%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{21 Suites définies par récurrence, arithmétiques, géométriques.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{21 Suites définies par récurrence, arithmétiques, géométriques.}

\subsection{Suites définies par récurrence.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On dit que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est \emph{\color{purple}définie par récurrence} s'il existe une fonction $f: \mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que: \[ \forall n\in \mathbb{N},\ f(u_n)=u_{n+1}. \]
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	Exemple arithmétques, géométrique, et linéaire d'ordre 1
	
	Calcul des premiers termes.
	
\end{notabene}

\subsection{Suites arithmétiques.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)$ une suite de nombres.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)$ est \emph{\color{purple}arithmétique} si et seulement s'il existe un nombre $r\in\mathbb{R}$ tel que	{\color{purple}pour tout $n\in \mathbb{N}$}: \[ \color{purple} u_n+r =u_{n+1}.\]
	Si $(u_n)$ est arithmétique nous dirons que $r$ est \emph{\color{purple}la raison} de la suite.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(-3,2;\ -1,2;\ 0,8;\ 2,8\; \dots)$ est une suite arithmétique de premier terme $-3,2$ et de raison $2$.
		
		\item $(u_n)=(-6;\ -9;\ -12; \dots)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_0=-6$ et de raison $-3$.
		
		\item $(v_n)=(1;1;1;1;\dots)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_0=1$ et de raison $r=0$. Nous dirons qu'une telle suite est \emph{\color{purple}constante}. Les suites constantes sont toutes des suites arithmétiques de raison $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour décrire une suite arithmétique nous indiquerons systématiquement son terme initial $u_0$ et sa raison $r$. Du moins quand ce sera possible.
		
		\item Autrement dit la suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un nombre $r\in\mathbb{R}$ de sorte que chaque terme de la suite s'obtient à partir du précédent en lui ajoutant $r$.
		
		\item Les égalités $u_n+r =u_{n+1}$ (pour $n\in\mathbb{n}$) représente la relation de récurrence entre deux termes consécutifs de la suite.
		
		Ces égalités constituent la \emph{\color{purple}formule de récurrence.}
		
		Le terme de rang $n+1$ s'obtient à partir du terme précédent, celui de rang $n$ en ajoutant $r$.
		
		Ce sont ces égalités qui justifieront dans les exercices que la suite est arithmétique.
		
		\begin{notabene}
			
			Insister sur le fait qu'il y a deux lignes de calculs différentes dans l'écriture précédente et que nous rencontrerons dorénavant des expressions avec trois lignes d'écriture: normale, indice et exposant. Des efforts d'attention dans la lecture et d'écriture pour la présentation seront nécessaires.
			
		\end{notabene}
		
		\item La formule de récurrence est le plus souvent écrite dans l'autre sens :$u_{n+1}=u_n+r$. Ce qui n'est pas sans rappeler la commande d'affectation en Python; la nouvelle valeur de la variable $u$ s'obtient à partir de la précédente.
		
		\item Le terme initial est absolument indispensable pour définir une suite par récurrence: il faut connaître le point de départ. La raison de suffit pas. Pour décrire une suite arithmétique nous préciserons toujours, si possible, son terme initial et sa raison.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir des premiers termes des suites suivantes dites s'il s'agit de suites arithmétiques ou non.
		
	\end{notabene}
	
	Sont donnés à chaque fois les premiers termes d'une suite dites s'il peut s'agir d'une suite arithmétique.
	
	\begin{enumerate}
		\item $(u_n)=(12;\ 15;\ 17; \dots)$.
		
		\item $(v_n)= (\pi;\ 2\pi;\ 4\pi; \dots)$.
		
		\begin{notabene}
			
			Utiliser cet exemple en rajoutant soit $8\pi$ soit $6\pi$ à la suite pour montrer que les premiers termes ne suffisent pas à à garantir que nos ayons une suite arithmétique. Il faut vérifier pour tout entier naturel $n$.
			
		\end{notabene}
		
		
		\item $(w_n) = (4;\ 3,3;\ 2,6; \dots)$.
		
		\item $(u_n)=(-1;\ 1;\ -1; \dots)$.
		
		\item $(v_n)= (0;\ 2\pi;\ 4\pi; \dots)$.
		
		\begin{notabene}
			
			Utiliser cet exemple en rajoutant soit $8\pi$ soit $6\pi$ à la suite pour montrer que les premiers termes ne suffisent pas à à garantir que nos ayons une suite arithmétique. Il faut vérifier pour tout entier naturel $n$.
			
		\end{notabene}
		
		
		\item $(w_n) = (4;\ -3;\ -10; \dots)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{WildStrawberry}Nous ne démontrons pas que la suite est arithmétique nous conjecturons ce que ce pourrait être d'après les premiers termes. Nous faisons une modélisation, à la façon des sciences expérimentales: nous essayons de trouver un objet mathématique qui correspondent aux données expérimentales.}
	
	{\color{WildStrawberry}Si la suite n'est pas arithmétique il suffit par contre de trois termes pour démontrer qu'elle n'est pas arithmétique.}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande pièce.
	
