%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{09 Probabilités.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{09 Probabilités.}

\subsection{Définition axiomatique.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons qu'un espace probabilisable est la donnée d'un univers $\Omega$ et d'une famille d'événements appelée une tribu $\mathscr{E}$.
	
	\medskip 
	Le terme dénombrable désigne des ensembles de la même taille que $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soit $\left( \Omega, \mathscr{E} \right)$ un espace probabilisable.
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}probabilité} sur $\left( \Omega ,\mathscr{E} \right)$ tout application $\mathbb{P}: \mathscr{E} \rightarrow [0;1]$ vérifiant les axiomes suivants:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{P}(\Omega)=1$,
		\item $\mathbb{P}(\emptyset)=0$,
		\item $\forall A,B\in \mathscr{E},\ \left[ A \subset B \right] \Rightarrow \left[ \mathbb{P}(A) \leqslant \mathbb{P}(B) \right]$.
		\item $\forall A,B\in \mathscr{E},\ \left[ A \cap B = \emptyset \right] \Rightarrow \left[ \mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) \right]$.
		\item Si les événements $A_i$, pour $i \in I$, forment une famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints alors: $\mathbb{P}\left( \bigcup_{i\in I} A_i \right)= \sum_{i\in I} \mathbb{P}(A_i)$.
	\end{enumerate}

\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Souvent nous définirons une probabilité en donnant sa \emph{\color{purple}distribution de probabilité} c'est-à-dire les probabilités de chacune des issues. Ainsi $\left( (P;0,4), (F;0,6) \right)$ est une distribution de probabilité modélisant un pile-ou-face avec une pièce pipée. On présente parfois les distributions de probabilité sous forme d'un tableau: \begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			Issues & $P$ & $F$
			\\
			\hline
			Probabilité & $0,4$ & $0,6$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\medskip
	Certaines lois sont de référence est ont des noms particuliers. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité ont dit que la \emph{\color{purple}loi est uniforme} sur $\Omega$. Ainsi a un lancé de dé équilibré à $6$ faces est associé la loi uniforme sur $\llbracket 1,6 \rrbracket$.
	
	\begin{proposition}{}
		
		Une famille au plus dénombrable $(p_i)_{i\in I}$ de nombres est une distribution de probabilité si et seulement si: les $p_i$ sont tous positifs et $\displaystyle \sum_{i\in I} p_i=1$.
		
	\end{proposition}
	
	\medskip
	Lorsqu'on a défini une probabilité sur un espace probabilisable on dit que l'espace est probabilisé. Ainsi \emph{\color{purple}$\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ est un espace probabilisé}.
	
\end{lecon}

\subsection{Propriétés.}

\begin{proposition}{ - probabilité d'un événement et des issues.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		\item $n\in \mathbb{N}$,
		\item $A=\{ a_1,a_2,\dots,a_n\}$ un événement.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \mathbb{P}(A)= \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(a_i). \]
	
\end{proposition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Le précédent résultat se généralise à des événements dénombrables.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soit $\left( \Omega,\mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé et $A \in \mathscr{E}$.
	
	\[ \mathbb{P}\left(\overline{A} \right)= 1- \mathbb{P}(A) . \]
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Formule du crible.}
	
	Soit $\left( \Omega,\mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé.
	
	\[ \forall A,B \in \mathscr{E},\ \mathbb{P}(A \cup B) =\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B).\]
	
\end{proposition}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64254&ordre=1}{Exercice 45 page 58 du Sésamath}: somme des probabilités de l'univers.
		
	\end{notabene}
	
	On lance un dé pipé. La distribution de probabilité est donnée par le tableau suivant.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
			$F$ (face)&1&2&3&4&5&6\\\hline
			$\mathbb{P}(F)$&0,1&0,1&0,2&0,2&0,3&?\\\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer $\mathbb{P}(\{ 6 \})$.
		
		\item Calculer la probabilité des événements suivants.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item \og La face obtenue est paire \fg{};
			
			\item \og la face obtenue est supérieur ou égale à 5 \fg{}.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(6)$.}
		
		{\color{orange}La probabilité de l'univers est $1$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\Omega) &= 1
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\mathbb{P}( \{ 1;2;3;4;5;6 \} ) &= 1\\
			\intertext{\color{orange}la probabilité d'un événement égalant la somme des probabilités des issues qui le réalise:}
			\mathbb{P}( \{ 1 \}) + \mathbb{P}( \{ 2 \}) + \mathbb{P}( \{ 3 \}) + \mathbb{P}( \{ 4 \}) + \mathbb{P}( \{ 5\}) + \mathbb{P}( \{ 6 \}) &= 1\\
			0,1+0,1+0,2+0,2+0,3 +\mathbb{P}( \{ 6\}) &=1
			\intertext{\color{orange}Il s'agit d'une équation linéaire:}
			\mathbb{P}(\{ 6 \}) &= 1-0,9
		\end{align*}	
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}( \{ 6 \})=0,1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $A$: \og la face obtenue est paire \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(\{ 2;4;6\})\\
				&= \mathbb{P}(\{ 2 \}) + \mathbb{P}(\{ 4 \}) + \mathbb{P}( \{ 6\})\\
				&= 0,1+0,2+0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=0,4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item $B$: \og la face obtenue est supérieure ou égale à $5$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(\{ 5;6\})\\
			&= \mathbb{P}(\{ 5 \}) + \mathbb{P}( \{ 6\})\\
			&= 0,3+0,1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=0,4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{A}
	
	Un square est équipé de trois bancs. Deux personnes arrivent successivement et s'installent au hasard. L'objet de l'exercice est  de déterminer la probabilité que ces personnes soient assises côte à côte.
	
	Les trois bancs sont notés $A$, $B$ et $C$.
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre et donnez l'univers.
		\item Calculez la probabilité que les deux personnes s'assoient sur le banc $A$.
		\item Calculez la probabilité que les deux personnes s'assoient côte à côte.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,8);
				\coordinate (A2) at (0,6);
				\coordinate (A3) at (0,4);
				\coordinate (A4) at (0,2);
				\coordinate (A5) at (0,0);
				\coordinate (A6) at (0,-2);
				\coordinate (A7) at (0,-4);
				\coordinate (A8) at (0,-6);
				\coordinate (A9) at (0,-8);
				\coordinate (B1) at (-2,6);
				\coordinate (B2) at (-2,0);
				\coordinate (B3) at (-2,-6);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$A$};
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (A3) at (A3) {$C$};	
				\draw node (A4) at (A4) {$A$};
				\draw node (A5) at (A5) {$B$};
				\draw node (A6) at (A6) {$C$};	
				\draw node (A7) at (A7) {$A$};
				\draw node (A8) at (A8) {$B$};
				\draw node (A9) at (A9) {$C$};
				\draw node (B1) at (B1) {$A$};
				\draw node (B2) at (B2) {$B$};
				\draw node (B3) at (B3) {$C$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw (B3)--(A7);
				\draw (B3)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B1)--(C1);
				\draw (B2)--(C1);
				\draw (B3)--(C1);	
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Ainsi $\Omega= \{ AA; AB; AC; BA; BB; BC; CA; CB; CC \}$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Un peu de vocabulaire sur les arbres.
			\begin{itemize}
				\item Les lettres sont appelés des \emph{\color{purple}nœuds}: ici $A$, $B$ et $C$ sont des nœuds. Le premier nœud n'est pas désigné par une lettre et est appelé la racine de l'arbre.
				
