%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{49 Application dérivée.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{49 Application dérivée.}

\subsection{Nombre dérivé.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a<b$ des réels,
		
		\item $f:[a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est dite \emph{\color{purple}dérivable à droite en $a$} si et seulement si $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures.
	
	
	\medskip
	Dans ce cas, cette limite est appelée \emph{\color{purple}le nombre dérivé de $f$ à droite en $a$}, et on note: \[ {\color{purple}f'_d(a)} := \lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\x>a \end{subarray}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La quantité $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est appelé \emph{\color{purple}taux d'accroissement de $f$ en $a$}.
		
		\item Si le taux d'accroissement n'admet pas de limite on dit que $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$.
		
		\item Il arrive que le taux d'accroissement soit présenté différemment. En procédant au changement de variable $x-a=h$, le taux d'accroissement s'écrit: \[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]
		
		\item Évidemment des notions semblables existent \og à gauche\fg{}.
		
		\item Par construction du nombre dérivé nous aurons très souvent es forme indéterminée et il faudra lever l'indétermination par des manipulations algébriques.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Nombre dérivé à droite en $1$ des fonctions $x \mapsto x^n$ avec $n\in\mathbb{N}^*$.}
		
		\smallskip
		Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		Soit $x \in ]1,+\infty[$.
		
		\begin{align*}
			\frac{x^n-1^n}{x-1} &= 1+x+x^2+\dots +x^{n-1}
		\end{align*}
		
		Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 1 \\x>1 \end{subarray}} \frac{x^n-1}{x-1}= n$.
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$x \mapsto x^n$ est dérivable à droite en $1$ et son nombre dérivé est $n$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Nombre dérivé à droite en $2$ de la fonction constante égale à $7$.}
		
		\item \objectif{Dérivée à droite en $1$ de la fonction $f:x \mapsto x^2+x+1$.}
		
		%En utiisant $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
		
		\item Nombre dérivé à droite et à gauche de valeur absolue en $0$.
		
		{\color{orange}Suivant la valeur de $x$ il y a deux expressions algébriques de la fonction valeur absolue donc nous allons procéder par disjonction des cas.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Premier cas: \objectif{dérivabilité à droite.}
			
			Soit $x \in ]0,+\infty[$.
			
			\begin{align*}
				\frac{|x|-|0|}{x-0} &= \frac{x}{x}\\
				&= 1
			\end{align*}
			
			Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x>0 \end{subarray}} \frac{|x|-|0|}{x-0}=1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Valeur absolue est dérivable à droite en $0$ et le nombre dérivé de la fonction valeur absolue à droite en $0$ est $1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Second cas: \objectif{Dérivabilité à gauche.}
			
			Soit $x \in ]-\infty,0[$.
			
			\begin{align*}
				\frac{|x|-|0|}{x-0} &= \frac{-x}{x}\\
				&= -1
			\end{align*}
			
			Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{|x|-|0|}{x-0}=-1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Valeur absolue est dérivable à gauche en $0$ et le nombre dérivé de la fonction valeur absolue à gauche en $0$ est $-1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Dérivabilité à droite en $0$ de racine carrée.}
		
		Soit $x \in ]0,+\infty[$.
		
		\begin{align*}
			\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} &= \frac{1}{\sqrt{x}}
		\end{align*}
		
		Or $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction racine carrée n'est pas dérivable à droite en $0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Soit $f$ l'application définie par $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ et $f(0)=0$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Étudions la dérivabilité de $f$ à droite en $0$.}
			
			Soit $x \in ]0,+\infty[$.
			
			\[ \tau_f(0,x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-0}{x-0} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty.\]
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ n'est pas dérivable à droite en $0$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$.}
			
			Soit $x \in ]-\infty,0[$.
			
			\[ \tau_f(0,x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x<0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 0.\]
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable à gauche en $0$ et $f'_g(0)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Dérivabilité en un point hors du domaine de dérivabilité de la fonction.
		
	\end{notabene}
	
	\smallskip
	Soit $f$ l'application définie, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$, et $f(0)=1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item Étudiez la dérivabilité de $f$ en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E$ tel que $f$ soit définie dans un voisinage ouvert de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est \emph{\color{purple}dérivable en $a$} si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $f$ est dérivable à droite en $a$,
		
		\item $f$ est dérivable à gauche en $a$,
		
		\item $f'_d(a)=f'_g(a)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors on appelle \emph{\color{purple}nombre dérivé de $f$ en $a$} le nombre noté \[ f'(a):=f'_d(a)=f'_g(a). \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction carrée est dérivable en $0$.
		
