%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{45 Nombres complexes.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{45 Nombres complexes.}

\subsection{Généralités.}
	
\subsubsection{Historique.}

D'abord introduit par Cardan comme une astuce de calcul, les racines carrées de nombres négatifs furent appelés des nombres imaginaires.

Il furent utilisés pour résoudre des équations.

Argan trouva leur application à la géométrie. Ils occupèrent dès lors une place de plus en plus importante.

Il furent ensuite appelés nombres complexes par Gauss.

Euler introduisit la notation $i=\sqrt{-1}$.

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{-25}$.%Calculs avec des racines carrées négatives.
		\item $\sqrt{-3}$.
		\item $\sqrt{49}+\sqrt{-4}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

Les précédents calculs reposent sur un objet qui n'existe pas à savoir le nombre $i$. Donnons un sens à ce nombre en construisant l'ensemble de tous les nombres que nous pourrons construire grâce à lui.

\subsubsection{Construction de $\mathbb{C}$ à partir de $\mathbb{R}$.}

La construction de l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ se fait à partir de $\mathbb{R}^2$: on additionne des couples de nombres réels et on les multiplie par des nombres réels mais on introduit une multiplication qui n'est pas la multiplication matricielle.

On définit l'opération:

\begin{align*}
	(x,y)\times (x',y') &= (xx'-yy',xy'+yx')
\end{align*}

Interprétation du couple $(x,y)$: $x$ est un nombre au sens habituel que nous appellerons la partie réelle du nombre complexe et $y$ est un nombre réel que nous appellerons la partie imaginaire du nombre complexe. Enfin nous écrirons ${\color{purple}x+iy}:=(x,y)$. Cette écriture est appelée \emph{\color{purple}écriture algébrique} du nombre complexe.

On remarque en particulier avec cette opération que $(0,1) \times (0,1)= (1,0)$ s'interprète comme $i \times i=-1$ (\emph{i.e.} $i^2=-1$).

\subsection{Forme algébrique.}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez l'écriture algébrique du nombre complexe $z$ en précisant sa partie réelle, $\color{purple}\mathrm{Re}(z)$, et sa partie imaginaire $\color{purple}\mathrm{Im}(z)$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $z=3+4+7i-5+11i-i$.
		\task $z=-4(5-7i)$.
		\task $z=i(2+3i)$.
		\task $z=(-5+2i)(1-4i)$.
		\task $z=(-1-3i)^2$.
		\task $z=(1+i)^3$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	L'interprétation géométrique des nombres complexes découle naturellement de construction de $\mathbb{C}$ précédente.
	
	Au nombre complexe $z=x+iy$ on associe le couple $(x,y)$. On peut donc représenter $z$ par le point $M(x,y)$ ou par le vecteur $\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
	
	Réciproquement le nombre complexe que l'on peut associer à un point (respectivement à un vecteur) dans un repère orthonormé est appelé \emph{\color{purple}l'affixe} du point (respectivement du vecteur).
	
\end{lecon}

\subsection{Nombre conjugué.}
\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}nombre conjugué} du nombre complexe $z=x+iy$ le nombre complexe $\color{purple} \overline{z}=x-iy$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item D'un point de vue géométrique un nombre complexe et son conjugué sont les affixes de points symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item %Exemles de nombres et leur conjugués
		
		\item %Conjugué d'un produit et produit des conjugués vérifier que c'est la meême chose.
		
		\item Produit d'un nombre et de son conjugué.%Remarquer que c'est toujours un nombre réel.
		
		\item Le nombre conjugué permet de trouver l'écriture algébrique de l'inverse d'un nombre complexe.
		
		Ainsi pour $z=2+3i$, $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=$
		
		\item Plus généralement le nombre conjugué permet de trouver l'écriture algébrique d'un quotient de nombres complexes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{ - Propriétés de la conjugaison.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overline{\alpha z}=\alpha \overline{z}$.
		\item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
		\item $\overline{z \times z'}=\overline{z} \times \overline{z'}$.
		\item $\forall n \in \mathbb{N},\ \overline{z^n}= \overline{z}^n$.
		\item Si $z'\ne 0$ alors $\overline{\frac{z}{z'}}= \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$.
		\item $z+\overline{z}=2 \mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$.
		\item $z-\overline{z}=2i \mathrm{Im}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.
		\item $z \times \overline{z}=\mathrm{Re}(z)^2+ \mathrm{Im}(z)^2$
		\item $\overline{ \overline{z}}=z$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi la conjugaison est une application linéaire de $\mathbb{R}^2$ dans  $\mathbb{R}^2$.
		
		\item $\overline{\overline{z}}=z$ signifie que l'application de conjugaison est une involution de $\mathbb{C}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	% Inverse et quotients.
	
