%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{27 Séries à termes positifs.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{27 Séries à termes positifs.}

\begin{notabene}
	
	Pour 2023 2024: reprendre ce cours en le métant au propre pour la démonstration et donc choisir un ordre qui soit logique pour les démonstration et laissé le document méthodes pour le plan d'attaque de l'étude de la nature d'une série.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	mpsi mp2i dunod 2021
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	ecg1 approfondies tout en un page 684 méthodes
	
\end{notabene}

\subsection{Généralités.}

\subsubsection{Définitions, vocabulaire.}

\begin{definition}
	
	Soit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}série de terme général $u_n$} la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ des \emph{\color{purple}sommes partielles} $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Nous noterons $\color{purple} \sum u_n$ la série de terme général $u_n$.
	
	Si $(S_n)_n$ converge alors nous dirons que la série $\sum u_n$ converge. Sinon nous dirons qu'elle diverge.
	
	Si $\sum u_n$ converge alors la limite de $(S_n)$ est appelée \emph{\color{purple}la somme de la série} et est notée $\color{purple} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$.
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	
	Au tableau des exemples de sommations sur les suites de référence.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Aux suites de référence nous associerons des séries: $\sum n$, $\sum n^2$, $\sum q^n$, $\sum \frac{1}{n}$, $\sum \frac{1}{n!}$, ...
		
		\item La suite des sommes partielles $S_n= \sum_{k=0}^n 0,5^k = \frac{1-0,5^{k+1}}{1-0,5}$ tend vers $2$ donc la série $\sum_{n} 0,5^n$ converge vers $2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi les séries sont un cas particulier de suites que l'on obtient à partir d'autres suites. Tous les résultats connus sur les suites peuvent donc leur être appliqués.
		
		\item $\sum u_n$ désigne la série (donc une suite en fait) et $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ désigne une nombre à savoir la limite de la série.
		
		\item Nous appellerons nature d'une série le fait qu'elle soit convergente ou pas. 
		
		Les exercices consisterons très souvent à:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item déterminez la nature de la série (convergente ou divergente),
			
			\item si elle est convergente, déterminer sa somme.
			
		\end{enumerate}
		
		\item De même qu'il y a des suites de référence, il y a de séries de référence à connaître absolument. Nous les étudierons au fur et à mesure mais nommons-les tout de suite.
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Séries arithmétiques: $\sum n$.
			
			\item Série des carrés: $\sum n^2$.
			
			\item Série des cubes: $\sum n^3$.
			
			\item Séries géométriques: $\sum q^n$, pour $q \in \mathbb{R}$.
			
			\item Séries de Riemann: $\sum \frac{1}{n^{\alpha}}$, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
			
			\item Série exponentielle: $\sum \frac{x^n}{n!}$ où $x \in \mathbb{R}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Il est possible de retrouver la suite à partir de la série: $u_n=\sum (u_{n}-u_{n-1})$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez une condition nécessaire et suffisante pour que la série, dont le terme général est une constante, converge.
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{ - Condition nécessaire de convergence.}
	
	Soit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $\sum u_n$ converge alors $u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	$u_n=S_n-S_{n-1}$ et il reste à passer à la limite.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous utiliserons ce résultat le plus souvent pour démontrer qu'une série diverge.
		
		\item Ce résultat doit nous rappeler que si une série converge alors, à partir d'un certain rang, $u_n$ est assez proche de $0$, ce qui permet de faire apparaître des majorations souvent intéressantes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{definition}
	
	Soit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $\sum u_n$ \emph{\color{purple}diverge grossièrement} si et seulement si $(u_n)$ ne tend pas vers $0$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\sum \frac{1}{n^2}$ ne diverge pas grossièrement (et nous verrons qu'elle converge).
		
		\item La série $\sum \frac{1}{n}$ ne diverge pas grossièrement. Et pourtant elle diverge.
		
		\item $\sum n$ diverge grossièrement.
		
		\item $\sum \left( 1+ \frac{1}{n} \right)$ diverge grossièrement.
		
