
%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{18 Limites d'une fonction.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{18 Limites d'une fonction.}

\begin{notabene}
	
	Couper en trois morceaux: définiton des limites 18
	
	25. Limites et continuité. Opérations algébriques sur les limites.
	
	Limites et continuité. Limites et composition (de deux fonctions ou d'une
	fonction et d'une suite).
	
\end{notabene}

\subsection{Voisinage.}

\begin{lecon}
	
	Soit $a \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$. Ainsi $a$ peut être un réel ou $+\infty$ ou $-\infty$.
	
	\medskip
	Si $a \in \mathbb{R}$ nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $a$} tout intervalle ouvert contenant $a$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $+\infty$} tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ où $A \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}voisinage ouvert de $-\infty$} tout intervalle de la forme $]-\infty,A[$ où $A \in\mathbb{R}$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $]-1,2;0,5[$ est un voisinage ouvert de $0$ par contre $]2;4[$ n'en n'est pas un.
		
		\item $]1;4[$ est un voisinage ouvert de $\pi$.
		
		\item $]2;3[$ est un voisinage ouvert de $\mathrm{e}$.
		
		\item $]-\infty,4[$ est un voisinage ouvert de $-\infty$.
		
		\item $\mathbb{R}$ est un voisinage ouvert de n'importe quel nombre, de $+\infty$ et de $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Dans cette leçon nous nous intéressons à ce qui se passe pour $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche de valeurs particulières dans l'ensemble de définition ou aux bornes de l'ensemble de définition. Le fait de travailler avec des voisinages signifie pouvoir choisir un ensemble qui nous facilite les choses (ne contenant pas de valeurs interdite, sur lequel la fonction est monotone, ...): nous nous intéressons aux propriétés asymptotiques.	
	
\end{lecon}

\subsection{Limites.}

\begin{correction}
	
	Une approche intuitive des situations et questions que nous allons rencontrer: \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_01_approche_intuitive_de_la_limite.ggb}{fichier Geogebra}.
	
\end{correction}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathscr{D} \cup \{ + \infty, -\infty\}$.
		
		\item $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ admet $\ell$ pour limite en $a$} si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: \[ \forall x \in I,\ f(x) \in J. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Une application est une fonction dont le domaine de définition coïncide avec l'ensemble de départ.
		
		\item Si $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ alors nous noterons \[ \color{purple} \lim_{x \to a} f(x)=\ell. \] ou \[ \color{purple} f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ell \] ou encore \[ \color{purple} \lim_{a} f =\ell. \]
		
		\item Voici une visualisation de cette définition avec \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_02_definition_de_la_limite.ggb}{Geogebra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Il faudrait un accompagnement visuel géogébra ou diapositive montrer l'aspect dynamique: je prends un voisinage plus proche de la limite et je constate que je peux trouver un voisinage plus proche de $a$ qui convienne.
		
		Peut être faire une escroquerie qui donne l'impression que lorsque se ressert autour de $a$ c'est l'intervalle autour de $\ell$ qui se ressert.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Au voisinage de $a=+\infty$, $f(x)$ semble...
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
				\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
				%Limite
				\def\elle{2};
				\draw [dashed,black] (0,2) -- (8,2);
				\draw [black] (-0.25,{\elle}) node {$\ell$};
				%Voisinage de la limite
				\def\epsilone{0.5};
				\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle+\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone})-- cycle;
				\draw [Green] (-0.5,{\elle}) node {$J$};
				\draw [Green, very thick] (0,{\elle-\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone});
				\draw [Green] (0,{\elle+\epsilone}) node [rotate=90] {$[$};
				\draw [Green] (0,{\elle-\epsilone}) node [rotate=-90] {$[$};
				%Voisinage de l'image réciproque			
				\fill [color=Red , opacity=0.25] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) -- (8,0) -- (8,5) -- ({(1+\epsilone)/\epsilone},5) -- cycle;
				\draw [Red] (6,-0.25) node {$I$};
				\draw [Red, very thick] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) -- (8,0);
				\draw [Red] ({(1+\epsilone)/\epsilone},0) node {$]$};
				%Fonction 
				\draw[black, thick][samples=100,domain=1.4:8] plot(\x,{1+\x /(\x-1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... se rapproche de $\ell \in \mathbb{R}$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] \ell -\epsilon,\ell+ \epsilon[$, de $\ell$, il existe un voisinage $I$, de $+\infty$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		
		Nous dirons que \emph{\color{purple}la droite $y=\ell$ est asymptote (horizontale) à $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$}.
		