	Donnez l'écriture algébrique des nombres suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $z=\overline{-5+8i}$.
		\task $z=\dfrac{1}{8-6i}$.
		\task $z=\dfrac{4+2i}{2-3i}$.
		\task $z= \overline{(2-7i)(3+2i)}$.
		\task $z=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right)\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez les équations d'inconnues $z$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $(1-2i)z=3+i$.
		\task $2z-1=-2iz+3i$.
		\task $2z^2+z+1=0$.
		\task $z^2-3z-4=0$.
		\task $z^2-2z+10=0$.
		\task $5z^2-4z+1=0$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Écrivez le conjugué de $Z$ en fonction du conjugué de $z$.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $Z=3+4iz$.
		\task $Z=\dfrac{3+iz}{2-z}$.
		\task $Z=(3-iz)(2+z)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ des réels. On note $Z=2z-i\overline{z}+3$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez en fonction de $x$ et de $y$ les parties réelle et imaginaires de $Z$.
		\item Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z=0$ d'inconnue $z=0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Module.}

\begin{notabene}
	
	Introduire les coordonnées polaires pour introduire l'écriture trigonométrique puis le module comme la distance.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}module} du nombre complexe $z=x+iy$ (avec $x$ et $y$ réels) le nombre réel positif: \[ \color{purple}|z|=\sqrt{x^2+y^2}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $|-1+3i|=\sqrt{(-1)^2+3^2}$.
		
		\item $|4|=4$ et $|-4|=4$ et $|4i|=4$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le module d'un nombre complexe est un nombre réel positif.
		
		\item Pour les nombres réels module et valeur absolue se confondent.
		
		\item Si $M$ est un point d'affixe $z$ alors $|z|=OM$ où $O$ est l'origine du plan complexe. Le module, comme la valeur absolue, s'interprètent comme une distance.
		
		Pour des points $A(z_A)$ et $B(z_B)$, $|z_A-z_B|=d(A,B)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $z, z' \in \mathbb{C}$, $A$ et $B$ des points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $AB=|z_B-z_A|$.
		\item $|z|^2=z\times \overline{z}$.
		\item $|z \times z'|=|z \times z'|$.
		\item $\forall n \in\mathbb{N},\ \left|z^n \right|=|z|^n$.
		\item $|\overline{z}|=|z|$.
		\item $\left|\dfrac{z}{z'} \right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$.
		\item $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsection{Forme trigonométrique.}

\begin{notabene}
	
	Accompagner la définition ci-dessous d'un schéma.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soit $M(z)$ un point du plan complexe avec $z\ne 0$.
	
	\medskip
	Si $(r,\theta)$ sont des coordonnées polaires de $M$ alors $z=r\left( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \right)$.
	
	Cette écriture de $z$ est appelée \emph{\color{purple}la forme trigonométrique de} $z$ et le nombre $\theta$ est appelé \emph{\color{purple}un argument de} $z$ et on note $\theta=\mathrm{arg}(z)$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $r=|z|$.
		
		\item Il est possible de trouver un argument, $\theta$, d'un nombre complexe $z$ à partir de son expression algébrique $x+iy$ car 
		
		$\cos(\theta)= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\sin(\theta)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
		
		\item Il est donc toujours possible de trouver la forme trigonométrique d'un nombre complexe.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $z=1+i$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 200 page 140 exo 65
		
	\end{notabene}
	
	Donnez la forme trigonométrique de $z$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $z=2-2i\sqrt{3}$.
		\task $\displaystyle z=-\frac{1}{4}+ i \frac{\sqrt{3}}{4}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 200 page 140 exo 67
		
	\end{notabene}
	
	On considère les nombres complexes $z=\dfrac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $z'=1-i$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la forme algébrique de $\dfrac{z}{z'}$.
		
		\item Donnez une forme trigonométrique de $\dfrac{z}{z'}$.
		
		\item Déduisez-en que: $\cos \left( \frac{\pi}{12} \right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{2}$ et $\sin\left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{proposition}
	
	Si $\left( O;\vec{i}, \vec{j} \right)$ est un repère orthonormé du plan d'Argan-Cauchy alors
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item pour $A \ne B$, $\left( \vec{i}, \overrightarrow{AB} \right) =\mathrm{arg}(z_B-z_A)$.
		
		\item pour $A\ne B$ et $C \ne D$, $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)= \mathrm{arg}\left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{proposition}

\subsection{Forme exponentielle.}

\begin{notabene}
	
	Si exponentielle complexe est introduite comme une notation il faut justifier que la notation est cohérente avec les formules algébriques d'exponentielles et donc il faut connaître les formules d'additions qui, dans cette leçon, découlent des formules d'Euler.
	
