%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{16 Suites monotones.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{16 Suites monotones.}

\subsection{Caractérisations de la monotonie d'une suite.}

\subsubsection{Les suites, des fonctions comme les autres.}

\begin{notabene}
	
	Vocabulaire restriction.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une fonction que l'on peut noter plus classiquement, $u:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Une suite est donc \emph{\color{purple}monotone} si et seulement si elle est monotone en tant que fonction.
	
	Nous aurons par exemple, $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante si et seulement si: $\forall (n,m)\in\mathbb{N}^2,\ (n<m) \Rightarrow (u_n<u_m)$.
	
	\medskip
	En fait il faut et il suffit que les termes successifs de la suite soit dans l'ordre croissant pour que la suite soit croissante. Par exemple si je construis une suite en ajoutant $3$ à chaque terme la suite est croissante car chaque nouveau terme est plus grand que le précédent.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante si et seulement si: \[\forall n\in\mathbb{N},\ u_n<u_{n+1}.\]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Il y a des proposition comparables pour croissante, décroissante et strictement décroissante.
	\end{enumerate}
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Il arrive qu'une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ soit la restriction à $\mathbb{N}$ d'une fonction d'une fonction définie sur $\mathbb{R}_+$.
	
	Par exemple la suite $\left( \frac{1}{n+1} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est la restriction à $\mathbb{N}$ de la fonction $f:x \mapsto \frac{1}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R}_+$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Condition suffisante de monotonie.}
	
	Soit $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
	
	\medskip
	Si $f$ est croissante (respectivement strictement croissante, resp. décroissante, resp. strictement décroissante) alors la suite $(f(n))_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante (respectivement strictement croissante, resp. décroissante, resp. strictement décroissante).
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La réciproque est fausse: si la suite est monotone la fonction sur $\mathbb{R}_+$ n'est pas forcément monotone.
		
		\item Si la fonction $f$ n'est pas monotone on ne peut rien conclure pour la suite qui peut être monotone ou pas.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsubsection{Comparaison arithmétique.}

\begin{proposition}{}
	
	Soit  $\left( u_n \right)_{n \geqslant p}$ une suite numérique.
	
	\medskip
	$\left( u_n \right)_{n \geqslant 0}$ est strictement croissante si et seulement si \[ \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}-u_n>0.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Rappelons la définition de fonction strictement croissante. Une fonction $f$ est strictement croissante si et seulement si pour tous nombres $a$ et $b$ choisis dans son ensemble de définition si $a<b$ alors, forcément, $f(a)<f(b)$.}
	
	\medskip
	Notons $\mathscr{D}_p= \{ p;\ p+1;\ \dots \}$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Soit n$ \geqslant p$ un entier naturel.
		
		Si $u$ est une fonction strictement croissante sur $\mathscr{D}_p$, alors par définition de la croissance: quelque soient $a$ et $b$ dans $\mathscr{D}_p$, si $a<b$ alors $u(a)<u(b)$.
		
		En particulier pour $a=n$ et $b=n+1$: $u(n)<u(n+1)$.
		
		Autrement dit: $0< u(n+1)-u(n)$.
		
		\item Supposons que, quelque soit $n \geqslant p$, $u_{n+1}>u_n$ et démontrons que $u$ est strictement croissante.
		
		Soient $a<b$ deux éléments de $\mathscr{D}_p$. Nous avons de proche en proche: $u(a)<u(a+1)<u(a+2)< \dots <u(b)$.
		
		Ainsi $u$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Nous avons des résultats similaires pour croissante, décroissante, strictement décroissante.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Afin de connaître le sens de variation de la suite définie, pour tour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=n^2$ nous devons étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		Soit donc $n \in \mathbb{N}$.
		
		{\color{orange} Comme $u_{n+1}=(n+1)^2$.}
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= (n+1)^2-n^2 \\
			&= 2n+1
		\end{align*}
		
		Donc: $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
		\item La suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n+1}=u_n+n^2+1$ et $u_0=0$ est strictement croissante puisque, quelque soit le $n \in \mathbb{N}$ choisi nous avons:
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= n^2+1
		\end{align*}
		
		Donc $u_{n+1}-u_n>0$, pour tout entier naturel $n$. Et par conséquent $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{remarques}
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat est incontournable en particulier pour les suites définies par récurrence.
		
		\item Une analogie avec les suites arithmétiques est possible. Nous regardons si la raison (qui ici est en fait variable), c'est à dire la variation absolue entre deux termes consécutifs est positive ou non. Comme pour les suites arithmétiques: si la raison est positive alors la suite est croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Comparaison géométrique.}

\begin{lecon}
	
	Pour comparer deux nombres positifs on fait leur rapport que l'on compare alors à $1$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soit  $\left( u_n \right)_{n \geqslant p}$ une suite de nombres strictement positifs.
	
