%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Variable aléatoire.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Variable aléatoire.}

\begin{lecon}
	
	Dans cette leçon $I$ désigne soit $\mathbb{N}$, soit $\mathbb{Z}$, soit un ensemble fini.
	
\end{lecon}

\subsection{Variables aléatoires discrètes réelles.}

\begin{definition}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E} \right)$ un espace probabilisable.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Une \emph{\color{purple}variable aléatoire sur $\mathcal{X}$} est une fonction $X : \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ telle que $ \{X = x\} := X^{-1}(\{x\})$ est un événement pour tout $x \in \mathcal{X}$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item À un lancer de deux dés à $6$ faces 
		associer la somme des nombres obtenus définit une variable aléatoire $X$.
		
		$\Omega= \llbracket 1, 6 \rrbracket^2$ et $X(\Omega)=\llbracket 2,12 \rrbracket$.
		
		\item Associer des gains ou des pertes aux issues d'une expérience aléatoire finie c'est créer une variable aléatoire.
		
		On tire une carte d'un jeu de $32$ cartes. Si la carte obtenue est une figure on gagne $10\ \text{\euro}$ sinon on perd le montant correspondant à la valeur de la carte.
		
		$\Omega$ est formé des $32$ cartes et $X(\Omega)= \{ 10, -1,-7,-8,-9,-10 \}$.
		
		\item Associer à dix lancers de dés le plus petit et le plus grand des lancers ne constitue pas une variable aléatoire au sens de notre définition.
				
		En effet nos variables aléatoires sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ pas $\mathbb{R}^2$.
		
		\item En associant à une répétition de pile-ou-face le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier pile  nous définissons une variable aléatoire.
		
		$\Omega= \{ P, FP, FFP, FFFP, FFFFP, \dots \}$ et $X(\Omega)=\mathbb{N}^*$.
		
		\item En associant à une répétition de pile-ou-face le nombre de piles obtenus lors de $n \in \mathbb{N}$ lancers  nous définissons une variable aléatoire.
		
		$\Omega= \{ P,F \}^n$ et $X(\Omega)= \llbracket 0 , n \rrbracket$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $X(\Omega)$ est l'ensemble des images par $X$. $X(\Omega)$ est appelé le \emph{\color{purple}support} ou l'\emph{\color{purple}univers-image} de $X$.
		
		\begin{notabene}
			
			Donner le support de $X$ dans les exemples précédents.
			
		\end{notabene}		
		
		Le plus souvent nous choisirons $X(\Omega)= \mathcal{X}$.
		
		\item Les variables aléatoires pourrons souvent être vues comme des compteurs (du nombre de fois que quelque choses à lieu) ou comme le gain (dans un jeu d'argent par exemple).
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		dunod j'intègre méthode approfondies 2021
		
		page 799
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient $n \in \mathbb{N}$ boules numérotées de $1$ à $n$ avec $n \geqslant 2$. On tire successivement et sans remise deux boules. On note $X$ la variable aléatoire égale au plus petit des deux numéros obtenus. Déterminez $\Omega$ et $X(\Omega)$.

\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\Omega= \left\{ (k,p) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2 \ | \ k\ne p \right\}$.
	
	$X(\Omega)= \llbracket 1, n-1\rrbracket$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		dunod j'intègre méthode approfondies 2021
		
		page 800
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient $r \in \mathbb{N}^*$ boules rouges et $b\in \mathbb{N}^*$ boules blanches .
	
	Soit $n$ un entier tel que $1 \leqslant n \leqslant b+r$. 
	
	On tire $n$ boules sans remise. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules blanches obtenues parmi les $n$ tirages. 
	
	Déterminez $X(\Omega)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	$X(\Omega)= \llbracket \max(0,n-r), \min(b,n) \rrbracket$.
	
\end{exercicecorrection}


\begin{proposition}{}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E} \right)$ un espace probabilisable,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$ \left\{ \left\{ X=x \right\} \ | \ x \in \mathcal{X} \right\}$ est un système complet d'événements.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Les ensembles considérés sont bien des événements par définition de la variable aléatoire.
	
