%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Khôlles du 2024/02/12.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour abrege
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Khôlles du 2024/02/12.}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	17 Droites de $R^n$.
	
	Tracer une droite affine à partir 'un point et d'un vecteur directeur.
	
	Donner une représentation paramétrique d'une droite affine.
	
	Montrer q'une droite affine n'est pas un sous espace vectoriel.
	
	Droites vectorielles.
	
	Vecteur directeur, sous-espace vectoriel, appartenance d'un point à la droite, d'après sa représentation paramétrique, 
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item On considère la droite affine, $d$,  de vecteur directeur $\vec{u}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et passant par le point $A(2,-3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Placez le point $A$ dans un repère, dessinez un représentant de $\vec{u}$.
		
		\item Dessinez dans le précédent repère la droite $d$.
		
		\item Proposez une représentation paramétrique de $d$.
		
		\item On admet que $-x+2y+8=0$ est une équation cartésienne de $d$. Assurez vous que $A \in d$ grâce à l'équation cartésienne.
		
		\item Sachant que $d=\left\{ (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\ |\ -x+2y+8=0 \right\}$, justifiez que $d$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On considère l'ensemble $E=\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^2\ | \ 7x_1+8x_2=0\}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
		\item Démontrez que $E$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
		
		\item Donnez deux vecteurs non nul appartenant à $E$. Que sont-ils l'un à l'autre? Justifiez-le.
		
		\item Donnez une équation cartésienne de $E$.
		
		\item Déterminez un vecteur directeur de $E$.
		
		\item Déduisez-en une représentation paramétrique de $E$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminez $d \cap E$.
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	Limites de fonctions.
	
	Fonctions de références. En dessiner, trouver une qui présente telle propriété.
	
	À partir de la représentation graphique donner domaine de définition, limites aux borne du domaine, tableau de variation, comparaison de nombres.
	
	Quelques limites de référence à donner sans explication.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	
	\item Donnez sans justification les limites: $\lim_{\begin{subarray}{} x \to 0 \\ x<0 \end{subarray}} \dfrac{1}{x}$, $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x$, $\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x}$.
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item Tracez à main levée les courbes représentatives des fonctions cube, tangente, racine carrée et logarithme népérien.
		
		\item Tracez le tableau de variation de la fonction logarithme népérien.
		
		\item Donnez des exemples (par un schéma ou avec des fonctions de référence) d'une fonction impaire, d'une fonction non monotone, d'une fonction périodique, d'une fonction strictement croissante, d'une fonction admettant une asymptote verticale, d'une fonction admettant une asymptote horizontale.
		
	\end{enumerate}
	
	\item On considère une fonction $f$ dont la courbe représentative est ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-5.5};
			\def\xcoinhautdroit{10};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$0$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$1$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$1$};
			\draw (I) node {$\bullet$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node {$\bullet$};
			%fonction
			\draw[orange, very thick][samples=100,domain=-4.76:4.76] plot({\x},{0.25*(2*\x*\x+1)/(\x*\x-25)+1});
			\draw[orange, very thick][samples=100,domain=5.05:10] plot({\x},{0.25*(1)/(\x-5)-1});
			\draw [dashed, very thick] (5,-4) -- (5,4);
			\draw [dashed, very thick] (-5,-4) -- (-5,4);
			\draw [orange] (2.5,1.5) node {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez le domaine de définition de $f$ en précisant les éventuelles valeurs interdites.
		
		\item Déterminez les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
		
		\item Précisez les asymptotes à la courbe représentative de $f$.
		
		\item $f$ est-elle croissante sur $[0;+\infty[$?
		
		\item Donnez le tableau de variation de $f$.
		
		\item Comparez $f(-4)$ et $f(0)$, puis $f(3)$ et $f(7)$, et enfin, $f(100)$ et $f(10^3)$.
		
