\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
%\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Devoir surveillé CPGE HKBL. 2023/12/14.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé CPGE HKBL. 2023/12/14.}

\begin{sujet}
	
	\emph{A l'attention de M. Neveux: la calculatrice est interdite.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Les exercices et problèmes qui suivent sont indépendants les uns des autres.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Pour répondre à une question, on pourra toujours utiliser les résultats de questions précédentes, à condition de clairement l'indiquer.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Il est demandé de soigneusement numéroter les questions et de mettre clairement les réponses en évidence, par exemple en les \framebox{encadrant} ou en les \underline{soulignant}. Lors de la correction, il sera fait grand cas de la \textbf{clarté}, de la \textbf{concision} et de la \textbf{précision} de la rédaction. L'utilisation de surligneur ou de crayon n'est pas recommandé.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Le sujet A, noté sur $15$, est composé des $3$ premiers exercices et le sujet B, noté sur $20$, des $4$ derniers.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
\end{sujet}

\subsection{EXERCICE 1 (Sujet A uniquement). \hfill 4 points.}

\begin{enumerate}
	\item Calculez. Aucune justification n'est attendue.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=6578-9745$.
		\task $B= -23-97$.
		\task $C=31 \times (-17)$.
		\task $D= -12 \times (-1000)$.
		\task $E= \dfrac{675}{17}- \dfrac{700}{17}$.
		\task $F= \dfrac{-3}{-7}+ \dfrac{-7}{4}$.
		\task $G= -\dfrac{2}{7}+ \dfrac{12}{14}$.
		\task $H=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{7}$.
		\task $I= \dfrac{2}{8} \times \dfrac{95}{9}$.
		\task $J=\dfrac{\frac{14}{11}}{\frac{7}{33}}$.
		\task $K=-1-\dfrac{2+1}{5}$.
		\task $L= \dfrac{1}{7} \times 49$.
		\task $M=5 \times 2+4$.
		\task $N=6+7 \times 8$.
		\task $P=-5+3 (12-23)$.
		\task $Q=\dfrac{2}{5} \left( \dfrac{10}{3} +\dfrac{1}{5}\right)$.
	\end{tasks}
	
	\item Exprimez les nombres sous la forme $\mathrm{e}^x$ où $x \in \mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=\mathrm{e}^4 \times \mathrm{e}^{12}$.
		\task $B= \mathrm{e}^{-12}\times \mathrm{e}^{17}$.
		\task $C=\left(\mathrm{e}^{-23} \right)^5$.
		\task $D=\mathrm{e}^{-6} \times \left( \mathrm{e}^{4} \right)^8$.
		\task $E= \dfrac{\mathrm{e}^3}{\mathrm{e}^8}$.
		\task $F=\dfrac{\mathrm{e}^{12}}{\mathrm{e}^{-55}}$.
		\task $G=\dfrac{\mathrm{e}^8 \times \mathrm{e}^{-4}}{\left(\mathrm{e}^{3}\right)^4}$.
		\task $H= \mathrm{e}^{6} \times \dfrac{\mathrm{e}^6}{\mathrm{e}^9}$.
		\task $I= 21\mathrm{e}^4-20 \left( \mathrm{e}^{2} \right)^2$.
		\task $J= \mathrm{e}^{\sqrt{3}} \times \mathrm{e}^{2\sqrt{5}}$.
		\task $K=\mathrm{e}^{\ln(6)} \times \mathrm{e}^{1+\sqrt{2}}$.
		\task $L= \mathrm{e}^{2^8}$.
	\end{tasks}
	
	\item Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$. Exprimez les nombres sous la forme $x\ln(a)+y$ où $x,y \in \mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A= \ln(8a)$.
		\task $B= \ln(a^{11})$.
		\task $C= \ln(10a^7)$.
		\task $D= \ln\left(\dfrac{12,3}{a} \right)$.
		\task $E= \ln\left(\dfrac{11,1}{a^{7}}\right)$.
		\task $D= \ln\left(\dfrac{7}{a^8} \times \dfrac{27}{a^{-13}}\right)$.
	\end{tasks}
	