	Le fait que les ensembles soient disjoints découle de la définition d'une fonction (à un élément de l'ensemble de départ correspond au plus un élément de l'ensemble d'arrivée).
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E} \right)$ un espace probabilisable,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire,
		
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $a < b$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Les ensembles 	
	
	$\begin{array}{cc}
		\{ X>a \}= \{ \omega \in \Omega \ | X(\omega)>a \}, & \{ X\geqslant a \}=\{ \omega \in \Omega \ | X(\omega) \geqslant a \},
		\\
		\{ X<a \}= \{ \omega \in \Omega \ | X(\omega)<a \}, & \{ X\leqslant a \}= \{ \omega \in \Omega \ | X(\omega)\leqslant a \},
	\end{array}$
	
	\[ \begin{array}{c}
		\{ a<X<b \} = \{ \omega \in \Omega \ | a<X(\omega)<b \},
		\\
		\{ a \leqslant X \leqslant b \}= \{ \omega \in \Omega \ | a\leqslant X(\omega) \leqslant b \},
		\\
		\{ a \leqslant X<b \}= \{ \omega \in \Omega \ | a\leqslant X(\omega)<b \}, 
		\\
		\{ a< X \leqslant b \}= \{ \omega \in \Omega \ | a<X(\omega)\leqslant b \}. 
	\end{array}\]
	
	sont des événements.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}En utilisant les propriétés de la tribu $\mathscr{E}$ et le fait que $\mathcal{X}$ est de cardinal au plus dénombrable.}
	
	\objectif{Démontrons que $\{ X>a \}$ est un événement.}
	
	\[ \{ X>a \} = \bigcup_{x>a} \{X=x\}. \]
	
	Or, d'après la proposition précédente $\left( \{ X=x \} \right)_{x>a}$ est une famille dénombrable (car $\mathcal{X}$ est dénombrable) de parties disjointes deux à deux donc leur réunion est encore un événement.
	
	\begin{conclusion}
		
		$\{ X>a \}$ est un événement.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On retrouve d'autres notations assez semblables (au concours et dans les manuels): $\{ X=x \} = [X=x ]= (X=x)$.
		
		\item On peut de façon générale noter $\{ X \in E \}$ où $E$ désigne n'importe que ensemble réel. Dans un cadre très général, un tel ensemble n'est pas toujours un événement.
		 
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
		
	\begin{enumerate}
		
		\item Événements avec le lancé de deux dés.
		
		\item On réitère le tirage, avec remise, d'une boule d'une urne comportant $1$ rouge et $2$ jaune jusqu'à obtenir une boule rouge. En notant $X$ le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la boule rouge, $Y$ le nombres de boules jaunes obtenues avant d'avoir la première boule rouge nous définissons des variables aléatoires.
		
		Alors 
		\begin{enumerate}[]
			
			\item $\{ X= 14 \}$ est l'événement \og obtenir la boule rouge au $14$-ième tirage \fg{}, 
			
			\item $\{ X>28 \}$ est l'événement \og la boule rouge est obtenue après le $28$ième tirage\fg{}, 
			
			\item $\{ Y\geqslant 12 \}$ est l'événement \og obtenir au moins $12$ boules blanches.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{notabene}
			
			Remarquons que $X$ est un ordinal tandis que $Y$ est un cardinal.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Variable aléatoire et probabilité.}

\subsubsection{Loi de probabilité d'une variable aléatoire.}

\begin{definition}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}loi de probabilité de la variable aléatoire} $X$ l'ensemble des couples $\left( x_i,\mathbb{P}(X=x_i) \right)$ pour $i \in I$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Plutôt que loi de probabilité on parle parfois de \emph{\color{purple}distribution de probabilité}.
		
		\item On pourrait se limiter au support de $X$: $\left( x,\mathbb{P}(X=x) \right)$, où $x \in X(\Omega)$.
		
		\item Nous retrouvons la notion de loi de probabilité déjà rencontrée. 
		