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	En admettant que l'écriture $\mathrm{e}^{i\theta}=\cos(\theta) + i \sin(\theta)$ a un sens, pour tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$, on appelle \emph{\color{purple}forme exponentielle de $z$} l'écriture $z=r\mathrm{e}^{i\theta}$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathrm{e}^{i0}=$.
		\item $\mathrm{e}^{i\pi}=$.
		\item $\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}}$.
		\item $\mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{2}}$.
		\item $z=\sqrt{3} -i$.%$2$ et $-\frac{\pi}{6}$
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ll est toujours possible de trouver une telle écriture au même titre que la forme trigonométrique.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overline{\mathrm{e}^{i\theta}}=\mathrm{e}^{-i\theta}$.
		
		\item $\left| \mathrm{e}^{i\theta} \right|=1$.
		
		\item $\mathrm{e}^{i\theta} \times \mathrm{e}^{i\theta'}= \mathrm{e}^{i(\theta+\theta')}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item %Utilisation des formes trigonométriques trouvées dans un précédent exercices: quelle écriture est la plus sympathique pour calculer le produit?
		
		Dans l'exercice 6 nous avons obtenu: $z=2-2\sqrt{3}i=4\left( \cos\left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right)$ et $z'=-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) \right)$.
		
		$z \times z'=$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Formule de Moivre.}

\begin{proposition}
	
	\[ \left( \mathrm{e}^{i\theta} \right)^n= \mathrm{e}^{in\theta} \quad \text{et} \quad \left( \cos(\theta)+i\sin(\theta) \right)^n= \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).\]
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$ et $\cos^{3}(x)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Exprimez $\sin(3\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$.
	
\end{exercice}

\subsection{Formules d'Euler.}

\begin{proposition}
	
	\[ \cos(\theta) =\frac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) =\frac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}.\]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item C'est formules permettent de linéariser les expressions trigonométriques. Une expression trigonométrique est dit linéarisée lorsqu'elle s'exprime comme somme de termes de la forme $a\cos(ux)$ ou $b\sin(vx)$ avec $a$, $b$, $u$ et $v$ des réels.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Linéarisation de $\cos^{2}(x)$.
		\item Linéarisation de $\cos^{3}(x)= \frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{4}\cos(x)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Linéarisez $\sin^{3}(x)$.
	
\end{exercice}

\subsection{Racine $n$-ième d'un nombre complexe.}

\begin{definition}
	
	Soient $Z$ un nombre complexe et $n$ un entier naturel non nul.
	
	On appelle \emph{\color{purple}racine $n$-ième de} Z tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=Z$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous ne pouvons pas dire la racine $n$-ième  mais bien une racine $n$-ième.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $n$ un entier naturel non nul et  $Z$ un nombre complexe dont un argument est $\theta$.
	
	L'ensemble des racines $n$-ième de $Z$ est l'ensemble des nombres complexes $\sqrt[n]{|Z|} \mathrm{e}^{i \left( \frac{\theta}{n}+ \frac{2k\pi}{n} \right)}$ avec $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$.
	
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	%À TITRE D'EXERCICE D'APRÈS LE PROGRAMME pour $Z=1$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Racines carrées de $Z=1+i\sqrt{3}$.
		
		\item Racines $n$-ième de $1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Formules d'addition de $\cos$, $\sin$ et $\tan$.}

\begin{proposition}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\displaystyle \cos (a+b)=\cos(a) \cos(b)-\sin(a)\sin(b)$.
		\item $\displaystyle \sin(a+b)=\sin(a) \cos(b)+\cos(a) \sin(b)$.
		\item $\displaystyle \tan(a+b)= \frac{\tan(a)+ \tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Découle des formules d'Euler.
	
\end{preuve}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez la forme exponentielle de $z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $\theta \in ]0,\pi[$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $\sum{k=0}^{n-1} \mathrm{e}^{ik\theta}$.
		
		\item Déduisez-en $\sum_{k=0}^{n-1} \cos(k\theta)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que $z$ est une racine $n$-ième de l'unité alors $\sum_{k=0}^{n-1} z^k=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=4\sqrt{2} (-1+i)$.
	
\end{exercice}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

Le \emph{\color{purple}module} du nombre complexe $z=(x,y)$, noté $|z|$, s'interprète alors comme la distance euclidienne entre les points de coordonnées $(x,y)$ et $(0,0)$: \[ |z|= \sqrt{x^2+y^2}. \]

\subsubsection{Interprétation géométrique.}

Par construction $x+iy$ s'interprète comme le point du plan de coordonnées $(x,y)$.

\medskip
En fait, si $O$ est l'origine du repère et $M(x,y)$, $x+iy$ peut aussi bien s'interpréter comme les coordonnées de $M$ que comme les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$. $z_{\overrightarrow{OM}}=z_M=x+iy$ est alors appelé l'affixe de $z$.