	Le carrelage choisi a une forme hexagonale.
	
	L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes successives de la façon suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item à l’étape 0, il entoure le carreau central, à l’aide de 6 carreaux et obtient une première forme.
		
		\item à l’étape 1 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.
	\end{enumerate}
	
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales_21_suites_definies_par_recurrence_arithmetiques_geometriques_01_exercice_carrelage.png}
		
	\end{center}
	
	On note $u_n$ le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la $n$-ième étape ($n \geqslant 0$).
	
	Déterminez les trois premiers termes de la suite $\left( u_n \right)$ et conjecturez sa nature.
	
	\begin{notabene}
		
		Explication de la question \og déterminer la nature de la suite \fg{}.
		
		Dans la pratique le choix de la suite arithmétique pour modéliser est arbitraire et relève de l'interprétation du contexte.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item En comptant sur la figure les hexagones blancs: $u_0=6$.
		
		\item En comptant sur la figure: $u_1=12$.
		
		\item Avec un peu d'imagination ou en crayonnant à la main la rangée suivante on obtient: $u_2=18$.
		
	\end{enumerate}
	
	{\color{WildStrawberry}La question de la nature d'un objet mathématique est une question récurrente en mathématiques mais dont les réponses peuvent être très variées. Pour nous cette année, cette question appellera trois réponses possibles: la suite est arithmétique ou la suite est géométrique ou la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.}
	
	Nous pouvons conjecturer que
	
	\begin{conclusion}
		
		la site est arithmétique de premier terme $u_0=6$ et de raison $r=6$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	En 2019, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un musicien était de $\np{6000}$.
	
	On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.
	
	On désigne par $u_n$ le nombre d’abonnés en 2019$+n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	Déterminez les trois premiers termes de la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ et sa nature.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite arithmétique telle que $u_5 = 26$ et $u_9 = 8$. La raison de $(u_n)$ vaut: $-18$? $\dfrac{8}{26}$? $4,5$? $-4,5$?
	
\end{exercice}

\subsubsection{Représentation graphique.}

\begin{exercice}{}
	
	Depuis l'an 2000 date à laquelle il recensait $\np{3650}$ clients, un site de commerce en ligne voit le nombre de ses clients augmenter chaque année de $\np{2500}$.
	
	On désigne par $u_n$ le nombre de clients en 2000$+n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminez la nature de $(u_n)$.
		
		\item Donnez une représentation graphique des $6$ premiers termes de la suite.
		
		\item Que remarquez-vous sur le précédent graphique? Par quelle fonction serait-on tenter de modéliser la suite $(u_n)$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{notabene}
	
	Ajouter un petit graphique à la proposition pour montrer l'idée.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite arithmétique.
	
	\medskip
	Les points de coordonnées $(n;u_n)$, pour tout entier naturel $n$, qui forment le nuage de point représentant la suite, sont alignés.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{notabene}
		
		En utilisant la caractérisation des fonctions affines grâce au taux d'accroissement. Autrement dit il y a proportionnalité entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses.
		
	\end{notabene}
	
	La démonstration de ce résultat découle de la formule explicite des suites arithmétiques vue juste après.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Qui dit alignement, dit droite. Qui dit droite, dit fonction affine. Nous sommes donc tenter de trouver un lien entre les suites arithmétiques et les fonctions affines.
		
		\begin{notabene}
			
			Que serait une telle fonction affine? Sa variable (regarder la représentation graphique)? Ses valeurs ? Sa formule de calcul? Taux d'accroissement et raison? Ordonnée à l'origine?
			
			Il faut se poser ces questions pour la suite dessinée à l'exercice précédent. Par lecture graphique c'est plus simple d'établir le résultat.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}	
	
\end{remarques}

\subsubsection{Formule explicite.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$ (et de terme initial $u_0$).
	
	\medskip
	Quelque soit $n\in \mathbb{N}$, \[ \color{purple} u_n= r \times n + u_0. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Voici deux façons de démontrer ce résultat.
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Par sommation des égalités successives puis simplification.
		
		{\color{orange}Nous ne devons pas montrer une égalité mais une infinité d'égalités: pour chaque valeur de $n$ il faut montrer une égalité. Il s'agit d'une propriété universelle et notre rédaction commence donc par choisir, par fixer, un $n$ quelconque.}
		
		\medskip
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		Pour obtenir le terme $u_n$ nous avons utilisé la relation de récurrence $n$ fois:
		
		\begin{align*}
			u_0+r &= {\color{WildStrawberry}u_1}\\
			{\color{WildStrawberry}u_1}+r &= {\color{blue}u_2}\\
			{\color{blue}u_2}+r &= {\color{Green}u_3}\\
			{\color{Green}u_3} +r &= \dots\\
			\dots &= {\color{violet}u_{n-1}}\\
			{\color{violet}u_{n-1}}+r &= u_n
		\end{align*}
		