				\item Les segments qui relient deux nœuds sont appelés des \emph{\color{purple}branches}: \begin{tikzpicture}	[yscale=0.15]
					\coordinate (A2) at (0,6);
					\coordinate (B1) at (-2,6);
					\draw node (A2) at (A2) {$B$};
					\draw node (B1) at (B1) {$A$};
					\draw (B1)--(A2);
				\end{tikzpicture} est une branche.
				
				\item Un embranchement est formé d'un nœud et des branches qui en partent: 
				\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
					\coordinate (A1) at (0,8);
					\coordinate (A2) at (0,6);
					\coordinate (A3) at (0,4);
					\coordinate (B1) at (-2,6);
					\draw node (A1) at (A1) {$A$};
					\draw node (A2) at (A2) {$B$};
					\draw node (A3) at (A3) {$C$};
					\draw node (B1) at (B1) {$A$};
					\draw (B1)--(A1);
					\draw (B1)--(A2);
					\draw (B1)--(A3);	
				\end{tikzpicture} est un embranchement.
				
				\item Un \emph{\color{purple}niveau} est formé de tous les embranchements qui sont également éloignés de la racine:
				
				\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
					\coordinate (A1) at (0,8);
					\coordinate (A2) at (0,6);
					\coordinate (A3) at (0,4);
					\coordinate (A4) at (0,2);
					\coordinate (A5) at (0,0);
					\coordinate (A6) at (0,-2);
					\coordinate (A7) at (0,-4);
					\coordinate (A8) at (0,-6);
					\coordinate (A9) at (0,-8);
					\coordinate (B1) at (-2,6);
					\coordinate (B2) at (-2,0);
					\coordinate (B3) at (-2,-6);
					\coordinate (C1) at (-4,0);
					\draw node (A1) at (A1) {$A$};
					\draw node (A2) at (A2) {$B$};
					\draw node (A3) at (A3) {$C$};	
					\draw node (A4) at (A4) {$A$};
					\draw node (A5) at (A5) {$B$};
					\draw node (A6) at (A6) {$C$};	
					\draw node (A7) at (A7) {$A$};
					\draw node (A8) at (A8) {$B$};
					\draw node (A9) at (A9) {$C$};
					\draw node (B1) at (B1) {$A$};
					\draw node (B2) at (B2) {$B$};
					\draw node (B3) at (B3) {$C$};
					\draw (B1)--(A1);
					\draw (B1)--(A2);
					\draw (B1)--(A3);
					\draw (B2)--(A4);
					\draw (B2)--(A5);
					\draw (B2)--(A6);
					\draw (B3)--(A7);
					\draw (B3)--(A8);
					\draw (B3)--(A9);
					\draw (B1)--(C1);
					\draw (B2)--(C1);
					\draw (B3)--(C1);
					\draw[red,very thick] (-1.7,8.5)--(0.2,8.5)--(0.2,-8.5)--(-1.7,-8.5)--cycle;
					\draw[red] (-1,0) node[fill=white]{niveau 2};
					\draw[green,very thick] (-4.1,8.5)--(-1.8,8.5)--(-1.8,-8.5)--(-4.1,-8.5)--cycle;
					\draw[green] (-3,0) node[fill=white]{niveau 1};
				\end{tikzpicture}
				
				\item Un \emph{\color{purple}chemin} est formé d'une succession de nœuds et de branches qui partent de la racine pour aboutir à une feuille de l'arbre. En rouge ci-dessous est indiqué un chemin:
				
				\begin{tikzpicture}	[yscale=0.3]
					\coordinate (A1) at (0,8);
					\coordinate (A2) at (0,6);
					\coordinate (A3) at (0,4);
					\coordinate (A4) at (0,2);
					\coordinate (A5) at (0,0);
					\coordinate (A6) at (0,-2);
					\coordinate (A7) at (0,-4);
					\coordinate (A8) at (0,-6);
					\coordinate (A9) at (0,-8);
					\coordinate (B1) at (-2,6);
					\coordinate (B2) at (-2,0);
					\coordinate (B3) at (-2,-6);
					\coordinate (C1) at (-4,0);
					\draw node (A1) at (A1) {$A$};
					\draw node (A2) at (A2) {$B$};
					\draw node (A3) at (A3) {$C$};	
					\draw node (A4) at (A4) {$A$};
					\draw node (A5) at (A5) {$B$};
					\draw node (A6) at (A6) {$C$};	
					\draw node (A7) at (A7) {$\color{red}A$};
					\draw node (A8) at (A8) {$B$};
					\draw node (A9) at (A9) {$C$};
					\draw node (B1) at (B1) {$A$};
					\draw node (B2) at (B2) {$B$};
					\draw node (B3) at (B3) {$\color{red}C$};
					\draw (B1)--(A1);
					\draw (B1)--(A2);
					\draw (B1)--(A3);
					\draw (B2)--(A4);
					\draw (B2)--(A5);
					\draw (B2)--(A6);
					\draw[red,very thick] (B3)--(A7);
					\draw (B3)--(A8);
					\draw (B3)--(A9);
					\draw (B1)--(C1);
					\draw (B2)--(C1);
					\draw[red,very thick] (B3)--(C1);
				\end{tikzpicture}
				
				Dans un arbre probabiliste ce sont les chemins et non les nœuds qui représentent les issues. Dans cet arbre il y a $9$ chemins qui correspondent à autant d'issues. Les issues sont souvent désignés par la succession (dans l'ordre) des nœuds: $CA$ est le chemin passant d'abord par $C$ puis par $A$.
			\end{itemize}
		}
		
		\item Notons $E_1$: \og Les deux personnes s'assoient sur le banc $A$. \fg{}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
		
		$E_1= \{ AA\}$
		
		Il y a équiprobabilité, $E_1$ est réalisé par $1$ issue et l'univers comporte $9$ issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(E_1)= \frac{1}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Notons $E_2$: \og Les deux personnes s'assoient sur le même banc. \fg{}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_2)$.}
		
		$E_2= \{ AA; BB; CC \}$
		
		Il y a équiprobabilité, $E_2$ est réalisé par $3$ issues et l'univers comporte $9$ issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(E_2)= \frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64241&ordre=1}{Exercice 32 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	On lance $3$ fois une pièce bien équilibrée.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Représentez la situation par un arbre et donnez l'univers.
		
		\item Quelle est la probabilité:
		
		\begin{tasks}
			\task d'avoir $3$ faces?
			\task que le deuxième jet soit face?
			\task que le troisième jet soit différent du premier?
		\end{tasks}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (4,6);
				\coordinate (A2) at (4,2);
				\coordinate (A3) at (4,-2);
				\coordinate (A4) at (4,-6);
				\coordinate (B1) at (2,4);
				\coordinate (B2) at (2,-4);
				\coordinate (C1) at (0,0);
				\coordinate (D1) at (6,7);
				\coordinate (D2) at (6,5);
				\coordinate (D3) at (6,3);
				\coordinate (D4) at (6,1);
				\coordinate (D5) at (6,-1);
				\coordinate (D6) at (6,-3);
				\coordinate (D7) at (6,-5);
				\coordinate (D8) at (6,-7);
				\draw node (A11) at (A1) {$F$};	
				\draw node (A12) at (A2) {$P$};
				\draw node (A13) at (A3) {$F$};
				\draw node (A14) at (A4) {$P$};
				\draw node (B11) at (B1) {$F$};
				\draw node (B12) at (B2) {$P$};
				\draw node (D11) at (D1) {$F$};
				\draw node (D12) at (D2) {$P$};
				\draw node (D13) at (D3) {$F$};
				\draw node (D14) at (D4) {$P$};
				\draw node (D15) at (D5) {$F$};
				\draw node (D16) at (D6) {$P$};
				\draw node (D17) at (D7) {$F$};
				\draw node (D18) at (D8) {$P$};
				\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{};
				\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{};
				\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{};
				\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D11)--(A11)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D12)--(A11)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D13)--(A12)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D14)--(A12)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D15)--(A13)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D16)--(A13)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D17)--(A14)node[midway,sloped,below]{};
				\draw (D18)--(A14)node[midway,sloped,below]{};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		{\color{orange} Une issue de cette expérience est ici formée d'un triplet de résultats de pile ou face. Par exemple $PFP$ est l'issue obtenir d'abord pile, puis face et enfin pile.}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(FFF)$.}
			