\medskip
Notre construction utilise un système de coordonnées cartésiennes, mais en utilisant un système de coordonnées polaires, si $M(x,y)$ a pour coordonnées polaires $(\rho ,\theta)$ alors $x+iy= \rho \cos (\theta) +i \rho \sin( \theta)$. Dans ce cas $\rho=|z|$ et $\theta$ est appelé un argument de $z$. On a: $\cos( \theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\sin( \theta)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angle{50}
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (1,0);
			\coordinate (J) at (0,1);
			\coordinate (M) at ({cos(\angle)},{sin(\angle)});
			\coordinate (H) at ({cos(\angle)},0);
			\coordinate (K) at (0,{sin(\angle)});
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (I)node[below right]{$1$};
			\draw (J)node[above left]{$1$};
			\draw (M)node[above]{$M$};
			\draw (M)node{$\bullet$};
			\draw[black](O)--(M);
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[blue][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[orange,thick,->][samples=100,domain=0:{\angle}] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[orange] ({cos(0.5*\angle)},{sin(0.5*\angle)}) node[right]{$\theta$};
			\draw[black,dashed](H)--(M);
			\draw[black,dashed](K)--(M);
			\draw[red,very thick](O)--(K);
			\draw[blue,very thick](O)--(H) node[midway,below]{$\cos(\theta)$};
			\draw[red,very thick](O)--(K) node[midway,left]{$\sin(\theta)$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\cos \theta$ est donc l'abscisse de $M$ tandis que $\sin \theta$ est son ordonnée.
		
		\medskip
		D'après le théorème de Pythagore \[ \color{purple} \cos^2 (\theta) + \sin^2 ( \theta) = 1 \]
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\medskip
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points du plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j)$.

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		$\displaystyle z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ & $\displaystyle AB=|z_B-z_A|$ 
		\\
		$\displaystyle \left( \vec i, \overrightarrow{AB} \right) =\mathrm{arg}(z_B-z_A)$ & $\displaystyle \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right) =\mathrm{arg}\left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)$
		\\
	\end{tabularx}
\end{center}

\subsubsection{Formule d'Euler.}

En usant d'autres moyens de définir ou calculer les fonctions exponentielles, cosinus et sinus il est possible d'établir la formule d'Euler \[ \cos(\theta) +i \sin(\theta)= \mathrm{e}^{i\theta}. \]

Ce qui équivaut aux \emph{\color{purple}formules d'Euler}
\begin{align*}
	\cos(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{i\theta} +\mathrm{e}^{-i\theta}}{2}\\
	\sin(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{i\theta} -\mathrm{e}^{-i\theta}}{2}\\
\end{align*}

\begin{correction}
	
	Ce sont ces formules d'Euler qui définissent actuellement les fonctions sinus et cosinus.
	
\end{correction}

Nous en déduisons aisément la \emph{\color{purple}formule de Moivre}. \[ \left( \cos(\theta) +i \sin(\theta) \right)^n = \cos(n\theta) +i \sin(n\theta). \]

\begin{exercice}{}
	
	Soit $n$ un entier naturel non nul. Calculez lorsque $x$ est un nombre réel, $S_1+iS_2$ où \[ S_1= \sum_{k=0}^n \cos(kx) \quad \text{et} \quad S_2 =\sum_{k=0}^n \sin(kx) . \]
	
	Déduisez-en:
	
	\[ S_1= \cos \left( \frac{nx}{2} \right) \frac{ \sin \left( \frac{x(n+1)}{2}\right) } { \sin \left( \frac{x}{2} \right)} \] et \[ S_2= \sin \left( \frac{nx}{2} \right) \frac{ \sin \left( \frac{x(n+1)}{2}\right) } { \sin \left( \frac{x}{2} \right)} \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		S_1+iS_2 &=  \sum_{k=0}^n \cos(kx) +i\sum_{k=0}^n \sin(kx)\\
		&= \cos(0 \times x)+ \cos(1 \times x)+ \dots + \cos(nx) + i \left[ \sin(0 \times x) + \sin(1 \times x) + \dots + \sin(n x) \right]\\
		&= \cos(0 \times x)+ \cos(1 \times x)+ \dots + \cos(nx) + i \sin(0 \times x) + i\sin(1 \times x) + \dots + i\sin(n x) \\
		&= \cos(0 \times x)+i \sin(0 \times x) + \cos(1 \times x)+i \sin(1 \times x)+ \dots + \cos(n \times x)+i \sin(n \times x)\\
		&= \sum_{k=0}^n \cos(kx) +i \sin(kx)\\
		&= \sum_{k=0}^n \mathrm{e}^{ikx}\\
		&= \sum_{k=0}^n \left( \mathrm{e}^{ix} \right)^k\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{i(n+1)x}-1}{\mathrm{e}^{ix}-1}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{\frac{i(n+1)x}{2}} \left[ \mathrm{e}^{\frac{i(n+1)x}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{i(n+1)x}{2}}\right] }{ \mathrm{e}^{\frac{ix}{2}} \left[ \mathrm{e}^{\frac{ix}{2}}-\mathrm{e}^{-\frac{ix}{2}} \right] }\\
		&= \mathrm{e}^{\frac{i(n+1)x}{2}-\frac{ix}{2}} \frac{\left[ 2i \sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) \right] }{ \left[ 2i \sin \left( \frac{x}{2} \right) \right] }\\
		&= \mathrm{e}^{\frac{inx}{2}} \frac{\left[ 2i \sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) \right] }{ \left[ 2i \sin \left( \frac{x}{2} \right) \right] }\\
		&=  \frac{ \sin \left( \frac{(n+1)x}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{x}{2} \right) } \left[ \cos \left( \frac{nx}{2} \right) + i \cos \left( \frac{nx}{2} \right) \right]\\
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Valeurs remarquables.}

