%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{40 Comparaison de séries.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%#############################<##
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{40 Comparaison de séries.}

\subsection{Convergence et opérations.}

\subsubsection{Étude de la convergence pour une série positive.}

\begin{proposition}{ - Lemme fondamental.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Une série à termes positifs converge ou tend vers $+\infty$.
		
		\item Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Le résultat est une application directe du théorème de la limite monotone appliqué à la suite des sommes partielles de la série.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Opérations sur les séries.}

\begin{lecon}
	
	Il existe bien entendu des produits sur les séries. Cependant leur définition est complexe et nous laisserons donc le produit de côté il nous reste la somme et la multiplication par un réel (donc les combinaisons linéaires.
	
	\medskip
	Nous noterons $\alpha \sum u_n + \sum v_n$ la série $\sum \alpha u_n + v_n$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Somme de série et nature.}
	
	Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont convergentes alors $\sum \alpha u_n + v_n$ converge.
	
	S'il y a convergence alors: \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha u_n + v_n =\alpha \sum_{n=0}^{+\infty}  u_n + \sum_{n=0}^{+\infty}  v_n. \]
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\sum \frac{x^n}{n!}+\frac{1}{n^{\alpha}}$, avec $x \in \mathbb{R}$ et $\alpha >1$, est convergente car c'est une combinaison linéaire de deux séries convergentes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit l'ensemble des séries convergentes est stable par combinaisons linéaires.
		
		\item Ce résultat reste valable même si les séries ne sont pas à termes positifs.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Une petite extension du résultat précédent mais surtout une façon de voir différemment les choses.
	
	\begin{notabene}
		
		On peut penser à la règle sur le signe quand on multiplie par un nombre positif
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	On ne change pas la nature d'une série en lui ajoutant une série convergente.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Si les deux suites sont convergentes nous retombons sur le résultat précédent.
	
	Si $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge alors nécessairement $\sum u_n+v_n$ diverge.
	
	Car la convergence de $\sum u_n+v_n$ entraînerait celle de $\sum v_n$ puisque $v_n=(v_n-u_n)+u_n$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\sum \frac{1}{n}+ \frac{1}{2^n}$ diverge.
		
		\item $\sum \frac{1}{n}+ \frac{1}{2^n}$ diverge et $\sum \frac{-1}{n}$ diverge et pourtant la série somme converge.
		
		\item $\sum \frac{1}{n}$ diverge et $\frac{2}{n}$ diverge donc la somme de deux séries divergente peut aussi diverger.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Résultats de comparaisons.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que: $\forall n\in \mathbb{N},\ 0\leqslant u_n \leqslant v_n$.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ converge. De plus: \[ 0\leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} v_n. \]
		
		\item Si $\sum u_n$ diverge alors $\sum v_n$ diverge.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_n=\frac{\sin^2(n)}{n^2}$. $0\leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n^2}$. Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (exemple de Riemann avec $\alpha=2$) donc $\sum u_n$ converge. De plus $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin^2(n)}{n^2} \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecg1 dunod appliquées 2021 page 544
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ une suite telle que: $\forall n\in \mathbb{N},\ (n+1)!u_n\leqslant 1$ et $\sum u_n$ converge.
	
	Montrez que $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \leqslant \mathrm{e}-1$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que la série de terme général $
	\displaystyle u_n=\frac{\ln(n!)}{n!}$ converge.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{\ln(n!)}{n!} \leqslant \frac{n\ln(n)}{n!}$ puis on applique la règle de d'Alembert.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont à termes strictement positifs,  $u_n = o(v_n)$ et $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ converge.
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous ne pouvons rien déduire quant à la somme des séries.
		
		\item Nous en déduisons: 
		si $u_n = o(v_n)$ et $\sum v_n$ converge absolument alors $\sum u_n$ converge absolument.
		
		\item Ainsi si une suite est négligeable devant une suite de référence dont la série converge alors sa série converge également.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecg1 dunod tout en un approfondies page 671
		
	\end{notabene}
	
	~
	
	Déterminez la nature de la série $\displaystyle \sum \mathrm{e}^{-n^2}$ en remarquant $\mathrm{e}^{-n^2} = o \left( \frac{1}{n^2} \right)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		mpsi mp2i dunod tout en un 2021 page 624
		
	\end{notabene}
	
	~
	
	Montrez que la série $\displaystyle \sum \frac{\ln (n)}{n2^n}$ est convergente.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{\ln(n)}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$ donc $\frac{\ln (n)}{n2^n} = o \left( \frac{1}{2^n} \right)$.
	