			Il y a équiprobabilité et l'univers comporte $8$ issues donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(FFF)=\frac{1}{8}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $A$: \og le deuxième jet est face \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			$A= \{ FFF,\ FFP,\ PFF,\ PFP \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $A$ est réalisé par $4$ issues et l'univers contient $8$ issues donc $\mathbb{P}(A)=\frac{4}{8}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)= \frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $B$: \og le troisième jet est différent du premier \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			$B= \{ FFP,\ FPP,\ PFF,\ PPF \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $B$ est réalisé par $4$ issues et l'univers contient $8$ issues donc $\mathbb{P}(A)=\frac{4}{8}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)= \frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Un examinateur doit interroger, dans un certain ordre, quatre candidats: Arthur, Béatrice, Chloé et David. Il doit établir une liste ordonnée de quatre noms.
	
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un arbre, déterminez le nombre de listes possibles et donnez l'univers.
		
		\begin{notabene}
			
			L'arbre est particulièrement adapté dans les situation d'enchaînement d'étapes et notamment sans remise.
			
		\end{notabene}
		
		\item L'examinateur tire la liste des quatre noms au hasard, chaque liste possible, ayant la même probabilité.
		
		Déterminez la probabilité de chacun des événements suivants:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $E$:\og Béatrice est interrogée en premier\fg{}.
			\item $F$:\og Chloé est interrogée en dernier\fg{}.
			\item $G$:\og David est interrogé avant Béatrice\fg{}.
		\end{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'événement $E\cap F$ et en donner la probabilité.
		\item Définir par une phrase l'événement $E\cup F$ et en donner la probabilité.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}L'arbre est particulièrement recommandé pour représenter une situation ou des choix successifs sont fait: chaque niveau de l'arbre correspond  un choix. Ainsi les niveaux de l'arbre représentent une chronologie.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,23);
				\coordinate (A2) at (0,21);
				\coordinate (A3) at (0,19);
				\coordinate (A4) at (0,17);
				\coordinate (A5) at (0,15);
				\coordinate (A6) at (0,13);
				\coordinate (A7) at (0,11);
				\coordinate (A8) at (0,9);
				\coordinate (A9) at (0,7);
				\coordinate (A10) at (0,5);
				\coordinate (A11) at (0,3);
				\coordinate (A12) at (0,1);
				\coordinate (A13) at (0,-1);
				\coordinate (A14) at (0,-3);
				\coordinate (A15) at (0,-5);
				\coordinate (A16) at (0,-7);
				\coordinate (A17) at (0,-9);
				\coordinate (A18) at (0,-11);
				\coordinate (A19) at (0,-13);
				\coordinate (A20) at (0,-15);
				\coordinate (A21) at (0,-17);
				\coordinate (A22) at (0,-19);
				\coordinate (A23) at (0,-21);
				\coordinate (A24) at (0,-23);
				\coordinate (B1) at (-2,23);
				\coordinate (B2) at (-2,21);
				\coordinate (B3) at (-2,19);
				\coordinate (B4) at (-2,17);
				\coordinate (B5) at (-2,15);
				\coordinate (B6) at (-2,13);
				\coordinate (B7) at (-2,11);
				\coordinate (B8) at (-2,9);
				\coordinate (B9) at (-2,7);
				\coordinate (B10) at (-2,5);
				\coordinate (B11) at (-2,3);
				\coordinate (B12) at (-2,1);
				\coordinate (B13) at (-2,-1);
				\coordinate (B14) at (-2,-3);
				\coordinate (B15) at (-2,-5);
				\coordinate (B16) at (-2,-7);
				\coordinate (B17) at (-2,-9);
				\coordinate (B18) at (-2,-11);
				\coordinate (B19) at (-2,-13);
				\coordinate (B20) at (-2,-15);
				\coordinate (B21) at (-2,-17);
				\coordinate (B22) at (-2,-19);
				\coordinate (B23) at (-2,-21);
				\coordinate (B24) at (-2,-23);
				\coordinate (C1) at (-4,22);
				\coordinate (C2) at (-4,18);
				\coordinate (C3) at (-4,14);
				\coordinate (C4) at (-4,10);
				\coordinate (C5) at (-4,6);
				\coordinate (C6) at (-4,2);
				\coordinate (C7) at (-4,-2);
				\coordinate (C8) at (-4,-6);
				\coordinate (C9) at (-4,-10);
				\coordinate (C10) at (-4,-14);
				\coordinate (C11) at (-4,-18);
				\coordinate (C12) at (-4,-22);
				\coordinate (D1) at (-6,18);
				\coordinate (D2) at (-6,6);
				\coordinate (D3) at (-6,-6);
				\coordinate (D4) at (-6,-18);
				\coordinate (E1) at (-8,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$D$};
				\draw node (A2) at (A2) {$C$};
				\draw node (A3) at (A3) {$D$};	
				\draw node (A4) at (A4) {$B$};
				\draw node (A5) at (A5) {$C$};
				\draw node (A6) at (A6) {$B$};	
				\draw node (A7) at (A7) {$D$};
				\draw node (A8) at (A8) {$C$};
				\draw node (A9) at (A9) {$D$};
				\draw node (A10) at (A10) {$A$};
				\draw node (A11) at (A11) {$C$};
				\draw node (A12) at (A12) {$A$};	
				\draw node (A13) at (A13) {$D$};
				\draw node (A14) at (A14) {$B$};
				\draw node (A15) at (A15) {$D$};	
				\draw node (A16) at (A16) {$A$};
				\draw node (A17) at (A17) {$B$};
				\draw node (A18) at (A18) {$A$};
				\draw node (A19) at (A19) {$C$};
				\draw node (A20) at (A20) {$B$};
				\draw node (A21) at (A21) {$C$};
				\draw node (A22) at (A22) {$A$};
				\draw node (A23) at (A23) {$B$};
				\draw node (A24) at (A24) {$A$};
				\draw node (B1) at (B1) {$C$};
				\draw node (B2) at (B2) {$D$};
				\draw node (B3) at (B3) {$B$};	
				\draw node (B4) at (B4) {$D$};
				\draw node (B5) at (B5) {$B$};
				\draw node (B6) at (B6) {$C$};	
				\draw node (B7) at (B7) {$C$};
				\draw node (B8) at (B8) {$D$};
				\draw node (B9) at (B9) {$A$};
				\draw node (B10) at (B10) {$D$};
				\draw node (B11) at (B11) {$A$};
				\draw node (B12) at (B12) {$C$};	
				\draw node (B13) at (B13) {$B$};
				\draw node (B14) at (B14) {$D$};
				\draw node (B15) at (B15) {$A$};	
				\draw node (B16) at (B16) {$D$};
				\draw node (B17) at (B17) {$A$};
				\draw node (B18) at (B18) {$B$};
				\draw node (B19) at (B19) {$B$};
				\draw node (B20) at (B20) {$C$};
				\draw node (B21) at (B21) {$A$};
				\draw node (B22) at (B22) {$C$};
				\draw node (B23) at (B23) {$A$};
				\draw node (B24) at (B24) {$B$};
				\draw node (C1) at (C1) {$B$};
				\draw node (C2) at (C2) {$C$};
				\draw node (C3) at (C3) {$D$};
				\draw node (C4) at (C4) {$A$};
				\draw node (C5) at (C5) {$C$};
				\draw node (C6) at (C6) {$D$};
				\draw node (C7) at (C7) {$A$};
				\draw node (C8) at (C8) {$B$};
				\draw node (C9) at (C9) {$D$};
				\draw node (C10) at (C10) {$A$};
				\draw node (C11) at (C11) {$B$};
				\draw node (C12) at (C12) {$C$};
				\draw node (D1) at (D1) {$A$};
				\draw node (D2) at (D2) {$B$};
				\draw node (D3) at (D3) {$C$};
				\draw node (D4) at (D4) {$D$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B2)--(A2);
				\draw (B3)--(A3);
				\draw (B4)--(A4);
				\draw (B5)--(A5);
				\draw (B6)--(A6);
				\draw (B7)--(A7);
				\draw (B8)--(A8);
				\draw (B9)--(A9);
				\draw (B10)--(A10);
				\draw (B11)--(A11);
				\draw (B12)--(A12);
				\draw (B13)--(A13);
				\draw (B14)--(A14);
				\draw (B15)--(A15);
				\draw (B16)--(A16);
				\draw (B17)--(A17);
				\draw (B18)--(A18);
				\draw (B19)--(A19);
				\draw (B20)--(A20);
				\draw (B21)--(A21);
				\draw (B22)--(A22);
				\draw (B23)--(A23);
				\draw (B24)--(A24);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C2)--(B3);
				\draw (C2)--(B4);
				\draw (C3)--(B5);
				\draw (C3)--(B6);
				\draw (C4)--(B7);
				\draw (C4)--(B8);
				\draw (C5)--(B9);
				\draw (C5)--(B10);
				\draw (C6)--(B11);
				\draw (C6)--(B12);
				\draw (C7)--(B13);
				\draw (C7)--(B14);
				\draw (C8)--(B15);
				\draw (C8)--(B16);
				\draw (C9)--(B17);
				\draw (C9)--(B18);
				\draw (C10)--(B19);
				\draw (C10)--(B20);
				\draw (C11)--(B21);
				\draw (C11)--(B22);
				\draw (C12)--(B23);
				\draw (C12)--(B24);
				\draw (D1)--(C1);
				\draw (D1)--(C2);
				\draw (D1)--(C3);
				\draw (D2)--(C4);
				\draw (D2)--(C5);
				\draw (D2)--(C6);
				\draw (D3)--(C7);
				\draw (D3)--(C8);
				\draw (D3)--(C9);
				\draw (D4)--(C10);
				\draw (D4)--(C11);
				\draw (D4)--(C12);
				\draw (D1)--(E1);
				\draw (D2)--(E1);
				\draw (D3)--(E1);
				\draw (D4)--(E1);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		L'univers contient $24$ issues.
		
