\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
%\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Devoir surveillé CPGE HKBL. 2023/11/09.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé CPGE HKBL. 2023/11/09.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les exercices et problèmes qui suivent sont indépendants les uns des autres.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Pour répondre à une question, on pourra toujours utiliser les résultats de questions précédentes, à condition de clairement l'indiquer.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Il est demandé de soigneusement numéroter les questions et de mettre clairement les réponses en évidence, par exemple en les \framebox{encadrant} ou en les \underline{soulignant}. Lors de la correction, il sera fait grand cas de la \textbf{clarté}, de la \textbf{concision} et de la \textbf{précision} de la rédaction. L'utilisation de surligneur ou de crayon n'est pas recommandé.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Le sujet A, noté sur $15$, est composé des $3$ premiers exercices et le sujet B, noté sur $20$, des $4$ derniers.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
\end{sujet}

\subsection{EXERCICE 1 (Sujet A uniquement). \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
	\item Calculez. Aucune justification n'est attendue.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=2458-3459$.
		\task $B= -189-24$.
		\task $C=23 \times (-13)$.
		\task $D= -17 \times (-10000)$.
		\task $E= \dfrac{345}{23}- \dfrac{233}{23}$.
		\task $F= \dfrac{1}{17}+ \dfrac{4}{-17}$.
		\task $G= -\dfrac{3}{15}+ \dfrac{8}{5}$.
		\task $H=\dfrac{5}{9}+\dfrac{1}{7}$.
		\task $I= \dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{9}$.
		\task $J=\dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{45}}$.
		\task $K=2-\dfrac{9}{7}$.
		\task $L= \dfrac{1}{6} \times 48$.
		\task $M=2 \times 3+7$.
		\task $N=3+4 \times 6$.
		\task $P=(2+3 (6-9))$.
		\task $Q=\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{3} +\dfrac{5}{2}\right)$.
	\end{tasks}
	
	\item Exprimez les nombres sous la forme $\mathrm{e}^x$ où $x \in \mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=\mathrm{e}^5 \times \mathrm{e}^2$.
		\task $B= \mathrm{e}^{-8}\times \mathrm{e}^5$.
		\task $C=\left(\mathrm{e}^{-3} \right)^5$.
		\task $D=\mathrm{e}^{-2} \times \left( \mathrm{e}^{6} \right)^7$.
		\task $E= \dfrac{\mathrm{e}^6}{\mathrm{e}^3}$.
		\task $F=\dfrac{\mathrm{e}^{4}}{\mathrm{e}^{-17}}$.
		\task $G=\dfrac{\mathrm{e}^7 \times \mathrm{e}^{-5}}{\left(\mathrm{e}^{6}\right)^2}$.
		\task $H= \mathrm{e}^{5} \times \dfrac{\mathrm{e}^3}{\mathrm{e}^8}$.
		\task $I=\dfrac{1}{6}\left( 13\mathrm{e}^3-7\mathrm{e}^3 \right)$.
		\task $J= \mathrm{e}^{\pi} \times \mathrm{e}^{2,15}$.
		\task $K=\mathrm{e}^{\mathrm{e}} \times \mathrm{e}^{-1}$.
		\task $L= \mathrm{e}^{2^3}$.
	\end{tasks}
	
	\item Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$. Exprimez les nombres sous la forme $x\ln(a)+y$ où $x,y \in \mathbb{R}$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A= \ln(3a)$.
		\task $B= \ln(a^7)$.
		\task $C= \ln(8a^2)$.
		\task $D= \ln\left(\dfrac{5}{a} \right)$.
		\task $E= \ln\left(\dfrac{4}{a^{3}}\right)$.
		\task $D= \ln\left(\dfrac{2}{a^3} \times \dfrac{7}{a^{-5}}\right)$.
	\end{tasks}
	