	\medskip
	$\left( u_n \right)_{n \geqslant 0}$ est strictement croissante si et seulement si \[ \forall n\in \mathbb{N},\ \frac{u_{n+1}}{u_n}>1.\]
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite $(n!)$ est croissante puisque, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{remarques}
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat nécessite d'avoir des suites de signe constant et ne s'annulant pas. Il faut de plus que l'expression du terme général de la suite s'y prête: quotient, produit, factoriel,...
	\end{enumerate}
\end{remarques}
\subsection{Théorème de la limite monotone.}

\subsubsection{Limite finie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et majorée est convergente vers sa borne supérieure.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente vers sa borne inférieure.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item L'ensemble de tous les termes de la suite, $\left\{ u_n\ |\ n\in\mathbb{N} \right\}$, est une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ donc elle admet une borne supérieure que nous noterons $\ell$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(u_n)$ converge vers $\ell$.}
		
		Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a<\ell<b$.
		
		Puisque $\ell$ est la borne supérieure de de l'ensemble des termes de la suite, il existe un entier $N$ pour lequel $u_N\in ]a,\ell]$.
		
		Comme la suite et majorée par $\ell$ et croissante nous en déduisons que: \[ \forall n\geqslant N,\ u_n\ ]a,\ell].\]
		
		Enfin, puisque $]a,\ell] \subset ]a,b[$, nous pouvons conclure:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ converge vers $\ell$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Idem.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Contrairement au théorème d'encadrement, celui-ci ne permet pas de connaître la limite mais uniquement son existence en tant que borne inférieure.
		
		\item L'utilisation de ce résultat se prolonge en général par une recherche d'encadrement de la limite par divers procédés notamment algorithmiques.
		
		\item En général la limite n'est pas le majorant ou le minorant.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La suite  $\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante minorée par $-1$ donc elle est convergente. Nous savons même qu'elle converge vers $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Limite infinie.}

\begin{proposition}{ - Théorème de la limite monotone.}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Toute suite réelle croissante et non majorée a pour limite $+\infty$.
		
		\item Toute suite réelle décroissante et non minorée a pour limite $-\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Soit $A\in \mathbb{R}_+^*$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, à partir d'un certain rang, tous les termes de $(u_n)$ sont dans $]A,+\infty[$.}
		
		Puisque $(u_n)$ n'est pas majorée par $A$ il existe un rang $N\in\mathbb{N}$ pour lequel $u_N>A$.
		
		Et comme $(u_n)$ est croissante: \[ \forall n\geqslant N,\ u_n>A.\]
		
		Autrement dit à partir de ce rang $N$ tous les termes de la suite sont dans $]A,+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ tend vers $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Ce déduit de (i) en considérant $(-u_n)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Suites adjacentes.}

\begin{proposition}{ - Suites adjacentes}
	
	Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles.
	
	\medskip
	Si 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(u_n)$ est croissante,
		
		\item $(v_n)$ est décroissante et
		
		\item $v_n-u_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0$
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	alors les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites \emph{\color{purple}adjacentes} et dans ce cas elles convergent vers une même limite $\ell \in\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	De plus on a: \[\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \ell \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	$w_n=v_n-u_n$ est décroissante car $w_{n+1}-w_n\leqslant 0$. Comme la limite $(w_n)$ est $0$ on en déduit que $u_n\leqslant v_n$.
	
	Donc: $u_{n}\leqslant u_{n+1} \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n$ donc $(u_n)$ est croissante et majorée par $u_0$ donc converge vers un réel $\ell$. De même $(v_n)$ converge vers une réel $\ell'$. Comme $v_n-u_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0$, $\ell-\ell'=0$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $u_n=2-\frac{3}{n^2}$ et $v_n=2+\frac{3}{n^2}$.
		
		\item $u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{n \times n!}$ sont adjacentes.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			sup 1ieme ecs1 dunod j'intègre méthodes et exercice  lardon 2011
			
			exo 8.15 page 156
			
		\end{notabene}
		
		Pour tout entier $n \geqslant 2$ on note \[ u_n =\left( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \right) -\ln(n) \text{ et } v_n= \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) -\ln(n). \]
		
		$(u_n)_{n\geqslant 2}$ et $(v_n)_{n\geqslant 2}$ sont adjacentes et convergent vers un nombre appelé constante d'Euler et noté $\gamma$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		restriction de fonction monotone avec fonction de référence.
	\end{notabene}
	
	Déterminez la monotonie des suites dont on donne le terme général.
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\sqrt{n}$.
		\task $\mathrm{e}^n$.
		\task $\dfrac{1}{n}$.
		\task $n^2$.
		\task $n^3$.
		\task $\sqrt[3]{n}$.
		\task $\ln(n)$.
		\task $\sin\left( n\dfrac{\pi}{2} \right)$.
		\task $\tan(n\pi)$.
		\task $-\frac{13}{3}n+2$.
		\task $n^2+\sqrt{n}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 142 page 164. Série de Riemann
		
		Problème de Bâle résolu en 1735 par Euler la limite est $\frac{\pi^2}{6}$.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}. \]
	
	Prouvez que $(u_n)$ est croissante et majorée puis concluez.
	