	\item Résolvez les équations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(E_1):\ -3x=66$.
		\task $(E_2):\ 12x-2=-38$.
		\task $(E_3):\ 4-3x=8x+15$.
		\task $(E_4):\ \dfrac{7}{2}x-5=-4 $.
		\task $(E_5):\ \dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{2}x= 1-8x$.
		\task $(E_6):\ (x-12,56)(x+1+\sqrt{2})=0$.
		\task $(E_7):\ (8x-48)(72-9x)=0$.
		\task $(E_8):\ \dfrac{2x-99}{7x+14}=0$.
		\task $(E_9):\ x^2-238=0$.
		\task $(E_{10}):\ x^2-5x-6=0$.
		\task $(E_{11}):\ 4x^2-4x=1$.
		\task $(E_{11}):\ \ln(x)=0$.
		\task $(E_{12}):\ \mathrm{e}^{3x-12}=1$.
		\task $(E_{12}):\ \mathrm{e}^{7x-1}=-4$.
	\end{tasks}
	
	\item Résolvez les inéquations suivantes.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $(F_1):\ -12x<-4$.
		\task $(F_2):\ 8x-5\geqslant 3$.
		\task $(F_3):\ -7x-3\leqslant 8-5x$.
		\task $(F_4):\ \dfrac{7}{3}x+7 >\dfrac{2}{3}$.
		\task $(F_5):\ (x-288)(x+1,245)<0$.
		\task $(F_6):\ (3x-2,4) (24-6x)\geqslant 0$.
		\task $(F_7):\ 2x^2-2x-4<0$.
		\task $(F_8):\ \dfrac{26x-13}{3-x}<0$.
		\task $(F_9):\ x^2+3x-7<0$.
	\end{tasks}
	
	\item Développez les expressions suivantes.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A(x)=3(x+1)$.
		\task $B(x)= (2x+1)(x-3)$.
		\task $C(x)= (x-3)^2$.
		\task $D(x)=(4x+3)^2$.
	\end{tasks}
	
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 2 (Sujets A et B). \hfill 5,5 points.}

\begin{notabene}
	
	Problème de probabilité.
	
	Bac 2003 liban mai 2003: suite tirage de boules unpeu court
	
	Bac 1999 polynésie juin 1999 exo 1
	
	Bac 2010 asie juin 2010
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
	
	\medskip
	Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
	
	\medskip
	L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$.
	
	\medskip
	L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: 
	
	\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6=\frac{6}{10}$ d'être aussi positif; 
		\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9=\frac{9}{10}$ d'être aussi négatif. 
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.
	
	\medskip
	\emph{Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire ou décimale selon ce qui est le plus simple.}
	
	\emph{Les questions 3 et 4 sont indépendantes.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on s'intéresse aux deuxième et troisième sondages.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopier puis compléter l'arbre suivant sur la copie.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$V_2$/$\np{0,6}$/\posA,
						nA2/A2/2/$\overline{V_2}$/$?$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$V_3$/$\np{0,6}$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_3}$/$?$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$V_3$/$?$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_3}$/$\np{0,9}$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$V_2$/$\np{0,6}$/\posA,
						nA2/A2/2/$\overline{V_2}$/$\np{0,4}$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$V_3$/$\np{0,6}$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_3}$/$\np{0,4}$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$V_3$/$\np{0,1}$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_3}$/$\np{0,9}$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $A$ l'événement \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{}.
			
			Exprimer $A$ avec $V_2$ et $V_3$ (\emph{pensez au opérations entre ensembles}) puis calculer la probabilité $\mathbb{P}(A)$ de l'événement $A$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$A= V_2 \cap V_3$ donc d'après la formule des probabilités composées, {\color{orange}ou la définition de la probabilité conditionnelle,}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_2 \cap V_3) & =\mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P} (V_3 | V_2)\\
				&= 0,6 \times 0,6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=0,36$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $B$ l'événement \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg{}.
			