		\item Au voisinage de $a=+\infty$, $f(x)$ semble...
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{3.5};
				\def\yZ{9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
				\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
				%Voisinage de la limite
				\def\A{1.5};
				\draw [Green] (-0.25,{\A}) node [above left] {$A$};
				\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\A}) -- (3.5,{\A}) -- (3.5,9) -- (0,9)-- cycle;
				\draw [Green] (-0.5,{\A+3}) node {$J$};
				\draw [Green, very thick] (0,{\A}) -- (0,{9});
				\draw [Green] (0,{\A}) node [rotate=90] {$]$};
				%Voisinage de l'image réciproque			
				\fill [color=Red , opacity=0.25] ({sqrt(1.5)},{0}) -- ({\xZ},0) -- ({\xZ},{\yZ}) -- ({sqrt(1.5)},{\yZ}) -- cycle;
				\draw [Red] (3,-0.25) node {$I$};
				\draw [Red, very thick] ({sqrt(1.5)},{0}) -- ({\xZ},0);
				\draw [Red] ({sqrt(1.5)},{0}) node {$]$};
				%Fonction 
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:3] plot(\x,{\x *\x});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... augmenter sans limitation, $f(x)$ tend vers $+\infty$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] A,+\infty [$, de $+\infty$, il existe un voisinage $I$, de $+\infty$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		\item Au voisinage de $a\in \mathbb{R}$, $f(x)$ semble...
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$+\infty$};
				\draw[ ->] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$+\infty$};
				%Limite
				\def\elle{3};
				\draw [dashed,black] (0,3) -- (8,3);
				\draw [black] (-0.25,{\elle}) node {$\ell$};
				%Voisinage de la limite
				\def\epsilone{0.5};
				\fill [color=Green , opacity=0.25] (0,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle-\epsilone}) -- (8,{\elle+\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone})-- cycle;
				\draw [Green] (-0.5,{\elle}) node {$J$};
				\draw [Green, very thick] (0,{\elle-\epsilone}) -- (0,{\elle+\epsilone});
				\draw [Green] (0,{\elle+\epsilone}) node [rotate=90] {$[$};
				\draw [Green] (0,{\elle-\epsilone}) node [rotate=-90] {$[$};
				%Voisinage de l'image réciproque
				\draw [dashed, black] ({(1+\elle)/(\elle-1)},0) -- ({(1+\elle)/(\elle-1)},{\elle});			
				\fill [color=Red , opacity=0.25] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},5) -- ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},5) -- cycle;
				\draw [black] ({(\elle-1)/(\elle-2)},-0.25) node {$a$};
				\draw [Red] ({(\elle-1)/(\elle-2)},-0.5) node {$I$};
				\draw [Red, very thick] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) -- ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0);
				\draw [Red] ({(\elle-\epsilone-1)/(\elle-\epsilone-2)},0) node {$[$};
				\draw [Red] ({(\elle+\epsilone-1)/(\elle+\epsilone-2)},0) node {$]$};
				%Fonction 
				\draw[black, thick][samples=100,domain=1.4:8] plot(\x,{1+\x /(\x-1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		... se rapprocher de $\ell \in \mathbb{R}$.
		
		Quel que soit le voisinage ouvert, $J=] \ell -\epsilon,\ell+ \epsilon[$, de $\ell$, il existe un voisinage $I$, de $a$, tel que: $\forall x \in I,\ f(x)\in J$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Exemples de référence.}

\begin{notabene}
	
	Limites en $\pm \infty$ et aussi dans le domaine de définition et graphique côte à côte pour les fonctions:
	
	\begin{itemize}
		
		\item $x$
		
		\item $x^2$
		
		\item $x^3$
		
		\item $\sqrt{x}$.
		
		\item $\frac{1}{x}$.
		
		\item $\frac{1}{x^2}$.
		
		\item $\frac{1}{\sqrt{x}}$
		
		\item $\ln(x)$.
		
		\item $\exp(x)$.
		
	\end{itemize}
	
	Puis ajouter les limites générales de $x^n$ et $\frac{1}{x^n}$.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les résultats qui suivent sont à connaître par cœur. Ils constituent un alphabet avec lequel nous allons composer des mots.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Fonctions puissances.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		\item $a \in\mathbb{R}$,
		\item $\alpha \in\mathbb{R}_+^*$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $\displaystyle x^n \underset{x \to a}{\longrightarrow}a^n$.
		
		\item $\displaystyle x^n \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
		\item Si $n$ est pair alors: $\displaystyle x^n \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
		\item Si $n$ est impair alors: $\displaystyle x^n \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow}-\infty$.
		
		\item Si $a>0$ alors: $\displaystyle x^{\alpha} \underset{x \to a}{\longrightarrow}a^{\alpha}$.
		
		\item $\displaystyle x^{\alpha} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\item Se déduit de (ii) par parité de $x \mapsto x^n$.
		
		\item Idem.
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{}
	
	Soit $a \in \mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\[ |x| \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow}+\infty \quad \text{et} \quad |x| \underset{x \to a}{\longrightarrow}|a|. \]
	
\end{corollaire}

\begin{proposition}{ - Fonction racine carrée.}
	
	Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
	
	\medskip
	\[ \sqrt{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \sqrt{x} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \sqrt{a}\]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction racine cubique.}
	
	Soit $a \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\[ \sqrt[3]{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \sqrt[3]{x} \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} -\infty  \quad \text{et} \quad \sqrt[3]{x} \underset{x \to a}{\longrightarrow} \sqrt[3]{a} \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction exponentielle.}
	
	Soit $a \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	\[ \mathrm{e}^{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty  \quad \text{et} \quad \mathrm{e}^{x} \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} 0  \quad \text{et} \quad \mathrm{e}^x \underset{x \to a}{\longrightarrow} \mathrm{e}^a \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction logarithme népérien.}
	
	Soit $a \in\mathbb{R}_+^*$.
	
