour étudier le signe d'une fonction polynomiale de degré deux nous privilégierons la forme factorisée.} Si $f:x \mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ alors $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
			\draw[ ->,thick] (-4, 0) -- (2, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, -2) -- (0, 2) node[above]{$y=f(x)$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:1] plot(\x,{(\x +1 )^2-2});
			\draw[blue] ({-1- sqrt(2)},0) node[below left] {$x_1$};
			\draw[blue] ({-1+ sqrt(2)},0) node[below right] {$x_2$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsubsection{Utiliser la forme factorisée.}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Cas deux racines distinctes.
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez le signe de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto -2(x-2)(x+3)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Dressons le tableau de signe de $f$.}
	
	$f$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée avec $a=-2$, $x_1=2$ et $x_2=-3$.
	
	$f$ est donc du signe de $a<0$ sauf entre ses racines.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-3$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Cas une racine double.
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez le signe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=7(x+3)^2$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Dressons le tableau de signe de $g$.}
	
	$g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée avec $a=7$, $x_1=-3$ et $x_2=-3$.
	
	$g$ est donc du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Cas pas de racines.
		
	\end{notabene}
	
	Dressez le tableau de signe de la fonction $h$ définie par $h(x)=-x^2-1$ pour tout $x$ réel.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons que $h$ est strictement négative.}
	
	Soit $x \in \mathbb{R}$.
	
	Nous avons successivement
	
	\begin{align*}
		x^2 &\geqslant 0\\
		-x^2 &\leqslant 0\\
		-x^2-1 <0\\
		h(x) &<0
	\end{align*}
	
	Ainsi pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x)<0$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$h$ est strictement négative.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Signe du trinôme dans le cas général.}

\begin{lecon}
	
	L'observation géométrique fait apparaître la formule mnémotechnique déjà vue reste valable: { \color{purple} un trinôme est du signe de son coefficient dominant sauf entre les éventuelles racines.}
	
	\medskip
	Nous avons déjà justifié ce résultat lorsqu'il existe une forme factorisée. Justifions brièvement pourquoi ce résultat reste valable lorsque le trinôme n'a pas de racines.
	
	La forme canonique pour un trinôme $f$ est 
	
	\begin{align*}
		f(x) &= a \left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{\Delta}{4a}\\
		&= a \left[ \left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{\Delta}{4a^2} \right]
	\end{align*}
	
	Si $\Delta<0$, alors $\left( x-\frac{-b}{2a} \right) ^2 -\frac{\Delta}{4a^2}>0$ et donc $f$ est du signe de $a$.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Que pouvez-vous dire des coefficients $a$, $x_1$ et $x_2$ de la forme factorisée de la fonction $f$ polynomiale de degré deux représentée ci-contre.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
					\def\xY{-2};
					\def\yY{-2};
					\def\xZ{5};
					\def\yZ{5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{0.2*(\x +1)*(\x -3)});
					\draw(3.5,-1)node[fill=white]{$\mathscr{C}_f$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Comme nous l'avons déjà remarqué (sans démonstration) puisque} la parabole est orientée vers le haut, le coefficient dominant est strictement positif.
		
		{\color{orange}Sans calculs il est impossible d'en dire plus.}
		
		\item {\color{orange}Les zéros de la fonction sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses donc:} \[ x_1=-1 \quad \text{et} \quad x_2=3. \]
		
		{\color{orange}On pouvait tout aussi bien choisir $x_1=3$ et $x_2=-1$.}
		
		\item {\color{orange}Si nous souhaitons obtenir une valeur pour $a$ il nous faut des informations supplémentaires. Pour cela utilisons les coordonnées d'un point de la courbe.}
		
		D'après ce qui précède la forme factorisée de $f$ sera: $f(x)=a(x+1)(x-3)$.
		