		Si nous additionnons ces $n$ égalités nous obtenons \[ u_0+ r + {\color{WildStrawberry}u_1}+r + {\color{blue}u_2}+r +{\color{Green}u_3} + r+ \dots {\color{violet}u_{n-1}} + r = {\color{WildStrawberry}u_1} + {\color{blue}u_2} + {\color{Green}u_3}+ \dots + {\color{violet}u_{n-1}} +u_n. \]
		
		En soustrayant ${\color{WildStrawberry}u_1}$, ${\color{blue}u_2}$, ${\color{Green}u_3}$, ..., $ {\color{violet}u_{n-1}}$ de chaque membre de cette égalité nous obtenons l'égalité équivalente: \[ u_0+r+r+r+ \dots +r = u_n \] où $r$ apparaît $n$ fois (autant de fois qu'il y avait d'égalité sommées).
		
		Finalement: $u_0+n \times r=u_n$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré que quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n\times r +u_0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Par récurrence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous dirons que nous avons une \emph{\color{purple}formule explicite} des termes de la suite, par opposition à la formule de récurrence. Nous pouvons trouver directement les valeurs des termes de la suite sans avoir besoin de recalculer tous les termes successifs. 
		
		\item Si le premier terme de la suite arithmétique n'est pas de rang $0$ la formule doit être adaptée.
		
		\item Réciproquement toute suite définie par une formule explicite de la forme: $u_n=an+b$ est une suite arithmétique.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir du contexte démontrer que la suite est arithmétique et en déduire la formule explicite: sujet de bac. Puis question calcul de terme résoudre une équation (est-il possible d'avoir telle valeur? de dépasser telle valeur?)
		
		sujet 8 spe math première
		
	\end{notabene}
	
	En 2019, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un musicien était de $\np{6000}$.
	
	On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.
	
	On désigne par $u_n$ le nombre d’abonnés en 2019$+n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d’abonnés en 2020 et 2021.
		
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		
		\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
		
		\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
		\item En quelle année le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à l’année 2019?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Sujet 50
		
	\end{notabene}
	Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
	
	La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8\ \mathrm{m}$.
	
	Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1\ \mathrm{m}$.
	
	Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
	
	Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8\ \mathrm{m}$, on a $s_0 = 8$.
	
	\begin{enumerate}
				
		\item Exprimer en justifiant $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
		
		\item Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
		
		À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé, pour tout $n$ entier naturel: $s_{n+1}=s_n+0,1$, donc $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de terme initial $s_0=8$ et de raison $r=0,1$. Nous en déduisons sa formule explicite:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ s_n =0,1n+8$. 
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Résolvons $s_n\geqslant 12$.}
		
		\begin{align*}
			s_n\geqslant 12 &\Leftrightarrow 0,1n+8 \geqslant 12\\
			&\leftrightarrow 0,1n \geqslant 12-8\\
			&\Leftrightarrow n\geqslant \frac{4}{0,1}\\
			&\leftrightarrow 40
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{D}
	
	Conjecturez puis démontrez la formule explicite d'une suite arithmétique de terme initial $u_1$ et de raison $r$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Monotonie.}


\begin{corollaire}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $r \in\mathbb{R}$.
	
	\begin{itemize}
		\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante (égale à $u_0$).
		
	\end{itemize}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Comparaison de $u_{n+1}$ et $u_n$ par récurrence ou étude directe (et immédiate) du signe de $u_{n+1}-u_n$ directement
	
\end{preuve}

\subsection{Suites géométriques.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit $(u_n)$ une suite de nombres.
	
	\medskip
	Nous dirons que $(u_n)$ est \emph{\color{purple}géométrique} si et seulement si il existe un nombre $q\in\mathbb{R}$ de sorte que \[ \color{purple} u_n \times q=u_{n+1},\ \text{pour tout } n\in \mathbb{N}.\]
	
	Si $(u_n)$ est géométrique nous dirons que $q$ est \emph{\color{purple}la raison} de la suite.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(1;\ -2;\ 4;\ -8\; \dots)$ est une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $-2$.
		
		\item $(u_n)=\left( 4;\ 2;\ 1;\ \frac{1}{2};\ \dots \right)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_0=4$ et de raison $\frac{1}{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Ainsi $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un nombre $q\in\mathbb{R}$ de sorte que chaque terme de la suite s'obtient à partir du précédent en le multipliant par $q$.
		
		\item La formule de récurrence ne suffit pas à définir le suite. Il faut aussi indiquer le terme initial.
		
		\item Si une suite géométrique admet un terme nul alors tous les termes qui suivent sont forcément nuls.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir des premiers termes des suites suivantes dites s'il s'agit de suites arithmétiques ou non.
		
	\end{notabene}
	
	Sont donnés à chaque fois les premiers termes d'une suite. Dites à chaque fois s'il peut s'agir d'une suite géométrique.
	
	\begin{enumerate}
		\item $(u_n)=(8;\ 24;\ 64; \dots)$.
		
