%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Khôlles en HKBL.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Khôlles en HKBL.}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\subsection{Exercice 0: calculs en vrac.}

\begin{enumerate}
	\item Calculez.
	
	\begin{enumerate}
		\item $-3 \times (-21)$.
		\item $-2-7$.
		\item $\dfrac{27}{12}-\dfrac{13}{12}$.
		\item $\dfrac{1}{3}+ \dfrac{4}{5}$.
		\item $\dfrac{8}{9} \times \dfrac{6}{7}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Si $f:x \mapsto 2x^2-3x+5$ alors calculez $f(-3)$.
	
	\item Résolvez les équations et inéquations suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $3x-7=-7x+13$.
		\item $\dfrac{6x-13}{x^2+x+7}=0$.
		\item $(x-3)(x+6)=0$.
		\item $(-x+1)(3x-7)=0$.
		\item $x^2-5x+6=0$.
		\item $(2x-2)(x+1)>0$.
	\end{enumerate}
	
	\item Résolvez le système linéaire: \[ \left\{\begin{array}{rcrcl}
		2x &+& 5y &= 1\\
		3x &- & 2y &= 4
	\end{array} \right.\]

\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\subsection{Exercice 0 bis: calculs en vrac.}

\begin{enumerate}
	\item Calculez.
	
	\begin{enumerate}
		\item $-2 \times (-117)$.
		\item $-13-5$.
		\item $\dfrac{14}{13}-\dfrac{7}{13}$.
		\item $\dfrac{2}{5}+ \dfrac{3}{7}$.
		\item $\dfrac{9}{8} \times \dfrac{6}{7}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Si $f:x \mapsto 2x^2+4x+1$ alors calculez $f(-4)$.
	
	\item Résolvez les équations et inéquations suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $5x-3=-11x+7$.
		\item $\dfrac{8x-9}{x^2+x+7}=0$.
		\item $(x-5)(x+12)=0$.
		\item $(-x+2)(5x-2)=0$.
		\item $x^2-5x+4=0$.
		\item $(x-7)(3x+7)>0$.
	\end{enumerate}
	
	\item Résolvez le système linéaire: \[ \left\{\begin{array}{rcrcl}
		3x &+& y &= -2\\
		2x &- & 3y &= 1
	\end{array} \right.\]
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\subsection{Exercice 1: applications.}

\begin{notabene}
	
	Applications. Leçon donner une fonction de référence bijective et une autre qui ne soit pas bijective. Donner une définition d'une fonction injective. Domaine de définition d'après la représentation graphique. Donner le tableau de variation. Donner l'image d'un ensemble et l'image réciproque. La fonction est elle injective, surjective, bijective? Comment modifier la fonction pour qu'elle soit bijective? À partir de la formule algébrique déterminer le domaine de définition. Donner l'expression algébrique de la composée de deux fonctions. Domaine de  définition?
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	
	\item Tracez à main levée la courbe représentative de $\exp$.
	
	\item Donnez le domaine de définition de la fonction $\ln$.
	
	\item Donnez une application qui soit bijective et une autre qui ne ne l'est pas.
	
	\item Donnez la définition d'une fonction injective.
	
	\item Soit $f$ une application dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
	
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.986:4] plot({\x},{1/sqrt(\x+2)+\x-sqrt(2)-1});
			\draw [orange] (3.25,2.25) node {$\mathscr{C}_f$};
			%Points
			%\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
		
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique donnez le domaine de définition de $f$.
		
		\item Tracez le tableau de variation de $f$.
		
		\item $f$ est-elle injective, surjective, bijective?
		
		\item Déterminez l'image de $[1;2]$ par $f$.
		
		\item Déterminez $f^{-1} \left( [-2,5,0] \right)$.
		
		\item Comment modifier $f$ pour quelle devienne bijective?
		
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
	
	\item On considère la fonction $g:x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x+2}}-x-\sqrt{2}-1$.
	
	Déterminez le domaine de définition de $g$.
	
	\item Soient $h:x \mapsto 4x+8$ et $k: x \mapsto \frac{1}{4}x-2$.
	