		Comme $A(4;1) \in \mathscr{C}_f$, 
		
		\begin{align*}
			f(4) &= 1\\
			\intertext{ce qi équivaut successivement à:}
			a(4+1)(4-3) &= 1\\
			5a &= 1\\
			a &= \frac{1}{5}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Dressez le tableau de signe de 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item la fonction $\ell$ définie sur $[-10;10]$ par $\ell(x)=x+1$ pour tout $x\in [-10;10]$,
		
		\item la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ par $f(x)=3x^2-24x+48$ pour tout $x\in [-10;10]$,
		
		\item la fonction $g$ définie sur $[-5;3]$ par $g(x)=x^2+x-2$ pour tout $x\in [-5;3]$,
		
		\item la fonction $h$ trinôme définie pour tout $x\in [ -2 ; 2]$ par $h(x)=-x^2+4x-3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item \objectif{Dressons le tableau de signe de $\ell$.}
		
		{\color{orange}Ce n'est pas parce que vous avez un marteau qu'il y a des clous partout: il ne s'agit pas d'une fonction polynomiale de degré deux.}
		
		$\ell:x \mapsto x+1$ est une fonction affine avec $m=1$ et $p=1$. $m>0$ donc $\ell$ est strictement croissante. $\ell$ s'annule en $-\frac{p}{m}=-\frac{1}{1}=-1 $.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\ell(x)$ /0.8}
				{$-10$ ,$-1$, $10$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item 	\objectif{Dressons le tableau de signe de $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $f$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=3$, $b=-24$ et $c=48$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2-4ac\\
				&= (-24)^2-4 \times 3 \times 48\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			$\Delta =0$ donc $f$ admet une racine double.
			
			\item 			
			
			\begin{align*}
				x_0 &= \frac{-b}{2a}\\
				x_0 &= \frac{-(-24)}{2\times 3}\\
				x_0 &= 4
			\end{align*}
			
			\item Le trinôme $f$ est du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
					{$-10$ ,$4$, $10$}
					\tkzTabLine{,+,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Dressons le tableau de signe de $g$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=1$, $b=1$ et $c=-2$.
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2-4ac\\
				&= 1^2-4 \times 1 \times (-2)\\
				&= 9
			\end{align*}
			
			$\Delta >0$ donc $g$ admet deux racines distinctes.
			
			\item 			
			
			\noindent 
			\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
				$ \begin{aligned}
					x_1 &= \frac{-b{\color{red}-}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
					x_1 &= \frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1}\\
					x_1 &= -2
				\end{aligned}$
				&
				$ \begin{aligned}
					x_2 &= \frac{-b{\color{red}+}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
					x_2 &= \frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1}\\
					x_2 &= 1
				\end{aligned}$
				
			\end{tabularx}
			
			\item Le trinôme $g$ est du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g(x)$ /0.8}
					{$-5$ ,$-2$, $1$, $3$}
					\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $h$ sur $[-2;2]$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $h(X)$ est un polynôme de degré deux, donné sous forme développée avec: $a=-1$, $b=4$ et $c=-3$.
			
			$x_1=1$ est clairement racine de $h(X)$. Nous en déduisons par équivalences successives:
			
			\begin{align*}
				x_1x_2 &= \frac{c}{a}\\
				1 \times x_2 &= \frac{-3}{-1}\\
				x_2 &= 3
			\end{align*}
			
			\item Le trinôme $h$ est du signe de son coefficient dominant $a<0$ saut entre ses racines donc
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
					{$-2$ ,$1$, $2$}
					\tkzTabLine{,-,z,-,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\medskip
			{\color{orange}Si vous avez du mal à voir ce qui ses passe voici une présentation alternative dans laquelle on considère que $h$ est définie sur $\mathbb{R}$.}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-2$, $1$, $2$, $3$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,z,-,}%
				\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M10) rectangle (M42);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{enumerate}		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Soit $f:x\mapsto -2x^2-4x+6$ définie sur $[-7;10]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les racines de $f$.
		\item Étudiez le signe de $f$ sur $[-7;10]$.
		\item Résolvez dans $[-7;10]$ l'inéquation \[ (E):\quad -2x^2-4x+6 >0 .\]
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{déterminons les racines de $f(X)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $f(X)$ est un trinôme de de degré deux donné sous forme développée avec $a=-2$, $b=-4$ et $c=6$.
			