		\item $(v_n)= (\pi;\ 2\pi;\ 4\pi; \dots)$.
		
		
		
		\item $(w_n) = (1;\ -1;\ 1; \dots)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}L'idée est ici de comparer la progression entre les deux premiers termes et les deux suivants.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les termes de la suite sont non nuls et
		
		\begin{align*}
			\frac{u_1}{u_0} &= \frac{24}{8}\\
			&= 3\\
			\intertext{et}
			\frac{u_2}{u_1} &= \frac{64}{24}\\
			&= \frac{2^3}{3}\\
			&= \frac{8}{3}
		\end{align*}
		
		Comme $\frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1}$ nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ n'est pas géométrique.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Les termes de la suite sont non nuls et
		
		\begin{align*}
			\frac{v_1}{v_0} &= \frac{2\pi}{\pi}\\
			&= 2\\
			\intertext{et}
			\frac{v_2}{v_1} &= \frac{4\pi}{2\pi}\\
			&= 2
		\end{align*}
		
		Comme $\frac{v_1}{v_0} = \frac{v_2}{v_1}=2$ nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ pourrait être une suite géométrique de raison $q=2$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\item Les termes de la suite sont non nuls et
		
		\begin{align*}
			\frac{w_1}{w_0} &= \frac{1}{-1}\\
			&= -1\\
			\intertext{et}
			\frac{w_2}{w_1} &= \frac{-1}{1}\\
			&= 2
		\end{align*}
		
		Comme $\frac{w_1}{w_0} = \frac{w_2}{w_1}=-1$ nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(w_n)$ pourrait être une suite géométrique de raison $q=-1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Premier termes, nature
		
		Sujet 9
		
	\end{notabene}
	
	À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de 5 000 euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant 18 ans.
	
	Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l’offre de la banque:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Offre.
			\\
			Intérêts composés au taux annuel constant de $3\ \%$.
			
			\emph{À la fin de chaque année le capital produit $3\ \%$ d’intérêts qui sont intégrés au capital.}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $(u_n)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.
	
	On a ainsi $u_0 = \np{5 000}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que $u_1 = \np{5 150}$ et $u_2 = \np{5 304,5}$.
		
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison et son premier terme.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $u_1$.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de $3\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{3}{100}\\
			&= 1,03
		\end{align*}
		
		Donc le capital acquis au bout d'un an est:
		
		\begin{align*}
			u_1 &= u_0 \times 1,03\\
			&= 5000 \times 1,03
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_1=5150$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $u_2$.}
		
		De même que précédemment:
		
		\begin{align*}
			u_2 &= u_1 \times 1,03\\
			&= 5150 \times 1,03\\
		\end{align*}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_2= 5304,5$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons la nature de $(u_n)$.}
		
		Nous avons vu à la question précédente que d'une année sur l'autre le capital est multiplié par $1,03$. Autrement dit: 
		
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $ u_n \times 1,03= u_{n+1}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Nous déduisons de cette formule de récurrence que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,03$ et de terme initial $u_0=5000$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Représentation graphique.}

\begin{exercice}{}
	
	Représentez graphiquement les $5$ premiers termes de la suite géométrique $(u_n)$ si:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $u_0=8$ et $q=\frac{1}{2}$,
		
		\task $u_0=1$ et $q=1,5$,
		
		\task $u_0=1$ et $q=-1,5$,
		
		\task $u_0=1$ et $q=1$,
		
		\task $u_0=1$ et $q=-1$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{8.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,3,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\foreach \u/\v in {0/8, 1/4, 2/2, 3/1, 4/0.5} \draw (\u,\v) node[red]{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{5.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,3,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\foreach \u/\v in {0/1, 1/1.5, 2/{1.5*1.5}, 3/{1.5*1.5*1.5}, 4/{1.5*1.5*1.5*1.5}} \draw (\u,\v) node[red]{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item ~		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{-5.5};
				\def\xZ{4.5};
				\def\yZ{5.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,3,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\foreach \u/\v in {0/1, 1/-1.5, 2/{1.5*1.5}, 3/{-1.5*1.5*1.5}, 4/{1.5*1.5*1.5*1.5}} \draw (\u,\v) node[red]{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Formule explicite.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \in\mathbb{R}$ (et de terme initial $u_0$).
	
	\medskip
	Quelque soit $n\in \mathbb{N}$, \[ u_n= u_0 \times q^n. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Voici deux façons de démontrer ce résultat.
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item Par sommation des égalités successives puis simplification.
		
		\item Par récurrence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La formule explicite pour une suite arithmétique fait naturellement apparaître une fonction affine. Pour le suites géométrique nous considérerons la fonction $x \mapsto u_0\times q^x$ si $q>0$. Par contre pas de fonction pour $q<0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		À partir du contexte démontrer que la suite est géométrique et en déduire la formule explicite: sujet de bac. Puis question calcul de terme résoudre une équation (est-il possible d'avoir telle valeur? de dépasser telle valeur?)
		