		{\color{orange}Rappelons qu'une issue correspond à un chemin sur l'arbre donc ici une issue peut être représentée par une succession de $4$ lettres.}
		
		\item \objectif{Calculons $P(E)$.}
		
		$E=\{ BACD; BADC; BCAD; BCDA; BDAC; BDCA \}$.
		
		Il y a équiprobabilité, $E$ est réalisé par $6$ issues, l'univers contient $24$issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle P(E)= \frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $P(F)$.}
		
		$F=\{ ABDC; ADBC; BADC; BDAC; DABC; DBAC \}$.
		
		Il y a équiprobabilité, $F$ est réalisé par $6$ issues, l'univers contient $24$ issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle P(F)= \frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $P(G)$.}
		
		$G=\left\{ ACDB; ADBC; ADCB; CADB; CDAB; CDBA; DABC;\right.$ 
		
		$\left. DACB; DBAC; DBCA; DCAB; DCBA \right\}$.
		
		Il y a équiprobabilité, $G$ est réalisé par $12$ issues, l'univers contient $24$ issues, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle P(G)= \frac{12}{24}=\frac{1}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64245&ordre=1}{Exercice 36 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité sans répétition.
		
	\end{notabene}
	
	Au restaurant scolaire, les élèves ont le choix
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item entre 2 entrées: Artichaut ou Betterave;
		\item entre 3 plats: Cheval, Daube ou Escalope;
		\item entre 2 desserts: Fromage ou Gâteau.
	\end{enumerate}
	
	Un menu se compose: d'une entrée, d'un plat et d'un dessert.
	
	\begin{enumerate}		
		\item En utilisant un arbre, représenter tous les menus et donnez l'univers.
		\item Combien de menus différents sont possibles?
		\item On choisit un menu au hasard. \\ Quelle est la probabilité:
		
		\begin{tasks}
			\task qu'il comporte une escalope?
			\task qu'il comporte de l'artichaut et du fromage?
			\task qu'il ne comporte pas de cheval?
		\end{tasks}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant des notations transparentes au vu de l'énoncé:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (6,11);
				\coordinate (A2) at (6,9);
				\coordinate (A3) at (6,7);
				\coordinate (A4) at (6,5);
				\coordinate (A5) at (6,3);
				\coordinate (A6) at (6,1);
				\coordinate (A7) at (6,-1);
				\coordinate (A8) at (6,-3);
				\coordinate (A9) at (6,-5);
				\coordinate (A10) at (6,-7);
				\coordinate (A11) at (6,-9);
				\coordinate (A12) at (6,-11);
				\coordinate (B1) at (3,10);
				\coordinate (B2) at (3,6);
				\coordinate (B3) at (3,2);
				\coordinate (B4) at (3,-2);
				\coordinate (B5) at (3,-6);
				\coordinate (B6) at (3,-10);
				\coordinate (C1) at (0,6);
				\coordinate (C2) at (0,-6);
				\coordinate (D1) at (-3,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$F$};
				\draw node (A2) at (A2) {$G$};
				\draw node (A3) at (A3) {$F$};
				\draw node (A4) at (A4) {$G$};
				\draw node (A5) at (A5) {$F$};
				\draw node (A6) at (A6) {$G$};
				\draw node (A7) at (A7) {$F$};
				\draw node (A8) at (A8) {$G$};
				\draw node (A9) at (A9) {$F$};
				\draw node (A10) at (A10) {$G$};
				\draw node (A11) at (A11) {$F$};
				\draw node (A12) at (A12) {$G$};
				\draw node (B1) at (B1) {$C$};
				\draw node (B2) at (B2) {$D$};
				\draw node (B3) at (B3) {$E$};
				\draw node (B4) at (B4) {$C$};
				\draw node (B5) at (B5) {$D$};
				\draw node (B6) at (B6) {$E$};
				\draw node (C1) at (C1) {$A$};
				\draw node (C2) at (C2) {$B$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B2)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B3)--(A5);
				\draw (B3)--(A6);
				\draw (B4)--(A7);
				\draw (B4)--(A8);
				\draw (B5)--(A9);
				\draw (B5)--(A10);
				\draw (B6)--(A11);
				\draw (B6)--(A12);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C1)--(B3);
				\draw (C2)--(B4);
				\draw (C2)--(B5);
				\draw (C2)--(B6);
				\draw (D1)--(C1);
				\draw (D1)--(C2);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		L'univers comporte donc $12$ issues. Par exemple $BDF$ est une issue.
		