			Exprimer $B$ avec $V_2$ et $V_3$ puis calculer la probabilité $\mathbb{P}(B)$ de $B$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$B= \overline{V_2} \cap \overline{V_3}$ donc d'après la formule des probabilités composées:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(\overline{V_2} \cap \overline{V_3}) & =\mathbb{P}(\overline{V_2}) \times \mathbb{P} (\overline{V_3} | \overline{V_2})\\
				&= 0,4 \times 0,9
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)=0,36$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $p_3=\mathbb{P}(V_3)$ la probabilité pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\{ V_2, \overline{V_2} \}$ est un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_3) &= \mathbb{P}(V_2 \cap V_3) + \mathbb{P}(\overline{V_2} \cap V_3)\\
				&= \mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P}(V_3 | V_2) + \mathbb{P}(\overline{V_2}) \times \mathbb{P}(V_2 | \overline{V_3})\\
				&= 0,6 \times 0,6 + 0,4 \times 0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(V_3)=0,4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un membre de l'équipe archéologique arrivé en retard constate que le troisième sondage est positif.
			
			Calculer la probabilité que, sachant cela, le deuxième sondage ait été positif.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par définition de la probabilité conditionnelle:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}_{V_3}(V_2) &= \frac{\mathbb{P}(V_2 \cap V_3)}{\mathbb{P}(V_3)}\\
				&= \frac{\mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P}(V_3 | V_2)}{\mathbb{P}(V_3)}\\
				&= \frac{0,6 \times 0,6}{ 0,4}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(V_2 | V_3)=0,9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la suite $n$ désigne un entier naturel non nul.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$V_n$/$p_n$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{V_n}$/$?$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$V_{n+1}$/$\np{0,6}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_{n+1}}$/$?$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$V_{n+1}$/$?$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_{n+1}}$/$?$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$V_n$/$p_n$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{V_n}$/$1-p_n$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$V_{n+1}$/$\np{0,6}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_{n+1}}$/$\np{0,4}$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$V_{n+1}$/$\np{0,1}$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_{n+1}}$/$\np{0,9}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on cherche à calculer la probabilité d'obtenir une suite ininterrompue de sondages positifs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment noter l'événement $S_3$: \og les trois premiers sondages sont positifs\fg{} en utilisant $V_1$, $V_2$ et $V_3$.
			
			Calculer sa probabilité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(S_3) &= \mathbb{P}(V_1 \cap V_2 \cap V_3)\\
				\intertext{D'après la formule des probabilités composées:}
				&= \mathbb{P}(V_3 | V_1 \cap V_2)  \times \mathbb{P}(V_2 | V_1) \times \mathbb{P}(V_1)\\
				&= 1 \times 0,6 \times 0,6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(S_3)=0,6^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment noter l'événement $S_n$: \og les $n$ premiers sondages sont positifs\fg{} en utilisant $V_1$, $V_2$, ...,  $V_n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$S_n=V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_n$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que la suite $\left( \mathbb{P}(S_k) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est géométrique en précisant son terme initial et sa raison.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(S_{n+1}) &= \mathbb{P}(V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_n)\\
				&= \mathbb{P}(V_1) \times \mathbb{P}(V_2|V_1) \times \dots \times \\
				&\quad \mathbb{P}(V_{n-1}|V_1 \cap vV_1 \cap \dots \cap V_{n-2}) \times \mathbb{P}(V_n |V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_{n-1})\\
				&= \mathbb{P}(S_n) \times \mathbb{P}(V_n |V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_{n-1})
			\end{align*}
			
			Or la probabilité qu'un sondage soit positif sachant que le précédent l'est aussi est $0,6$ donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(S_{n+1}) &=  0,6 \times \mathbb{P}(S_n)
			\end{align*}
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( \mathbb{P}(S_k) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est une suite géométrique de terme initial $\mathbb{P}(S_1)= \mathbb{P}(V_1)=1$ et de raison $q=0,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la convergence de $\left( \mathbb{P}\left(S_k \right) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $q \in ]-1;1[$, la suite géométrique 
			
			\begin{conclusion}
				
				$(\mathbb{P}(S_k))$ converge vers $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'objet de cette question est l'étude de la suite $(p_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que: $p_{n+1}=0,5 p_n+0,1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			D'après la formule des probabilités totales, $\{ V_n, \overline{V_n} \}$ étant un système complet d'événements:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_{n+1}) &= \mathbb{P}(V_n) \times \mathbb{P}(V_{n+1}| V_n) + \mathbb{P}(\overline{V_n}) \times \mathbb{P} (V_{n+1} | \overline{V_n})\\
				&= p_n \times 0,6 +(1-p_n) \times 0,1\\
				&= 0,5p_n+0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N}^*,\ p_{n+1}=0,5p_n+0,1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On note $u_n=p_n-0,2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $(u_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ est géométrique en précisant terme initial et raison.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $k \in \mathbb{N}^*$.
			