		Sujet 11
		
	\end{notabene}
	
	En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de $\np{10 500}\ \text{\euro}$. La valeur de cette voiture a baissé de $10\ \%$ par an.
	
	La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note $P_n$ la valeur de la voiture en l’année 2002$+n$. On a donc $P_0 = \np{10 500}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer la nature de la suite $(P_n )$.
			
			\item Quelle était la valeur de cette voiture en 2010?
			
		\end{enumerate}
		
		\item Camille aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture est inférieure à $\np{1500}\ \text{\euro}$. Déterminez cette année.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Monotonie.}

\begin{notabene}
	
	Intuitivement, d'après les représentations graphiques nous voyons qu'un grand nombre de cas sont possibles.
	
	Faire la démonstration pour l'un des cas au tableau.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \in\mathbb{R}_+$ et de terme initial $u_0>0$.
	
	\begin{itemize}
		\item Si $0 < q<1$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Si $q=1$ alors $(u_n)$ est constante.
		
		\item Si $1<q$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item Si $q\leqslant 0$ alors $(u_n)$ n'est pas monotone.
		
	\end{itemize}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Toute la démonstration repose sur la comparaison de tous les termes consécutifs de la suite. Il faut donc comparer, de façon générale, $u_{k+1}$ et $u_k$ Puisqu'il s'agit de comparer \og quelque soit \fg{} $k$, il s'agit d'une propriété universelle et notre rédaction commence par:}
	
	Soit $k \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{align*}
		u_{k+1} - u_k &= u_0q^{k+1}-u_0q^k\\
		&= {\color{orange}u_0q^k} \times q-{\color{orange}u_0q^k} \times 1\\
		&= {\color{orange}u_0q^k}(q-1)
	\end{align*}
	
	Puisque $\color{orange}u_0q^k$ est un nombre positif $u_{k+1}-u_k$ est du signe de $q-1$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Premier cas: si $0\leqslant q <1$ alors $q-1<0$. Donc, quelque soit le nombre $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}-u_k<0$.
		
		Autrement dit, quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}<u_k$.
		
		Donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Deuxième cas: si $q=1$ alors $q=1$. Donc, quelque soit le nombre $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}-u_k=0$.
		
		Autrement dit, quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}=u_k$.
		
		Donc $(u_n)$ est constante.
		
		\item Troisième cas: si $q>1$ alors $q-1>0$. Donc, quelque soit le nombre $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}-u_k>0$.
		
		Autrement dit, quelque soit $k \in \mathbb{N}$, $u_{k+1}>u_k$.
		
		Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		
		\item Attention si $u_0<0$ le sens de variation est inversé.
		
		\item Ce résultat est assez naturel pour peu que nous soyons familiarisé avec les coefficients multiplicateurs. En effet si $q$ est vu comme un coefficient multiplicateur, lorsque $q<1$ cela correspond à une diminution et lorsque $q>1$ cela correspond à une augmentation.
		
		\item Sur le long terme il vaut mieux se souvenir de la méthode de la démonstration que du résultat lui-même.
		
		\item Il est par contre intéressant de se souvenir de ce résultat particulier pour la suite $(q^n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=960$ et de raison $\frac{1}{2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
		
		\item Pour tout entier naturel $n$ donnez l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $(v_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Suites arithmético-géométrique.}

\begin{notabene}
	Les astuces pour gérer ces suites
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Suite arithmético géométrique. Exercice 140 page 137 du manuel hachette repères 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}= 0,9u_n+90\\ u_0= 1000 \end{array} \right. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$et $u_2$.
		
		\item On considère la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par \[ v_n=u_n-900 . \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $v_0$ et $v_1$.
			
			\item Montrez que pour tout nombre entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,9v_n$.
			
			\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$? Écrivez $v_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déduisez-en pour tout nombre entier naturel $n$, $u_n=100 \times 0,9^n+900$.
		
		\item Conjecturez la valeur dont semble se rapprocher $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_1=990$, $u_2=981$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $v_0=90$, $v_1=81$.
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
				v_{n+1} &= {\color{Green}u_{n+1}}-900\\
				&= {\color{Green}0,9u_n+90}-900\\
				&= 0,9u_n-810\\
				&= {\color{WildStrawberry}0,9}u_n-{\color{WildStrawberry}0,9} \times 900\\
				&= {\color{WildStrawberry}0,9} \left({\color{Blue}u_n -900} \right)\\
				&= 0,9 {\color{Blue}v_n}
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ v_{n+1}=0,9v_n$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item D'après la question précédente
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de terme initial $v_0=90$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			On en déduit sa formule explicite, pour $n \in \mathbb{N}$:
			
			\begin{align*}
				v_{n} &= v_0 \times q^n
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ v_n=90 \times 0,9^n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_n &= v_n+900\\
			&= 90 \times 0,9^n+900
		\end{align*}
		
		\item $(0,9^n)_{n\geqslant 0}$ tend vers 0 donc $u_n$ tend vers $900$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a\in \mathbb{R} \setminus \{ 1\}$,
		
		\item $b\in\mathbb{R}$,
		
		\item $c$ l'unique solution de $x=ax+b$,
		
		\item  $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	La suite $(u_n-c)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de raison $a$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre $c$ est l'unique limite possible de la suite $(u_n)$ obtenue en passant à la limite dans la formule de récurrence.
		