		$\mathbb{P}_X$ est une loi de probabilité sur $(\mathcal{X}, \mathscr{P}(\mathcal{X}))$ et \[ \forall i \in I,\ \mathbb{P}_X(x_i)= \mathbb{P}(X=x_i). \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Sur un lancer de deux dés $Y$ vaut $1$ si c'est un double et $0$ sinon. 
		
		Dans le cas fini la loi de probabilité d'une variable aléatoire peut être représentée sous forme d'un tableau.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$y_i$ & $0$ & $1$
				\\
				\hline
				&&\\
				$\mathbb{P}(Y=y_i)$ & $\frac{5}{6}$ & $\frac{1}{6}$
				\\
				&&\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item Exemple de la somme, $X$, de deux dé.
		
		La loi de probabilité de $X$, puisqu'elle est finie peut être présentée sous forme d'un tableau:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x_i$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
				&&&&&&&&&&&
				\\
				$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{1}{36}$
				\\
				&&&&&&&&&&&
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Ce tableau rappelant le tableau de valeur des fonctions il semble assez naturel d'en donner une représentation graphique:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=16]
				\def\xY{-1};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{13.5};
				\def\yZ{8/36};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.027777cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1,...,12}	\draw[thick](\x,0.01cm)--(\x,-0.01cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,...,6}	\draw[thick](0.1cm,{\y/36})--(-0.1cm,{\y/36}) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}/36};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\foreach \ab/\p in {2/1,3/2,4/3,5/4,6/5,7/6,8/5,9/4,10/3,11/2,12/1} {\draw[red] ({\ab},{\p/36}) node {$\bullet$};}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		
		\item Premier pile et représentation graphique.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Radioactivity}
	
	\begin{notabene}
		
		sup 1ieme ecg 1 appliquées	page 670
		
		Dénombrement
		
	\end{notabene}

	On considère une urne contenant $4$ boules numérotées de $1$ à $4$ et indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise dans l’urne.
	
	Pour $k\geqslant 1$, on note $Z_k$ la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des $k$ premiers tirages.
	
	Pour $k \geqslant 2$ montrez que $\displaystyle \mathbb{P}(Z_k=2)= 6\frac{2^k-2}{4^k}$.
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}$ alors $\mathbb{P} \left( X \in \mathcal{X}' \right)= \sum_{x \in \mathcal{X}'} \mathbb{P}(X=x)$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P} \left( X \in \mathcal{X}' \right) &= \mathbb{P} \left( \bigcup_{x \in \mathcal{X}'} \{ X =x \} \right)\\
		\intertext{Puisque $\mathcal{X}$ est dénombrable et puisque les $\{ X=x \}$, pour $x \in \mathcal{X}'$, sont disjoints deux à deux:}
		\mathbb{P} \left( X \in \mathcal{X}' \right) &= \sum_{x \in \mathcal{X}} \mathbb{P}( X=x)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{}
	
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $I$ est fini alors $\sum_{i \in I} \mathbb{P}(X=x_i)=1$.
		
		\item Si $I$ est infini alors $\sum_i \mathbb{P}(X=x_i)$ est une série convergente de somme $1$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Si $I$ est infini alors, par croissance de la probabilité: \[ (X \in \{ x_1,x_2, \dots, x_n\} ) \subset (X \in \mathcal{X}) \Rightarrow \mathbb{P}(X \in \{ x_1, x_2, \dots, x_n \}) \leqslant \mathbb{P}(X \in \mathcal{X}). \]
	
	Or $(X \in \mathcal{X})=\Omega$ donc 
	
	$1=\mathbb{P}(\Omega)= \mathbb{P} (X \in \mathcal{X})= \sum_{x \in \mathcal{X}} \mathbb{P}(X=x)$.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On retrouve des généralités des probabilités: 
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item une probabilité est un nombre positif,
			
			\item la probabilité de l'univers-image est $1$.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ telle que pour tout entier $n \geqslant 1$, \[ \mathbb{P}(X = n) = \frac{\alpha n}{2^n}. \]
	
	Déterminez $\alpha$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Définir une variable aléatoire à partir d'une distribution.}

\begin{theoreme}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(p_i)_{i \in I}$ une famille de réels positifs,
		
		\item $\mathcal{X}=(x_i)_{i\in I}$ une famille de réels deux à deux distincts.
		