			\begin{align*}
				u_{k+1} &= p_{k+1}-0,2\\
				&= 0,5 p_k-0,1\\
				&= 0,5(p_k-0,2)\\
				&= 0,5u_k
			\end{align*}
			
			Et $u_1=p_1-0,2=0,8$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(u_n)$ est géométrique de terme initial $u_1=0,8$ et de raison $q_1= 0,5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			Puisque $(u_k)$ est géométrique de raison $0,5$ et de terme initial $u_1=0,8$
			
			\begin{align*}
				u_k &= 0,8 \times 0,5^{k-1}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ p_k=0,8 \times 0,5^{k-1} + 0,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudier la convergence de $(p_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ et interpréter le résultat obtenu.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $q_1=0,5 \in ]-1;1[$, $0,8 \times 0,5^{k-1} \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$p_k \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} 0,2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\begin{conclusion}
				
				Lorsqu'on effectue un très grand nombre de sondages la probabilité qu'un sondage soit positif est proche de $0,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 3 (Sujets A et B). \hfill 5,5 points.}

\begin{notabene}
	
	Travaux vectoriels.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Dans tout cet exercice on note $\vec{z}=\begin{pmatrix}z_1\\ z_2 \end{pmatrix}$ un vecteur de $\mathbb{R}^2$.
	
	\medskip
	On considère les ensembles \[ F= \left\{ \vec{z} \in \mathbb{R}^2\ | \ 6z_1+3z_2=0 \right\} \] et \[ G= \left\{ \vec{z} \in \mathbb{R}^2\ | \ 6z_1+3z_2+1=0 \right\}. \]	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2$.
		
		Montrez que $\vec{x} \in F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$X \in \mathbb{R}^2$ et $6 \times 1 +3 \times (-2)=0$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$X\in F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.}
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $F \subset \mathbb{R}^2$.
			
			\item $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in F$ car $6 \times 0+3 \times 0=0$.
			
			\item Soient $a \in \mathbb{R}$, $x,y \in F$.
			
			On a donc: $\left\{ \begin{array}{l} 6x_1+3y_1 =0 \\ 6x_2+3y_2=0 \end{array} \right.$.
			
			\begin{align*}
				a\cdot x +y &= \begin{pmatrix} ax_1+y_2 \\ ax_2+y_2 \end{pmatrix}
			\end{align*}
			
			Vérifions que $a\cdot x +y \in F$.
			
			\begin{align*}
				6 \times (ax_1+y_1) + 3 (ax_2+y_2) &= a6x_1+a3x_2+ 6y_1+3y_2\\
				&= a \underset{=0}{\underbrace{(6x_1+3x_2)}} + \underset{=0}{\underbrace{6y_1+3y_2}}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			donc $a\cdot x +y \in F$.
		\end{enumerate}
		
		D'après les trois points précédents
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $\vec{y}= \begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que $\vec{y} \notin F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$Y \in \mathbb{R}^2$ mais $6 \times 3 +3 \times 1= 21 \ne 0$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$Y\notin F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez le vecteur $2\vec{x}-3\vec{y}$ (en donnant ses coordonnées).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$2X-3Y= \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que trouver des réels $a$ et $b$ tels que $a\vec{x}+b\vec{y}= \vec{0}$ équivaut à résoudre le système d'inconnues $a$ et $b$ suivant \[ (E):\ \left\{ \begin{array}{rcrl} a&+&3b&=0\\ -2a&+&b&=0 \end{array} \right. . \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$a\cdot X + b \cdot Y=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\times 1+ b \times 3 \\ a \times (-2) + b \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcrl} a&+&3b&=0\\ -2a&+&b&=0 \end{array} \right.$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez le système $(E)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons $(E)$.}
			