			\item Clairement $1$ et $-3$ sont des racines de $f(X)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			l'ensemble des racines de $f(X)$ est $\{ 1;-3 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions le signe de $f$ sur $[-7;10]$.}
		
		$f$ est une fonction polynomiale de degré deux donc elle est du signe de son coefficient dominant $a<0$ sauf entre ses racines donc:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-7$ ,$-3$, $1$, $10$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item D'après le précédent tableau de signe:
		
		\begin{conclusion}
			
			l'ensemble des solutions de $(E)$ est $\mathscr{S}=]-3;1[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{C}
	
	Résolvez l'inéquation $2x^2-220x+2000 >0$ dans $\mathbb{R}$.
	
	\emph{Se ramener à l'étude du signe d'une fonction judicieusement choisie.}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\Delta=32400$, $x_1=10$, $x_2=100$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$10$, $100$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	$\mathscr{S}=]-\infty ;10 [ \cup ]100;+\infty[$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Sachant que le coefficient dominant de la fonction polynomiale de degré deux $f$, représentée ci-contre, est $\frac{1}{2}$, donnez sans justification la forme factorisée de $f$.
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
					\def\xY{-2};
					\def\yY{-2};
					\def\xZ{5};
					\def\yZ{5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{0.5*(\x -0)*(\x -3)});
					\draw(3.5,-2)node[fill=white]{$\mathscr{C}_f$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f(X)=\frac{1}{2}X(X-3)$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{lecon}
	
	Pour les exercices avec des lectures graphiques il faut parfois utiliser la forme développée du trinôme, $ax^2+bx+c$, la forme factorisée (si elle existe) $a(x-x_1)(x-x_2)$ et parfois la forme canonique, $a(x-\alpha)^2+\beta$ où $(\alpha,\beta)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Sont tracées ci-contre les courbes représentatives des fonctions polynomiales de degré deux $f$, $g$ et $h$.
			
			Nous savons de plus que $f(-3)=-2$.
			
			Recopiez en complétant, sans aucune justification, les expressions algébriques suivantes.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item 
				
				$f(x)=-0,02(x-\dots)^2+\dots$
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
				\item 
				
				$g(x)=x^2-x+\dots$
				
				\begin{bareme} $0,5$ \end{bareme}
				
				\item
				
				$h(x)=-(x-\dots )(x-\dots)$
				
				\begin{bareme} $1$ \end{bareme}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
					\def\xY{-4};
					\def\yY{-4};
					\def\xZ{4};
					\def\yZ{4};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \y};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.9:4] plot(\x,{-0.2*(\x -2)^2+3});
					\draw[purple,dashed][samples=100,domain=-2:3] plot(\x,{ \x*\x-\x-2});
					\draw[brown,very thick][samples=100,domain=-3.83:1.83] plot(\x,{ -(\x+3)*(\x-1)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}$g$ est la seule fonction dont la parabole est orientée vers le haut (coefficient dominant strictement positif). Son terme constant est obtenu pour $x=0$. Donc}
	
	\begin{conclusion}
		
		$g(x)=x^2-x-2$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}$h$ est donnée sous forme factorisée il faut donc identifier ses racines. Nous pouvons supposer qu'il s'agit donc de la parabole dont les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont lisibles.}	
	
	\begin{conclusion}
		
		$h(x)=-(x+3)(x-1)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Puis en lisant les coordonnées du sommet de la troisième parabole nous obtenons la forme canonique de $f$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		$f(x)=-0,02(x-2)^2+3$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous pouvons alors contrôler avec la calculatrice que les expressions algébriques ainsi obtenues correspondent bien au graphique.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		24 page 48 déclic Ieme esl 2015
		