		\item $\sum (-1)^n$ diverge grossièrement 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La formulation n'est pas trompeuse, une série qui diverge grossièrement, diverge.
		
		\item Il est des séries qui diverge sans diverger grossièrement.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Monnier page 171
		
	\end{notabene}
	
	~
	
	Montrez que la série $\displaystyle \sum_{n>0} \ln(n+1)-\ln(n)$ diverge mais qu'elle ne diverge pas grossièrement.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. $\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left( n \left( 1+\frac{1}{n} \right) \right) -\ln(n)= \ln(n)+\ln\left( 1+\frac{1}{n} \right) -\ln(n)= \ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)$. Or $\lim_{n \to +\infty} 1+ \frac{1}{n} =1$ donc, par continuité de $\ln$, $\ln \left( 1+\frac{1}{n} \right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ln(1)=0$.
		
		Autrement dit: $\l(n+1) - \ln(n) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		Ou encore
		
		\begin{conclusion}
			
			$\sum \ln(n+1)-\ln(n)$ ne diverge pas grossièrement.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Soit $n \in\mathbb{N}^*$.
		
		\begin{align*}
			S_n &= \sum_{k=1}^n \ln(k+1) - \ln(k)\\
			&= {\color{orange}\ln(2)-\ln(1)}+ {\color{WildStrawberry}\ln(3)-\ln(2)}+{\color{Green}\ln(4)-\ln(3)}+ \dots + {\color{violet}\ln(n-1)-\ln(n-2)}+ {\color{magenta}\ln(n)-\ln(n-1)}\\
			\intertext{On reconnaît un télescopage des termes de cette somme:}
			S_n &= \ln(n)-\ln(1)\\
			&= \ln(n)
		\end{align*}
		
		Puisque $\ln(n) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$, $S_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$. Autrement dit, la somme des suites partielles divergeant,
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \sum_{n>0} \ln(n+1)-\ln(n)$ diverge.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecg 1 dunod 2021 page 532
		
	\end{notabene}
	
	Montrez que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \frac{n^2-n-1}{n^2+n+1}$ diverge.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{n^2-n-1}{n^2+n+1} \sim 1$. Donc $\frac{n^2-n-1}{n^2+n+1} \underset{n \to +\infty}{\not\longrightarrow}0$.
	
	Donc $\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \frac{n^2-n-1}{n^2+n+1}$ diverge grossièrement et finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		$\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \frac{n^2-n-1}{n^2+n+1}$ diverge.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Étude de la convergence d'une série positive.}

\begin{proposition}{ - Lemme fondamental.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Une série à termes positifs converge ou tend vers $+\infty$.
		
		\item Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Le résultat est une application directe du théorème de la limite monotone appliqué à la suite des sommes partielles de la série.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Opérations sur les séries.}

\begin{lecon}
	
	Il existe bien entendu des produits sur les séries. Cependant leur définition est complexe et nous laisserons donc le produit de côté il nous reste la somme et la multiplication par un réel (donc les combinaisons linéaires.
	
	\medskip
	Nous noterons $\alpha \sum u_n + \sum v_n$ la série $\sum \alpha u_n + v_n$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Somme de série et nature.}
	
	Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont convergentes alors $\sum \alpha u_n + v_n$ converge.
	
	S'il y a convergence alors: \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha u_n + v_n =\alpha \sum_{n=0}^{+\infty}  u_n + \sum_{n=0}^{+\infty}  v_n. \]
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\sum \frac{x^n}{n!}+\frac{1}{n^{\alpha}}$, avec $x \in \mathbb{R}$ et $\alpha >1$, est convergente car c'est une combinaison linéaire de deux séries convergentes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Autrement dit l'ensemble des séries convergentes est stable par combinaisons linéaires.
		
		\item Ce résultat reste valable même si les séries ne sont pas à termes positifs.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Une petite extension du résultat précédent mais surtout une façon de voir différemment les choses.
	
	\begin{notabene}
		
		On peut penser à la règle sur le signe quand on multiplie par un nombre positif
		
	\end{notabene}
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	On ne change pas la nature d'une série en lui ajoutant une série convergente.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Si les deux suites sont convergentes nous retombons sur le résultat précédent.
	