	\end{enumerate}
	
	Si $\sum_{i} p_i$ converge et a pour somme $1$ alors il existe un espace probabilisé $\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ et une variable aléatoire réelle discrète $X$ sur $\left( \Omega, \mathscr{E} \right)$ telle que $X(\Omega)=\{ x_i \ | \ i\in I \}$ et \[ \forall i \in I,\ \mathbb{P}(X=x_i)=p_i. \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}{}
	
	On choisit $X: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{X} & \mapsto & \mathcal{X} \\ \omega & \mapsto & \omega \end{array} \right.$. $X$ est une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathscr{P}(\Omega))$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left( \frac{1}{2^{n+1}} \right)_{n\geqslant 0}$.
		
		\item $\left( \frac{1}{n!} \right)_{n\geqslant 0}$ n'est pas une distribution de probabilité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Fonction de répartition.}

\begin{definition}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}fonction de répartition de $X$}, l'application \[ F_X: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & [0;1] \\ x & \mapsto & \mathbb{P}(X \leqslant x) \end{array} \right.. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On peut voir la fonction de répartition comme le pendant probabiliste des fréquences cumulées croissantes de statistiques.
		
		\item La fonction de répartition définie parfaitement la loi de probabilité associée à la variable aléatoire $X$: si deux variables aléatoires ont la même fonction de répartition alors elles ont la même loi de probabilité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ F_X(x)= \sum_{\begin{subarray}{c} x_i \in \mathcal{X}\\ x_i \leqslant x \end{subarray}} \mathbb{P}(X=x_i). \]
		
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}\subset \mathbb{N}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X=x_n)=F_X(n)-F_X(n-1)$ et donc \[ F_X(n)= \sum_{k=0}^n P( X=k ). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Corollaire du précédent résultat.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Sur un lancer de deux dés $Y$ vaut $1$ si c'est un double et $0$ sinon. 
		
		Dans le cas fini la loi de probabilité d'une variable aléatoire peut être représentée sous forme d'un tableau.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$y_i$ & $0$ & $1$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(Y=y_i)$ & $\frac{5}{6}$ & $\frac{1}{6}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\item Exemple de la somme de deux dés avec représentation graphique.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=10]
			\def\xY{-1.5};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{13.5};
			\def\yZ{1.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=0.1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.01cm)--(\x,-0.01cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$F_X(x)$};
			\draw [red, very thick] ({\xY},0) -- (2,0);
			\foreach \ab/\p in {2/1,3/3,4/6,5/10,6/15,7/21,8/26,9/30,10/33,11/35,12/36} {\draw[red, very thick] ({\ab},{\p/36}) -- ({\ab+1},{\p/36});
				\draw ({\ab},{\p/36}) node {$\bullet$};}
			\foreach \ab/\p in {1/0,2/1,3/3,4/6,5/10,6/15,7/21,8/26,9/30,10/33,11/35} {
				\draw ({\ab+1+0.05},{\p/36}) node {$[$};}
			\draw [red, very thick] (13,1) -- (13.5,1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Premier pile et représentation graphique.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{P}(a<X \leqslant b ) = F_X(b)-F_X(a)$.
	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	Illustration du résultat sur deux représentations graphiques: distribution et fonction de répartition.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathcal{X}= \left\{ x_i \in \mathbb{R}\ | \ i \in I \right\}$,
		
		\item $\left( \Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $X: \Omega \rightarrow \mathcal{X}$ une variable aléatoire.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $F_X$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} F_X(x)=0$,
		
		\item $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} F_X(x)=1$,
		
		\item $\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\ a <x \end{subarray}} F_X(x)=F_X(a)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En particulier la fonction de répartition est continue à droite.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{definition}
	
	Le \emph{\color{purple}quantile d'ordre $\alpha$ de $X$}, appelé aussi $\alpha$-quantile, est l'ensemble $Q_X(\alpha)=F_X ^{-1} (\{ \alpha\} )$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemple des deux dés tableau loi de probabilité avec fonction de répartition.
		