	Donnez une expression algébrique de $k\circ h$ puis de $h\circ k$. Que peut-on en déduire?
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\subsection{Exercice 1 bis: applications.}

\begin{notabene}
	
	Applications. Leçon donner une fonction de référence bijective et une autre qui ne soit pas bijective. Donner une définition d'une fonction injective. Domaine de définition d'après la représentation graphique. Donner le tableau de variation. Donner l'image d'un ensemble et l'image réciproque. La fonction est elle injective, surjective, bijective? Comment modifier la fonction pour qu'elle soit bijective? À partir de la formule algébrique déterminer le domaine de définition. Donner l'expression algébrique de la composée de deux fonctions. Domaine de  définition?
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	
	\item Tracez à main levée la courbe représentative de $\ln$.
	
	\item Donnez le domaine de définition de la fonction racine carrée.
	
	\item Donnez une application qui soit bijective et une autre qui ne ne l'est pas.
	
	\item Donnez la définition d'une fonction surjective.
	
	\item Soit $f$ une application dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.98:4] plot({\x},{-1/sqrt(\x+2)-\x-sqrt(2)+3});
			\draw [orange] (3.25,2.25) node {$\mathscr{C}_f$};
			%Points
			%\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique donnez le domaine de définition de $f$.
		
		\item Tracez le tableau de variation de $f$.
		
		\item $f$ est-elle injective, surjective, bijective?
		
		\item Déterminez l'image de $[1;2]$ par $f$.
		
		\item Déterminez $f^{-1} \left( [-2,5,0] \right)$.
		
		\item Comment modifier $f$ pour quelle devienne bijective?
		
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
	
	\item On considère la fonction $g:x \mapsto \dfrac{1}{\ln(x+2)}$.
	
	Déterminez le domaine de définition de $g$.
	
	\item Soient $h:x \mapsto \frac{1}{3}x+5$ et $k: x \mapsto 3x-5$.
	
	Donnez une expression algébrique de $k\circ h$ puis de $h\circ k$. Que peut-on en déduire?
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\subsection{Exercice 2: étude de la convergence d'une suite.}

\begin{notabene}
	
	Limite d'une suite sans forme indéterminée. Montrer qu'une suite est équivalente à une autre avec la définition sans forme indéterminée. Limite avec croissance comparée. Montrer qu'une suite négligeable par rapport à une autre avec la définition sans forme indéterminée. Déterminer une limite rationnelle. Déterminer une limite polynomiale. Montrer une négligeabilité. Déterminer une équivalence. Déterminer une limite avec une équivalence (avec équivalents de référence).
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Déterminez la limite de la suite $\left( \dfrac{1}{4^n}+n^2+4 \right)$.
	
	\item Rappelez la définition de l'équivalence de deux suites puis démontrez que les suites $\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)$ et $\left( 1+0,5^n \right)$ sont équivalentes.
	
	\item Étudiez la convergence de la suite $\left( \dfrac{n^4}{2^n} \right)$.
	
	\item Rappelez la définition du fait qu'une suite est négligeable par rapport à une autre puis démontrez que $\left( n^2-10^n \right)$ est négligeable par rapport à $\left( n!\right)$.
	
	\item Donnez un équivalent simple de la suite $\left( -7n^5+6n^4+n-12 \right)$ et déduisez-en la limite de cette suite.
	
	\item Donnez un équivalent simple de la suite $\left( \dfrac{5n^2-4n+7}{-13n^2-1} \right)$ et déduisez-en la limite de cette suite.
	
	\item Démontrez que $2^n+\dfrac{1}{n^2}+3= o \left( 3^n \right)$.
	
	\item Donnez un équivalent simple de $\left( \dfrac{n^2\ln(n)+5}{\left( \ln(n) \right)^2}\right)$.
	
	\item Donnez un équivalent simple puis la limite de $\left( n^{-2}\ln(1+n) \right)$.
	