	Si $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge alors nécessairement $\sum u_n+v_n$ diverge.
	
	Car la convergence de $\sum u_n+v_n$ entraînerait celle de $\sum v_n$ puisque $v_n=(v_n-u_n)+u_n$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\sum \frac{1}{n}+ \frac{1}{2^n}$ diverge.
		
		\item $\sum \frac{1}{n}+ \frac{1}{2^n}$ diverge et $\sum \frac{-1}{n}$ diverge et pourtant la série somme converge.
		
		\item $\sum \frac{1}{n}$ diverge et $\frac{2}{n}$ diverge donc la somme de deux séries divergente peut aussi diverger.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Convergence absolue.}

\begin{lecon}
	
	Nous nous intéresserons principalement aux séries à termes positifs. Bien entendu il existe des suites qui ne le sont pas. Nous allons voir un résultat qui nous permettra souvent, à partir d'une série quelconque, de nous ramener à l'étude d'une série à termes positifs.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Nous dirons que $\sum u_n$ \emph{\color{purple}converge absolument} si et seulement si $\sum |u_n|$ converge.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\sum_{n\geqslant 0} 0,5^n$ converge absolument (et même elle converge).
		
		\item $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge mais ne converge pas absolument.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La série $\sum |u_n|$ est formée des mêmes termes que $\sum u_n$ au signe près, puisque $|u_n|$ est toujours positif.
		
		\item Toute série convergente à termes positifs converge absolument.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{theoreme}{ - Lien entre convergence et convergence absolue.}
	
	Toutes série réelle absolument convergente est convergente.
	
	\medskip
	De plus, si $\sum u_n$ est absolument convergente: \[ \left| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} | u_n |.\]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	Complétude de $\mathbb{R}$ et critère de Cauchy ou plus élémentaire: $\sum \frac{|u_n|+u_n}{2}$ et $\sum \frac{|u_n|-u_n}{2}$ avec résultats sur les sommes.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\sum \left( \frac{-1}{2} \right)^n$ converge absolument.
		
		\item $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ne converge pas absolument et pourtant elle converge.
		
		\begin{notabene}
			
			À démontrer sans le théorème spécial.
			
		\end{notabene}		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi, il suffit que la série à termes positifs $\sum |u_n|$ converge, pour que nous puissions affirmer que $\sum u_n$ (qui n'est pas forcément à termes positifs) converge.
		
		Nous l'utiliserons quasi-systématiquement pour étudier les séries qui ne sont pas à termes positifs.
		
		\item La réciproque est fausse: il existe des séries qui converge sans converger absolument.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsection{Des séries de référence.}

\subsubsection{Séries arithmétique.}

\begin{proposition}{}
	
	$\sum rn+u_0$ converge si et seulement si $r=u_0=0$.
	
\end{proposition}

\subsubsection{Série des entiers.}

\begin{proposition}{}
	
	$\sum n$ diverge vers $+\infty$ et $\sum_{k=0}^n k \sim \frac{1}{2}n^2$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	En utilisant l'expression explicite des sommes partielles: \[ \sum_{k=0}^n k= \frac{n(n+1)}{2}. \]
	
\end{preuve}

\subsubsection{Série des carrés.}

\begin{proposition}{}
	
	$\sum n^2$ diverge vers $+\infty$ et $\sum_{k=0}^n k^2 \sim \frac{1}{3}n^3$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	En utilisant l'expression explicite des sommes partielles: \[ \sum_{k=0}^n k^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
	
\end{preuve}

\subsubsection{Série des cubes.}

\begin{proposition}{}
	
	$\sum n^3$ diverge vers $+\infty$ et $\sum_{k=0}^n k^3 \sim \frac{1}{4}n^4$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	En utilisant l'expression explicite des sommes partielles: \[ \sum_{k=0}^n k^2= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2. \]
	
\end{preuve}

\begin{exercice}{}
	
	Justifiez que la série de terme général $u_n= -3n^3+4n^2+n+2$ diverge et donnez un équivalent des sommes partielles $\sum_{k=0}^n u_k$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Séries géométriques.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $q\in\mathbb{R}$. 
	