		\item $f$ admet-elle un majorant, un minimum, un maximum, un minimum sur $]-5;5[$? sur $]5;+\infty[$?
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage 
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	Formule des probabilités composées: Un cas fini, puis un cas infini. Vocabulaire ensembliste et probabiliste.
	
	Décrire un événement, nommer un événement, donner des iisues.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Rappelez la formule des probabilités composées.
	
	\item Donnez deux diagrammes de Venn illustrant la formule $\mathbb{P}(A \cup B)+\mathbb{P}(A\cap B)= \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$.
	
	\item On tire successivement et sans remise deux boules d'une urne contenant $3$ boules rouges et $5$ boules vertes.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représentez la situation par un arbre probabiliste pondéré.
		
		\item Calculez la probabilité d'obtenir successivement deux boules rouges.
		
		\item Calculez la probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule verte.
		
		\item Donnez la probabilité d'obtenir au moins une boule verte ou une boule rouge lors des deux tirages.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Une urne contient $n$ boules blanches et $p$ boules noires où $p$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls.
	
	On tire une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne. Puis on recommence indéfiniment ce tirage.
	
	On note $B_k$ et $N_k$ les événements obtenir une boule blanche et obtenir une boule noire au $k$-ième tirage.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Donnez un arbre probabiliste pondéré représentant cette situation.
		
		\item Comment est représenté l'événement $N_1\cap N_2 \cap N_3$ sur l'arbre?
		
		\item Quel est l'univers associé à cette expérience aléatoire?
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(N_1 \cap N_2)$.
		
		\item Pour $k \in \mathbb{N}^*$, exprimez $\mathbb{P}(N_1 \cap N_2 \cap \dots \cap N_k)$ en fonction de $n$, $p$ et $k$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	Démonstration par récurrence exercice de base sur les suites avec convergence, puis une démonstration plus compliquée, et enfin une récurrence double.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Si la suite converge vers un réel $\ell$ démontrez que $\ell$ est solution de $\ell(\ell+1)=\ell$. Déduisez-en la valeur de $\ell$.
		
		\item Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel, $u_n>0$ et $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$.
		
		\item Concluez quant à la convergence de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $v_0=1$ et $v_{n+1}=5v_n+8$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez par récurrence que $v_n=3 \times 5^n-2$.
		
		\item Déduisez-en la limite de $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Démontrez par récurrence que $1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3!+\dots +n\times n!=(n+1)!-1$.
	
	\item Démontrez que $\sum_{i=1}^n i=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
	
	\item Soient $F_0=0$, $F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pour tout entier naturel $n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $F_2$ et $F_3$.
				
		\item Démontrez par récurrence que $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est à termes tous positifs.
		
		\item Déterminez le sens de variation de $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
		\item Montrez que si $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de raison $q$ alors $q$ est solution de $q^2-q-1=0$.
		
		\item Déterminez les valeurs possibles pour $q$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	Suites arithmétiques, suites géométriques, suites arithmétique-géométrique, (récurrence).
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Donnez un exemple de suite arithmétique en précisant sa raison et son premier terme. Donnez-en une expression en fonction de $n$.
	
	\item Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $v_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n^2+v_n$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
		
		\item $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est-elle arithmétique ou géométrique?
		
		\item Exprimez $v_{n+2}$ en fonction de $v_{n+1}$.
		
		\item Donnez une fonction $f$ telle que $f(v_n)=v_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $f:x\mapsto 3x+1$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $f(u_n)=u_{n+1}$ pour tout $n$ entier naturel et $u_0=0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$ et $u_2$.
		
		\item Quelle est la nature de la fonction $f$? Précisez ses éléments caractéristiques.
		
		\item Déterminez le sens de variation de $f$.
		
		\item Démontrez par récurrence que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
		
		\item Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente, quelle est alors forcément sa limite $\ell$?
		
		\item On admet que la suite $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $v_n=u_n+\frac{1}{2} $ pour tout $n \in\mathbb{N}$ est géométrique. Déterminez sa raison.
		