	\item Écrivez en extension la somme $\displaystyle \sum_{i=1}^4 \ln(i+1)$ puis exprimez cette somme sous la forme $\ln(\alpha)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
\end{sujet}

\subsection{Exercice 2 bis: étude de la convergence d'une suite.}

\begin{notabene}
	
	Limite d'une suite sans forme indéterminée. Montrer qu'une suite est équivalente à une autre avec la définition sans forme indéterminée. Limite avec croissance comparée. Montrer qu'une suite négligeable par rapport à une autre avec la définition sans forme indéterminée. Déterminer une limite rationnelle. Déterminer une limite polynomiale. Montrer une négligeabilité. Déterminer une équivalence. Déterminer une limite avec une équivalence (avec équivalents de référence).
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Déterminez la limite de la suite $\left( \dfrac{1}{n^3}+2^n-8 \right)$.
	
	\item Rappelez la définition de l'équivalence de deux suites puis démontrez que les suites $\left( 1+\dfrac{1}{n!} \right)$ et $\left( 1+n^{-3} \right)$ sont équivalentes.
	
	\item Étudiez la convergence de la suite $\left( \dfrac{\mathrm{e}^n}{n^{37}} \right)$.
	
	\item Rappelez la définition du fait qu'une suite est négligeable par rapport à une autre puis démontrez que $\left( \ln(n)+n^{11} \right)$ est négligeable par rapport à $\left( 2^n \right)$.
	
	\item Donnez un équivalent simple de la suite $\left( 8n^7-5n^4+3n^2 \right)$ et déduisez-en la limite de cette suite.
	
	\item Donnez un équivalent simple de la suite $\left( \dfrac{13n^2-4n+3}{-7n^2+14} \right)$ et déduisez-en la limite de cette suite.
	
	\item Démontrez que $n^4+\dfrac{1}{n^2}+3= o \left( n^5 \right)$.
	
	\item Donnez un équivalent simple de $\left( \dfrac{\ln(n)+2}{n\left( \ln(n) \right)^2}\right)$.
	
	\item Donnez un équivalent simple puis la limite de $\left( n^{2}\ln(1+n) \right)$.
	
	\item Écrivez en extension la somme $\displaystyle \sum_{i=1}^4 \ln(2i)$ puis exprimez cette somme sous la forme $\ln(\alpha)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3: algèbre linéaire.}

\begin{notabene}
	Somme de vecteurs. Produit par un réel.
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Calculez $3\begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}$ puis $\begin{pmatrix} 2\\ -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6\\ -17 \end{pmatrix}$.
	
	\item On note $\vec{x}= (2;-4;5)$ et $\vec{y}=(2;0;-1)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez n'importe quelle combinaison linéaire de $\vec{x} $et $\vec{y}$.
		
		\item Calculez $\vec{x}+\vec{y}$.
		
		\item Calculez $-2 \vec{x}+3\vec{y}$.
		
		\item Calculez $\frac{1}{2}\vec{x}-\vec{y}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $\vec{u}= (2;-1)$ et $\vec{v}= (1;2)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ qui soit nulle?
		
		\item Déterminez toutes les combinaisons linéaires $a\vec{u} + b\vec{v}$ de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ telles que $a\vec{u}+b\vec{v}=(4;-7)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $E=\left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3\ | \ 2x_1-x_2+3x_3=0 \right\}$ où on note $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $(1;2;0) \in E$.
		
		\item Montrez que $(1;1;1)\notin E$.
		
		\item A-t-on $\vec{0}\in E$?
		
		\item Démontrez que $E$ est stable par combinaisons linéaires.
		
		\item $E$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$?
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $F =\left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^2\ | -3x_1+x_2=4 \right\}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Démontrez que $F$ n'est pas vide.
		
		\item A-t-on $\vec{0} \in F$?
		
		\item $F$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$?
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
\end{sujet}


\subsection{Exercice 3 bis: algèbre linéaire.}

\begin{notabene}
	Somme de vecteurs. Produit par un réel.
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item Calculez $-7\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}$ puis $\begin{pmatrix} 4\\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -29\\ -17 \end{pmatrix}$.
	
	\item On note $\vec{x}= (-3;-1;8)$ et $\vec{y}=(-1;1;0)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez n'importe quelle combinaison linéaire de $\vec{x} $et $\vec{y}$.
		
		\item Calculez $\vec{x}+\vec{y}$.
		
		\item Calculez $-2 \vec{x}+4\vec{y}$.
		
		\item Calculez $\frac{1}{3}\vec{x}-\vec{y}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $\vec{u}= (2;1)$ et $\vec{v}= (-1;3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ qui soit nulle?
		