		Notons $f:x \mapsto x^2$.
		
		Soit $x \in \mathbb{R}^*$.
		
		\begin{align*}
			\frac{x^2-0^2}{x-0} &= x
		\end{align*}
		
		donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{x^2-0^2}{x-0}=0$ et $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x>0 \end{subarray}} \frac{x^2-0^2}{x-0}=0$.
		
		Ainsi la fonction carré est dérivable à droite et à gauche en $0$ et comme de plus $f'_d(0)=f'_g(0)=0$ nous pouvons dire qu'elle est dérivable en zéro et $f'(0)=0$.
		
		\item Valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.
		
		En notant $g$ la fonction valeur absolue nous avons vu que $g'_d(0)=1$ et $g'_g(0)=-1$.
		
		Puisque $g'_d(0)\ne g'_g(0)$, $g$ n'est pas dérivable en $0$.
		
		{\color{orange}Cela se remarque graphiquement par un pointu sur la courbe représentative de la fonction valeur absolue en $0$.}
		
		\item Racine cubique n'est pas dérivable en zéro.
		
		Comme la fonction racine carrée elle n'est pas dérivable à droite car \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}^2} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x>0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty. \]
		
		Mais elle n'est pas non plus dérivable à gauche car \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}^2} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x<0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E$ tel que $f$ soit définie sur un voisinage ouvert de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}


\begin{preuve}
	
	\objectif{Démontrons $f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f(a)$.}
	
	La fonction $\tau_f(a,x)$ est prolongeable par continuité en $a$ puisque $f$ est dérivable en $a$. Donc, pour tout $x$ dans un voisinage de $a$, \[ f(x)=f(a)+\tau_f(a,x)(x-a) \]
	
	Or $\tau_f(a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f'(a)$ donc \[ f(x)=f(a)+\tau_f(a,x)(x-a) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f(a).\]
	
	Ainsi 
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ est continue en $a$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Les fonctions constantes sont dérivables donc continues.
		
		\item La fonction valeur absolue est continue et pourtant elle n'est pas dérivable.
		
		\item La fonction racine carrée est continue  à droite en $0$ mais n'est pas dérivable à droite en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La réciproque de la proposition (\og toute fonction continue est dérivable\fg{}) est fausse.
		
		\item Cette implication pourrait être scindée en deux: si $f$ est dérivable à droite en $a$ alors $f$ est continue à droite en $a$ puis le cas à gauche.
		
		\item Nous pourrons utiliser la contraposée de cette proposition pour justifier de la non dérivabilité: $f$ n'est pas continue à droite en $a$ donc $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Tangente.}

\begin{lecon}
	
	
	Comme bien souvent en mathématique c'est un point de vue géométrique qui est privilégié pour se représenter les objets. C'est aussi celui qui se généralise le plus simplement
	
	Rappelons que le taux d'accroissement correspond au coefficient directeur d'une certaine droite. Graphiquement, le taux d'accroissement d'une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est le coefficient de la droite dessinée en rouge.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\t0{1};
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
			%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
			\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
			\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
			\foreach \h in {6} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
			\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
			\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
			\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
			\foreach \h in {6}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Si nous remplaçons $h$ par $0$, alors les deux points sont confondus et parler d'une droite n'a plus aucune sens. Nous retrouvons le problème rencontré avec le taux d'accroissement: nous ne pouvons pas remplacer $h$ par $0$.
	
	De la même façon nous allons rendre $h$ de plus en plus petit. Graphiquement cela revient à dire que nous rapprochons le point $M$ de $A$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\t0{1};
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
			%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
			\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
			\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
			\foreach \h in {5} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
			\foreach \h in {5} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
			\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
			\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
			\foreach \h in {5}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\t0{1};
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
			%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
			\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
			\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
			\foreach \h in {4} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
			\foreach \h in {4} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
			\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
			\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
			\foreach \h in {4}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\t0{1};
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
			%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
			\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
			\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
			\foreach \h in {3} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
			\foreach \h in {3} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
			\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
			\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
			\foreach \h in {3}\draw[red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\t0{1};
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
			%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
			\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
			\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
			\foreach \h in {2} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
			\foreach \h in {2} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
			\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
			\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
			\foreach \h in {2}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white,right]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\t0{1};
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
			%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
			\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
			\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left,fill=white]{$A=M$};
			\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
			\draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(-5+10*\x)/25});
			\foreach \h in {1} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
			\foreach \h in {1}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a$};
			\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous obtenons une droite qui semble posée sur la courbe représentative de la fonction. Cette droite sera appelée une \emph{\color{purple}tangente} de la courbe.
	