	Or $\sum \frac{1}{2^n}$ est positive et convergente donc il en est de même pour $\sum \frac{\ln (n)}{n2^n}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		mpsi mp2i dunod tout en un 2021 page 624
		
	\end{notabene}
	
	~
	
	Montrez que la série $\displaystyle \sum \frac{n\sqrt{n}}{2^n+\sqrt{n}}$ est convergente.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{\frac{n\sqrt{n}}{2^n+\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^2}}= \frac{n^3\sqrt{n}}{2^n+\sqrt{n}}$. Or $\sqrt{n} = o(2^n)$ (ou $\lim \frac{\sqrt{n}}{2^n}=0$ par croissance comparée) donc $2^n+\sqrt{n} \sim 2^n$. Puis par quotient: $\frac{n^3\sqrt{n}}{2^n+\sqrt{n}} \sim \frac{n^3\sqrt{n}}{2^n} =\frac{n^{3,5}}{2^n}$. Enfin, par croissance comparée: $\frac{n^{3,5}}{2^n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$. Autrement dit: $\frac{n\sqrt{n}}{2^n+\sqrt{n}}=o\left( \frac{1}{n^2} \right)$.
		
		\item La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ de paramètre $\alpha=2>1$ converge.
		
		\item Les séries considérées sont à termes strictement positifs donc, d'après les points précédents
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\sum \frac{n\sqrt{n}}{2^n+\sqrt{n}}$ converge.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont à termes strictement positifs et $u_n \sim v_n$ alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{n^2} \sim \frac{1}{(n+1)^2}$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge donc $\sum \frac{1}{(n+1)^2}$ est aussi convergente. Mais leurs somme sont distinctes: $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = 1+ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^2}$.
		
		\item $\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n+1}$ et $\sum \frac{1}{n}$ diverge donc $\sum \frac{1}{n+1}$ diverge.
		
		\item $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$ diverge et pourtant $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$. Ceci s'explique par le fait que l'une des série n'est pas à termes positifs.
		
		\item $u_n=\ln\left( 1+ \frac{5}{n} \right)-\frac{1}{n^2}$. $\ln\left( 1+ \frac{5}{n} \right) \sim \frac{5}{n}$ donc $\ln\left( 1+ \frac{5}{n} \right)= \frac{5}{n}+ o\left( \frac{1}{n} \right)$. $\ln\left( 1+ \frac{5}{n} \right)-\frac{1}{n^2}=\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}+o\left( \frac{1}{n} \right)= \frac{5}{n}+o\left( \frac{1}{n} \right)$. Enfin: $\ln\left( 1+ \frac{5}{n} \right)-\frac{1}{n^2} \sim \frac{5}{n}$. Donc $\sum u_n$ diverge.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat n'est valable que pour les suites à termes positifs.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecg1 dunod tout en un approfondies page 671
		
	\end{notabene}
	~
	
	Déterminez la nature de la série $\displaystyle \sum \frac{n+1}{n^2}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$n+1\sim n$ donc, par quotient, $\frac{n+1}{n^2} \sim \sim \frac{n}{n^2} \sim \frac{n{\color{orange}\times 1}}{n\times n} \sim \frac{1}{n}$.
	
	$\sum \frac{1}{n}$ est la série de Riemann de paramètre $\alpha=1 \leqslant 1$ (série harmonique) donc diverge.
	
	D'où
	
	\begin{conclusion}
		
		$\sum \frac{n+1}{n^2}$ diverge.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		mpsi mp2i dunod tout en un 2021 page 619
		
	\end{notabene}
	
	~
	
	Déterminez la nature de la série $\displaystyle \sum \frac{1}{n(n+1)}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$n(n+1) \sim n^2$ donc $\frac{1}{n(n+1)} \sim \frac{1}{n^2}$.
	
	$\sum \frac{1}{n^2}$ est la série de Riemann de paramètre $\alpha =2>1$ donc converge.
	
	Donc
	
	\begin{conclusion}
		
		$\sum \frac{1}{n(n+1)}$ converge.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	De $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ nous pouvons déduire par télescopage la somme de cette série.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	~
	
	Déterminez la nature de la série $\displaystyle \sum \frac{2n}{n^3+1}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$n^3+1 \sim n^3$ donc $\frac{2n}{n^3+1} \sim \frac{2n}{n^3} \sim 2 \times \frac{1}{n^2}$.
	