	\end{notabene}
	
	Associez chaque courbe à son trinôme.
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		
		$\begin{aligned}
			f(x) &= -(x+1)^2-1\\
			g(x) &= -2(x-2)^2+3\\
			h(x) &= (x-3)^2-5\\
			k(x) &= 2(x+1)^2+2
		\end{aligned}$
		&
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-4};
				\def\yY{-5};
				\def\xZ{7};
				\def\yZ{6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3:1] plot(\x,{-(\x+1)*(\x+1)-1});
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{-2*(\x-2)*(\x-2)+3});
				\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-0.3:6.3] plot(\x,{(\x-3)*(\x-3)-5});
				\draw[Orange, thick][samples=100,domain=-2.4:0.4] plot(\x,{2*(\x+1)*(\x+1)+2});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{tabular}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$f$ bleu. $g$ rouge. $h$ vert. $k$ orange.
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme esl hachette barbazo 2015 page 74 exercice 35
		
	\end{notabene}
	
	Sachant que les fonctions polynomiales de degré deux représentées ci-dessous s'écrivent sous la forme $x\mapsto x^2+bx+c$ ou $x \mapsto -x^2+bx+c$, donnez la forme factorisée de chaque fonction.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2.2:3.2] plot(\x,{-(\x +1)*(\x -2)});
			\draw[blue] (3.75,-3.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.45:4.45] plot(\x,{(\x -2)*(\x -2)});
			\draw[red] (5,3) node[fill=white] {$\mathscr{C}_g$};
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=-4.37:1.37] plot(\x,{(\x +3)*(\x -0)});
			\draw[violet] (-3,4.5) node[fill=white] {$\mathscr{C}_h$};
			\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-4.25:0.25] plot(\x,{-(\x +2)*(\x +2)});
			\draw[OliveGreen] (-4.5,-2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_k$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		{\color{orange}Pour déterminer la forme factorisée nous devons déterminer les racines des fonctions polynomiales de degré deux. Nous les obtenons graphiquement comme les abscisses des points d'intersections de la parabole et de l'axe des abscisses.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $f$.}
		
		$\mathcal{C}_f$ est orientée vers le bas donc $f(x)=-x^2+bx+x$. Ainsi $a=-1$.
		
		Graphiquement: $x_1=-1$ et $x_2=2$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x)= -(x+1)(x-2)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $g$.}
		
		$\mathcal{C}_g$ est orientée vers le haut donc $g(x)=x^2+bx+x$. Ainsi $a=1$.
		
		Graphiquement nous voyons qu'il y a une racine double: $x_0=2$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$g(x)= (x-2)^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $h$.}
		
		$\mathcal{C}_h$ est orientée vers le haut donc $h(x)=x^2+bx+x$. Ainsi $a=1$.
		
		Graphiquement nous voyons qu'il y a deux racines distinctes: $x_1=-3$ et $x_2=0$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$h(x)= x(x+3)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la forme factorisée de $k$.}
		
		$\mathcal{C}_k$ est orientée vers le bas donc $k(x)=-x^2+bx+x$. Ainsi $a=-1$.
		
		Graphiquement nous voyons qu'il y a une racine double: $x_0=-2$.	
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$k(x)= -(x+2)^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{C}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
		
	\begin{tasks}(2)
		\task $f_1(x)=49x^2-4$.
		\task $f_2(x)=-3x^2+3x$.
		\task $f_3(x)=4x^2-8x$.
		\task $f_4(x)=3x^2+30x+75$.
		\task $f_5(x)=(4x-1)+(4x-1)(x+2)$.
		\task $f_6(x)=x^2-4x+4$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f_1(x)=(7x-2)(7x+2)= 49\left( x- \frac{2}{7} \right) \left( x+\frac{2}{7} \right)$.
				\item $f_2(x)=-3x(x-1)$.
				\item $f_3(x)=4x(x-2)$.
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f_4(x)=3(x+5)^2$.
				\item $f_5(x)=(4x-1)(x+3)= 4 \left( x- \frac{1}{4} \right) (x+3)$.
				\item $f_6(x)=(x-2)^2$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		95 page 54 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	On considère le polynôme $f(x)=2x^2-12x+16$ et la fonction affine $g(x)=2x+4$ dont les représentations graphiques sont données ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-1.5};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{5.5};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0.5:5.5] plot(\x,{(2*\x*\x-12*\x+16)/2});
			\draw[OliveGreen, thick][samples=100,domain=-1.5:3.4] plot(\x,{(2*\x+4)/2});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez par lecture graphique, une solution de l'équation $f(x)=g(x)$.
			\item Vérifiez que cette solution est exacte.
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminez la seconde solution.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
			
