\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
%\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Devoir surveillé CPGE HKBL. 2024/01/23.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé CPGE HKBL. 2024/01/23.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les problèmes qui suivent sont indépendants les uns des autres.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Pour répondre à une question, on pourra toujours utiliser les résultats de questions précédentes, à condition de clairement l'indiquer.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Il est demandé de soigneusement numéroter les questions et de mettre clairement les réponses en évidence, par exemple en les \framebox{encadrant} ou en les \underline{soulignant}. Lors de la correction, il sera fait grand cas de la \textbf{clarté}, de la \textbf{concision} et de la \textbf{précision} de la rédaction. L'utilisation de surligneur ou de crayon n'est pas recommandé.}
	
	\hfill *** \hfill~
		
\end{sujet}

\subsection{PROBLÈME 1.}

\begin{sujet}
	
	On considère deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$.
	
	L'urne $U_{1}$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
	
	L'urne $U_{2}$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
	
	\medskip
	On note $B_1$ l'événement \og obtenir une boule blanche au premier tirage \fg{}. Plus généralement, pour $n$ entier naturel non nul, on note $B_n$ l'événement \og obtenir une boule blanche au $n$-ième tirage\fg{}.
	
	
	On note $N_1$ l'événement \og obtenir une boule noire au premier tirage \fg{}. Plus généralement, pour $n$ entier naturel non nul, on note $N_n$ l'événement \og obtenir une boule noire au $n$-ième tirage\fg{}.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie on réalise deux tirages successives en procédant de la manière suivante: on tire d'abord une boule de l'urne $U_1$ puis une boule de l'urne $U_2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopiez puis complétez l'arbre probabiliste pondéré représentant cette expérience dessiné ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$B_1$/$\dots$/\posA,
					nA2/A2/2/$N_1$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$\dots$/$\frac{1}{20}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\dots$/$\frac{19}{20}$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$B_2$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$N_2$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez une définition en extension de l'univers $\Omega_1$ correspondant à ces deux tirages successifs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez, en précisant la loi de probabilité utilisée, $\mathbb{P}(B_1)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez sans justification $\mathbb{P}(B_2|B_1)$ et $\mathbb{P}\left( \overline{B_1}\right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Comment noter l'événement \og obtenir une boule blanche au premier tirage et obtenir une boule noire au deuxième tirage\fg{} avec les notations déjà introduites dans l'énoncé.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez la probabilité de tirer successivement deux boules blanches.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez la probabilité d'obtenir une boule blanche au deuxième tirage.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez la probabilité d'obtenir une boule blanche au premier tirage sachant qu'au second on a obtenu une boule blanche.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie on tire une boule de l'urne $U_1$ dont on note la couleur et que l'on replace dans l'urne $U_1$ puis on recommence indéfiniment ce tirage.
	
	On note $V_n$, pour $n$ entier naturel non nul, l'événement \og n'obtenir que des boules blanches jusqu'au $n$-ieme tirage\fg{}.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposez, sans justifier, un univers $\Omega_2$ pour cette expérience aléatoire.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez, sans justifier $\mathbb{P}(V_1)$, $\mathbb{P}(B_1)$, $\mathbb{P}(V_2)$ et $\mathbb{P}(B_2)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{P}(V_n)= \left( \dfrac{17}{20} \right)^n$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudiez la convergence de la suite $\left( \mathbb{P}(V_n) \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $V_n= \bigcap_{k \in \llbracket 1,n \rrbracket} B_k$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduisez-en que l'événement $\bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \overline{B_n}$ est certain.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{notabene}
	
	Probabilités avec suite.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
	
	\medskip
	
	Étape 1 : On tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.
	
	\medskip
	
	Étape $n~ (n \geqslant  2$) :
	
	\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n -1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.
		\item[$\bullet~$]	Si la boule tirée à l'étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_{2}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{2}$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	On note $A$ l'évènement \og le tirage a lieu dans l'urne $U_{1}$ à l'étape $n$ \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité. On a donc $p_{1} = 1$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{14}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $p_{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il y équiprobabilité entre les $17+3=20$ boules de $U_1$.
		
		$A_2$ est réalisé si la boule tirée dans $U_1$ est blanche donc $A_2$ est réalisé par $17$ boules sur un total de $20$ et il y a équiprobabilité donc $p_2=\mathbb{P}(A_2)=\frac{17}{20}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8 p_{n} + 0,05$. \emph{Vous pourrez appuyer votre raisonnement sur un arbre probabiliste pondéré.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la formule des probabilités totales
		
		\begin{align*}
			p_{n+1} &= \frac{17}{20}p_n+\frac{1}{20} (1-p_n)\\
			&= \frac{16}{20}p_n+\frac{1}{20}\\
			&= \frac{8}{10} p_n +0,05
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f:x \mapsto 0,8x+0,05$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la nature (nom) de la fonction $f$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez le sens de variation de $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $x_1$ et $x_2$ des nombres réels tels que $x_1<x_2$.
			