	\item Résolvez les équations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(E_1):\ 2x=17$.
		\task $(E_2):\ 3x-5=-7$.
		\task $(E_3):\ 6-2x=4x+3$.
		\task $(E_4):\ \dfrac{2}{5}x-3=-12 $.
		\task $(E_5):\ \dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}x= 1-2x$.
		\task $(E_6):\ (x-7)(x+2,14)=0$.
		\task $(E_7):\ (2x-3)(6-57x)=0$.
		\task $(E_8):\ \dfrac{3x-1}{5x+2}=0$.
		\task $(E_9):\ x^2-5=0$.
		\task $(E_{10}):\ x^2-7x-8=0$.
		\task $(E_{11}):\ x^2-x=1$.
		\task $(E_{11}):\ \mathrm{e}x=0$.
		\task $(E_{12}):\ \mathrm{e}^{x+3}=1$.
		\task $(E_{12}):\ \mathrm{e}^{7x-1}=17$.
	\end{tasks}
	
	\item Résolvez les inéquations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(F_1):\ -5x<-7$.
		\task $(F_2):\ 2x-3\geqslant 8$.
		\task $(F_3):\ -3x-7\leqslant 5-8x$.
		\task $(F_4):\ \dfrac{3}{7}x+4 >\dfrac{2}{7}$.
		\task $(F_5):\ (x-2)(x+100)<0$.
		\task $(F_6):\ (7x-2) (3-6x)\geqslant 0$.
		\task $(F_7):\ 2x^2+6x+4<0$.
		\task $(F_8):\ \dfrac{8x-4}{21-7x}<0$.
		\task $(F_9):\ x^2+2x-2<0$.
	\end{tasks}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 2 (Sujets A et B). \hfill 5,5 points}

\begin{notabene}
	Applications.
	
	On part d'une fonction. Justifier que ce n'est pas une application.
	
	Domaine de définition à partir de l'expression algébrique. Calcul des images et antécédents.
	
	Représentation graphique. Lecture d'images et d'antécédents.
	Donner le tableau de variation de la fonction.
	Justifier que la fonction n'est pas injective, pas surjective. est-elle bijective?
	
	Tracer sur le graphique une tangente dont on donne une équation réduite.
	
	On ajoute un point sur le graphique trouver l'équation de la droite.
	
	On considère une restriction où la fonction est injective démonstration de l'injectivité.
	
\end{notabene}
	
On considère la fonction $\displaystyle \tilde{f}:x \mapsto (x+2) \exp \left( -x+\ln\left( \frac{x}{3}+1 \right) \right)$.
	
\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Justifiez que $\tilde{f}$ n'est pas une application sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Déterminez le domaine de définition de $\tilde{f}$.
		
		\emph{Dans la suite on note $f$ la restriction de $\tilde{f}$ à son domaine de définition.}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f(3)$.
		
		\item Calculez $f(0)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\emph{On donne ci-dessous une représentation graphique de $f$.}
	
\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-4};
		\def\xcoinhautdroit{5};
		\def\ycoinbasgauche{-2};
		\def\ycoinhautdroit{3};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$0$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$1$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$1$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-2.999:5] plot({\x},{(\x+2)*exp(-\x+ln(\x/3+1))});
		%Points
		\foreach \a/\b in { 0/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		\draw (-2.5,{-2.25}) node{\textbf{Nom et prénom:}};
		\draw [orange] (4.25,0.6) node{$\mathscr{C}_f$};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \emph{Vous répondrez à cette question en vous aidant de la représentation graphique.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Donnez l'image de $1,5$ par $f$.
		\item Donnez l'ensemble des antécédents de $1$ par $f$.
		\item Donnez l'ensemble des antécédents $3$ par $f$.
		\item Donnez le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
		\item Donnez une valeur approchée de $5\mathrm{e}^{-3+\ln(2)}$.
		\item Donnez $f([0;1])$.
		\item Donnez $f^{-1}([0;1])$.
	\end{enumerate}
	
	\item \emph{Vous répondrez à cette question en vous aidant de la représentation graphique.}	
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est-elle surjective? injective? est-ce un bijection? Vous justifierez.
		
		\item Proposez une restriction de $f$ qui soit injective.
	\end{enumerate}
	
	\item \emph{Vous répondrez à cette question en vous aidant de la représentation graphique.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
		\item La fonction $f$ est-elle majorée, minorée? admet-t-elle un extremum?
	\end{enumerate}
	
	\item On considère l'application $g:x \mapsto -\dfrac{1}{2}x+1$ définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de $g$? Comment appelle-ton les nombres $-\frac{1}{2}$ et $1$ pour cette fonction?
		