		\item D'après l'arbre
		
		\begin{conclusion}
			
			$12$ menus sont possibles.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $M_1$: \og le menu comporte une escalope \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M_1)$.}
			
			$M_1=\{ AEF, AEG, BEF, BEG \}$
			
			Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $M_1$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(M_1)=\frac{4}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M_1)= \frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $M_2$: \og le menu comporte de l'artichaut et du fromage \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M_2)$.}
			
			$M_2=\{ ACF, ADF, AEF \}$
			
			Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $M_2$ est réalisé par $3$ issues donc: $\mathbb{P}(M_2)=\frac{3}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M_2)= \frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $M_3$: \og le menu ne comporte pas de cheval \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M_3)$.}
			
			$\overline{M_3}=\{ ACF, ACG, BCF, BCG \}$
			
			Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $\overline{M_3}$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(\overline{M_3})=\frac{4}{12}$.
			
			Nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(M_3) &= 1 - \mathbb{P}(\overline{M_3})\\
				&= 1-\frac{4}{12}\\
				&=\frac{8}{12}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M_3)= \frac{2}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64246&ordre=1}{Exercice 37 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité sans remise.
		
	\end{notabene}
	
	Un groupe de 4 amis, Émile, Flore, Gaston et Hélène sont dans un bateau. Ils tirent au sort celui qui va ramer et, parmi les noms restants, celui qui va écoper.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation par un arbre puis donnez l'univers.
		\item Déterminer les probabilités suivantes.
		\begin{enumerate}
			\item C'est un garçon qui rame.
			\item Hélène écope.
			\item Les deux qui travaillent sont de même sexe.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}  
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	\begin{exercicecorrection}
		
		\begin{enumerate}
			\item ~
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[yscale=0.3]
					\coordinate (A1) at (0,11);
					\coordinate (A2) at (0,9);
					\coordinate (A3) at (0,7);
					\coordinate (A4) at (0,5);
					\coordinate (A5) at (0,3);
					\coordinate (A6) at (0,1);
					\coordinate (A7) at (0,-1);
					\coordinate (A8) at (0,-3);
					\coordinate (A9) at (0,-5);
					\coordinate (A10) at (0,-7);
					\coordinate (A11) at (0,-9);
					\coordinate (A12) at (0,-11);
					\coordinate (B1) at (-2,9);
					\coordinate (B2) at (-2,3);
					\coordinate (B3) at (-2,-3);
					\coordinate (B4) at (-2,-9);
					\coordinate (C1) at (-4,0);
					\draw node (A1) at (A1) {$F$};
					\draw node (A2) at (A2) {$G$};
					\draw node (A3) at (A3) {$H$};
					\draw node (A4) at (A4) {$E$};
					\draw node (A5) at (A5) {$G$};
					\draw node (A6) at (A6) {$H$};
					\draw node (A7) at (A7) {$E$};
					\draw node (A8) at (A8) {$F$};
					\draw node (A9) at (A9) {$H$};
					\draw node (A10) at (A10) {$E$};
					\draw node (A11) at (A11) {$F$};
					\draw node (A12) at (A12) {$G$};
					\draw node (B1) at (B1) {$E$};
					\draw node (B2) at (B2) {$F$};
					\draw node (B3) at (B3) {$G$};
					\draw node (B4) at (B4) {$H$};
					\draw (B1)--(A1);
					\draw (B1)--(A2);
					\draw (B1)--(A3);
					\draw (B2)--(A4);
					\draw (B2)--(A5);
					\draw (B2)--(A6);
					\draw (B3)--(A7);
					\draw (B3)--(A8);
					\draw (B3)--(A9);
					\draw (B4)--(A10);
					\draw (B4)--(A11);
					\draw (B4)--(A12);
					\draw (C1)--(B1);
					\draw (C1)--(B2);
					\draw (C1)--(B3);
					\draw (C1)--(B4);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item Notons $R_1$: \og un garçon rame \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R_1)$.}
				
				$R_1=\{ EF, EG, EH, GE, GF, GH \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $R_1$ est réalisé par $6$ issues donc: $\mathbb{P}(R_1)=\frac{6}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(R_1)= \frac{1}{2}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $R_2$: \og Hélène écope \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R_2)$.}
				
				$R_2=\{ HE, HF, HG \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $R_2$ est réalisé par $3$ issues donc: $\mathbb{P}(R_2)=\frac{3}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(R_2)= \frac{1}{4}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Notons $R_3$: \og les deux qui travaillent sont de même sexe \fg{}.
				
				\medskip
				\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R_3)$.}
				
				$R_3=\{ EG, H, GE, HF \}$
				
				Or il y a équiprobabilité, l'univers comporte $12$ issues  et $R_3$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(R_4)=\frac{4}{12}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\mathbb{P}(R_3)= \frac{1}{3}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{exercicecorrection}
\end{correction}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64249&ordre=1}{Exercice 40 page 57 du Sésamath}: arbre et calcul de probabilité sans remise.
		
	\end{notabene}
	
	Trois CD notés $a$, $b$ et $c$ ont respectivement des boîtes nommées $A$, $B$ et $C$.
	
	On range les 3 CD au hasard dans les boîtes sans voir leur étiquette.
	
	\begin{enumerate}
		\item Combien de rangements sont possibles?
		\item Quelle est la probabilité 
		\begin{enumerate}
			\item que les 3 CD soient bien rangés?
			\item qu'exactement 1 CD soit bien rangé?
			\item qu'exactement 2 CD soient bien rangés?
		\end{enumerate}
		\item En déduire la probabilité qu'aucun CD ne soit bien rangé.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A1) at (6,5);
				\coordinate (A2) at (6,3);
				\coordinate (A3) at (6,1);
				\coordinate (A4) at (6,-1);
				\coordinate (A5) at (6,-3);
				\coordinate (A6) at (6,-5);
				\coordinate (B1) at (3,5);
				\coordinate (B2) at (3,3);
				\coordinate (B3) at (3,1);
				\coordinate (B4) at (3,-1);
				\coordinate (B5) at (3,-3);
				\coordinate (B6) at (3,-5);
				\coordinate (C1) at (0,4);
				\coordinate (C2) at (0,0);
				\coordinate (C3) at (0,-4);
				\coordinate (D1) at (-3,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$C$};
				\draw node (A2) at (A2) {$B$};
				\draw node (A3) at (A3) {$C$};
				\draw node (A4) at (A4) {$A$};
				\draw node (A5) at (A5) {$B$};
				\draw node (A6) at (A6) {$A$};
				\draw node (B1) at (B1) {$B$};
				\draw node (B2) at (B2) {$C$};
				\draw node (B3) at (B3) {$A$};
				\draw node (B4) at (B4) {$C$};
				\draw node (B5) at (B5) {$A$};
				\draw node (B6) at (B6) {$B$};
				\draw node (C1) at (C1) {$A$};
				\draw node (C2) at (C2) {$B$};
				\draw node (C3) at (C3) {$C$};
				\draw (D1)--(C1);
				\draw (D1)--(C2);
				\draw (D1)--(C3);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C2)--(B3);
				\draw (C2)--(B4);
				\draw (C3)--(B5);
				\draw (C3)--(B6);
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B2)--(A2);
				\draw (B3)--(A3);
				\draw (B4)--(A4);
				\draw (B5)--(A5);
				\draw (B6)--(A6);
				\draw[red] (-3.2,8)--(0.2,8)--(0.2,-7)--(-3.2,-7)--cycle;
				\draw [red] (-1.3,7.5)node{Choix boîte};
				\draw [red] (-1.3,7)node{du CD $a$};
				\draw[green] (0.3,8)--(3.2,8)--(3.2,-7)--(0.3,-7)--cycle;
				\draw [green] (1.5,7)node{Choix boîte};
				\draw [green] (1.5,6.5)node{du CD $b$};
				\draw[violet] (3.3,8)--(6.2,8)--(6.2,-7)--(3.3,-7)--cycle;
				\draw [violet] (4.7,7.5)node{Rangement};
				\draw [violet] (4.7,7)node{du CD $c$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $E_1$: \og les trois CD sont bien rangés\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
			
			$E_1= \{ ABC \}$.
			