			Donc $1$ est une solution.
			
			\item D'une part $f(1)=6$, d'autre part $g(1)=6$ donc $1$ est bien une solution de l'équation.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $f(x)=g(x) \Leftrightarrow 2x^2-14x+12=0$.
		
		$x_1x_2=\frac{c}{a} \Leftrightarrow x_2=6$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 83 page 83
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Les fonction indiquées sont définies sur $\mathbb{R}$. 
			
			Attribuez sa courbe à chacune d'elle.
			
			\begin{enumerate}[]
				\item $f_1:x\mapsto -x^2$
				\item $f_2:x\mapsto \frac{1}{2}x^2$
				\item $f_3:x \mapsto 2x^2$
				\item $f_4:x\mapsto x(4-x)$ 
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
					\def\xY{-3};
					\def\yY{-2};
					\def\xZ{5};
					\def\yZ{4.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=0.5cm, gray, thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \y};
					\draw[green, very thin][samples=100,domain=-3:3] plot(\x,{0.5*\x *\x})node[above]{$\mathcal{C}_1$};
					\draw[blue, thin][samples=100,domain=-1.5:1.5] plot(\x,{2*\x *\x})node[above]{$\mathcal{C}_2$};
					\draw[violet, thick][samples=100,domain=-1.4:1.4] plot(\x,{-\x *\x})node[below]{$\mathcal{C}_3$};
					\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-0.45:4.45] plot(\x,{\x *(4-\x)})node[below]{$\mathcal{C}_4$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan transmath 2010 exercice 84 page 83
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			Les fonctions indiquées sont définies sur $\mathbb{R}$.
			
			Attribuez sa courbe à chacune d'elles.
			
			\begin{enumerate}[]
				\item $f_1:x\mapsto x^2+2x-2$
				\item $f_2:x\mapsto -\frac{1}{2}(x-2)^2+2$
				\item $f_3: x \mapsto (x-1)^2-2$
				\item $f_4: x\mapsto -\frac{1}{2}x^2-2x+1$
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
					\def\xY{-6};
					\def\yY{-4};
					\def\xZ{6};
					\def\yZ{5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray, thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \x};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left,fill=white]{\footnotesize  \y};
					\draw[green, very thin][samples=100,domain=-3.82:1.82] plot(\x,{\x *\x +2*\x -2})node[above]{$\mathcal{C}_1$};
					\draw[blue, thin][samples=100,domain=-1.65:3.65] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)-2})node[above]{$\mathcal{C}_2$};
					\draw[violet, thick][samples=100,domain=-5.75:1.75] plot(\x,{-0.5*\x *\x-2*\x+1})node[below]{$\mathcal{C}_3$};
					\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-1.5:5.5] plot(\x,{-0.5*(\x-2)*(\x-2)+2})node[below]{$\mathcal{C}_4$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		$f_1$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée. $a=1>0$ donc la parabole est orientée vers le haut. $c=-2$ donc la parabole coupe l'axe des ordonnées à l'ordonné $-2$. La courbe représentative de $f_1$ est donc $\mathcal{C}_1$.
		
		$f_2$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique. $a=-\frac{1}{2}$ donc la parabole est orientée vers le bas. $\alpha=2$ et $\beta=2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(2;2)$. La courbe représentative de $f_2$ est $\mathcal{C}_4$.
		