		\item Tracez la courbe représentative de $g$ dans le repère ci-dessus.
		
		\item Démontrez que $g$ est surjective.
		
		\item Démontrez que $g$ est injective.
		
		\item Démontrez que $g$ est une bijection.
		
		\item Démontrez que $g^{-1}(x)=-2x+2$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On considère l'application $h:x \mapsto x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez l'expression algébrique de $g \circ h$.
		\item Donnez l'expression algébrique de $h \circ g$.
		\item $h$ est $g$ sont-elles réciproques l'une de l'autre?
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 3 (Sujets A et B). \hfill 5,5 points}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.}
	
\end{sujet}

\begin{notabene}
	
	Suites.
	
	Limites calculatoires.
	
	Équivalents négligeables.
	
	Somme et produits finies
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Déterminez la limite en $+\infty$ des suites définies par leur terme général.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $a_n=\dfrac{1}{n^{-3}}$.
		\task $b_n=\mathrm{e}^{n}$.
		\task $c_n=\ln(n)$.
		\task $d_n=\dfrac{1}{\ln(n)}+3+ 0,5^n$.
		\task $f_n=\sqrt{n}+\mathrm{e}^{-n}$.
		\task $g_n=\dfrac{\ln(n)}{0,5^n}$.
		\task $h_n=\dfrac{\ln(n)}{n^2}+n^2 \left( \frac{1}{2} \right)^n+1$.
	\end{tasks}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item Écrivez les sommes et produits en extension, puis calculez-les.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\displaystyle A=\sum_{k=0}^3 k^2+1$.
			\task $\displaystyle B= \sum_{i=1}^3 (-2)^i$.
			\task $\displaystyle C=\sum_{k=1}^3 \frac{1}{k}$.
			\task $\displaystyle D=\sum_{p=0}^2 5+(-1)^p$.
			\task $\displaystyle \prod_{i=1}^{6} \frac{i}{i+1}$.
			\task $\displaystyle \prod_{k=1}^{5}k$.
		\end{tasks}
		
	\end{enumerate}
	
	\item On considère la suite définie, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, par $u_n=\dfrac{n+\cos(n)}{n2^n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez le minimum et le maximum de la fonction cosinus.
		
		\item Déduisez-en que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{n2^n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{n2^n}$.
		
		\item Concluez quant à la convergence de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On considère, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n=\dfrac{n^2+3^n}{27^n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $n^2 = \underset{n \to +\infty}{o}(3^n)$.
		\item Démontrez que $v_n \underset{n \to + \infty}{\sim} \left( \frac{1}{9} \right)^n$.
		\item Étudiez la convergence de $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminez un équivalent simple des suites suivantes.
	\begin{tasks}(2)
		\task $s_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}$.
		\task $t_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n-1}$.
		\task $r_n=\ln(n+1) \times \ln \left( 1+ \dfrac{1}{n} \right)$.
		\task $p_n=\dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{1}{n} \right)}$.
	\end{tasks}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 4 (Sujet B). \hfill 5 points}

\begin{notabene}
	
	Algèbre linéaire et ensembles.
	
\end{notabene}

\emph{Dans cet exercice on notera $x_1$, $x_2$, etc. les coordonnées du vecteur $\vec{x}$.}

\subsubsection{Partie A: dans $\mathbb{R}^2$.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Effectuez les calculs vectoriels suivants: $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}$, $3\begin{pmatrix} 4 \\ 2  \end{pmatrix}$ et $-2\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -7 \\8 \end{pmatrix}$.	
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
		
		$3\begin{pmatrix} 4 \\ 2  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix}$.
		
