	%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{23 Matrices et applications linéaires.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{23 Matrices et applications linéaires.}

\begin{notabene}
	
	Matrice réelle comme tableau de nombre: vocabulaire, diverses tailles.
	
	Application associée: $(x_i) \mapsto \sum_j A_{ij} x_j$. On montre qu'elle est linéaire. Toute application linéaire est associée à une matrice.
	
	
\end{notabene}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $(A_{ij})_{\begin{subarray}{c} 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant m \end{subarray}}$ un élément de $\mathbb{R}^{nm}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}matrice} à \emph{\color{purple}$n$ lignes} et \emph{\color{purple}$m$ colonnes} le tableau de nombres réels suivant \[ A= \begin{pmatrix}
		A_{11} & A_{12} & A_{13} & \dots & A_{1m}
		\\
		A_{21} & A_{22} & A_{23} & \dots & A_{2m}
		\\
		A_{31} & A_{32} & A_{33} & \dots & A_{3m}
		\\
		\vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots 
		\\
		A_{n1} & A_{n2} & A_{n3} & \dots & A_{nm}
	\end{pmatrix}. \]
	
	$A_{23}$ est le \emph{\color{purple}coefficient} (ou le terme) de $A$ d'indice $(i,j)$.
	
	L'ensemble des matrices à coefficients réels de $n$ lignes et $m$ colonnes est noté $\color{purple} \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	
	Si $n=m$ alors nous dirons que la matrice est \emph{\color{purple}carrée} de taille $n$. L'ensemble des matrices réelles carrées de taille $n$ est noté $\color{purple}\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la matrice: \[ M= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}. \]
		
		Décrivons $M$.
		
		\item Nous noterons $0_{n,m}$ (et si la situation est claire juste $0$) et nous appellerons \emph{\color{purple}matrice nulle} la matrice de taille $n \times m$ dont tous les coefficients sont nuls.
		
		\item Une matrice de $\mathscr{M}_{n,1}$ comme $\begin{pmatrix} -4 \\ 5\\ 1 \end{pmatrix}$ est appelée une \emph{\color{purple}matrice colonne} ou un \emph{\color{purple}vecteur colonne}.
		
		\item Une matrice de $\mathscr{M}_{1,m}$ comme $\begin{pmatrix} -4 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ est appelée une \emph{\color{purple}matrice ligne} ou un \emph{\color{purple}vecteur ligne}.
		
		\item Les coefficients $A_{ii}$ d'une matrice carrée sont appelés les \emph{\color{purple}coefficients diagonaux} de $A$. Ainsi pour $A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 &  8 & 9 \end{pmatrix}$ les termes diagonaux sont $3$, $5$ et $9$.
		
		\item Parmi les matrices carrées on distingue certaines matrices: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 &5 & 6\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$ est dite \emph{\color{purple}triangulaire supérieure}, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ est dite \emph{\color{purple}triangulaire inférieure}, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ est dite \emph{\color{purple}diagonale}. Une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ est appelée une \emph{\color{purple}matrice identité} et est notée $\color{purple}I_n$.
		
		\item Les matrices formées de $1$ ligne et $1$ colonne peuvent être identifiées au nombres réels. $\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$ correspond à $2$.
		
		\item On note $E_{23}$, et on appelle matrice élémentaire d'indice $(2,3)$, la matrice (peu importe sa taille) dont tous les coefficients sont nuls hormis celui d'indice $(2,3)$ qui vaut $1$. \[ E_{23}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
		
		\item On appelle \emph{\color{purple}transposée} de \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m}\\
			a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m}\\
			\cdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
			a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}\\
		\end{pmatrix}\] de $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ la matrice de $\mathscr{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ définie par: \[ {\color{purple}{}^t\!A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1}\\
			a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2}\\
			\cdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
			a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{nm}\\
		\end{pmatrix} \]
		
		Ainsi, si $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & a \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ alors ${}^t\!A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \\ a & 6 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les matrices peuvent être vues comme des éléments de $\mathbb{R}^{nm}$. Les propriétés vues sur les espaces $\mathbb{R}$ peuvent donc leur être appliquées.
		
		\item Les coefficients seront notés indifféremment avec des minuscules ou des majuscules: $a_{ij}$ ou $A_{ij}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Transposée:
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 166 exercice 15
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les transposées des matrices suivantes: \[ A= \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}.\]
	
\end{exercice}

\subsubsection{Application associée.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A=(A_{ij})$ une matrice prise dans $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
		\item $\vec{x}=(x_j)_{1\leqslant j \leqslant m}$ un vecteur colonne élément de $\mathscr{M}_{m,1}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}application associée à $A$} l'application définie sur $\mathscr{M}_{m,1}$ à valeurs dans $\mathscr{M}_{n,1}$ qui au vecteur colonne $(x_i)_{1\leqslant i \leqslant m}$ associe le vecteur colonne $\left( \sum_{j=1}^m A_{ij} \times x_i \right)_{1\leqslant i \leqslant m}$.
	