\begin{center}
	
	\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|c|c|c|}
		\hline
		$\theta$ en degrés & $0$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$
		\\
		\hline
		$\theta$ en radians & $0$ & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$
		\\
		\hline
		$\sin (\theta)$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$
		\\
		\hline
		$\cos(x)$ & $1$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{center}

\subsubsection{Formulaire de trigonométrie.}

En raisonnant sur le cercle trigonométrique nous retrouvons aisément les formules suivantes.

\medskip
\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Périodicité.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angleblue{50}
			\def\anglered{50+360}
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (1,0)node[below left]{$1$};
			\draw (0,1)node[below left]{$1$};
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
			\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
			\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
			\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\theta +2\pi$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos( \theta +2\pi) &= \cos( \theta)\\
			\sin( \theta +2\pi) &= \sin( \theta)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	\\
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Parité.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angleblue{50}
			\def\anglered{-50}
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (1,0)node[below left]{$1$};
			\draw (0,1)node[below left]{$1$};
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
			\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
			\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
			\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
			\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[below
			right]{$ -\theta $};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos(-x) &= \cos(x)\\
			\sin(-x) &= -\sin(x)
		\end{aligned}$		
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\medskip
\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Demi-tour.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angleblue{50}
			\def\anglered{50+180}
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (1,0)node[below left]{$1$};
			\draw (0,1)node[below left]{$1$};
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
			\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
			\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
			\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
			\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[below left]{$\theta +\pi$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos(x+\pi) &= -\cos(x)\\
			\sin(\pi+x) &= -\sin(x)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
	
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Supplémentaire.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angleblue{50}
			\def\anglered{180-50}
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (1,0)node[below left]{$1$};
			\draw (0,1)node[below left]{$1$};
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
			\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below left]{$\theta$};
			\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
			\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
			\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\pi-\theta$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos(\pi-x) &= -\cos(x)\\
			\sin(\pi-x) &= \sin(x)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Quart de tour.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angleblue{50}
			\def\anglered{90+50}
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (1,0)node[below left]{$1$};
			\draw (0,1)node[below left]{$1$};
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
			\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
			\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
			\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
			\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\frac{\pi}{2}+\theta$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) &= -\sin(\theta)\\
			\sin \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) &= \cos (\theta)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		Complémentaire.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
			\def\angleblue{20}
			\def\anglered{90-20}
			\draw (O)node[below left]{$O$};
			\draw (1,0)node[below left]{$1$};
			\draw (0,1)node[below left]{$1$};
			\draw[ ->] (-1.25, 0) -- (1.5, 0);
			\draw[->] (0,-1.25 ) -- (0, 1.5);
			\draw[black][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x)});
			\draw[blue,thick,->][samples=100,domain=0:{\angleblue}] plot({0.9*cos(\x)},{0.9*sin(\x)});
			\draw[blue](O)--({1.2*cos(\angleblue)},{1.2*sin(\angleblue)});
			\draw[blue] ({cos(0.5*\angleblue)},{sin(0.5*\angleblue)}) node[below right]{$\theta$};
			\draw[red,thick,->][samples=100,domain=0:{\anglered}] plot({1.1*cos(\x)},{1.1*sin(\x)});
			\draw[red](O)--({1.2*cos(\anglered)},{1.2*sin(\anglered)});
			\draw[red] ({cos(0.5*\anglered)},{sin(0.5*\anglered)}) node[above right]{$\frac{\pi}{2}-\theta$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{minipage}
	
	&
	
	\begin{minipage}{\linewidth}
		
		$\begin{aligned}
			\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \sin(\theta)\\
			\sin \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) &= \cos (\theta)
		\end{aligned}$
		
	\end{minipage}
	
	\\
\end{tabularx}


\emph{\color{purple}Formules d'addition}.

\begin{align*}
	\cos(a+b) &= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b)\\
	\sin (a+b) &= \sin(a) \cos(b) + \cos(b) \sin(b)
\end{align*}	

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$ en utilisant la formule d'addition.
		