			Comparez $f(x_1)$ et $f(x_2)$ en vous aidant de la question précédente.
			 
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item  
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $p_{3}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$p_3= \frac{4}{5} \times \frac{17}{20}+0,05 = \frac{17}{25} + 0,05= \frac{68}{100}+0,05=0,73$.
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{enumerate}
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} > 0,25$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$p_1=1>0,25$.
			
			\begin{align*}
				p_{n+1} &= 0,8p_n+0,05\\
				&>0,8 \times 0,25+0,05\\
				&> 0,2+0,05\\
				&> 0,25
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est décroissante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par récurrence.
			
			$p_1=1>\frac{17}{20}=p_2$.
			
			La fonction affine $f:x \mapsto 0,8x+0,05$ est strictement croissante car $0,8>0$. On en déduit, à partir de l'hypothèse de récurrence que \[ f(p_{n+1})> f(p_n) \]
			Autrement dit $p_{n+2}>p_{n+1}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente vers un réel noté $\ell$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Décroissante et minorée donc convergente.
			
		\end{correction}
		
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$. En déduire la valeur de~$\ell$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ étant continue on peut passer à la limite dans $p_{n+1}=f(p_n)$ et donc $\ell =f(\ell)$. Autrement dit $\ell =0,8\ell +0,05$
			
			Donc $\ell= 0,25$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{PROBLÈME 2.}

\begin{notabene}
	
	Espaces vectoriels, sous espace vectoriel, appartenance à un ensemble, droites vectorielles et affines, représentation paramétriques (intersection de droites), applications linéaires, matrice associée, produit d'un vecteur par une matrice, image par l'application linéaire.
	
	Idée noyau d'une application linéaire qui est une droite dont on va donner une représentation paramétrique.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice nous travaillons dans $\mathbb{R}^2$ et un élément $\vec{x}$ de $\mathbb{R}$ peut être noté $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2  \end{pmatrix}$ où $x_1$ et $x_2$ sont des nombres réels.
	
	Soit $G= \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^2 \ | \ 3x_1-2x_2=0 \right\}$ (là aussi $x_1$ et $x_2$ sont les coordonnées de $\vec{x}$).
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{19}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez si $\vec{0}$, $\vec{y}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{z}=\begin{pmatrix} 14 \\ 21 \end{pmatrix}$ appartiennent ou non à $G$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez $\vec{y}+ \vec{z}$, $-7\vec{y}$ et $5\vec{y}-3\vec{z}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite déterminer si $\vec{y}$ et $\vec{z}$ sont colinéaires suivant deux méthodes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\emph{Première méthode.} Calculez le déterminant de $\vec{y}$ et $\vec{z}$ puis concluez.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\emph{Seconde méthode.} Soient $a$ et $b$ des nombres réels.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donnez les coordonnées du vecteur $a\vec{y} + b \vec{z}$.
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Résolvez le système $\left\{ \begin{array}{ccccc}
					3a &+& 14b &=& 0\\
					-2a &+& 21b &=& 0
				\end{array} \right.$.
				 
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Concluez.
				
			\end{sujet}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que $G$ est une droite vectorielle.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez sans justification une équation cartésienne de la droite $G$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que $\vec{u}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $G$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez de la question précédente une représentation paramétrique de la droite $G$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $f:x \mapsto -\dfrac{3}{2}x$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la nature de la fonction $f$? Quel est le nom générique donné à $-\dfrac{3}{2}$ vis-à-vis de $f$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l'ordonnée à l'origine de $f$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $f(6)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez une représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $A=\begin{pmatrix}
			-9 & 6 \\6 & -4 
		\end{pmatrix}$ une matrice et $\varphi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ l'application définie par $\varphi(\vec{x})= \left( -9x_1+6x_2\ ;\ 6x_1-4x_2 \right)$.
		 
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $A \times \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez $\varphi\left( \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix} \right)$ (l'image du vecteur par l'application $\varphi$).
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $A \times \vec{x}$ (exprimez le résultat en fonction des coordonnées $x_1$ et $x_2$ de $\vec{x}$).
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que $\varphi$ est une application linéaire.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On souhaite dans cette question déterminez les antécédents de $\begin{pmatrix} 48 \\ -64  \end{pmatrix}$ par l'application $\varphi$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Justifiez que si $\vec{x}$ est un antécédent de $\begin{pmatrix} 48 \\ -64  \end{pmatrix}$ par $\varphi$ alors $\left\{ \begin{array}{ccccc}
					-9x_1 &+& 6x_2 &=& 3\\
					6x_1 &-& 4x_2 &=& -2
				\end{array} \right.$
				
			\end{sujet}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Résolvez le précédent système et concluez.
				
			\end{sujet}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En procédant comme à la question précédente démontrez que l'ensemble des antécédents de $\vec{0}$ par $\varphi$ est l'ensemble $G$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{PROBLÈME 3.}

\begin{notabene}
	Fonctions de référence.
	
	Limites de fonctions graphiquement.
	
	Étude d'une suite avec étude de la fonction associée.
	