		$-2\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -7 \\8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -13 \\ 8 \end{pmatrix}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $G_1= \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^2 \ | \ x_1^2+x_2^2-1=0 \right\}$
		
		Démontrer que $G_1$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$0^2+0^2-1 \ne 0$ donc $\vec{0} \notin G_1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$G_1$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $E= \left\{ \left. \vec{x} \in \mathbb{R}^2 \ \right| \ 2x_1-x_2=0 \right\}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ est-il un élément de $E$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2 \times 1 -2=0$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{u} \in E$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer qu'il existe un vecteur de $\mathbb{R}^2$ qui n'appartient pas à $E$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				{\color{orange}Il suffit de trouver $x$ et $y$ tels que $2x-y\ne 0$ en tâtonnant.}
				
				\medskip
				Clairement 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\vec{g}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \notin E$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Justifier que $E$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$ c'est-à-dire un ensemble de la forme $\mathbb{R}\vec{y}$ où $y$ est un vecteur que l'on précisera.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ qui n'est pas réduit à $\{ 0 \}$ puisque $\vec{u} \in E$, et qui n'est pas $\mathbb{R}^2$ puisque $\vec{g} \notin E$.
				
				Par conséquent
				
				\begin{conclusion}
					
					$E$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: dans $\mathbb{R}^3$.}

\begin{sujet}
	
	On note $E'= \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \ | x_2=2x_1\ \text{et} \ x_3=0 \right\}$ et $F= \left\{ \left. \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \ \right| \ 2x_1-x_2+4x_3=0 \right\}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $E'$ contient un vecteur non nul.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si $t=1$ alors on obtient le vecteur $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} \in E'$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $\overrightarrow{e}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{f}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{g}= \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{h} = \begin{pmatrix} -7 \\ -42  \\ -7 \end{pmatrix}$ des vecteurs de $\mathbb{R}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer parmi  $\overrightarrow{e}$, $\overrightarrow{f}$, $\overrightarrow{g}$ et $\overrightarrow{h}$ ceux qui appartiennent à $F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2 x_{\vec{e}}-y_{\vec{e}}+4 z_{\vec{e}}=2 \times 2-0+4 \times (-1)=0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{e} \in F$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En procédant de même:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{f} \notin F$, $\vec{g} \in F$, $\vec{h} \in F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\overrightarrow{g}$ et $\overrightarrow{h}$ sont colinéaires.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a clairement proportionnalité entre les coordonnées de $\vec{g}$ et $\vec{h}$: $-7 \vec{g}=\vec{h}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{g}$ et $\vec{h}$ sont colinéaires.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{g}$ ne sont pas colinéaires, autrement dit, démontrer qu'ils sont linéairement indépendants.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En utilisant les deux premières coordonnées de $\vec{e}$ et $\vec{g}$:
			
			$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 6 \end{vmatrix}=2 \times 6 -1 \times 0=12 \ne 0$.
			
			Nous en déduisons qu'il n'y a pas proportionnalité entre les coordonnées de $\vec{e}$ et $\vec{g}$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{e}$ et $\vec{g}$ sont linéairement indépendants.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2  \end{pmatrix}$ des éléments de $F$. Démontrons que $\vec{p}=\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2  \end{pmatrix}$ appartient aussi à $F$.
		
		\medskip
		\begin{align*}
			& 2 x_{\vec{p}} -y_{\vec{p}}+4 z_{\vec{p}}\\
			&= 2 (a x_1+x_2)-(2y_1+y_2)+4(2z_1+z_2)\\
			&= a(2x_1-y_1+4z_1)+(2x_2-y_2+4z_2)\\
			&= a \times 0 + 0\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		donc $\vec{p} \in F$.
		
		\medskip
		$F \subset \mathbb{R}^3$, $\vec{e} \in F$ et $F$ est stable par combinaisons linéaires donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $F$ n'est pas $\mathbb{R}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \notin F$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$F \ne \mathbb{R}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on cherche à comparer $E'$ et $F$ du point de vue de l'inclusion.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $E' \subset F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $\vec{b} \in E'$.
			
			D'après la représentation paramétrique de $E'$, il existe un nombre $t_{\vec{b}}$ tel que $\vec{b}= \begin{pmatrix} t_{\vec{b}} \\ 2 t_{\vec{b}} \\ 0 \end{pmatrix}$.
			
			Or 
			
			\begin{align*}
				& 2 x_{\vec{b}}-y_{\vec{b}}+4 z_{\vec{b}}\\
				&= 2 \times t_{\vec{b}} -2t_{\vec{b}} +4 \times 0\\
				&= 2t_{\vec{b}}-2t_{\vec{b}}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			donc $\vec{b} \in F$.
			