	\medskip
	\[ \ln(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty  \quad \text{et} \quad \ln(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \ln(a) \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous nous ferons désormais un devoir de compléter les tableaux de variations par les limites.
		
		Ainsi:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^2$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $0$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		et
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
				{$-\infty$ , $+\infty$}
				\tkzTabVar {- / $-\infty$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Limites en un réel par valeurs supérieures et inférieures.}

\begin{notabene}
	
	À refaire en travaillant avec les voisinages
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous avons été confrontés à la forme indéterminée $\frac{\cdot}{0}$. Nous allons voir une approche permettant de lever parfois cette indétermination.
	
	Un exemple typique de la situation qui nous intéresse est celui de la fonction inverse en $0$.
	
\end{lecon}

\begin{correction}
	
	Explorons cette nouvelle situation avec \href{http://unemainlavelautre.net/0ieme/0ieme_analyse_03_limite_continuite_01_approche_intuitive_de_la_limite.ggb}{Geogebra}.
	
\end{correction}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in \mathbb{R}$.
		
		\item $\ell \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty, -\infty\}$,
		
		\item $f:\mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$} si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: \[ \forall x \in ]-\infty,a[ \cap I \cap \mathscr{D},\ f(x) \in J. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On définit de même la \emph{\color{purple}limite à droite en $a$}: $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ si et seulement si, quelque soit le voisinage ouvert $J$ de $\ell$, il existe un voisinage ouvert $I$ de $a$ tel que: \[ \forall x \in ]a,+\infty[ \cap I,\ f(x) \in J. \]
		
		\item Au lieu de dire \og limite à droite \fg{} nous dirons parfois \og \emph{\color{purple}limite par valeurs supérieures} \fg{} et au lieu de \og limite à gauche\fg{} nous dirons tout aussi bien \og \emph{\color{purple}limite par valeurs inférieures}.
		
		\item Si $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ on note: \[ \color{purple} \lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}} f(x)=+\infty\] ou \[ \color{purple} f(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}}{\longrightarrow} \ell \] ou \[ \color{purple} \lim_{x \to a^+} f(x)=\ell. \]
		
		\item Si $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ x>a \end{subarray}} f(x)=\pm \infty$ alors, pour décrire la situation graphique, nous dirons que $\mathscr{C}_f$, \emph{\color{purple}la courbe représentative de $f$ admet une asymptote verticale en $a$}, ou encore que \emph{\color{purple}$\mathscr{C}_f$ admet une asymptote d'équation $x=a$}.
		
		\item Les résultats précédemment vus sur les limites restent valables pour ces limites à gauche et à droite.
		
		
		\begin{notabene}
			
			Faire la liste des propriétés qui restent valables pour ces limites.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Exemples de référence.}

\begin{proposition}{ - Fonction inverse en $0$.}
	
	\[ \frac{1}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \frac{1}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\item La seconde limite découle de la première par imparité de la fonction inverse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Fonction puissance d'un réel en $0$.}
	
	\[ x^a \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 0. \]
	
\end{proposition}


\begin{proposition}{ - Fonctions puissances négatives.}
	
	Si $n\in \mathbb{N}^*$ est impaire alors:
	
	\[ \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty. \]
	
	Si $n\in \mathbb{N}^*$ est paire alors:
	
	\[ \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \frac{1}{x^n} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty. \]
	
	Si $a\in \mathbb{R}_+^*$ alors:
	
	\[ \frac{1}{x^a} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Fonction logarithme népérien en $0$.}
	
	\[ \ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty, \quad \text{} \quad  x^n \ln(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}0 \quad \text{et} \quad  \lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} x^{\beta} \left| \ln(x) \right| ^{\alpha}=0. \]
	
\end{proposition}


\begin{proposition}{ - Fonction tangente.}
	
	\[ \tan(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to \frac{\pi}{2}\\ x < \frac{\pi}{2} \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \tan(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to -\frac{\pi}{2} \\ x> -\frac{\pi}{2} \end{subarray}}{\longrightarrow}-\infty. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\item La seconde limite découle de la première par imparité de la fonction inverse.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Une astuce pour certaines limites indéterminée en un réel.}

\begin{lecon}
	
	Revenons sur méthode croisée lors d'une démonstration.
	
	Il est possible parfois d'identifier une taux de variation d'une fonction dérivable: si $f$ est dérivable en $a\in\mathbb{R}$ alors $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \underset{x \to a}{\longrightarrow} f'(a)$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous avions déjà indiqué dans la proposition sur les comparaisons de fonctions que: $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} =1$ et $\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+x)}{x} =1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Faire des exercices de lecture graphique deviner les limites d'après la représentation graphique. Dessiner le tabeau e variation	
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}