		\item Déterminez toutes les combinaisons linéaires $a\vec{u} + b\vec{v}$ de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ telles que $a\vec{u}+b\vec{v}=(1;2)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $E=\left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3\ | \ x_1+2x_2-x_3=0 \right\}$ où on note $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $(1;-1;-1) \in E$.
		
		\item Montrez que $(2;1;1)\notin E$.
		
		\item A-t-on $\vec{0}\in E$?
		
		\item Démontrez que $E$ est stable par combinaisons linéaires.
		
		\item $E$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$?
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soit $F =\left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^2\ | x_1+4x_2=5 \right\}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Démontrez que $F$ n'est pas vide.
		
		\item A-t-on $\vec{0} \in F$?
		
		\item $F$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$?
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4: probabilité.}

\begin{enumerate}
	
	\item On lance une pièce jusqu'à obtenir deux piles successifs. On note alors le rang du second pile. Quel univers peut-on associer à cette expérience?
	
	\item Démontrez que, si $A$ est un événement (non vide), la famille d'ensembles $\{ A, \overline{A} \}$ est une système complet d'événements.
	
	\item Donnez la définition d'une probabilité.
	
	\item Les listes $\left( 0,3; 0,1; 0,6; 0,1\right)$, $\left( 0,01; 0,97;0,03; -0,01 \right)$ et $\left( \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{10}, \dfrac{3}{10},\dfrac{1}{5} \right)$ sont-elles des distributions de probabilité?
	
	\item On lance $2$ fois un dé parfaitement équilibré à $4$ faces numérotées de $1$ à $4$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Schématisez cette expérience par un arbre probabiliste.
		
		\item Donnez une issue puis l'univers $\Omega$.
		
		\item Quel est le cardinal de $\Omega$ (nombre d'éléments de l'ensemble)?
		
		\item Calculez la probabilité d'obtenir d'abord un $3$ puis un $2$.
		
		\item Calculez la probabilité de n'obtenir aucun nombre pair.
		
		\item Calculez la probabilité que la somme des nombres obtenus soit inférieure ou égale à $3$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $A$ et $B$ des événements tels que $\mathbb{P}(A)=\frac{1}{3}$, $\mathbb{P}(B)=\frac{1}{2}$ et $\mathbb{P}(A\cap B)= \frac{1}{6}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(\overline{A})$.
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(A \cup B)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4 bis: probabilité.}

\begin{enumerate}
	
	\item On lance une pièce $100$ fois et on note le nombre de piles obtenus. Quel univers peut-on associer à cette expérience?
	
	\item On lance un dé à $6$ faces. On note $A$: \og obtenir un nombre pair \fg{}, $B$: \og obtenir un nombre impair \fg{} et $C$: \og obtenir un nombre inférieur ou égale à $2$. Montrez que $\{ A, B,C \}$ n'est pas un système complet d'événements.
	
	\item Donnez la définition d'une probabilité.
	
	\item Les listes $\left( -0,1; 0,8; 0,2; -0,1\right)$, $\left( 0,12; 0,58;0,2; 0,06;0,04 \right)$ et $\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3} \right)$ sont-elles des distributions de probabilité?
	
	\item On lance $4$ fois une pièce parfaitement équilibrée.
	
	\begin{enumerate}
		\item Schématisez cette expérience par un arbre probabiliste.
		
		\item Donnez une issue puis l'univers $\Omega$.
		
		\item Quel est le cardinal de $\Omega$ (nombre d'éléments de l'ensemble)?
		
		\item Calculez la probabilité d'obtenir d'abord successivement pile, face,pile et pile.
		
		\item Calculez la probabilité de n'obtenir un seul pile.
		
		\item Calculez la probabilité que le nombre de piles soit inférieur ou égale à $1$.
		
	\end{enumerate}
	
	\item Soient $A$ et $B$ des événements tels que $\mathbb{P}(A)=\frac{2}{7}$, $\mathbb{P}(B)=\frac{5}{6}$ et $\mathbb{P}(A\cap B)= \frac{2}{11}$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(\overline{A})$.
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(A \cup B)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
	\newpage
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}