	\medskip
	Son coefficient directeur est le taux d'accroissement limite obtenu lorsque $h$ se rapproche de $0$. Autrement dit le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé.
	
	\medskip
	La courbe et la tangente semblent se confondre au voisinage du point $A$. Ceci correspond à un outil classique en mathématique, le développement limité. Ici, la fonction $f$, pour des valeurs de $x$ pas trop loin de $a$, est semblable à une fonction affine: "$f(x) \approx ax+b$". Cette approximation est extrêmement riche en applications sera revue dans le paragraphe suivant
	
	Sécantes et tangente: \href{https://www.geogebra.org/m/HJSNZFkG}{illustration avec geogebra} (télécharger le fichier: \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales_analyse_03_derivees_01_1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_04_secantes_tangente}{lien}).
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E$ tel que $f$ soit définie et dérivable dans un voisinage ouvert de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}tangente au graphe de $f$ au point $(a,f(a))$} la droite d'équation cartésienne \[ y=f'(a) \times (x-a)+f(a). \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Nous utiliserons souvent les tangentes pour aider à tracer la courbe représentative de la fonction}. En effet, localement, la courbe et sa tangente peuvent être \og confondues\fg{}.
		
		\item Lorsque la fonction est dérivable uniquement à droite (ou à gauche) de $a$ on définie une \emph{\color{purple}demi-tangente} à la courbe. confer exemple infra.
		
		\item Lorsque la limite à droite en $a$ du taux d'accroissement est infini nous dirons que la fonction admet \emph{\color{purple}une demi-tangente verticale en $a$}.
		
		\item On parle parfois de la tangente au graphe en $a$ sans préciser le point.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons la tangente au graphe de $f:x \mapsto x^2-2x+3$ en $-1$.}
		
		{\color{orange}Trichons et admettons que $f$ est dérivable en $-1$ et que sont nombre dérivé est $f'(-1)=2 \times (-1)-2=-4$.}
		
		$f$ est dérivable en $-1$ donc son graphe admet une tangente en $-1$.
		
		Comme $f(-1)=6$ et $f'(-1)=-4$ une équation de la tangente en $-1$ est \[ y= -4(x-(-1))+6.\]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			l'équation réduite de la tangente au graphe de $f$ en $-1$ est: $y=-4x+2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Pour représenter graphiquement la tangente on place le point commun au graphe et à la tangente dont nous connaissons les coordonnées $(-1,6)$.
			
			Puis nous plaçons n autre point par lecture graphique avec le coefficient directeur ou par le calcul avec l'équation de la tangente.
			
			Pour distinguer les tangentes des autres tracés nous les dessinerons le plus souvent comme des segments munis de flèches aux extrémités.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
					\def\xY{-2};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{0.5};
					\def\yZ{10};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
					%\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					%\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.7:0.5] plot(\x,{\x*\x-2*\x+3});
					\draw (-1,6) node {$\times$};
					\draw[red, thick,>=latex, <->][samples=100,domain=-1.5:-0.5] plot(\x,{-4*\x+2});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
		}
		
		\item Demi-tangente verticale en zéro de la fonction racine carrée.
		
		Nous avons vu que la limite à droite en $0$ du taux d'accroissement de la fonction racine carrée est $+\infty$. dans un tel cas on dit que la fonction admet une demi tangente verticale (orientée vers le haut).
		
		Cette situation se représente de la façon suivante.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8.5};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2, ..., 8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8.5] plot(\x,{sqrt(\x)});
				\draw [very thick, red, >=latex, ->] (0,0) -- (0,1.5);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Tangente verticale en zéro de la fonction racine cubique.
		
		Nous avons déjà vu que:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			
			\item $\tau_{\sqrt[3]{.}}(0,x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x<0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty$.
			