	La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ de paramètre $\alpha =2>1$ converge donc $\sum 2 \frac{1}{n^2}$ converge.
	
	Finalement 
	
	\begin{conclusion}
		
		$\sum \frac{2n}{n^3+1}$ converge.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecs 1 dunod j integre methode et exerice lardon 2011 page 176 et 179
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez la nature de la suite de terme général $u_n$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_n=\frac{\cos(n)}{n^2}$.
		\task $u_n= \sqrt{n+\frac{1}{2}} -\sqrt{n}$.
		\task $u_n=\left( \frac{1}{3}+ \frac{1}{n} \right)^n$.
		\task $u_n=\ln\left( \frac{n^2+3n+2}{n^2+3n+1} \right)$.
		\task $u_n= \frac{2^n}{1+n!}$.
		\task $u_n= \frac{1}{n^2\ln(n)}$.
		\task $u_n= \frac{\ln(n)}{n}$.
		\task $u_n = \frac{n!}{n^n}$.
		%\task $u_n= \ln \left( 1+ \frac{2}{n} \right)-\frac{1}{n}$.
		\task $u_n=\mathrm{e}^{-\sqrt{n}}$.
		\task $u_n=\frac{\ln(n)}{n^2}$.
		\task $u_n=n^{\frac{1}{n^2}} -1$.
		%\task $u_n=\left( 1+ \frac{1}{n^3} \right)^{n^2} -1$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task $0\leqslant \frac{|\cos (n) |}{n^2} \leqslant \frac{1}{n^2}$.
		\task $u_n=\frac{1}{2 \sqrt{n} \left( \sqrt{1+\frac{1}{2n}}+1\right)}$. $2 \sqrt{n} \left( \sqrt{1+\frac{1}{2n}}+1\right) \sim 4 \sqrt{n}$.
		\task $u_n=\exp\left[ n\left( \ln\left( 1+\frac{3}{n} \right)- \ln(3) \right) \right]$.
		\task $u_n= \ln \left[ 1+ \left( \frac{n^2+3n+2}{n^2+3n+1}-1 \right) \right] \sim \frac{n^2+3n+2}{n^2+3n+1}-1 \sim \frac{1}{n^2+3n+1} \sim \frac{1}{n^2}$.
		\task $0 \leqslant u_n\leqslant \frac{2^n}{n!}$.
		\task Série de Bertrand ou pour $n\geqslant 3$, $u_n \leqslant \frac{1}{n^2}$.
		\task Série de Bertrand ou pour $n\geqslant 3$, $u_n \geqslant \frac{1}{n}$.
		\task $u_n \leqslant \frac{2}{n^2}$.
		%\task Développement limité.
		\task Critère de Riemann $\alpha=2$.
		\task Critère De Riemann $\alpha=\frac{3}{2}$.
		%\task Développement limité.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_mpsi_ellipses_prepas_sciences_maths_mpsi_mp2i_nguyen_nicolas_damin_walter_fontes_mathieu_jan_christophe_2021 page 738
		
	\end{notabene}
	
	Démontrez la convergence et déterminez (si possible) la somme des séries de terme général $u_n$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_n= \frac{1}{n(n+1)}$, $n \geqslant 1$.
		\task $u_n= \frac{n^22^n}{n!}$.
		\task $u_n= \frac{3n+2}{n(n^2-1)}$.
		\task $u_n= \mathrm{Arctan} \left( \frac{1}{n^2+n+1} \right)$.
		%\task $u_n$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecs 1 dunod j integre methode et exerice lardon 2011 page 177
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\sum a_n$ une série à termes strictement positifs convergente. Déterminez la nature des séries dont le terme général est:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_n=\frac{a_n}{1+a_n}$.
		\task $v_n= \mathrm{e}^{a_n}-1$.
		\task $w_n=\frac{1-\cos(a_n)}{a_n}$.
		\task $x_n=a_n^2$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecs 1 dunod j integre methode et exerice lardon 2011 page 177
		
	\end{notabene}
	
	Soit, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n= \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1) \sqrt{n}}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez: $\forall n \in\mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
		
		\item En remarquant un télescopage déduisez-en que la série $\sum u_n$ converge et calculez sa somme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecs 1 dunod j integre methode et exerice lardon 2011 page 179 9.19
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		mpsi dunod j integre methode et exerice monnier 2021
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}