	Pour établir la majoration on établira, pour tout entier $k>1$: \[ \frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple de télescopage.
		
	\end{notabene}
	
	La croissance est triviale.
	
	On remarque un télescopage sur les sommes majorant: $u_n\leqslant 1-\frac{1}{n}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		sup bcpst exercices incontournables 2022 exo9.7 page 195
		
	\end{notabene}
	
	Pour $n \in \mathbb{N}^*$ on pose: \[ u_n =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \text{ et } v_n=u_n+\frac{1}{n}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que pour tout $k \geqslant 1$, \[ \frac{1}{(k+1)^2} \leqslant \frac{1}{k} -\frac{1}{k+1} \leqslant \frac{1}{k^2} \] et déduisez-en la convergence de $(u_n)$.
		
		\begin{notabene}
			Cette question à déjà été faite dans un exercice précédent.
		\end{notabene}
		
		\item Montrez que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\item \objectif{Démontrons que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{(n+1)^2}$ donc $(u_n)$ est strictement croissante.
			\item $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ v_n-u_n=\frac{1}{n}$ donc $v_n-u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
			\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			\begin{align*}
				v_{n+1}-v_n &= \left( u_{n+1}\frac{1}{n+1} \right) - \left( u_n+\frac{1}{n} \right)\\
				&= {\color{orange}u_{n+1}-u_n}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\\
				v_{n+1}-v_n &\leqslant {\color{orange}\frac{1}{(n+1)^2}} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}\\
				\intertext{En tenant compte de l'encadrement démontré à la question précédente:}
				v_{n+1}-v_n &\leqslant {\color{orange}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}\\
				&\leqslant 0
			\end{align*}
			Donc $(v_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\geqslant 1}$ et $(v_n)_{n\geqslant 1}$ sont adjacentes.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Nous en déduisons que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)_{n\geqslant 1}$  est convergente et a la même limite que la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ .
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		La suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ qui est appelée la série de Riemann de paramètre $2$ joue et jouera pour nous un rôle important. Nous ne l'avons pas encore démontré mais sa limite est $\frac{\pi^2}{6}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Montrez que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ dont le terme général est donné ci-dessous sont adjacentes: \[ u_n=\sum_{k=3}^n \frac{1}{k^2+1} \text{ et } v_n=u_n+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 143 page 164. Presque harmonique.
	\end{notabene}
	
	Montrez que la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ converge.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item La suite est croissante: $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}>0$.
		
		\item $(v_n)$ est majorée par $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+1} \leqslant 1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}



\begin{exercice}{D}
	
	\begin{notabene}
		boilley.ovh
		
		exercice 26
		
	\end{notabene}
	
	On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ S_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}. \] Montrer que les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont adjacentes.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Il s'agit d'une situation classique. Nous séparons la suite en deux suites extraites qui regroupées forment la suite toute entière. Il s'agit d'une astuce usuelle pour déterminer la limite d'une suite.}
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que les suites $(S_{2n})_{n \geqslant 0}$ et $(S_{2n+1})_{n\geqslant 0}$ sont adjacentes.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			S_{2n+2}-S_{2n} &= \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+2+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1+1}\\
			&= \frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+2}\\
			&= -\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}\\
			&\leqslant 0
		\end{align*}
		
		Donc $(S_{2n})_{n \geqslant 0}$ est décroissante.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			S_{2n+3}-S_{2n+1} &= \frac{(-1)^{2n+3}}{2n+3+1}+\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+2+1}\\
			&= -\frac{1}{2n+4}+\frac{1}{2n+3}\\
			&= \frac{1}{(2n+4)(2n+3)}\\
			&\geqslant 0
		\end{align*}
		
		Donc $(S_{2n+1})_{n \geqslant 0}$ est croissante.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			S_{2n+1}-S_{2n} &= -\frac{1}{2n+2}
		\end{align*}
		
		Or $-\frac{1}{2n+2} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ donc $S_{2n+1}-S_{2n} \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Les suites $(S_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ et $(S_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ sont adjacentes.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Les deux suites obtenues en regardant les termes de rangs pairs et impairs sont donc convergentes et nous admettrons que nous pouvons en déduire que $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et que sa limite est la même que celle des suites extraites.}
	
	\begin{notabene}
		
		Justification de l'histoire de limite en regardant sur un schéma on dessine les deux suite qui finalement forment la suite. On peut compléter les deux suites extraites en des suites qui encadrent la suite.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		Affinités. Exercice 145 page 166. Série de harmonique
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Prouvez que $(u_n)$ est croissante.
		