	\end{enumerate}
\end{remarques}
\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Repères terminale 114 page 45
	\end{notabene}
	
	Un démographe étudie l'évolution de la population d'un pays.
	
	Depuis 1969 (cette année-là, ce pays comptait $\np{44500000}$ habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de $35$ pour mille et un taux de mortalité de $17$ pour mille.
	
	À ces variations, il faut ajouter $\np{25000}$ nouveaux arrivant dans ce pays et retirer $\np{9000}$ citoyens qui partent définitivement.
	
	On note $p_n$ la population de $1969+n$, exprimée en milliers d'habitants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $p_0$.
		
		\item Justifiez que pour tout entier naturel $n$: \[ p_{n+1}=1,018 p_n +16. \]
		
		\item Déterminez le réel $\ell$ tel que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ u_n=p_n-l\] soit géométrique.
		
		\item Déduisez-en les expressions de $u_n$ et $p_n$ en fonction de $n$ entier naturel.
		
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2012?
		
		\item À partir de quelle année le nombre d'habitant dépassera-t-il les 45 milliards?
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Donner des formules explicites et vérifier si la suite est arithmétique.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Baratin sur propriété universelle et contre-exemple.
		
	\end{notabene}
	
	Les suites suivantes sont-elles arithmétiques?
	
	\begin{enumerate}
		\item $(u_n)$ définit pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=(n+2)^2-n^2$.
		
		\begin{notabene}
			
			Pour celui-là méthode générale différences de deux termes consécutifs.
			
		\end{notabene}
		
		\item $(v_n)$ telle que, quelque soit $n$ entier positif, $v_n=n^2+1$.
		
		\item $(w_n)$ avec, pour tout entier naturel $n$, $w_n=-3n+2$.
		
		\begin{notabene}
			
			Méthode de la différence de deux termes consécutifs puis constater que cela se généralise sans difficulté: dès que l'on rencontre cette formule explicite il est possible d'affirmer qu'il s'agit d'une suite arithmétique.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{WildStrawberry}Si la suite n'est pas arithmétique il suffira peut être des trois premiers termes pour s'en rendre compte. Commençons donc par cela.}
		
		{\color{orange}
			\begin{align*}
				u_0 &= (0+2)^2-0^2\\
				&= 4\\
				u_1 &= (1+2)^2-1^2\\
				&= 8\\
				u_3 &= (2+2)^2-2^2\\
				&= 12
			\end{align*}
			
			$u_1-u_0=u_2-u_1=4$. Nous ne pouvons pas affirmer que la suite n'est pas arithmétique.
		}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(u_n)$ est arithmétique.}
		
		{\color{WildStrawberry}Nous devons démontrer que l'écart entre deux termes consécutifs de la suite est toujours le même.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= ((n+1)+2)^2-(n+1)^2-  \left[ (n+1)^2-n^2 \right]\\
			&= (n+3)^2-(n+1)^2-(n+1)^2+n^2\\
			&= n^2+6n+9-n^2-2n-1-n^2-2n-1+n^2\\
			&= 4
		\end{align*}
		
		Nous avons démontré que 
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est arithmétique de terme initial $u_0=4$ et de raison $4$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $v_0=1$, $v_1=2$ et $v_3=5$. Donc $v_1-v_0=1$ et $v_2-v_1=3$. Par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ n'est pas arithmétique.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que $(w_n)$ est arithmétiques.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			w_{n+1}-w_n &= -3(n+1)+2-\left[ -3n+2 \right]\\
			&= -3n-3+2+3n-2\\
			&= -3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Donner des formules explicites et vérifier si la suite est géométrique.
		
	\end{notabene}
	
	Les suites suivantes sont définies par des formules explicites. S'agit-il de suites géométriques?
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_n= \left( 3  \times 4 \right)^n \times 4$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $v_n=(-1)^n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $w_n= \frac{n+2}{n+1}$ quelque soit l'entier naturel $n$.
		
		\item $s_n=7 \times 3^{n-1}$ pour tout entier $n$ avec $n \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	On définit la suite $(u_n)$ par \[ u_0=1 \text{ et } \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n+1. \]
	
	\medskip
	Démontrez que la suite $(u_n)$ peut s'exprimez à l'aide de la formule explicite \[ u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2} \] pour tout entier naturel $n$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$ \fg{} pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ en raisonnant par récurrence.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Initialisation. Il s'agit de démontrer que $\mathscr{P}(0)$ est vraie. Autrement dit il faut établir l'égalité $u_0=\frac{1}{2} \times 3^{0+1}-\frac{1}{2}$.}
		
		D'une part: $u_0=1$,
		
		d'autre part: $\frac{1}{2} \times 3^{0+1}-\frac{1}{2}=1$,
		
		donc $\mathscr{P}(0)$ st vraie.
		