			La loi de probabilité est l'équiprobabilité, l'univers comporte $6$ issues et $E_1$ est réalisé par une issue donc: 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_1)=\frac{1}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $E_2$: \og exactement un CD est bien rangé \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_2)$.}
			
			$E_2= \{ ACB, BAC, CBA \}$.
			
			La loi de probabilité est l'équiprobabilité, l'univers comporte $6$ issues et $E_2$ est réalisé par $3$ issues donc: $\mathbb{P}(E_2)=\frac{3}{6}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_2)=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $E_3$: \og exactement deux CD sont bien rangés \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_3)$.}
			
			$E_3= \emptyset$.
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_3)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Notons $E_4$: \og aucun CD n'est bien rangé\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_4)$.}
		
		$\overline{E_4} = E1 \cup E_2 \cup E_3$
		
		Comme $E_1$, $E_2$ et $E_3$ sont incompatibles (disjoints) deux à deux:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{E_4}) &= \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) + \mathbb{P}(E_3)\\
			&= \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + 0\\
			&= \frac{2}{3}
			\intertext{Donc:}
			\mathbb{P}(E_4) &= 1-\mathbb{P}(\overline{E_4})\\
			&= 1-\frac{2}{3}
		\end{align*} 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E_4)=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64260&ordre=1}{Exercice 51 page 59 du Sésamath}: arbre, sans remise, union et intersection.
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient 4 jetons: deux jaunes, un rose et un violet.
	
	On tire au hasard un jeton de l'urne puis un second sans remettre le premier. 
	
	On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation par un arbre.
		\item Combien y-a-t-il de tirages possibles?
		\item On considère les événements:
		\begin{itemize}
			\item $R$: \og Le 1\ier\ jeton tiré est rose \fg;
			\item $J$: \og Le 2\ieme\ jeton tiré est jaune \fg.
		\end{itemize}
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer $\mathbb{P}(R)$ et $\mathbb{P}(J)$.
			\item Traduire par une phrase $R \cap J$. \\
			Calculer $\mathbb{P}(R \cap J)$.
			\item Calculer $\mathbb{P}(R \cup J)$.
		\end{enumerate}
		
		\item On considère l'événement:
		\begin{itemize}
			\item $N$:\og Aucun jeton tiré n'est jaune \fg.
		\end{itemize} 
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $\mathbb{P}(N)$.
			\item Exprimer $\overline{N}$ par une phrase.
			\item Calculer $\mathbb{P}\left(\overline{N}\right)$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}La modélisation la plus simple (car utilisant l'équiprobabilité) nécessite de distinguer les deux jetons jaunes: $J1$ et $J2$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.3]
				\coordinate (A1) at (0,11);
				\coordinate (A2) at (0,9);
				\coordinate (A3) at (0,7);
				\coordinate (A4) at (0,5);
				\coordinate (A5) at (0,3);
				\coordinate (A6) at (0,1);
				\coordinate (A7) at (0,-1);
				\coordinate (A8) at (0,-3);
				\coordinate (A9) at (0,-5);
				\coordinate (A10) at (0,-7);
				\coordinate (A11) at (0,-9);
				\coordinate (A12) at (0,-11);
				\coordinate (B1) at (-2,9);
				\coordinate (B2) at (-2,3);
				\coordinate (B3) at (-2,-3);
				\coordinate (B4) at (-2,-9);
				\coordinate (C1) at (-4,0);
				\draw node (A1) at (A1) {$J2$};
				\draw node (A2) at (A2) {$R$};
				\draw node (A3) at (A3) {$V$};
				\draw node (A4) at (A4) {$J1$};
				\draw node (A5) at (A5) {$R$};
				\draw node (A6) at (A6) {$V$};
				\draw node (A7) at (A7) {$J1$};
				\draw node (A8) at (A8) {$J2$};
				\draw node (A9) at (A9) {$V$};
				\draw node (A10) at (A10) {$J1$};
				\draw node (A11) at (A11) {$J2$};
				\draw node (A12) at (A12) {$R$};
				\draw node (B1) at (B1) {$J1$};
				\draw node (B2) at (B2) {$J2$};
				\draw node (B3) at (B3) {$R$};
				\draw node (B4) at (B4) {$V$};
				\draw (B1)--(A1);
				\draw (B1)--(A2);
				\draw (B1)--(A3);
				\draw (B2)--(A4);
				\draw (B2)--(A5);
				\draw (B2)--(A6);
				\draw (B3)--(A7);
				\draw (B3)--(A8);
				\draw (B3)--(A9);
				\draw (B4)--(A10);
				\draw (B4)--(A11);
				\draw (B4)--(A12);
				\draw (C1)--(B1);
				\draw (C1)--(B2);
				\draw (C1)--(B3);
				\draw (C1)--(B4);
			\end{tikzpicture} 
		\end{center}
		
		\item D'après l'arbre précédent: $\#(\Omega)=12$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $12$ tirages possibles.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R})$.}
			
			$\tilde{R}= \{ RJ1, RJ2, RV \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $\tilde{R}$ est réalisé par $3$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{R})=\frac{3}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{R})=\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{J})$.}
			
			$\tilde{J}= \{ J1J2, J2J1, RJ1, RJ2, VJ1, VJ2 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $\tilde{J}$ est réalisé par $6$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{J})=\frac{6}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{J})=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item ~
			
			\begin{conclusion}
				
				$\tilde{R} \cap \tilde{J}$: \og le premier jeton est rose et le second est jaune\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})$.}
			
			$\tilde{R} \cap \tilde{J}= \{ RJ1, RJ2 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $\tilde{R} \cap \tilde{J}$ est réalisé par $2$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})=\frac{2}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})=\frac{1}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J})$.}
			
			{\color{orange}Ici peu importe la loi de probabilité nous allons utiliser une formule qui fonctionne pour toutes les lois de probabilités.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J}) &= \mathbb{P}(\tilde{R}) + \mathbb{P}(\tilde{J}) -\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})\\
				&= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J})=\frac{7}{12}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
			
			$N= \{ VR, RV \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $N$ est réalisé par $2$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(N)=\frac{2}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N)=\frac{1}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item ~
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{N}$ : \og au moins un jeton est jaune\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
			
			{\color{orange}Ici peu importe la loi de probabilité nous allons utiliser une formule qui fonctionne pour toutes les lois de probabilités.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(N) &= 1-\mathbb{P}(\overline{N})\\
				&= 1-\frac{1}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N)=\frac{5}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Dans une classe de seconde, on a représenté dans le tableau suivant les langues vivantes étudiées en première langue par les 35 élèves. (On suppose que chaque élève étudie une seule première langue.)
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			& Anglais & Allemand & Espagnol \\ \hline
			Garçons & 8 & 3 & 4 \\ \hline
			Filles & 10 & 4 & 6 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On interroge au hasard un élève de cette classe. On s'intéresse aux événements suivants:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $F$: \og l'élève interrogé est une fille\fg{}.
		\item $E$: \og l'élève interrogé étudie l'espagnol comme première langue\fg{}.
	\end{enumerate}
	
	Calculez la probabilité de chacun des événements suivants: $E\cap F$, $E\cup F$, $\overline{E}\cap \overline{F}$ et $E\cup \overline{F}$.
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Choisir un élève parmi les $35$ est une expérience aléatoire nous modélisons cette expérience par un univers de $35$ issues muni de l'équiprobabilité (chaque élève a autant d'être choisi qu'un autre).
	