		\
		\item Même exemple mais avec représentation graphique de $F_X$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Le quantile d'ordre $\frac{1}{2}$ est appelé la médiane.
		
		\item Le quantile d'ordre $\frac{1}{4}$ est appelé le premier quartile.
		
		\item Le quantile d'ordre $\frac{1}{10}$ est appelé le premier décile.
		
		\item Si $F_X$ est injective alors $Q_X(\alpha)$ est un singleton et on le confond alors avec l'élément qu'il contient.
		
		\item La fonction quantile. $Q_X: \alpha \mapsto \inf \{ x \in \mathbb{R} \ | \ \alpha \leqslant F_X(x)\}$ définie sur $\mathbb{R}$. Cette application est bien définie (propriété de la borne supérieure sur $\mathbb{R}$. Elle permet de retrouver les notions de quartiles, déciles vues au lycée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Variable aléatoire certaine.}

\begin{definition}
	
	Une variable aléatoire $X$ est dite \emph{\color{purple}certaine} s'il existe un réel $a\in \mathbb{R}$ tel que
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X(\Omega)=\{a\}$,
		\item $\mathbb{P}(X=a)=1$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemple avec représentation 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
\subsection{Loi uniforme.}

\begin{notabene}
		
	
	%Exemple 8.12. a) Si on note X le résultat d’un lancer de dé, alors X ∼ U([[1, 6]]).
	%b) Soit a, b ∈ Z, a < b, on dit que X suit une loi uniforme sur [[a, b]] (et on note X ∼ U([[a, b]])) si
	%∀k ∈ [[a, b]], P(X = k) = b−a+1
	
\end{notabene}

\subsubsection{Loi uniforme sur $\llbracket 1, n \rrbracket$.}

\begin{definition}
	
	Soit $n\in \mathbb{N}^*$, on dit que $X$ suit une  \emph{\color{purple}loi uniforme sur $\llbracket 1, n \rrbracket$} et on note $\color{purple}X \hookrightarrow \mathcal{U}( \llbracket 1, n \rrbracket )$ si 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X(\Omega)= \llbracket 1 ,n \rrbracket$,
		\item $\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ \mathbb{P}(X = k) =\frac{1}{n}$.
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $X$ est la variable aléatoire indiquant le numéro obtenu lors d'un lancer de dé parfaitement équilibré alors $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, 6 \rrbracket)$.
		
		\item Soit $\Omega$ l'ensemble des cartes d'un jeu de carte. On tire une carte au hasard. En associant à chacune des $4$ couleurs du jeu de carte un entier entre $1$ et $4$ on définit une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme: $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1,4 \rrbracket)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il s'agit d'une variable aléatoire associée à une situation d'équiprobabilité entre les issues.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Loi uniforme sur $\llbracket a,b \rrbracket$.}

\begin{definition}
	
	Soit $(a,b)\in \mathbb{Z}^2$ avec $a<b$, on dit que $X$ suit une \emph{\color{purple}loi uniforme sur $\llbracket a,b \rrbracket$} et on note $\color{purple}X \hookrightarrow \mathcal{U}( \llbracket a, b \rrbracket )$ si
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X( \Omega)= \llbracket a,b \rrbracket$,
		
		\item $\forall k \in \llbracket a,b \rrbracket,\ \mathbb{P}(X = k) =\frac{1}{b-a+1}$.
		