			\item $\tau_{\sqrt[3]{.}}(0,x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x>0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{enumerate}
		
		Par conséquent la fonction racine cubique admet une demi-tangente verticale orientée vers le bas en $0$ et une demi-tangente verticale orientée vers le haut en $0$. Si bien que nous dirons que racine cubique admet une tangente verticale en zéro.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-4};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{4};
				\def\yZ{2};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{(\x)^(1/3)});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:0] plot(\x,{-(-\x)^(1/3)});
				\draw [very thick, red, >=latex, <->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	On a dessiné ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que les tangentes à cette courbe aux points $A(-2;4)$, $O(0,0)$ et $B(\sqrt{3};0,4\sqrt{3}^3-3,6\sqrt{3})$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.545:3.45] plot(\x,{0.4*(\x-3)*(\x-0)*(\x+3)});
			%A
			\draw[red,thick] [samples=100,domain={-2-3}:{-2+1}] plot(\x,{1*\x+6});
			\draw [red] (-2,4) node {$\bullet$};
			\draw [red] (-2,4) node[above left] {$A$};
			%O
			\draw[OliveGreen,thick] [samples=100,domain={0-1.25}:{0+1.2}] plot(\x,{-4*\x+0});
			\draw [OliveGreen] (0,0) node {$\bullet$};
			\draw [OliveGreen] (0,0) node[above right] {$O$};
			%B
			\draw[Violet,thick] [samples=100,domain={sqrt(3)-6}:{sqrt(3)+2.5}] plot(\x,{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)});
			\draw [Violet] ({sqrt(3)},{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)}) node {$\bullet$};
			\draw [Violet] ({sqrt(3)},{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)}) node[below right] {$B$};
			\draw[blue] (2.5,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les nombres dérivés de $f$ en $-2$, en $0$ et en $\sqrt{3}$.
		
		\item Déduisez-en, les équations réduites des tangentes à $\mathscr{C}_f$ en $A$, $O$ et $B$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Diverses courbes; concaves, convexes, point d'inflexion, et des courbes impossibles points de rebroussement.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ une fonction dérivable en $3$ et telle que $f(3)=4$ et $f'(3)=\frac{1}{3}$.
	
	Tracez la tangente au graphe de $f$ en $3$ puis proposez une allure possible du graphe de $f$ au voisinage de $3$.
	
\end{exercice}

\subsection{Fonction dérivée.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}dérivable sur $E$} si et seulement si, pour tout $a \in E$, $f$ est dérivable en $a$.
	
	\medskip
	Dans ce cas on appelle fonction dérivée de $f$ la fonction: \[ f':=\left\{ \begin{array}{ccl} E & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f'(x)\end{array} \right. \]
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	
	ln, exp, sin, cos, $x^a$ .
	
\end{notabene}


\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$,
		
		\item $f_n:x \mapsto x^n$ l'application définie sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip 
	$f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	De plus
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f_0'=0$.
		
		\item et si $n>0$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$ pour tout $x \in\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Essayer une démonstration par récurrence 
		
	\end{notabene}
	
	Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $a \in\mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}\setminus \{ a \}$.
	
	\begin{align*}
		\tau_{f_n}(a,x) &= \frac{x^n-a^n}{x-a}\\
		&= \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1})}{x-a}\\
		&= x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1}
	\end{align*}
	
	Or, par continuité des fonctions polynomiales, \[x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1} \underset{x \to a}{\longrightarrow} a^{n-1}+a^{n-2}a+\dots + aa^{n-2}+a^{n-1}\] donc \[ \tau_{f_n} (a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} na^{n-1}. \]
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nombre dérivé.
		
		\item Fonction dérivée,
		
		\item Tangente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour $f_0$, donc une fonction constante, nous avons la caractérisation: une fonction est constante si et seulement si sa dérivée est nulle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $f_n:x \mapsto \frac{1}{x^n}$ l'application définie sur $\mathbb{R}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip 
	$f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $f'(x)=\dfrac{n}{x^{n+1}}$ pour tout $x \in\mathbb{R}^*$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soient $n\in \mathbb{N}^*$, $a \in \mathbb{R}^*$ et $x \in \mathbb{R}^* \setminus\{ a\}$.
	