			\[ \left\{ \begin{array}{rcrl} a&+&3b&=0\\ -2a&+&b&=0 \end{array} \right. .\] équivaut successivement à \[ \left\{ \begin{array}{rcrll} a&+&3b&=0 & \\ && 5b &=0 & L_2 \leftarrow L_2+2L_1\end{array} \right. .\]
			\[ \left\{ \begin{array}{rcrll} a&+&3b&=0 & \\ && b &=0 & L_2 \leftarrow \frac{1}{5}L_2\end{array} \right.  \]
			\[ \left\{ \begin{array}{rcrll} a&&&=0 & L_1 \leftarrow L_1-3L_2 \\ && b &=0 & \end{array} \right.  \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Le système admet une unique solution $(0,0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$\vec{x}$ et $\vec{y}$ sont-ils colinéaires?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $X$ et $Y$ ne sont pas colinéaires.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Première méthode: la seule combinaison linéaire nulle est celle dont les coefficients sont nuls.}
				
				Nous avons démontré à la question précédente que pour $a \cdot X + b \cdot Y=0$ il faut que $a=b=0$.
				
				Autrement dit il est impossible de trouver $\lambda \in \mathbb{R}$ non nul et tel que $\lambda \cdot X=Y$ ou $X = \lambda Y$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$X$ et $Y$ ne sont pas colinéaires.
					
				\end{conclusion}
				
				\item {\color{orange}Deuxième méthode: calcul du déterminant de deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$.}
				
				\begin{align*}
					\det(X,Y) &= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}\\
					&=1 \times 1 -(-2) \times 3\\
					&= 7
				\end{align*}
				
				$\det(X,Y) \ne 0$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$X$ et $Y$ ne sont pas colinéaires.
					
				\end{conclusion}
				
				\item {\color{orange}Troisième méthode: s'assurer qu'il n'y a pas de proportionnalité entre les coordonnées de $X$ et $Y$.}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $F$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $F$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.}
		
		{\color{orange}Au moins deux procédés:
			
			\begin{itemize}
				\item Montrer qu'il existe un vecteur non nul qui engendre $F$. Et puisque $X \in F \setminus \{ 0 \}$ il faudrait montrer que tous les éléments de $F$ peuvent s'écrire $t \cdot X$ pour $t \in \mathbb{R}$.
				
				\item En utilisant le fait les seuls sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ sont $\{ 0 \}$, $\mathbb{R}^2$ et les droites vectorielles.
				
			\end{itemize}
		}
		
		D'après les questions précédentes, $F$ est un sous-espace vectoriel qui n'est pas $\{ 0 \}$ (puisqu'il contient le vecteur non nul $X$) ni $\mathbb{R}^2$ (puisqu'il ne contient pas le vecteur $Y$) donc, forcément,
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant un vecteur non nul de $F$, déterminez une représentation paramétrique de $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une représentation paramétrique de $F$.}
		
		D'après ce qui précède $F\{ t \cdot X \ | \ t \in\mathbb{R} \}$ et $X= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$F: \left\{ \begin{array}{lcr}
				m_1 =& t\\
				m_2 =& -2t
			\end{array}, t\in\mathbb{R} \right.$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.}
		
		Raisonnons par l'absurde: supposons $G$ sous-ev. Alors $0\in G$.
		
		Or $6 \times 0 +3 \times 1 \ne 0$ donc $0 \notin G$ ce qui est impossible.
		
		\begin{conclusion}
			
			$G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez succinctement que $G$ est une droite affine de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que le point $A\left( -1; \dfrac{5}{3} \right)$ appartient à $G$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après avoir justifié que $\vec{u}=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $G$, donnez une représentation paramétrique de la droite $G$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur votre copie dessinez dans un repère le point $A$ puis la droite $G$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 4 (Sujet B uniquement). \hfill 4 points.}

\begin{notabene}
	Applications.
	
	On part d'une fonction. Justifier que ce n'est pas une application.
	
	Domaine de définition à partir de l'expression algébrique. Calcul des images et antécédents.
	
	Représentation graphique. Lecture d'images et d'antécédents.
	Donner le tableau de variation de la fonction.
	Justifier que la fonction n'est pas injective, pas surjective. est-elle bijective?
	