	\end{enumerate}
 		
\end{definition}

\subsubsection{Loi uniforme sur $\{ x_1,x_2,\dots , x_n \}$.}

\begin{definition}
	
	Soit $(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n$, on dit que $X$ suit une \emph{\color{purple}loi uniforme sur $\{ x_1,x_2,\dots , x_n \}$} et on note $\color{purple}X \hookrightarrow \mathcal{U}( \{ x_1,x_2,\dots , x_n \})$ si
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X( \Omega)= \{ x_1,x_2,\dots , x_n \}$,
		
		\item $\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ \mathbb{P}(X = x_k) =\frac{1}{n}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\subsection{Loi de Bernoulli.}

\begin{definition}
	
	On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit une \emph{\color{purple}loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0,1]$} et on note $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ si
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X(\Omega)= \{ 0;1 \}$,
		
		\item $\mathbb{P}(X=1)=p$ et (évidemment) $\mathbb{P}(X=0)=1-p$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour un lancer de pile ou face $\Omega= \{P,F\}$ et $X$ la variable aléatoire qui à pile associe $0$ et à face associe $1$. $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( \frac{1}{2} \right)$.
		
		\item Si $\mathbb{P}(X=1)= \mathbb{P}(X=2)=\frac{1}{2}$ $X$ ne suit pas la loi de Bernoulli.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\Omega$ un ensemble,
		
		\item $A \subset \Omega$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}fonction indicatrice de $A$} la fonction définie par \[ \mathds{1}_A: \left\{ \begin{array}{ccl} \Omega & \rightarrow & \{ 0;1 \} \\ \omega & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } \omega \in A \\ 0 &\text{si } \omega \notin A \end{array} \right. \end{array} \right. . \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction indicatrice de l'ensemble dépasse le cadre des probabilités et apparaît dans de nombreux domaine des athématiques.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\Omega, \mathscr{E},\mathbb{P})$ un espace probabilisé,
		
		\item $A \in \mathscr{E}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	L'indicatrice $\mathds{1}_A$ de l'événement $A$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\mathbb{P}(A)$.
	
\end{proposition}


\subsection{Transformée d'une variable aléatoire.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\Omega, \mathscr{E})$ un espace probabilisable,
		
		\item $X$ une variable aléatoire réelle discrète sur $(\Omega,\mathscr{E})$,
		
		\item $g$ une application de $X(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip

	L'application $Y: \left\{ \begin{array}{ccl} \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \omega & \mapsto & g\left( X(\omega) \right) \end{array} \right.$ est une variable aléatoire discrète définie sur $(\Omega, \mathscr{E})$.
	
	\medskip
	De plus la loi de probabilité de $Y$ est donnée par:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $Y(\Omega)= \left\{ g(x) \ | x \in X(\Omega) \right\}$.
		
		\item $\displaystyle \forall y \in Y(\Omega),\ \mathbb{P}(Y=y)= \sum_{ \left\{ x \in X(\Omega)
		\ | \ f(x)=y \right\}} \mathbb{P}(X=x)$.
		
	\end{enumerate}
 	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1, 3 \rrbracket)$. 
		
		La loi de $X^2$ est 
		
		La loi de $\sin(\pi X)$ est 
		
		La loi de $\cos(\pi X)$ est 
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$, alors $X^2 \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ et $2^X - 1 \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$.
		
		\item Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(p)$ alors $2X-1 \hookrightarrow$ alors 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		
		proba variable aléatoire 
		%https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_C_1998_FH.pdf
		%https://www.apmep.fr/IMG/tex/Baccalaureat_C_1998_FH.tex sportif de heut niveau octobre 1998
		
		
	\end{notabene}
	
	Un joueur dispose d'une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et $n$	boules vertes ($0 \leqslant  n \leqslant 10$). Les boules sont indiscernables au toucher.
	\begin{enumerate}
		\item  Le joueur tire au hasard une boule de l'urne.
		Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
		\begin{enumerate}
			\item  R : \og la boule tirée est rouge \fg{} ;	
			\item  B : \og la boule tirée est blanche \fg{} ;	
			\item  V : \og la boule tirée est verte \fg.	
		\end{enumerate}
		\item  Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indiquée ci-dessous.
		
		Le joueur tire une boule de l'urne
		
		\setlength\parindent{5mm}
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] si elle est rouge, il gagne $16$~F :
			\item[$\bullet~~$] si elle est blanche, il perd $12$~F ;
			\item[$\bullet~~$] si elle est verte, il remet la boule dans l'urne, puis tire une boule de l'urne ;
			\begin{itemize}
				\item  si celle boule est rouge, il gagne $8$~F ;
				\item  si cette boule est blanche, il perd $2$~F ;
				\item  si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien. 
			\end{itemize}
		\end{itemize}
		\setlength\parindent{0mm}
		
		Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants.
		