		\item Donnez une formule explicite de $v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item Déduisez de la question précédente une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Concluez quant à la convergence de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	Série arithmétique géométrique (combiner les deux série arithmético et faire somme en manipulant les sigma), démonstration par récurrence, formules explicites.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Rappelez les définitions de suites géométrique et arithmétique.
		
		\item Donnez les formules explicites (ne fonction de $n$) du terme général d'une suite arithmétique puis d'une suite géométrique.
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item Un loyer $600$ euros mensuel augmente de $2$ euros par mois. Donnez le total des salaires versés en $n$ mois.
		
		\item Au bout de combien d'années le total des loyers versés dépassera-t-il $\np{100 000}$ euros?
		
	\end{enumerate}
	
	\item Chaque année les dividendes versés par une entreprise augmentent de $10\ \%$. Le premier dividende, $d_0$ s'élevait à $0,1$ euro. On note $d_n$ le dividende versé la $n$-ième année.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez une formule explicite, en fonction de $n$, du dividende versé pour une action la $n$-ième année.
		
		\item Calculez le total des dividendes versés pendant les $n$ premières années.
		
		\item Sachant qu'en parallèle la valeur de l'action augmente de $2 \ \%$ par an, proposez une méthode pour calculer la valeur total de $100$ actions, dividendes inclus, au bout de $n$ années.
	
	\end{enumerate}
	
	\item Une maison est achetée $\np{200000}$ euros. Son prix est réévalué chaque année en tenant compte de l'inflation constante égale $2\ \%$. Le prix de la maison $n$ années après son achat est noté $p_n$. En particulier $p_0=\np{200000}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique.
		
		\item Donnez une expression explicite de $p_n$ (en fonction de $n$).
		
		\item Au bout de combien d'années le prix actualisé de la maison dépassera-t-il $\np{300000}$ euros?
		
		\emph{Indication:} $\dfrac{\ln(3)-\ln(2)}{\ln(1,02)} \approx 20,46$.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	23 matrices et applications linéaires.
	
	Description de matrice donnez des exmples de matrices comme ci comme ça.
	
	Calculer A(x)
	
	Démontrer avec la définition qu'une application est linéaire.
	
	Donner la matrice associée à une matrice. Utiliser pour justifier qu'une application est linéaire.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez un exemple de matrice $3 \times 2$.
		\item Qu'est-ce que $I_5$?
		\item Qu'est-ce que $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$?
		\item Donnez un exemple d'une matrice carrée, d'une matrice diagonale, d'une matrice triangulaire inférieure.
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $f: (x_1,x2) \mapsto (2x_1+3x_2 , -x_2 , x_1+x_2)$ et $g: (x_1,x_2) \mapsto (x_2,-x_1, 1+x_2) $.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f(-1;3)$.
		
		\item Rappelez la définition d'application linéaire.
		
		\item Proposez si possible une matrice, $M$, associée à $f$.
		
		\item Proposez si possible une matrice, $N$, associée à $g$.
		
		\item Déterminez si $f$ et $g$ sont des applications linéaires ou pas.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2  \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{x} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}$. 
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la transposée de $A$.
		
		\item Calculez $A \times \vec{x}$ (ou $A (\vec{x})$).
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{lecon}

\subsection{Khôlle.}

\begin{notabene}
	
	24 Sommes doubles
	
	Exemples des sommes doubles avec indices séparés ou lié.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Exprimez $\sum_{1 \leqslant i,j\leqslant n} j$ en fonction de $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	\item Exprimez $\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} |i-j|$ en fonction de $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	\item Exprimez $\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} 2^i$ en fonction de $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	\item Exprimez $\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} i$ en fonction de $n \in \mathbb{N}^*$.
	
\end{enumerate}

\begin{lecon}
	\newpage
	~
	
\end{lecon}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}