	\begin{align*}
		\tau_{f_n}(a,x) &= \frac{\frac{1}{x^n} - \frac{1}{a^n}}{x-a}\\
		&= \frac{a^n-x^n}{a^nx^n(x-a)}\\
		&= \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1})}{a^nx^n(x-a)}\\
		&= \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1})}{a^nx^n}
	\end{align*}
	
	Donc \[ \tau_{f_n}(a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \frac{na^{n-1}}{a^na^n}.\]
	
	Ainsi
	
	\begin{conclusion}
		
		$f_n$ est dérivable en $a$ et $f_n'(a)= \frac{n}{a^{n+1}}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\sin'=\cos$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}La démonstration suivante se veut élémentaire et ne fait donc pas appelle à la définition de $\sin$ comme somme de série entière.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item \objectif{Démontrons que $\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1$.}
		
		Soit $x \in \left] 0 ,\frac{\pi}{2} \right[$.
		
		Admettons dans un premier temps que pour tout $x \in \left] 0 ,\frac{\pi}{2} \right[$ on a $\cos (x) \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 1$.
		
		Or, par continuité de $\cos$ \[ \cos(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 1,\] donc, d'après le théorème des gendarmes: \[ \frac{\sin(x)}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 1.\]
		
		\medskip
		Si $x \in \left] -\frac{\pi}{2} ,0 \right[$ alors on a $\cos(-x) \leqslant \frac{\sin(-x)}{-x} \leqslant 1$. Puis par parité de $\cos$ et imparité de $\sin$: $\cos(x) \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 1$.
		
		On obtiendra donc de la même façon \[ \frac{\sin(x)}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 1.\]
		
		Enfin 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que $\sin$ est dérivable en $a \in\mathbb{R}$.}
		
		\begin{align*}
			\tau_{\sin}(a,a+h) &= \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}\\
			\intertext{En utilisant une formule d'addition $\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b)+\cos(a) \sin(b)$ nous obtenons:}
			\tau_{\sin}(a,a+h) &= \frac{\sin(a) \cos(h) +\cos(a)\sin(h)-\sin(a)}{h}\\
			&= \sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(a) \frac{\sin(h)}{h}\\
			\intertext{En utilisant la formule $\sin^2(x)= \frac{1-\cos(2x)}{2}$ nous avons:}
			\tau_{\sin}(a,a+h) &= \sin(a)\frac{-2 \sin^2\left( \frac{h}{2}\right)}{h}+\cos(a) \frac{\sin(h)}{h}\\
			&=  -\frac{h\sin(a)}{2}\left( \frac{\sin\left( \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right)^2+\cos(a) \frac{\sin(h)}{h}\\
		\end{align*}
		
		Puisque $\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0 }{\longrightarrow} 1$ \[ \frac{\sin \left( \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1. \]
		
		Finalement \[ \tau_{\sin} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} \cos(a). \]
		
		Autrement dit 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\sin$ est dérivable en $a$ et $\sin'(a)= \cos(a)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que que pour tout $x \in \left] 0 ,\frac{\pi}{2} \right[$ on a $\cos (x) \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 1$.}
		
		\begin{notabene}
			
			\url{http://nveron.lycee-berthelot.fr/IMG/pdf/15-Derivabilite_exos.pdf}
			
			et 
			
			\url{https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_trigonom%C3%A9triques/Propri%C3%A9t%C3%A9s_pr%C3%A9liminaires}
				
			\end{notabene}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{preuve}
	
	\begin{proposition}{}
		
		La fonction $\cos$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\cos'=-\sin$.
		
	\end{proposition}
	
	\begin{preuve}{}
		
		$\cos(x) =\sin (x+ \frac{\pi}{2})$ et composition ou reprendre la démarche utilisée pour le sinus.
		
	\end{preuve}
	
	\begin{proposition}{}
		
		La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$.
		
	\end{proposition}
	
	\begin{preuve}{}
		
		Ce n'est pas vraiment une proposition puisque c'est par définition de la fonction exponentielle en tant que solution d'une équation différentielle.
		