		\item {\color{orange}Hérédité.}
		
		{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		{\color{orange}Nous devons démontrer l'égalité $u_{n+1}= \frac{1}{2} \times 3^{(n+1)+1}-\frac{1}{2}$ \emph{i.e.} $u_{n+1}= \frac{1}{2} \times 3^{n+2}-\frac{1}{2}$. Pour démontrer cette égalité nous partons du membre de gauche.} 
		
		D'après la formule de récurrence définissant $(u_n)$:
		
		\begin{align*}
			u_{n+1} &= 3u_n+1\\
			\intertext{Or d'après l'hypothèse de récurrence $u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$ donc}
			u_{n+1} &= 3 \times \left( \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2} \right) +1\\
			&= 3 \times \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-3 \times \frac{1}{2}+1\\
			&= \frac{1}{2} \times 3 \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{2} \times 3^{n+2}-\frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
		
	\end{enumerate}
	
	Nous avons démontré en raisonnant par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
	
	\begin{conclusion}
		
		le terme général de la suite $(u_n)$ est donné par $u_n=\frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	Soit $f: x \mapsto \dfrac{x+2}{x+1}$ une fonction.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Donnez, en justifiant, le domaine de définition de $f$.
			
			\item Calculez $f'$, la dérivée de $f$, en précisant son domaine de dérivabilité.
			
			\item Étudiez, si vous l'avez déjà appris au lycée, les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
			
			\item Étudiez le signe de $f'$ et déduisez-en le tableau de variation de $f$.
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$?$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,?,d,?,}%
				\tkzTabVar {+/ $?$, -D+ / $?$ / $?$, - / $?$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\end{enumerate}
		
		\item On admet que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty[$.
		
		\medskip
		Notons $(R_n)$ la suite définie par récurrence par \[ R_{n+1} = \frac{R_n+2}{R_n+1}, \] où $n\in \mathbb{N}$ et $R_0=2$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez l'encadrement valable pour tout entier naturel $n$: \[ 1 \leqslant R_n \leqslant 2. \]
				
			\item Justifiez que si $(R_n)$ admet une limite $\ell \in\mathbb{R}$ alors forcément $\ell$ vérifie: \[ \ell(\ell+1)=\ell+2. \]
			
			\item Déduisez-en que si $(R_n)$ admet une limite ce ne peut être que $\sqrt{2}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{19}
\begin{exercice}{ - suite.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Introduisons une suite auxiliaire $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ a_n=\frac{R_n-\sqrt{2}}{R_n+\sqrt{2}}. \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que $(a_n)$ est une suite géométrique de terme initial $a_0= \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ et de raison $q=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$.
			
			\item En admettant que la raison $q=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ vérifie $-1<q<0$ déterminez la limite de $(a_n)$.
			
			\item Concluez quant à la convergence de $(R_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}{}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ hormis la valeur qui annule son dénominateur à savoir $-1$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{D}_f=\mathbb{R} \setminus \{ -1 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons $f'$.}
				
				$f=\frac{u}{v}$ où $u(x)=x+2$ et $v(x)=x+1$.
				
				Puisque $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et puisque $v$ s'annule en $-1$, $f$ est dérivable sur 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathscr{D}_{f'}= \mathbb{R}\setminus \{ -1 \}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\medskip
				De plus: \[ f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
				
				Or $u'(x)= 1$ et $v'(x)=1$ donc, pour tout $x \in \mathscr{D}_{f'}$ on a
				
				\begin{align*}
					f'(x) &= \frac{1 \times (x+1)-(x+2) \times 1}{(x+1)^2}\\
					&= \frac{x+1-x-2}{(x+1)^2}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall x \in \mathscr{D}_{f'},\ f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\item \begin{enumerate}[*]
					\item $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{x+1}= \lim_{x \to +\infty}\frac{x}{x}=1$.
					
					\item De même: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{x+1}=1$.
					
					\item $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to 1 \\ x>1 \end{subarray}} x+1=0^+$ et $\lim_{x \to 1} x+2=3$ donc 
					$\lim_{\begin{subarray}{c}x \to 1 \\ x>1 \end{subarray}} \frac{x+2}{x+1}=+\infty$.
					
					\item De même $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to 1 \\ x<1 \end{subarray}} \frac{x+2}{x+1}=-\infty$.
				\end{enumerate}
			
			\item $f$' est un quotient: son dénominateur est positif et son numérateur strictement positif. Donc
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
						{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
						\tkzTabLine{,-,d,-,}%
						\tkzTabVar {+/ $1$, -D+ / $-\infty$ / $+\infty$, - / $1$ / }
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Procédons par récurrence. Notons $\mathscr{Q}(n)$: \og $1 \leqslant R_n \leqslant 2$ \fg{}.
				