		\item De $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ déduisez les valeurs de sinus et de cosinus $\frac{\pi}{12}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}$ et $\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) +\sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right)=1$.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\medskip
\emph{\color{purple}Formules de linéarisation}.

\begin{align*}
	\cos ^2 (x) &= \frac{1+\cos (2x)}{2}\\
	\sin^2 (x) &= \frac{1-\cos (2x) } {2}\\
	\cos (x) \sin(x) &= \frac{1}{2} \sin (2x)
\end{align*}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez sans calcul le maximum sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto \sin (x) \cos(x)$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Résolution d'équations trigonométriques.}

\begin{align*}
	\cos(a) = \cos(b) &\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z},\ a= \pm b+2k\pi\\
	\sin(a) = \sin(b) &\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} \exists k\in \mathbb{Z},\ a=b+2k\pi \\ \text{ou}\\ \exists k\in \mathbb{Z},\ a=\pi-b+2k\pi \end{array} \right. 
\end{align*}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		chevel affinité exo 259 page 283
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations 
	
	\begin{enumerate}
		\item $\cos (2 \theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
		\item $1+2\sin (3 \theta)=0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( O,\vec i, \vec j \right)$. Déterminez les entiers $n$ pour lesquels le point $M$ d'affixe $\left( \sqrt{6}-i\sqrt{2} \right)^n$ appartient à l'axe $\left( O , \vec u \right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$=2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{6}}$ et donc $n \in 6\mathbb{Z}$.
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Formulaire sur les nombres complexes.}

En utilisant la construction axiomatique de $\mathbb{C}$ il est possible d'établir les résultats suivants.

Soit $z=x+iy=|z|\cos(\theta) + i |z| \sin( \theta)=|z| \mathrm{e}^{i\theta}$.

\begin{itemize}
	\item $x+iy$ est appelé la forme algébrique,
	\item $|z|\cos (\theta)+i|z| \sin( \theta)$ est appelé la forme trigonométrique,
	\item $|z|\mathrm{e}^{i\theta}$ est appelé la forme exponentielle.
\end{itemize}

Les résultats sur les arguments se retrouvent aisément en utilisant la forme exponentielle.

\begin{align*}		
	\displaystyle z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)& & \displaystyle z-\overline{z}=2i \mathrm{Im}(z) \\
	\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2} & & \displaystyle |z|^2=z\overline{z} \\
	\displaystyle |\overline{z}|=|z| & & \displaystyle \mathrm{arg}(\overline{z})=-\mathrm{arg}(z) \mod{2\pi} \\
	\displaystyle |zz'|=|z|\cdot |z'| & & \displaystyle \mathrm{arg}(zz')= \mathrm{arg}(z)+\mathrm{arg}(z') \mod{2\pi} \\
	\displaystyle |z^n|=|z|^n,\ (n\in\mathbb{N}) & & \displaystyle \mathrm{arg}(z^n)=n\mathrm{arg}(z) \mod{2\pi}\ (n\in\mathbb{N})	\\
	\left| \frac{z}{z'} \right| =\frac{|z|}{|z'|} & &  \mathrm{arg}\left( \frac{z}{z'} \right) =\mathrm{arg}(z) -\mathrm{arg}(z') \mod{2\pi}
\end{align*}

\begin{notabene}
	
	Pour les formules sur les arguments il vaut mieux être capable de les retrouver.
	
\end{notabene}

\subsection{Racines carrées d'un nombre complexe.}

\begin{exercice}{}
	
	Nous souhaitons déterminer les racines carrées complexes de $1+3i$.
	
	On suppose que $z=x+iy$ est une racine carrée complexe de $1+3i$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $x^2+y^2$.
		\item De $(x+iy)^2=1+3i$ déduisez $x^2-y^2$ et  $2xy$.
		\item Déduisez des questions précédentes les solutions du problème.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			x^2+y^2 &= |z|^2\\
			&= |z^2|\\
			&= |1+3i|\\
			&= \sqrt{1^2+3^2}\\
			&= \sqrt{10}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(x+iy)^2 &= 1+3i\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			x^2+2 \times x \times iy +(iy)^2 &= 1+3i\\
			x^2-y^2 + i2xy &= 1+3i\\
		\end{align*}
		
		En identifiant les parties réelles et imaginaires:
		\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2 =1 \\ 2xy=3 \end{array} \right. \]
		
		\item 
		Nous avons établi dans les questions précédentes trois équations: \[ \left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2=\sqrt{10} & (E_1)\\ x^2-y^2 = 1 & (E_2) \\ xy =\frac{3}{2} & (E_3) \end{array} \right. \]
		
		En sommant les deux premières, $(E_1)+(E_2)$, membres à membres nous obtenons \[ x^2= \frac{1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		En soustrayant les deux premières équations, $(E_1)-(E_2)$, nous obtenons \[ y^2 = \frac{-1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		Ce qui nous donne quatre combinaisons possibles de signes pour le couple $(x,y)$. Cependant nous savons, grâce à $(E_3)$, que $x$ et $y$ sont du même signe, leur produit étant positif.
		