	\medskip
	En résumé il s'agit de l'application \[ A:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr{M}_{m,1}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} & \mapsto & \begin{pmatrix}
			\sum_{j=1}^m A_{1j} \times x_j \\ \sum_{j=1}^m A_{2j} \times x_j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^m A_{nj} \times x_j \end{pmatrix} \end{array} \right. . \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous confondrons dans les notations une matrice et l'application associée en notant les deux $A$. L'image de $x \in \mathscr{M}_{m,1}(\mathbb{R})$ sera donc notée $A(x)$.
		
		\item Dans la suite, $\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ sera noté $\mathbb{R}^n$, cette confusion ne posant pas problème.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'image de $\vec{x}={}^t(1,2,3)$ par l'application linéaire associée à la matrice $A=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ est le vecteur $A(\vec{x})= \begin{pmatrix} 4 \times 1 +5 \times 2 + 6 \times 3 \\ 7 \times1 +8 \times 2 + 9 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 \\ 50 \end{pmatrix}$.
		
		\item Si $A= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\1 \end{pmatrix}$ et $\vec{x}=\begin{pmatrix} -7 \end{pmatrix}$ alors $A(\vec{x})= \begin{pmatrix}  -14 \\ -21 \\ -7 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Découverte du produit matriciel dans le cas particulier des applications linéaires.
		
	\end{notabene}
	
	On note $\vec{x}={}^t(x_1,\dots x_n)$. Déterminez $f(\vec{x})$ lorsque $f$ est l'application linéaire associée à la matrice $A$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}$.
		\task $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Application linéaire.}

\begin{definition}
	
	Une application $f$ de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$ est dite \emph{\color{purple}linéaire} si et seulement si elle vérifie les deux propriétés suivantes:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m,\ f(\lambda \vec{x})= \lambda f(\vec{x})$.
		
		\item $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m,\ f (\vec{x}+ \vec{y})= f(\vec{x})+f(\vec{y})$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'application $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ et à valeur dans $\mathbb{R}^3$ par: si $\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ alors $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 3x_1+x_2 \\ -x_2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		Démontrons que cette application $f$ est linéaire.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est une application de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$.
			
			\item Si $\lambda \in \mathbb{R}$ alors $f(\lambda \vec{x})= f \left[ \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 3 (\lambda x_1) +(\lambda x_2) \\ -(\lambda x_2) \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda \times (3x_1+x_2) \\ \lambda \times (-x_2) \\ \lambda \times 0 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 3x_1+x_2 \\ -x_2 \\ 0 \end{pmatrix} = \lambda f( \vec{x})$.
			
			\item De même $f(\vec{x} + \vec{y})= f(\vec{x}) + f( \vec{y})$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est linéaire.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $g: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & 3x \end{array} \right.$ est une application linéaire.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ (\emph{i.e.} $\mathbb{R}^1$) et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
			
			\item Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $x$ et $y$ des éléments de $\mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				g(\lambda x +y) &= 3 \times (\lambda x +y)\\
				&= \lambda 3x+3y\\
				&= \lambda g(x) +g(y)
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Donc $g$ est bien une application linéaire.
		
		\medskip
		Les applications qu'au collège nous appelions fonctions linéaires sont des applications linéaires.
		
		\item L'application $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 3x_1+2x_2\\ 2x_2+x_3 \\ x_1+x_2+x_3 \end{pmatrix}$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$.
		
		\item L'application $\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & \mapsto & \begin{pmatrix} x_1^2 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array} \right.$ n'est pas linéaire.
		
		L'application est bien définie sur $\mathbb{R}^2$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^3$, des espaces vectoriels, mais
		
		\[ \varphi\left( 1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \varphi \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
		
		et 
		
		\[ 1 \varphi \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) + \varphi \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
		
		et donc: $\varphi\left( 1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \ne 1 \varphi \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) + \varphi \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$. Autrement dit $\varphi$ n'est pas linéaire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi une application est linéaire si elle "respecte" l'addition (on dit qu'elle est additive) et si elle "respecte" la multiplication par un nombre (on dit qu'elle est homogène).
		
		\item En tenant compte des deux propriétés simultanément nous voyons qu'une application linéaire "respecte" les combinaisons linéaires: $f(\lambda \vec{x} + \mu \vec{x} )= \lambda f(\vec{x}) + \mu f(\vec{y})$.
		