	{\color{orange}Remarquons que, comme tout modélisation, le choix de l'équiprobabilité est arbitraire.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E \cap F)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $E \cap F$ est réalisé par $6$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E \cap F)= \frac{6}{35}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E \cup F)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $E \cup F$ est réalisé par $10+4+6+4=24$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E \cup F)= \frac{24}{35}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{E} \cup \overline{F})$.}
		
		Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $\overline{E} \cap \overline{F}$ est réalisé par $8+3=11$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(\overline{E} \cup \overline{F})= \frac{11}{35}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(E \cup \overline{F})$.}
		
		Il y a équiprobabilité, d'après le tableau de données croisées $E \cup \overline{F}$ est réalisé par $8+3+4+6=21$ issues et l'univers comporte $35$ issues donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E \cup \overline{F})= \frac{21}{35}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64265&ordre=1}{Exercice 56 page 60 du Sésamath}: tableau de données croisées.
		
	\end{notabene}
	
	Un car scolaire se dirige vers Saint Jacques de Compostelle en passant par Conques avec à son bord 75 élèves dont 40 garçons.
	
	Miguel, le chauffeur, fait un sondage auprès des élèves pour savoir qui aime les chants grégoriens. Il découvre alors que 32 élèves ne les aiment pas, dont la moitié sont des filles, et que $20\ \%$ des garçons les aiment, et que 18 filles n'en ont jamais entendu parler.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Recopie et complète le tableau ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
				& Aime & N'aime pas & Ne connaît pas & Total \\\hline
				Garçons & & & & \\ \hline
				Filles & & & &\\ \hline
				Total & & & & \\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item On tire au hasard la fiche d'un élève.\\ Quelle est la probabilité que: ce soit un garçon? ce soit un garçon qui aime les chants grégoriens? ce soit un garçon ou un élève qui aime les chants grégoriens?
		
		\item On tire au hasard la fiche d'un garçon. Quelle est la probabilité qu'il aime les chants grégoriens?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Illustre bien le fait que sur un univers fini muni de l'équiprobabilité probabilité et proportions se confondent.}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& Aime & N'aime pas & Ne connaît pas & Total
				\\
				\hline
				Garçons & $8$ & $16$ & $16$ & $40$ 
				\\
				\hline
				Filles & $1$ & $16$ & $18$ & $35$
				\\
				\hline
				Total & $9$ & $32$ & $34$ & $75$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item Nous choisissons l'équiprobabilité sur un univers de $75$ issues pour modéliser l'expérience aléatoire.
		
		\begin{enumerate}
			\item Notons $G$: \og la fiche est celle d'un garçon\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(G)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $G$ est réalisé par $40$ issues et l'univers contient $75$ issues donc: $\mathbb{P}(G)=\frac{40}{75}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(G)=\frac{8}{15}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $H$: \og la fiche est celle d'un garçon qui aime les chants grégoriens\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(H)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $H$ est réalisé par $8$ issues et l'univers contient $75$ issues donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(G)=\frac{8}{75}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $L$: \og la fiche est celle d'un garçon ou un élève qui aime le chant grégorien\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(L)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $L$ est réalisé par $8+16+16+1=41$ issues et l'univers contient $75$ issues donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(G)=\frac{41}{75}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item {\color{orange}Puisque la fiche est tirée parmi celle des garçons l'univers est modifié. Choisissons une modélisation adaptée.}
		
		Choisissons la loi de probabilité uniforme sur un univers de $40$ issues.
		
		\medskip
		Notons $M$: \og la fiche est celle d'un garçon qui aime le chant grégorien\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $M$ est réalisé par $8$ issues et l'univers contient $40$ issues donc: $\mathbb{P}(M)=\frac{8}{40}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(M)=\frac{1}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Vous verrez l'année prochaine un outils qui permet de faire ce genre de calcul sans avoir besoin de choisir une nouvelle modélisation appelé la probabilité conditionnelle.}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{B}
	
	\begin{notabene}
		Représentation par un diagramme de Venn de l'univers probabiliste: univers 12 lettres de l'alphabet en minuscule. Dessin de quatre événements dont 3 A,B,C forment un système complet d'événements. Le quatrième D contient C et un peu de B Pas d'équiprobabilité à priori
	\end{notabene}
	
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({5*cos(\x)},{4.5*sin(\x)});
			\node [blue] (E) at (4.5,4.25)  {$\Omega$};
			\draw [blue] (E) -- (3,3.6);
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({1.8*cos(\x)-2.25},{1.75*sin(\x)+1.25});
			\node [red] (A) at (-4.5,3.5) {$A$};
			\draw [red] (A) -- (-3.8,2.1);
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{2*sin(\x)-2.25});
			\node [violet](B) at  (-4.25,-4.75) {$B$};
			\draw [violet] (B) -- (-2.75,-3);
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({2*cos(\x)+2.25},{1.8*sin(\x)+1.5});
			\node[Green] (C) at (5.5,2.75) {$C$};
			\draw [Green] (C) -- (4.2,1.6);
			\draw[Brown, thick][samples=100,domain=0:360] plot({2*cos(\x)+2},{3.5*sin(\x)+0.25});
			\node[Brown] (D) at (5.5,-2.75) {$D$};
			\draw [Brown] (D) -- (3.75,-1.6);
			\draw (3,2) node {$a$};
			\draw (-1,1) node {$b$};
			\draw (0,-3.75) node {$c$};
			\draw (-1,-1) node {$d$};
			\draw (1,1) node {$e$};
			\draw (2,2.25) node {$f$};
			\draw (-3,1.75) node {$g$};
			\draw (-2,-2) node {$h$};
			\draw (2,-2) node {$i$};
			\draw (-3,0.5) node {$j$};
			\draw (1,-1) node {$k$};
			\draw (2.5,0.5) node {$l$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{tasks}
			\task Justifiez que $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d'événements.
			\task Exprimez $\mathbb{P}(A)$ en fonction de probabilités d'événements élémentaires.
			\task Justifiez que $\mathbb{P}(C) \leqslant \mathbb{P}(D)$.
		\end{tasks}
		
		\item La loi de probabilité sur $\Omega$ est définie par la distribution:
		
		{\hspace*{-0.5cm}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}|*{12}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			$\omega$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ & $e$ & $f$ & $g$ & $h$ & $i$ & $j$ & $k$ & $l$ 
			\\
			\hline
			&&&&&&&&&&&&
			\\
			$\mathbb{P}(\omega)$ & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{24}$ & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{3}{24}$ & $\dfrac{1}{12}$
			\\
			&&&&&&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
		\begin{tasks}
			\task Calculez $\mathbb{P}(A)$, $\mathbb{P}(B)$, $\mathbb{P}(A \cap B)$ et déduisez-en $\mathbb{P}(A \cup B)$.
			\task Calculez $\mathbb{P}(C\cap D)$.
			\task Calculez $\mathbb{P}(B \cup C)$.
		\end{tasks}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64256&ordre=1}{Exercice 47 page 58 du Sésamath}.
		