		$f_3$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme canonique. $a=1$ donc la parabole est orientée vers le haut. $\alpha=1$ et $\beta=-2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(1;-2)$. La courbe représentative de $f_3$ est $\mathcal{C}_2$.
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{C}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f_1(x)=6x-3x^2$.
		\task $f_2(x)=-9x^2+36$.
		\task $f_3(x)=4x^2-8x+8$.
		\task $f_4(x)=-x^2-2x-1$.
		\task $f_5(x)=2(x-3)-(x-4)(x-3)$.
		\task $f_6(x)=(x+2)^2-8$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f_1(x)=-3x(x-3)$.
				\item $f_2(x)=(6-3x)(6+3x)=-9(x-2)(x+2)$.
				\item $f_3(x)=2(x-2)(x+2)$.
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f_4(x)=-(x+1)^2$.
				\item $f_5(x)=-(x-3)(x-6)$.
				\item $f_6(x)=(x-2)(x+6)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f_1(x)=(2x+1)^2-(1-x)^2$.
		\task $f_2(x)=x^2-20x+100$.
		\task $f_3(x)=25-(x+1)^2$.
		\task $f_4(x)=4x^2+4+8x$.
		\task $f_5(x)=16(x+1)^2-25x^2$.
		\task $f_6(x)=16x^2-81$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	
	\begin{exercicecorrection}
		
		Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_1(x) &= \left[ (2x+1)-(1-x) \right] \times \\
					&~ \qquad \left[ (2x+1) +(1-x) \right]\\
					&= 3 x(x+2)
				\end{aligned}$
				
				\item $f_2(x)=(x-10)^2$.
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_3(x) &= \left[ 5- (x+1) \right] \left[ 5+ (x+1) \right]\\
					&= (-x+4)(x+6)\\
					&= -(x-4)(x+6)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				
				\item $f_4(x)=4(x+1)^2$.
				
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_5(x) &= \left[ 4(x+1)-5x \right] \left[ 4(x+1)+5x \right]\\
					&= (-x+4)(9x+4)\\
					&= -9 \left( x-4 \right) \left( x+ \frac{4}{9} \right)
				\end{aligned}$
				
				\item ~
				$\begin{aligned}
					f_6(x) &= (4x-9)(4x+9)\\
					&= 16 \left( x -\frac{9}{4} \right) \left( x+ \frac{9}{4} \right)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f_1(x)=x^2-4+(x-2)(x+1)$.
		\task $f_2(x)=3x^2-12x+12$.
		\task $f_3(x)=(x+1)(x+2)-(3x+6)$.
		\task $f_4(x)=x^2-2x +3x^2$.
		\task $f_5(x)=2x(x+3)+4x+12$.
		\task $f_6(x)=(x-3)(3x-4)-3x+4$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		Donnez la forme factorisée des expressions polynomiales de degré deux suivantes:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{0.5cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_1(x)&=(x-2)(x+2) + (x-2)(x+1)\\
					&= (x-2) \left[ (x+2)+(x+1) \right]\\
					&= (x-2) (2x+3)\\
					&= 2(x-2) \left( x+ \frac{3}{2} \right)
				\end{aligned}$
				
				\item $f_2(x)=3(x-2)^2$.
				
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_3(x) &= (x+1)(x+2)-3(x+2)\\
					&= (x+2)(x-2)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			&&
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{3}
				\item $f_4(x)=4x \left(x-\frac{1}{2}\right)$.
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_5(x) &= 2x(x+3)+4x+12\\
					&= 2x(x+3)+4(x+3)\\
					&= \left[ 2x+4 \right](x+3)\\
					&= 2(x+2)(x+3)
				\end{aligned}$
				
				\item ~
				
				$\begin{aligned}
					f_6(x) &= (x-3)(3x-4)-3x+4\\
					&= (3x-4) \left[ (x-3)-1 \right]\\
					&= (3x-4)(x-4)\\
					&= 3\left( x- \frac{4}{3} \right)(x-4)
				\end{aligned}$
				