		\item {\color{orange}Pour démontrer qu'une application est linéaire il faut d'abord s'assurer que les ensembles de départ et d'arrivée sont des espaces vectoriels de la forme $\mathbb{R}^n$ puis que, quels que soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\vec{x}$ et $\vec{y}$ des vecteurs de l'ensemble de départ: $f(\lambda \vec{x}+ \vec{y} )= \lambda f(\vec{x}) + f(\vec{y})$.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez si les applications suivantes sont linéaires.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f:(x_1,x_2)\mapsto (2x_1,3x_2,x_1+x_2)$.
		\task $f:(x_1,x_2,x_3) \mapsto 0$.
		\task $f:(x_1,x_2) \mapsto (x_1-x_2,x_1-x_2)$.
		\task $f: (x_1,x_2) \mapsto (1,x_1-2x_2)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A=(A_{ij})$ une matrice prise dans $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	L'application associée à la matrice $A$ est linéaire.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Au programme.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $\vec{x}$ et $\vec{y}$ des éléments de $\mathbb{R}^m$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $A(\lambda \vec{x}+ \vec{y} )=\lambda A(\vec{x})+ A(\vec{y})$.}
	
	{\color{orange}Introduisons une notation pour le vecteur image.}
	
	Notons $\vec{z}=A(\lambda \vec{x}+ \vec{y} )$.
	
	{\color{orange}Commençons par choisir une ligne quelconque du vecteur image.}
	
	Soit $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$.
	
	Par définition de l'application linéaire associée à $A$ la coordonnées $z_i$ du vecteur $\vec{z}$ est donnée par:
	
	\begin{align*}
		z_i &= \sum_{j=1}^m a_{ij} (\lambda x_j + y_j)\\
		\intertext{En distribuant:}
		z_i &= \sum_{j=1}^m a_{ij}\lambda x_j + a_{ij}y_j\\
		\intertext{En regroupant différement les termes sommés:}
		z_i &= \sum_{j=1}^m a_{ij}\lambda x_j + \sum_{j=1}^m a_{ij}y_j\\
		\intertext{En factorisant par $\lambda$ dans la première somme:}
		z_i &= \lambda \sum_{j=1}^m a_{ij}x_{j} + \sum_{j=1}^m a_{ij}y_{j}
	\end{align*}
	
	Ainsi pour tous $\lambda \in \mathbb{R}$, $\vec{x}$ et $\vec{y}$ dans $\mathbb{R}^m$, $A(\lambda \vec{x} + \vec{y})=\lambda A(\vec{x}) + A ( \vec{y})$.
	
	Autrement dit:
	
	\begin{conclusion}
		
		$A$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Toute application linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$ est l'application associée à une matrice de $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Il vaut mieux passer cette démonstration en première lecture. L'idée de cette démonstration semblera beaucoup plus naturelle après que nous ayons vu le lien entre application linéaire et produit matricielle.}
	
	\medskip
	Soit $\varphi$ une application linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$.
	
	\medskip
	{\color{orange}La démonstration repose sur l'utilisation des bases canoniques qui n'ont pas encore été vues mais que nous pouvons utiliser.
		
		Il s'agit de trouver la matrice dont $\varphi$ serait la matrice associée. Nous allons la construire.}
	
	\medskip
	En notant, pour $j \in \llbracket 1,m \rrbracket$, $\vec{e}_j$ le vecteur de $\mathbb{R}^m$ dont toutes les coordonnées valent $0$ hormis celle de la ligne $j$ qui vaut $1$ (autrement dit $\vec{e}_j= E_{j,1}$ en utilisant les matrices élémentaires).
	
	Notons $\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}=\varphi(\vec{e}_j)$.
	
	Puis notons $A$ la matrice $(a_{ij})$ (autrement dit $A$ est formée des vecteurs dont les colonnes sont les vecteurs images $A(\vec{e}_j)$: $A= \begin{pmatrix} A(\vec{e}_1) & A(\vec{e}_2) & \dots & A(\vec{e}_m) \end{pmatrix}$).
	
	Il est alors aisé de vérifier que $\varphi$ est l'application linéaire associée à $A$.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
				
		\item Une autre façon de montrer qu'une application est linéaire consiste à s'assurer qu'il s'agit de l'application linéaire associée à une matrice que nous expliciterons.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f:(x_1,x_2,x_3) \mapsto (2x_1+3x_2 , x_1+x_2+x_3 , 4x_1-5x_2-6x_3)$ est une application linéaire puisque c'est l'application associée à la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -5 & -6 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{C}
	
	Justifiez que les applications suivantes sont linéaires en donnant une matrice dont elle soit l'application associée.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f: (x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_1+x_2, x_1+x_2+x_3)$.
		\task $f: (x_1,x_2) \mapsto (2x_1+3x_2, x_1-6x_2 , -x_2)$.
		\task $f:(x_1,x_2,x_3) \mapsto x_2$.
		\task $f: (x_1,x_2) \mapsto (x_2,x_1)$.
		\task $f:(x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (x_1+2x_2+3x_3+4x_4,x_2+2x_3+3x_4,x_3+2x_4)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}