	\end{preuve}

\subsubsection{Une condition suffisante de continuité.}

\begin{proposition}{ - condition suffisante de continuité.}
	
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}

\subsubsection{Calculer une fonction dérivée.}

\begin{notabene}
	
	Peut être vaut-il mieux donner es résultats locaux en $a$.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{ - Linéarité de la dérivation.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ et $g$ des fonctions définies sur $E\subset \mathbb{R}$,
		
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $E$ alors $\lambda f +g$ est dérivable sur $E$ et \[ (\lambda f+g )' =\lambda f'+g'. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	\begin{align*}
		\tau_{\lambda f +g}(a,x) & = \frac{\left( \lambda f +g \right)(x)-\left( \lambda f +g \right)(a)}{x-a}\\
		&= \frac{\lambda f(x) +g(x)-\lambda f(a)-g(a)}{x-a}\\
		&= \lambda \frac{f(x)-f(a)}{x-a} + \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\		
		&= \lambda \tau_{f}(a,x)+\tau_g(a,x)	
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Dérivation d'un produit.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ et $g$ des fonctions définies sur $E\subset \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $E$ alors $fg$ est dérivable sur $E$ et \[ \left( fg \right)'= f'g+fg'.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{align*}
		\tau_{fg}(a,x) &= \frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}\\
		&= \frac{\left[ f(x)-f(a) \right] g(x) +f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\
		&= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}g(x)+f(a)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\
		&= \tau_f(a,x)g(a)+f(a) \tau_g(a,x)
	\end{align*}
	
\end{preuve}
	
	\begin{proposition}{ - Dérivation de l'inverse.}
		
		Soient:
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $g$ une fonction définie sur $E\subset \mathbb{R}$.
		\end{enumerate}
		
		\medskip
		Si $g$ est dérivable sur $E$ et que $g$ ne s'annule pas sur $E$ alors $\frac{1}{f}$ est dérivable sur $E$ et \[ \left( \frac{1}{g} \right)'= \frac{-g'}{g^2} .\]
		
	\end{proposition}
	
	\begin{preuve}
		
		\begin{align*}
			\tau_{\frac{1}{g}}(a,x) &= \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}}{x-a}\\
			&= \frac{\frac{g(a)-g(x)}{g(a)g(x)}}{x-a}\\
			&= -\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \times \frac{1}{g(a)g(x)}
		\end{align*}
		
	\end{preuve}
	
	\begin{corollaire}{ - Dérivation d'un quotient.}
		
		Soient:
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f$ et $g$ des fonctions définies sur $E\subset \mathbb{R}$.
		\end{enumerate}
		
		\medskip
		Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $E$ et que $g$ ne s'annule pas sur $E$ alors $\frac{f}{g}$ est dérivable sur $E$ et \[ \left( \frac{f}{g} \right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2} .\]
		
	\end{corollaire}
	
	\begin{preuve}{}
		
		Découle des deux précédentes propositions appliquées à $f$ et $\frac{1}{g}$.
		
	\end{preuve}
	
	\begin{proposition}{}
		
		La fonction tangente est dérivable sur $\left] -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[$ et \[ \tan'= 1+\tan^2= \frac{1}{\cos^2}. \]
		
	\end{proposition}
	
	\begin{exercice}{}
		
		Étudier la dérivabilité de la fonction cotangente définie par $\mathrm{cotan}=\dfrac{\cos}{\sin}$ sur $]0,\pi[$.
		
	\end{exercice}
	
\begin{exercice}{}
	
	
\end{exercice}

	\subsubsection{Fonctions composées.}
	
	\begin{proposition}{}
		
		Soient:
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $E \subset \mathbb{R}$,
			\item $F \subset \mathbb{R}$,
			\item $f:E \rightarrow F$ une application,
			\item $g: F \rightarrow \mathbb{R}$ une application,
			
			\item $a \in E$.
			
		\end{enumerate}
		
		Si $f$ est dérivable en $a$ et si $g$ est dérivable en $f(a)$ alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et \[ \color{purple} \left( g\circ f \right)'(a)=\left( g'\circ f(a) \right) \times f'(a). \]
		