		\item Montrez que pour tout $m \in \mathbb{N}$, $u_{2^{m+1}}-u_{2^m}\geqslant \frac{1}{2}$.
		
		\item Déduisez-en que $(u_n)$ n'est pas majorée. Concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Somme de termes positifs.
		
		\item 
		\begin{align*}
			u_{2^{m+1}}-u_{2^m} &= \sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k}\\
			&\geqslant  \sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{2^{m+1}}\\	
			&\geqslant \frac{2^{m+1}-2^m}{2^{m+1}}\\
			&\geqslant \frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		\item $u_{2^{m}}= (u_{2^m}- u_{2^{m-1}})+ \dots +(u_{2^2}-u_{2^1})+ (u_{2^1}-u_{2^0})+u_{2^0} \geqslant \frac{m}{2}$.	
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		
		sup 1ieme ecs1 dunod exercices incontournables 2015 rousse
		
		Exo 7.6 page 257
		
	\end{notabene}
	
	Soient $x \in [0,1]$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$: \[ u_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \text{ et } v_n(x)=u_n(x)+ \frac{x^n}{n \times n!}. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifiez que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in [0,1]$, \[ v_{n+1}-v_n=-x^n \frac{(n^2+2n)(1-x)+1}{n(n+1) \times (n+1)!}. \]
		
		\item Déduisez-en que les suites $\left( u_n(x) \right)$ et $\left( v_n(x) \right)$ sont adjacentes. Que pouvez-vous en déduire?
		
		\item Montrez que la limite de $\left( u_n(1) \right)$ n'est pas un nombre rationnel.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{E}
	
	\begin{notabene}
		
		sup 1ieme ecs1 dunod j'intègre méthodes et exercice  lardon 2011
		
		exo 8.16 page 156
		
	\end{notabene}
	
	Pour tout entier $n \geqslant 1$ on note \[ u_n =\prod_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k^2}  \right) \text{ et } v_n= \left( 1+\frac{1}{n} \right) u_n. \]
	
	Montrez que $(u_n)_{n\geqslant 1}$ et $(v_n)_{n\geqslant 1}$ sont adjacentes.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Démontrons que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Montrons que $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante.
		
		Chaque terme de $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est formé d'un produit de nombre strictement positifs donc est strictement positif (et, nous en aurons besoin ensuite, il en est de même pour $(v_n)_{n\geqslant 1}$).
		
		\medskip
		Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
		
		\begin{align*}
			\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{\prod_{k=1}^{n+1}\left( 1+\frac{1}{k^2}  \right)}{\prod_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k^2}  \right)}\\
			&= 1+\frac{1}{(n+1)^2}\\
			&\geqslant 1
		\end{align*}
		
		Donc $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante.
		
		\item Montrons que $(v_n)_{n\geqslant 1}$.
		
		Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
		
		Puisque $(v_n)_{n\geqslant 1}$ est strictement positive:
		
		\begin{align*}
			\frac{v_{n+1}}{v_n} &= \frac{\left( 1+\frac{1}{n+1} \right) u_{n+1}}{\left( 1+\frac{1}{n} \right) u_n}\\
			&= \frac{1+\frac{1}{n+1} }{ 1+\frac{1}{n}} \times \frac{ u_{n+1}}{u_n}\\
			&= \frac{1}{1+ \frac{1}{n}} \left( 1+ \frac{1}{n+1} \right) \left(  1+\frac{1}{(n+1)^2} \right)\\
			&= \frac{n}{n+1}\left[1+ \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} \right]\\
			&= \frac{n}{n+1} \left[ \frac{1 -\left( \frac{1}{n+1} \right)^4}{1-\frac{1}{n+1}} \right]\\
			&= \frac{n}{n+1} \times \frac{n+1}{n} \left[ 1 -\left( \frac{1}{n+1} \right)^4 \right]\\
			&= 1 -\left( \frac{1}{n+1} \right)^4\\
			&\leqslant 1
		\end{align*}
		
		Donc $(v_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante.
		
		\item {\color{orange}La différence $v_n-u_n= \frac{1}{n}u_n$ ne permet pas de trouver la limite. Il faut donc procéder autrement ici, inhabituellement nous allons utiliser les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ pour conclure.}
		
		\medskip
		Montrons que $v_n-u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		$(v_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante et minorée par $0$ donc convergente vers une limite $\ell \geqslant 0$.
		
		Donc $u_n= \frac{v_n}{1+\frac{1}{n} } \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} \ell$.
		
		Puisque les suites convergent vers la même limite $\ell$: \[ v_n-u_n \underset{n \to + \infty}{ \longrightarrow} 0. \]
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

	~
	\newpage
	~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}