				L'initialisation est évidente passons à l'hérédité.
				
				\medskip
				Soit $n \in \mathbb{N}$.
				
				Supposons $\mathscr{Q}(n)$ vraie. et démontrons que $\mathscr{Q}(n+1)$  l'est aussi.
				
				Par hypothèse de récurrence: $1																																																																																																																																																																																																																h \leqslant R_n \leqslant 2$.
				
				Or $f$ est décroissante sur $[1;2]$ donc \[ f(1) \geqslant f(R_n) \geqslant f(2). \]
				
				Comme $f(1)=\frac{3}{2} \leqslant 2$ et $f(2)=\frac{4}{3} \geqslant 1$ nous avons \[ 2 \geqslant f(R_n) \geqslant 1.\]
				
				Enfin de $f(R_n)=R_{n+1}$ nous déduisons \[ 1 \leqslant R_{n+1} \leqslant 2. \]
				
				Autrement dit $\mathscr{Q}(n+1)$ est vraie.
				
			\item Nous savons que la formule de récurrence est vraie: $R_{n+1}=\frac{R_n+2}{R_n+1}$.
				
				Donc:
				\begin{align*}
					R_{n+1} \times (Rn+1) &= \frac{R_n+2}{R_n+1} \times (R_n+1)\\
					R_{n+1} \times (R_n+1) &= R_n+2
				\end{align*}
				
				Puisque $(R_n)$ est supposée converger vers $\ell$ et puisque $x \mapsto x(x+1)$ et $x \mapsto x+2$ sont continues, en passant à la limite dans la précédente égalité:
				
				\begin{conclusion}
					
					$\ell (\ell+1)=\ell+2$.
					
				\end{conclusion}
			
			\item D'après la question précédente $\ell$ devrait être solution de \[ x(x+1)=x+2.\]
				
				Or cette équation équivaut successivement à
				
				\begin{align*}
					x\times x + x \times 1 &= x+2\\
					x^2 + x &= x+2\\
					x^2+x-x-2 &= x+2-x-2\\
					x^2-2 &= 0\\
					x^2-\sqrt{2}^2 &= 0\\
					(x-\sqrt{2} ) ( x+\sqrt{2}) &= 0\\
					x=\sqrt{2}\quad &\text{ou} \quad x=-\sqrt{2}
				\end{align*}
				
				Or d'après la question précédente $R_n \in [1;2]$ donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					la seule limite possible est $\sqrt{2}$.
					
				\end{conclusion}
				
		\end{enumerate}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			 \begin{enumerate}[*]
					\item 
					
					\begin{align*}
						a_0 & =\frac{R_0-\sqrt{2}}{R_0+\sqrt{2}}\\
						&= \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\\
					\end{align*}
					
					\item 
					
					\begin{align*}
						a_{n+1} &= \frac{R_{n+1}-\sqrt{2}}{R_{n+1}+\sqrt{2}}\\
						&= \frac{\frac{R_n+2}{R_n+1}-\sqrt{2}}{\frac{R_n+2}{R_n+1}+\sqrt{2}}\\
						&= \frac{R_n+2-\sqrt{2}(R_n+1)}{R_n+2+\sqrt{2}(R_n+1)}\\
						&= \frac{(1-\sqrt{2})R_n+2-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})R_n+2+\sqrt{2}}\\
						&= \frac{(1-\sqrt{2})R_n+\sqrt{2} \times \sqrt{2}-\sqrt{2}\times 1}{(1+\sqrt{2})R_n+\sqrt{2} \times \sqrt{2}+\sqrt{2}\times 1}\\
						&= \frac{(1-\sqrt{2})R_n-\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}+ 1)}{(1+\sqrt{2})R_n+\sqrt{2} \times (\sqrt{2}+1)}\\
						&= \frac{(1-\sqrt{2}) (R_n-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(R_n+\sqrt{2})}\\
						&= \frac{1-\sqrt{2} }{(1+\sqrt{2}} \times \frac{R_n-\sqrt{2}}{R_n+\sqrt{2}}\\
						&= \frac{1-\sqrt{2} }{(1+\sqrt{2}} \times a_n\\
					\end{align*}
					
				\end{enumerate}
				
				\begin{conclusion}
					
					$(a_n)$ est géométrique de terme initial $a_0= \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ et de raison $q=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$.
					
				\end{conclusion}
			
			\item Puisque la raison $q$ de la suite géométrique $(a_n)$ vérifie $-1<q<1$ 
				
				\begin{conclusion}
					
					$(a_n)$ converge vers $0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\item Puisque $a_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et que $R_n\geqslant 0$ nécessairement $R_n-\sqrt{2} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
				
				Autrement dit 
				
				\begin{conclusion}
					
					$R_n\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}  \sqrt{2}$.
					
				\end{conclusion}
				
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}