	\end{proposition}
	
	\begin{preuve}{}
		
		{\color{orange}La notion de développement limité n'ayant pas encore été vue cette démonstration semblera très déroutante puisqu'elle y fait appel.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\tau_f(a,a+h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
				\intertext{donc}
				f(a+h) &= f(a) + \tau_{f}(a,a+h)h\\
				&= f(a) + f'(a)h +\left( \tau_{f}(a,a+h)-f'(a)\right)h\\
				\intertext{En notant $\varepsilon_1(h)=\tau_{f}(a,a+h)-f'(a)$}
				f(a+h) &= f(a) + f'(a)h +\varepsilon_1(h)h\\
				\intertext{où $\varepsilon_1(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}0$.}
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\intertext{D'une part:}
				f(a+h) &= f(a) +f'(a)h + h\varepsilon_1(h)\\
				\intertext{d'autre part:}
				g\left( f(a)+k \right) &= g\left( f(a) \right) + g'\left( f(a) \right)k +k\varepsilon_2(k)\\
				\intertext{donc:}
				g\circ f(a+h) &= g\left( f(a+h) \right)\\
				&= g\left(  f(a) +f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right)\\
				\intertext{puis comme $f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}0$:}
				g\circ f(a+h) &= g\left( f(a) \right) + g'\left( f(a) \right) \left[ f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right] \\
				&\qquad +\left[f'(a)h + h\varepsilon_1(h)  \right] \varepsilon_2\left[ f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right] \\
				\intertext{Notons $\varepsilon(h)= g'\left( f(a) \right) h\varepsilon_1(h) +\left[f'(a)h + h\varepsilon_1(h)  \right] \varepsilon_2\left[ f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right]$}
				g\circ f(a+h) &=g\left( f(a) \right)+hf'(a)g'(f(a))+h \varepsilon(h)
			\end{align*}
			
			comme $\varepsilon(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}0$ \[ \frac{g\left( f(a+h) \right) - g\left( f(a) \right)}{h} \underset{h \to 0}{\longrightarrow} f'(a)g'\left( f(a) \right).\]
			
		\end{enumerate}
		
	\end{preuve}
	
	\begin{exemples}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Dérivabilité de $\cos$ à partir de celle de $\sin$ grâce à la formule $\cos(x)= \sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Replacer  proposition après $\ln$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{proposition}{}
		
		
		La fonction $f_{\alpha}:x \mapsto x^a$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ \[ f_{\alpha}'(x)= \alpha x^{\alpha-1}.\]
		
	\end{proposition}
	
	\begin{corollaire}{}
		
		Soient:
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$.
			
			\item $f_n:x \mapsto \sqrt[n]{x}$ définie sur $\mathbb{R}_+$ si $n$ est pair est $\mathbb{R}$ sinon.
		\end{enumerate}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Si $n$ est pair alors $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
			\item Si $n$ est impair alors $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}*$.
			
		\end{enumerate}
		
		\medskip
		Pour tout réel $x$ du domaine de dérivabilité de $f_n$ \[ f_n'(x)= \frac{1}{n \sqrt[n]{x}^{n-1}}.\]
		
	\end{corollaire}
	
	\begin{preuve}{}
		
		\begin{notabene}
			
			Peut-être rajouter l'étude de la non dérivabilité en $0$.
			
		\end{notabene}
		
		On distingue les deux cas suivant la parité de $n$.
		
		Lorsque $n$ est impair on utilise l'imparité de la fonction pour compléter l'étude du cas $\mathbb{R}_+$.
		
	\end{preuve}
	
	\begin{exemples}
		
		\begin{enumerate}
			\item Si $n=2$
			
			\item Si $n=3$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exemples}

\subsection{Exercices.}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		65 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ g(x)=2x^3-3x^2-1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $g$.
		
		\item Montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$. Donnez un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près.
		
		\item Déterminez le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par: \[ f(x)= \frac{1-x}{x^3+1}. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $f'(x)$ puis exprimez $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
			
			\item Déduisez-en le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur $]-1,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 exercice 1.5
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par: $f(x)=2x^3-\frac{5}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\item 
		Déterminez le nombre de solutions dans $\mathbb{R}_+$ de l'équation $f(x)=2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		
		Bordas indice 2020
		
		66 page 216
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^4+3x^2-5x+1. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
		
		\item Déterminez le signe de $f''(x)$ puis dressez le tableau de variation de $f'$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que l'équation $f'(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ donc on donnera en encadrement à $0,1$ près.
			
			\item Déduisez-en le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$
			
			\item Dressez le tableau de variation de $f$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 exercice 1.6
		
	\end{notabene}
	
	On veut résoudre dans $[0,\pi]$ l'équation: $3x-2\cos(x)-2=0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par: $f(x)=3x-2 \cos(x)-2$. Étudiez les variations de $f$.
		
		\item Démontrez que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0,\pi]$. Donner à la calculatrice un encadrement à $0,1$ près de $\alpha$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}