		Il n'y a donc que deux couples possibles pour $(x,y)$: \[ \left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  , \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \quad \text{et} \quad \left( -\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} , -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \]
		
		\medskip 
		Nous vérifions que les couples trouvés correspondent bien à des racines de $1+3i$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les racines carrées de $1+3i$ sont $\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$ et son opposé $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  -i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation \[ z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}=0 \]
	
	\begin{notabene}
		
		Indice: faites apparaître la forme canonique.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		&z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
		&= z^2+ 2 \times z \times \frac{1}{2}(3+i) + \frac{1}{2^2}(3+i)^2 -\frac{1}{2^2}(3+i)^2 + \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
		&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 -2-i\frac{3}{2}+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
		&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4}\\
	\end{align*}
	
	Donc:
	
	\begin{align*}
		z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}&=0 \\
		\intertext{équivaut successivement à}
		\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4} &= 0\\
		\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 &= \frac{1}{4}+i\frac{3}{4}\\
		z+ \frac{1}{2}(3+i) &= \frac{1}{2} \sqrt{1+i3}
	\end{align*}
	
	où $\frac{1}{2} \sqrt{1+i3}$ désigne l'une des racines carrées de $1+i3$.
	
	D'après l'exercice précédent:
	
	\begin{align*}
		z &= \pm\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) -\frac{1}{2}(3+i) \\
	\end{align*}
	
	Les racines du trinôme sont donc: \[ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \] et \[ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \]
	
\end{exercicecorrection}


\subsection{Des sous-ensembles remarquables.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une partie $G$ de $\mathbb{C}$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}$, en notant$*$ l'opération $+$ ou $\times$, si:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $G$ est non vide,
		\item il existe un élément neutre $e\in G$ tel que: $\forall x \in G,\ x*e=x$,
		\item $G$ est stable par la loi $*$: $\forall x,y\in G,\ x*y \in G$,
		\item les éléments de $G$ sont inversibles: quelques soit le nombre $x \in G$ il est possible de trouver un nombre $y\in G$ tel que $x*y=e$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\medskip
Par exemple $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{C}^*, \times )$, $(\mathbb{R},+)$ sont des sous-groupes de $\mathbb{C}$.

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que les ensembles munis d'une loi suivants sont des groupes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \left\{ \mathrm{e}^{-i\frac{k}{n}2\pi} \ | \ 0 \leqslant k \leqslant n-1 \right\}, \times \right)$ pour $n \in \mathbb{N}$. \emph{Ensemble des racines $n$-ième de l'unité}.
		
		\item $\left( \mathbf{M}_n(\mathbb{R}, + \right)$. \emph{Ensemble des matrices carrées de taille $n\in\mathbb{N}$}.
		
		\item $\left( \mathbb{R}[X],+ \right)$. \emph{Ensemble des polynômes}.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Exercice de démonstration général sur les groupes: non commutativité, associativité.
	
\end{notabene}

\subsection{Nombres complexes et géométrie.}

\subsubsection{Distance, angles, vecteurs et points.}

\subsubsection{Lieux géométriques.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		hachette repère 2012 0ieme page 252 exercice résolu 3
		
	\end{notabene}
	
	On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$, $S$ et $T$ d'affixes respectives: $a=-2+4i$; $b=-4+2i$; $c=4+2i$; $d=-2+2i+6 \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{2}}$; $s=5 \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$ et $t=-2+2i$. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Placez les points et complétez la figure au fur et à mesure de l'exercice.
		
		\item Montrez que la droite $(ST)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
		
		\item On considère que les points $P$ et $Q$ milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[BD]$, déterminer $p$ et $q$ les affixes respectives des points $P$ et $Q$.
		
		\item Calculez la forme algébrique des complexes $\frac{t-p}{q-s}$ et $\frac{d-c}{b-a}$. Que peut-on en déduire?
		
		\item Que représente le point $T$ pour le triangle $PQS$? Le démontrer.
		
		\item Déterminez l'affixe du point $R$ tel que $ABSR$ soit un parallélogramme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Transformation du plan.}

\newpage
\section{Nombres complexes: exercices.}

\subsection{Généralités.}

\setcounter{Exercice}{1}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)$ en utilisant la formule d'addition.
		
		\item De $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ déduisez les valeurs de sinus et de cosinus $\frac{\pi}{12}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	Déterminez sans calcul le maximum sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto \sin (x) \cos(x)$.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		chevel affinité exo 259 page 283
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les équations 
	
	\begin{enumerate}
		\item $\cos (2 \theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
		\item $1+2\sin (3 \theta)=0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( O,\vec i, \vec j \right)$. Déterminez les entiers $n$ pour lesquels le point $M$ d'affixe $\left( \sqrt{6}-i\sqrt{2} \right)^n$ appartient à l'axe $\left( O , \vec u \right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$=2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{6}}$ et donc $n \in 6\mathbb{Z}$.
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	Nous souhaitons déterminer les racines carrées complexes de $1+3i$.
	