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{D}
	
	Résolvez les équations suivantes.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $2x^2+24x+72=0$.
			\item $-x^2-12x=35$.
			\item $-2x^2+4x-3=0$.
			\item $-3x^2+3x+330=0$.
			\item $-4x^2+96x-576=0$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $x^2-8x=-23$.
			\item $x^2-17x+52=0$.
			\item $2x^2-18x+40=0$.
			\item $2x^2+28x+91=0$.
			\item $-3x^2+3x+126=0$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}	
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	\begin{exercicecorrection}	
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
			
			\begin{enumerate}
				\item $2(x+6)^2$.
				\item $-(x+5)(x+7)$.
				\item $-2(x-1)^2-4$.
				\item $-3(x+10)(x-11)$.
				\item $-4(x-12)^2$.
			\end{enumerate}
			
			&&
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{5}
				\item $(x-4)^2+7$.
				\item $(x-13)(x-4)$.
				\item $2(x-5)(x-4)$.
				\item $2(x+7)^2-7$.
				\item $-3(x-7)(x+6)$.
			\end{enumerate}
			
		\end{tabularx}
		
	\end{exercicecorrection}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{C}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{Xm{1cm}X}
		
		\begin{enumerate}
			\item $x^2+5x-6=0$.
			\item $x^2+x+2=0$.
			\item $-2x^2+3x+4=0$.
			\item $4x^2-12x+9=0$.
			\item $x^2-9x+20=0$.
		\end{enumerate}
		
		&&
		
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{5}
			\item $2x^2-2x\sqrt{5} +3=0$.
			\item $3x^2+2x\sqrt{6}-1=0$.
			\item $4x^2-2x\sqrt{3}+3=0$.
			\item $x^2-x-\frac{1}{2}=0$.
			\item $16x^2-8x+13=0$.
		\end{enumerate}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{S} = \left\{ 1;-6 \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{3+\sqrt{41}}{4} ; \frac{3-\sqrt{41}}{4} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{3}{2} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ 4;5 \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{-3-\sqrt{6}}{3} ; \frac{-3+\sqrt{6}}{3} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
		\item $\mathscr{S} = \left\{ \frac{1-\sqrt{3}}{2} ; \frac{1+\sqrt{3}}{2} \right\}$.
		
		\item $\mathscr{S} = \emptyset$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		
		82 page 53 déclic 1ieme esl 2015.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item On se propose ici de résoudre l'équation: \[ 2x^4+3,5x^2-1=0  \quad (E) \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez qu'en posant $X=x^2$, l'équation $(E)$ s'écrit \[ 2X^2+3,5X-1=0 \quad (E') \]
			
			\item Résolvez l'équation $(E')$ d'inconnue $X$.
			
			\item Déduisez-en les solutions de l'équation $(E)$ en utilisant le fait que $X=x^2$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item En vous inspirant de la méthode précédente résolvez dans $\mathbb{R}\setminus \{ 1 \}$ l'équation: \[ 12 \left( \frac{1}{x-1} \right)^2 -10 \left( \frac{1}{x-1} \right)+2=0 \quad (F) \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-2};
		\def\xcoinhautdroit{4};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
		%Points
		\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{3};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
			nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
			nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{3};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Nombre de nœuds du troisième niveau
		\def\noC{12};
		%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
		\def\noCe{2};
		%Écarts entre nœuds du troisième niveau
		\def\xC{2+\xB};
		\def\yC{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
		\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
		}{
			\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
			\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Création des nœuds
		\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
		\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
		\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
		\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
		%Branches entre les nœuds
		\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
		\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
		\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			def fonction(variable1):
			variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
	sudo apt update
	sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (AA) at (-9,6.5);
		\node (AA) at (AA) {};
		\coordinate (BB) at (9,6.5);
		\node (BB) at (BB) {};
		\coordinate (CC) at (9,-6.5);
		\node (CC) at (CC) {};
		\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
		\node (DD) at (DD) {};
		\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}