	Tracer sur le graphique une tangente dont on donne une équation réduite.
	
	On ajoute un point sur le graphique trouver l'équation de la droite.
	
	On considère une restriction où la fonction est injective démonstration de l'injectivité.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracez à main levée sur votre copie les courbes représentatives des fonctions $\exp$, $\ln$ et racine cubique en précisant sur le tracer les éléments caractéristiques.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Indiquez le domaine de définition et la parité des trois précédentes fonctions.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la monotonie commune aux trois fonctions de la question 1.(a)?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez une fonction périodique en précisant sa période.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la fonction $f:x \mapsto (x-2)^2(x+2)^2$.
		
		 Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
		 
		 
		 \begin{center}
		 	
		 	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale={1/20}]
		 		%extremites du graphique
		 		\def\xcoinbasgauche{-4};
		 		\def\xcoinhautdroit{4};
		 		\def\ycoinbasgauche{-1};
		 		\def\ycoinhautdroit{60};
		 		%Les deux grilles
		 		%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		 		\draw[xstep=1cm, ystep=10cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		 		%Les deux axes
		 		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		 		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		 		%repere orthonorme
		 		\coordinate (O) at ({0},{0});
		 		\draw (O) node[below left] {$0$};
		 		\draw (O) node {$\bullet$};
		 		\coordinate (I) at ({1},{0});
		 		\draw (I) node[below left] {$1$};
		 		\draw (I) node {$\bullet$};
		 		\coordinate (J) at ({0},{10});
		 		\draw (J) node[below left] {$10$};
		 		\draw (J) node {$\bullet$};
		 		%fonction
		 		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-3.43:3.43] plot({\x},{(\x-2)*(\x-2)*(\x+2)*(\x+2)});
		 		\draw [orange] (2.5,25) node{$\mathscr{C}_f$};
		 	\end{tikzpicture}
		 	
		 \end{center}
		 
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			D'après le graphique, discutez de la parité de $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique déterminez les antécédents $10$ par $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique déterminez $f(1)$ puis calculez $f(1)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez le nombre d'antécédents de $40$ par $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique donnez $f([1;2])$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique donnez $f^{-1}([0;10])$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique, donnez les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique donnez les éventuels maximum, minimum, bornes supérieure ou inférieure.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez sans justification le tableau de variation de $f$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $g: x\mapsto 3x$ et $h:x \mapsto 4x-7$ des applications sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la nature de la fonction $h$? Comment appelle-t-on les nombres $4$ et $-7$ pour cette fonction?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez le sens de variation des fonctions $g$ et $h$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			A-t-on $g\circ h= h \circ g$?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~
	
\subsection{EXERCICE 5 (Sujet B uniquement). \hfill 5 points.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les trois parties sont complètement indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{notabene}
	
	Limites de suites en vrac.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous en justifiant si nécessaire.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A_n=\ln(n)$.
		\task $\displaystyle B_n=n^3 \sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle C_n=\frac{\frac{1}{n}+3}{n^2}$.
		\task $\displaystyle D_n=\frac{n^3-n^2+4}{n^5-n^3+n}$.
		\task $\displaystyle E_n=\frac{\mathrm{e}^n}{n^{234}}$.
		\task $\displaystyle F_n=\frac{n!n^4}{3^n}$.
		\task $\displaystyle G_n =\frac{n^2+\ln(n)}{3n^2+0,1^n}$.
		\task $\displaystyle H_n= \frac{\ln\left( 1+\frac{1}{3n^2} \right)}{\frac{1}{n^2}}$.
		\task $\displaystyle I_n= \sum_{k=0}^n 2^k$.
		\task $\displaystyle J_n= \sum_{k=0}^n k$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}
		\task D'après le cours: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$A_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $n^3 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $\sqrt{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ par produit
		
		\begin{conclusion}
			
			$B_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\frac{1}{n}+3 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 3$ et $n^2 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}$ par quotient 
		
		\begin{conclusion}
			
			$C_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^3-n^2+4}{n^5-n^3+n} = \lim_{n\to + \infty} \frac{n^3}{n^5} = \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{n^2}=0$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$D_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $e>1$ donc par comparaison des suites géométriques et puissances
		
		\begin{conclusion}
			
			$E_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task Par comparaison des suites géométrique et puissance $\frac{n!}{3^n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ puis par produit
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task 
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			H_n &= \frac{n(n+1)}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$H_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	On définit la suite $(u_n)$ par \[ u_0=1 \text{ et } \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n+1. \]
	