	On suppose que $z=x+iy$ est une racine carrée complexe de $1+3i$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $x^2+y^2$.
		\item De $(x+iy)^2=1+3i$ déduisez $x^2-y^2$ et  $2xy$.
		\item Déduisez des questions précédentes les solutions du problème.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			x^2+y^2 &= |z|^2\\
			&= |z^2|\\
			&= |1+3i|\\
			&= \sqrt{1^2+3^2}\\
			&= \sqrt{10}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			(x+iy)^2 &= 1+3i\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			x^2+2 \times x \times iy +(iy)^2 &= 1+3i\\
			x^2-y^2 + i2xy &= 1+3i\\
		\end{align*}
		
		En identifiant les parties réelles et imaginaires:
		\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2 =1 \\ 2xy=3 \end{array} \right. \]
		
		\item 
		Nous avons établi dans les questions précédentes trois équations: \[ \left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2=\sqrt{10} & (E_1)\\ x^2-y^2 = 1 & (E_2) \\ xy =\frac{3}{2} & (E_3) \end{array} \right. \]
		
		En sommant les deux premières, $(E_1)+(E_2)$, membres à membres nous obtenons \[ x^2= \frac{1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		En soustrayant les deux premières équations, $(E_1)-(E_2)$, nous obtenons \[ y^2 = \frac{-1+\sqrt{10}}{2} \]
		
		Ce qui nous donne quatre combinaisons possibles de signes pour le couple $(x,y)$. Cependant nous savons, grâce à $(E_3)$, que $x$ et $y$ sont du même signe, leur produit étant positif.
		
		Il n'y a donc que deux couples possibles pour $(x,y)$: \[ \left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  , \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \quad \text{et} \quad \left( -\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} , -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) \]
		
		\medskip 
		Nous vérifions que les couples trouvés correspondent bien à des racines de $1+3i$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les racines carrées de $1+3i$ sont $\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$ et son opposé $-\sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}}  -i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} }$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation \[ z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}=0 \]
	
	\begin{notabene}
		
		Indice: faites apparaître la forme canonique.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{align*}
		&z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
		&= z^2+ 2 \times z \times \frac{1}{2}(3+i) + \frac{1}{2^2}(3+i)^2 -\frac{1}{2^2}(3+i)^2 + \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
		&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 -2-i\frac{3}{2}+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}\\
		&= \left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4}\\
	\end{align*}
	
	Donc:
	
	\begin{align*}
		z^2+(3+i)z+ \frac{7}{4}+i\frac{3}{4}&=0 \\
		\intertext{équivaut successivement à}
		\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2-\frac{1}{4}-i\frac{3}{4} &= 0\\
		\left( z+ \frac{1}{2}(3+i) \right) ^2 &= \frac{1}{4}+i\frac{3}{4}\\
		z+ \frac{1}{2}(3+i) &= \frac{1}{2} \sqrt{1+i3}
	\end{align*}
	
	où $\frac{1}{2} \sqrt{1+i3}$ désigne l'une des racines carrées de $1+i3$.
	
	D'après l'exercice précédent:
	
	\begin{align*}
		z &= \pm\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} +i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } \right) -\frac{1}{2}(3+i) \\
	\end{align*}
	
	Les racines du trinôme sont donc: \[ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \] et \[ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\sqrt{10}}{2}} -\frac{3}{2} \right) +i \left(  -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{10}}{2} } -\frac{1}{2} \right) \]
	
\end{exercicecorrection}


\subsection{Des sous-ensembles remarquables.}

\begin{definition}
	
	Nous dirons qu'une partie $G$ de $\mathbb{C}$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}$, en notant$*$ l'opération $+$ ou $\times$, si:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $G$ est non vide,
		\item il existe un élément neutre $e\in G$ tel que: $\forall x \in G,\ x*e=x$,
		\item $G$ est stable par la loi $*$: $\forall x,y\in G,\ x*y \in G$,
		\item les éléments de $G$ sont inversibles: quelques soit le nombre $x \in G$ il est possible de trouver un nombre $y\in G$ tel que $x*y=e$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\medskip
Par exemple $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{C}^*, \times )$, $(\mathbb{R},+)$ sont des sous-groupes de $\mathbb{C}$.

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que les ensembles munis d'une loi suivants sont des groupes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \left\{ \mathrm{e}^{-i\frac{k}{n}2\pi} \ | \ 0 \leqslant k \leqslant n-1 \right\}, \times \right)$ pour $n \in \mathbb{N}$. \emph{Ensemble des racines $n$-ième de l'unité}.
		
		\item $\left( \mathbf{M}_n(\mathbb{R}, + \right)$. \emph{Ensemble des matrices carrées de taille $n\in\mathbb{N}$}.
		
		\item $\left( \mathbb{R}[X],+ \right)$. \emph{Ensemble des polynômes}.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}