	\end{notabene}
	
	Le standard d'un cabinet médical dispose de deux lignes de téléphone. On considère les événements:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item$O_1$: \og La 1\ier\ ligne est occupée \fg.
		\item $O_2$: \og La 2\ieme\ ligne est occupée \fg. 
	\end{enumerate}
	
	Une étude statistique montre que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $p(O_1)=0,4$
		\item $p(O_2)=0,3$
		\item $p(O_1 \cap O_2)=0,2$
	\end{enumerate}
	
	Calculer la probabilité des événements suivants.
	\begin{enumerate}
		\item \og La ligne 1 est libre \fg.
		\item \og Au moins une des lignes est occupée \fg.
		\item \og Au moins une des lignes est libre \fg. 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Il s'agit ici d'interpréter les événements proposés avec ceux donnés dans l'énoncé.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{O_1})$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{O_1}) &= 1 - \mathbb{P}(O_1)\\
			&= 1-0,4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(\overline{O_1})=0,6$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange} L'expression \og Au moins l'une \fg{} peut s'exprimer en utilsant la conjonction \og ou \fg{} et par conséquent par l'union.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(O_1 \cup O_2)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(O_1 \cup O_2) &= \mathbb{P}(O_1) + \mathbb{P}(O_2) - \mathbb{P}(O_1 \cap O_2)\\
			&= 0,4+0,3-0,2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(O_1\cup O_2)=0,5$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			
			Ajouter une démonstration en utilisant le diagramme de Venn pour faire apparaître les loi de De Morgan directement avec $\overline{O_1}\cup \overline{O_2}$.
			
		\end{notabene}
		
		{\color{orange}Cette question est nettement moins facile. En réfléchissant comme à la question précédente:}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{O_1} \cup \overline{O_2})$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{O_1} \cup \overline{O_2}) &= \mathbb{P}(\overline{O_1}) + \mathbb{P}(\overline{O_2}) - \mathbb{P}(\overline{O_1} \cap \overline{O_2})\\
			\intertext{$\overline{O_1} \cap \overline{O_2}$ signifie \og la première ligne est libre et la seconde aussi\fg{}. Nous n'avons pas la possibilité de calculer directement la porbabilité de cet événement. L'événement contraire peut s'exprimer par: \og la première ligne est occupée ou la seconde est occupée\fg{}, autrement dit \og au moins une des deux lignes est occupée\fg. Donc:}
			&= 1-\mathbb{P}(O_1) + 1- \mathbb{P}(O_2) - \mathbb{P}(\overline{O_1 \cup O_2})\\
			&= 1-0,4+1-0,3- \left[ 1-\mathbb{P}(O_1\cup O_2) \right]\\
			&= 1,3- [1-0,5]\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(\overline{O_1}\cup \overline{O_2})=0,8$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{C}
	
	Calculez la probabilité que deux élèves d'une classe de $35$ élèves soient nés le même jour de l'année.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		\href{http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64243&ordre=1}{Exercice 34 page 57 du Sésamath}: situation simple avec ou sans équiprobabilité.
		
	\end{notabene}
	
	On lance un dé bien équilibré à six faces dont trois sont bleues, deux sont blanches et une est rouge.
	
	\begin{enumerate}
		\item Les trois couleurs sont-elles équiprobables?
		\item Déterminer la probabilité d'apparition de chaque couleur.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Commençons par modéliser cette situation avec l'équiprobabilité.}
	
	Notons $\Omega = \{ B_1, B_2, B_3, Bl_1, Bl_2, R\}$ et munissons cet univers de l'équiprobabilité.
	
	\medskip
	Notons
	\begin{itemize}
		\item $E_1$: \og obtenir le bleu \fg{},
		\item $E_2$: \og obtenir le blanc \fg{},
		\item $E_3$: \og obtenir le rouge \fg{}.
	\end{itemize}
	
	Comme dans tous les exercices précédents: $\mathbb{P}(E_1)=\frac{3}{6}$, $\mathbb{P}(E_2)=\frac{2}{6}$ et $\mathbb{P}(E_3)=\frac{1}{6}$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Les trois couleurs ne sont pas équiprobables.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Considérons une autre modélisation.}
	
	On considère $\Omega= \{ B, Bl, R \}$ muni de la loi de probabilité:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			$\omega$ & $B$ & $Bl$ & $R$
			\\
			\hline
			$\mathbb{P}(\omega)$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{6}$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	{\color{orange}Nous avons bien une probabilité puisque la somme des probabilités égale $1$.}
	
	Les probabilités sont alors immédiates et la conclusion est bien
	
	\begin{conclusion}
		
		les trois couleurs ne sont pas équiprobables.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
		
		Dites si les familles (finies) sont des distributions de probabilité.
		
	\end{notabene}
	
	Dites si les listes proposées sont des distributions de probabilité.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left( \dfrac{1}{5} , \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{15} \right)$.
		\task $\left( \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6} \right)$.
		\task $\left( 0,1;0,4; 0,2;0,27;0,03 \right)$.
		\task $\left( \dfrac{1}{2^2}, \dfrac{1}{2^3},\dfrac{1}{2^4},\dfrac{9}{16} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	\begin{notabene}
	Calcul de probabilités de terminale: probabilité par binomiales.
	\end{notabene}
	
	On lance $5$ fois une pièce parfaitement équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir $0$ pile? $1$ pile? $4$ piles? $5$ piles?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On jette trois fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On note $a$, $b$ et $c$ les numéros obtenus. Soit $Q(x) = ax^2 + bx + c$.
	
	Déterminer la probabilité pour que l'équation du second degré ait:
	
	\begin{enumerate}
		\item deux racines réelles distinctes,
		\item une racine réelle double,
		\item pas de racines réelles.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Événements incompatibles.
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
	\end{notabene}
	
	On lance une pièce une infinité de fois. On note pour $n\geqslant 3$, $B_n$ l'événement \og on obtient face au $(n-2)$-ème lancer, pile au $(n-1)$-ème lancer et pile au $n$-ème lancer\fg{}.
	
	Pour $n \geqslant 3$, les événements $B_n$ et $B_{n+2}$ sont-ils incompatibles?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 602
		
	\end{notabene}
	
	On dispose d’une urne avec $3$ boules: une bleue, une verte
	et une rouge. On tire une boule dans l’urne:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Si elle est verte, on perd $5$ euros.
		
		\item Si elle est bleue, on joue à pile ou face: on gagne $10$ euros si on fait face, et on perd $10$ euros si on fait pile.
		
		\item Si elle est rouge, on gagne $3$ euros.
		
	\end{enumerate}
	
	On note $V$: \og on obtient la boule verte\fg{}, $B$: \og On obtient la boule bleue \fg{} , $R$: \og On obtient la boule rouge \fg{}, $F$: \og On fait
	face au jeu pile ou face\fg{}, et $G$: \og On gagne de l’argent\fg{}.
	
	Justifiez que $G = (B \cup F ) \cup R$.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
		page 617
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n \geqslant 2$. On dispose de $n$ dés. Pour $k \in \llbracket 1, n \llbracket$, le $k$-ème dé est un dé à $k$ faces numérotées de $1$ à $k$.
	
	On lance tous les dés l’un après l’autre. Un lancer est
	considéré comme gagnant si le dé tombe sur $1$.
	
	Quelle est la probabilité de gagner au moins deux lancers
	de dés?
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}