			Nous avons démontré que quelque soit $\vec{b} \in E'$, $\vec{b} \in F$ autrement dit:
			
			\begin{conclusion}
				
				$E' \subset F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $E' \ne F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\vec{g} \in F$ mais $\vec{g} \ne E'$ car $z_{\vec{g}} \ne 0$
			
			\begin{conclusion}
				
				$E' \ne F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire $E' \cap F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De 5.(a) nous déduisons:
			
			\begin{conclusion}
				
				$E' \cap F=E'$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{notabene}
			
			$m=2e-3g$
		\end{notabene}
		
		On note $\overrightarrow{m} = \begin{pmatrix} 1 \\-18 \\ -5 \end{pmatrix}$.
		
		On souhaite établir le fait que $\overrightarrow{m}$ peut être obtenu comme une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{g}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que $\overrightarrow{m} \in F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2 \times 1 -(-18)+4 \times (-5)=0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{m} \in F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $x$ et $y$ des réels.
			
			Calculer les coordonnées du vecteur $x\overrightarrow{e}+y\overrightarrow{g}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$x\overrightarrow{e}+y\overrightarrow{g}= \begin{pmatrix} 2x+y \\ 6y \\ -x+y \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre le système \[ \left\{ \begin{array}{rl} 2x+y &= 1 \\ 6y &= -18 \\ -x+y &= -5 \end{array} \right. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De la deuxième ligne on déduit $y=-3$ puis avec la troisième $x=2$.
			
			Reste à vérifier que $(2,-3)$ est bien solution du système en remplaçant dans chaque égalité, ce qui est immédiat.
			
			\begin{conclusion}
				
				La seule solution du système est $(2,-3)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $\overrightarrow{m}$ comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{g}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{m}= 2 \vec{e} -3 \vec{g}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\subsection{EXERCICE 5 (Sujet B). \hfill 4 points}

\begin{notabene}
	Probabilité et enbsembles
\end{notabene}

\subsubsection{Partie A: ensemble fini.}

	Un jeu consiste à lancer une pièce parfaitement équilibrée puis à lancer un dé tétraédrique (quatre faces numérotées de $1$ à $4$) parfaitement équilibré lui-aussi.
	
\begin{enumerate}
	
	\item Proposez un univers $\Omega_1$ pour l'expérience consistant à lancer une pièce puis, un univers $\Omega_2$ pour l'expérience consistant à lancer le dé tétraédrique.
	
	\item Dorénavant on s'intéresse à l'expérience consistant à lancer la pièce puis le dé.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez un exemple d'issue de cette expérience aléatoire.
		
		\item Représentez l'expérience aléatoire par un arbre probabiliste.
		
		\item Donnez l'univers $\Omega$ de cette expérience.
		
		\item Donnez le cardinal (nombre d'éléments) de $\Omega$.
	\end{enumerate}
	
	\item On note $P_1$: \og obtenir pile puis un nombre impair\fg{}, $P_2$: \og obtenir pile puis un nombre pair\fg{}, $F_1$: \og obtenir face puis un nombre impair\fg{} et $P_1$: \og obtenir face puis un nombre pair\fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez un exemple d'issue qui réalise $F_1$.
		
		\item Calculez la probabilité $\mathbb{P}(F_1)$ que $F_1$ soit réalisé.
		
		\item Donnez sans justification $\mathbb{P}(F_2)$, $\mathbb{P}(P_1)$ et $\mathbb{P}(P_2)$.
		
		\item Démontrez que $\{ F_1, F_2, P_1, P_2\}$ est un système complet d'événements.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On note $A$: \og obtenir un nombre inférieur ou égale $2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez une définition en extension de $F_1 \cap A$, de $F_2 \cap A$, de $P_1 \cap A$ puis de $P_2 \cap A$.
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(A \cap F_1)$.
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(A)$.
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(A \cup F_1)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: ensemble infini.}


Une expérience consiste à lancer indéfiniment une pièce. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $P_n$: \og Obtenir un pile lors du $n$-ième lancé. \fg{} et $A_n$: \og N'obtenir que des piles lors des $n$ premiers lancés. \fg{}

Montrez que: $\forall n\in \mathbb{N}^,\ A_{n+1}\subset A_n$.

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}