	Limites et équivalents.
	
	Sommes arithmétiques et géométriques.
	
\end{notabene}


\begin{sujet}
	
	\emph{Les trois parties A, B et C de ce problème sont indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	On considère une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres positifs définie par: $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}.\] On admettra que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{26}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracez à main levée sur votre copie les courbes représentatives des fonctions $\exp$, $\ln$ et racine cubique en précisant sur le tracer les éléments caractéristiques.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Indiquez le domaine de définition et la parité des trois précédentes fonctions.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la monotonie commune aux trois fonctions de la question 1.(a)?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez une fonction périodique en précisant sa période.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne ci-dessous  la représentation graphique de $f$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{-12};
				\def\xcoinhautdroit{4};
				\def\ycoinbasgauche{-4};
				\def\ycoinhautdroit{4};
				%Les deux grilles
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
				%repere orthonorme
				\coordinate (O) at ({0},{0});
				\draw (O) node[below left] {$0$};
				\coordinate (I) at ({1},{0});
				\draw (I) node[below left] {$1$};
				\coordinate (J) at ({0},{1});
				\draw (J) node[below left] {$1$};
				\draw (I) node {$\bullet$};
				\coordinate (J) at ({0},{1});
				\draw (J) node {$\bullet$};
				%fonction
				\draw[orange, very thick][samples=100,domain=0:4] plot({\x},{sqrt(\x+6)});
				\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-4.85:0] plot({\x},{-1/(\x+5)+1/5+sqrt(6)});
				\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-12:-5.25] plot({\x},{-1/(\x+5)});
				\draw [orange] (2.5,1.5) node {$\mathscr{C}_f$};
				\draw [dashed, thick] (-5,-4) -- (-5,4);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Répondez aux questions qui suivent en vous appuyant sur cette représentation graphique.
			 
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$f$ est-elle une application définie sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la valeur interdite pour la fonction $f$? Déduisez-en son domaine de définition, $\mathscr{D}_f$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$f$ est-elle injective? surjective? bijective?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez les limites de $f$ en $-\infty$, $-5$ et $+\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que pouvez-vous déduire de la question précédente en terme d'asymptotes à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ 
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le sens de variation de $f$ sur $[0,+\infty[$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Dressez le tableau de variation de $f$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet dans cette question que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,-5[$.
		
		Comparez (\emph{i.e.} dites qui est le plus grand) $f(-\np{12456})$ et $f(-12)$ en justifiant.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Nous allons dans cette question étudier la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$. On admet que $f(x)=\sqrt{6+x}$ sur $[0,+\infty[$ autrement dit que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. \emph{Vous pourrez notamment utiliser le fait que $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrez en raisonnant par récurrence que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée par $3$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $u_1$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrez en raisonnant par récurrence que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante. 
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez des questions précédentes la convergence de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vers une limite que nous noterons $\ell$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En commençant par passer à la limite dans la formule de récurrence définissant $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, montrez que $\ell$ est solution de l'équation $x^2-x-6=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez l'équation $x^2-x-6=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Concluez quant à la limite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
		
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous en justifiant à partir de la question d).
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A_n=\ln(n)$.
		\task $\displaystyle B_n=n^3 \sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle C_n=\frac{\frac{1}{n}+3}{n^2}$.
		\task $\displaystyle D_n=\frac{n^3-n^2+4}{n^5-n^3+n}$.
		\task $\displaystyle E_n=\frac{\mathrm{e}^n}{n^{234}}$.
		\task $\displaystyle F_n=\frac{n!n^4}{3^n}$.
		\task $\displaystyle G_n =\frac{n^2+\ln(n)}{3n^2+0,1^n}$.
		\task $\displaystyle H_n= \frac{\ln\left( 1+\frac{1}{3n^2} \right)}{\frac{1}{n^2}}$.
		\task $\displaystyle I_n= \sum_{k=0}^n 2^k$.
		\task $\displaystyle J_n= \sum_{k=0}^n k$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}
		\task D'après le cours: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$A_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $n^3 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $\sqrt{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ par produit
		
		\begin{conclusion}
			
			$B_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\frac{1}{n}+3 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 3$ et $n^2 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}$ par quotient 
		
		\begin{conclusion}
			
			$C_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^3-n^2+4}{n^5-n^3+n} = \lim_{n\to + \infty} \frac{n^3}{n^5} = \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{n^2}=0$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$D_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $e>1$ donc par comparaison des suites géométriques et puissances
		
		\begin{conclusion}
			
			$E_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task Par comparaison des suites géométrique et puissance $\frac{n!}{3^n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ puis par produit
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task 
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			H_n &= \frac{n(n+1)}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$H_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Démontrez que les suites définies, pour tout entier naturel $n$ non nul par \[ u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \quad \text{et } \quad v_n=u_n+\frac{1}{n! \times n}. \] sont adjacentes. Que pouvez-vous en conclure?
	
\end{sujet}

\hfill *** \hfill~

\hfill *** \hfill~

\bigskip

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}