	\medskip
	Démontrez que la suite $(u_n)$ peut s'exprimez à l'aide de la formule explicite \[ u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2} \] pour tout entier naturel $n$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$ \fg{} pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ en raisonnant par récurrence.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Initialisation. Il s'agit de démontrer que $\mathscr{P}(0)$ est vraie. Autrement dit il faut établir l'égalité $u_0=\frac{1}{2} \times 3^{0+1}-\frac{1}{2}$.}
		
		D'une part: $u_0=1$,
		
		d'autre part: $\frac{1}{2} \times 3^{0+1}-\frac{1}{2}=1$,
		
		donc $\mathscr{P}(0)$ st vraie.
		
		\item {\color{orange}Hérédité.}
		
		{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		{\color{orange}Nous devons démontrer l'égalité $u_{n+1}= \frac{1}{2} \times 3^{(n+1)+1}-\frac{1}{2}$ \emph{i.e.} $u_{n+1}= \frac{1}{2} \times 3^{n+2}-\frac{1}{2}$. Pour démontrer cette égalité nous partons du membre de gauche.} 
		
		D'après la formule de récurrence définissant $(u_n)$:
		
		\begin{align*}
			u_{n+1} &= 3u_n+1\\
			\intertext{Or d'après l'hypothèse de récurrence $u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$ donc}
			u_{n+1} &= 3 \times \left( \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2} \right) +1\\
			&= 3 \times \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-3 \times \frac{1}{2}+1\\
			&= \frac{1}{2} \times 3 \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{2} \times 3^{n+2}-\frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
		
	\end{enumerate}
	
	Nous avons démontré en raisonnant par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
	
	\begin{conclusion}
		
		le terme général de la suite $(u_n)$ est donné par $u_n=\frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{notabene}
	
	Exercice super bateau sur les suites.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Soit la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $1$, \[ v_{n}=v_{n-1}+ \frac{n}{2^n}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $1$, \[ v_n =2-\frac{n+2}{2^n}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Première étape choix de la phrase (qui dépend de $n$) à démontrer.}
			
			Notons $P(n)$ la phrase $v_n =2-\frac{n+2}{2^n}$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur à $1$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tous les entiers naturels $n$ supérieurs à $1$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Initialisation: il faut vérifier que la phrase $P(1)$ est vraie. Autrement dit il faut établir que $v_1=2-\frac{1+2}{2^1}$ est vraie.}
				
				D'une part $v_1=v_0+\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$ et d'autre part  $2-\frac{1+2}{2^1}=\frac{1}{2}$ donc $v_1= 2 - \frac{1+2}{2^1}$.
				
				Ainsi $P(1)$ est vraie.
				
				\item {\color{orange}Hérédité. Il faut établir que pour un rang particulier si $P(n)$ est vraie alors la phrase suivante $P(n+1)$ l'est aussi.}
				
				Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
				
				Supposons $P(n)$ vraie. 
				
				Démontrons qu'alors $P(n+1)$ est vraie.
				
				\begin{align*}
					\intertext{D'après la formule de récurrence définissant la suite $(v_n)$:}
					v_{n+1} &= v_n+\frac{n+1}{2^{n+1}}\\
					\intertext{Or, d'après la formule de récurrence, $v_n=2-\frac{n+2}{2^n}$ donc}
					v_{n+1} &= 2- \frac{n+2}{2^n}+ \frac{n+1}{2^{n+1}}\\
					\intertext{En mettant au même dénominateur:}
					v_{n+1} &= 2 - \frac{2(n+2)}{2^{n+1}} + \frac{n+1}{2^{n+1}}\\
					&= 2-\frac{n+1+2}{2^{n+1}}
				\end{align*}
				
				Nous obtenons bien $P(n+1)$.
				