	\medskip
	$\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$.
	
	\medskip
	Si cette série converge alors \[ \sum_{n=0}^{+\infty} q^n= \frac{1}{1-q}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	En utilisant l'expression explicite des sommes partielles: \[ S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\sum_{n\geqslant 0} \frac{1}{3^n}$.
		\item $\sum_{n\geqslant 0} 2^n$.
		\item $\sum_{n\geqslant 0} \frac{(-2)^n}{3^n}$.
		\item $\sum_{n\geqslant 0} \frac{5}{2^n}$.
		\item $\sum_{n\geqslant 0} 6^{n-1}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ecg 1 dunod 2021 page 533
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez l'ensemble des réels $x\in \mathbb{R}_+^*$ tels que la série $\sum \left( \ln(\sqrt{x}) \right)^n$ diverge.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\sum \left( \ln\left( \sqrt{x} \right) \right)^n$ converge si et seulement si $\left( \ln\left( \sqrt{x} \right) \right)^n \in ]-1;1[$.
	
	Cette dernière appartenance équivaut successivement à:
	
	\begin{align*}
		-1 &< \ln \left( \sqrt{x} \right) <1\\
		\intertext{Puisque exponentielle est strictement croissante:}
		\mathrm{e}^{-1} &< \sqrt{x} < \mathrm{e}^1
		\intertext{Puisque la fonction carré est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$:}
		\left( \mathrm{e}^{-1} \right)^2 &< \left( \sqrt{x} \right)^2 < \left( \mathrm{e}^1 \right)^2\\
		\mathrm{e}^{-1 \times 2} &< x < \mathrm{e}^{1 \times 2}\\
		& x \in \left] \mathrm{e}^{-2}, \mathrm{e}^2 \right[
	\end{align*}
	
	{\color{orange}Il ne reste qu'à considérer le complémentaire de cet ensemble dans $\mathbb{R}_+^*$.}
	
	\begin{conclusion}
		
		La série diverge si et seulement si $x \in \left] 0 , \mathrm{e}^{-2} \right] \cup \left[ \mathrm{e}^2 ,+ \infty\right[$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Séries géométriques dérivées.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $q \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	$\sum nq^{n-1}$ et $\sum n(n-1)q^{n-2}$ convergent si et seulement si $|q|<1$ et en cas de convergence: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2} \quad \text{et} \quad \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)q^{n-2} =\frac{2}{(1-q)^3}. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	En raisonnant sur la dérivée des sommes partielles $\sum_{k=0}^n x^k$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\sum_{n\geqslant 1} \frac{n}{3^{n-1}}$.
		
		\item $\sum_{n\geqslant 2} n(n-1)(-3)^{n-2}$.
		
		\item $\sum_{n\geqslant 2} n(n-1) \frac{4^{n-2}}{5^{n-2}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		%sup_1ieme_ecs_dunod_j_integre_mathematiques_methodes_et_exercices_ecs_1re_annee_lardon_2011
		page 177 exo 93
	\end{notabene}
	On note pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez: $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ u_n= \dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$.
		
		\item Déduisez-en que la série converge et calculez $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	\begin{notabene}
		%sup_1ieme_ecs_dunod_j_integre_mathematiques_methodes_et_exercices_ecs_1re_annee_lardon_2011
		page 178 exo 913
		
		télescopage après changement de variable sur les indices
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez qu'il existe $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ unique, que l'on calculera, tel que: $\forall x \in [1;+\infty[,\ \frac{x-1}{x^3+3x^2+2x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}$.
		\item Montrez que la série $\sum_{n\geqslant 1} \dfrac{n-1}{n^3+3n^2+2n}$ converge et calculez sa somme.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}