				\item Nous avons démontré par récurrence que
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N}^*,\ v_n =2-\frac{n+2}{2^n}$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que la suite $(v_n)$ est majorée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $(v_n)$ est majorée.}
			
			Soit $n \geqslant 1$.
			
			$\frac{n+2}{2^n}\geqslant 0$ donc $v_n =2 -\frac{n+2}{2^n} \geqslant 2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n)$ est majorée par $2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $2$, $n+2\leqslant 2^n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n\geqslant 2$ que $n+2\leqslant 2^n$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $2+2 \leqslant 2^2$.
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					2^n &\geqslant n+2\\
					2^n \times 2 &\geqslant (n+2)\times 2\\
					2^{n+1} &\geqslant 2n+4\\
					&\geqslant n+1+2+(n+1)\\
					&\geqslant n+1+2
				\end{align*}
				
				\item On a démontré par récurrence que
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ n\geqslant 2 \Rightarrow n+2\leqslant 2^n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite $(v_n)$ est minorée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $(v_n)$ est minorée par $0$.}
			
			Soit $n \geqslant 2$.
			
			D'après la question précédente
			
			\begin{align*}
				n+2 &\leqslant 2^n\\
				\frac{n+2}{2^n} &\leqslant 1\\
				-\frac{n+2}{2^n} &\geqslant -1\\
				2 -\frac{n+2}{2^n} &\geqslant 2-1\\
				v_n &\geqslant 1
			\end{align*}
			
			De plus $v_0=0$ et $v_1=\frac{1}{2}$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n)$ est minorée par $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrez que la suite $(v_n)$ est monotone.
		
	\end{sujet}
	\begin{correction}
		
		Soit $n\geqslant 1$.
		
		$v_n-v_{n-1}=\frac{n}{2^n} \geqslant 0$ donc 
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante.
			
		\end{conclusion}	
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La suite $(v_n)$ est-elle convergente?
		
	\end{sujet}	
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $(v_n)$ est convergente.}
		
		$(v_n)$ est croissante et comme de plus $(v_n)_{n\geqslant1}$ est majorée finalement 
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ est convergente.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D.}


\begin{notabene}
	
	Étude d'une suite adjacentes.
	
	ellipse 24 jours pour préparer page 136
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n}{2} \\ \\ b_{n+1}= \dfrac{a_n+2b_n}{3} \end{array} \right. \] avec $a_0=0$ et $b_0=12$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite  $(b_n-a_n)$ est une suite géométrique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$v_{n+1}-u_{n+1}= \frac{u_n+2v_n}{3} - \frac{u_n+v_n}{2} = \frac{v_n-u_n}{6}$
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n-u_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{6}$ et de terme initial $v_0-u_0=12$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en sa limite.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$-1 < \frac{1}{6}<1$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_n-u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes. 
		
		Que pouvez-vous en déduire?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Nous avons déjà démontré que $b_n-a_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			\item $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+v_n}{2}-u_n= \frac{1}{2}(v_n-u_n)$.
			
			Or $(v_n-u_n)$ est géométrique donc $u_{n+1}-u_n= \frac{1}{2} \times \frac{12}{6^{n+1}} \geqslant 0$.
			
			Donc $(u_n)$ est croissante.
			
			\item $v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{2}= -\frac{1}{2} (v_n-u_n)= -\frac{1}{2} \times \frac{12}{6^{n+1}}\leqslant 0$.
			
			Donc $(v_n)$ est décroissante.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite $(2a_n+3b_n)$ est constante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Si elle est constante alors tous les termes égalent le premier $2u_0+3v_0=2 \times 0 +3 \times 12= 36$.}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence que $2u_n+3v_n=36$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $2u_0+3v_0=2 \times 0 +3 \times 12= 36$.
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					2 u_{n+1}+3v_{n+1} &= 2\frac{u_n+v_n}{2}+3 \frac{u_n+2v_n}{3}\\
					&= 2u_n+3v_n\\
					&= 36
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en la limite des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Elles convergent vers la même limite $\ell$ qui doit vérifier $2 \ell +3 \ell =36$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\frac{36}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\bigskip

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}