		Au début de la partie, le joueur possède $12$~F. Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l'issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas).
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer les valeurs prises par $X$.	
			\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
			\item Montrer que l'espérance mathématique de $X$ est $12 + 16\dfrac{n}{(n + 7)^2}$.
		\end{enumerate}
		\item On considère la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0 ; 10]  par
		$f(x) = \dfrac{x}{(x + 7)^2}$.
		
		Étudier les variations de $f$.
		\item En déduire la valeur de $n$ pour laquelle l'espérance mathématique $X$ est maximale. Calculer celle valeur maximale (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		
		proba variable aléatoire et suite
		%https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_C_1998_FH.pdf
		%https://www.apmep.fr/IMG/tex/Baccalaureat_C_1998_FH.tex amérique du nord juin 1998
		
		
	\end{notabene}
	
	Afin de créer une loterie, on met dans une urne $n$ billets différents
	($n$ supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. 
	
	\begin{enumerate} 
		\item Dans cette question, on choisit au hasard et
		simultanément deux billes dans l'urne. 
		\begin{enumerate} 
			\item On suppose ici $n = 10.~ X$ désigne la variable aléatoire qui donne le 
			nombre de billets gagnants parmi les deux choisis.
			Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
			\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3. Calculer la
			probabilité notée $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi des 
			deux choisis.
		\end{enumerate} 
		\item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets
		dans cette urne en remettant le premier bilet tiré avant de tirer le 
		second.
		\begin{enumerate} 
			\item On suppose ici $n = 10.~ Y$ désigne la variable aléatoire qui donne le 
			nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. 
			Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
			\item On revient au cas général avec $n$ supérieur ou égal à 3.
			Calculer la probabilité, notée $q_n$ d avoir exactement un billet gagnant 
			parmi les deux choisis.
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate} 
			\item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 
			3, on a :
			
			\[p_n - q_n = \dfrac{4(n - 2)}{n^2(n - 1)}.\]
			\item En remarquant que pour tout entier $n,\:n - 2$ est inférieur à $n - 1$, 
			déterminer un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal  
			à $n_0$, on ait $p_n - q_n < 10^{-~3}$. 
			\item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de 
			cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les 
			tirer l'un aprés l'autre en remettant le premier billet tiré ?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		
		
		Proba suite et variable aléatoire simpe:
		%https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_S_1997.pdf centre étranger I juin 1997
		%https://www.apmep.fr/IMG/tex/Baccalaureat_S_1997.tex
		
		
	\end{notabene}
	
	On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher. $U_{1}$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires ($n$ est un entier supérieur ou égal à 1). $U_{2}$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire.
	
	On tire au hasard une boule de $U_{1}$ et on la met dans $U_{2}$, puis on tire au hasard une boule de $U_{2}$ et on la met dans $U_{1}$ ; l'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'évènement A : \og après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ \fg.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ peut s'écrire :
			
			\[p(A) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n + 2}{n + 3} \right).\]
			
			\item Déterminer la limite de $p(A)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
		\end{enumerate}
		\item On considère l'évènement B : \og après l'épreuve, l'urne $U_{2}$ contient une seule boule blanche \fg.
		
		Vérifier que la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ peut s'écrire
		
		\[p(B) = \dfrac{6}{4(n + 3)}.\]	
		
		\item Un joueur mise 20~francs et effectue une épreuve. À l'issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans $U_{2}$.
		
		\setlength\parindent{5mm}
		\begin{itemize}
			\item Si $U_{2}$ contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit $2n$ francs ;
			\item Si $U_{2}$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n$ francs ;
			\item Si $U_{2}$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
		\end{itemize}
		\setlength\parindent{0mm}
		
		\begin{enumerate}
			\item Expliquer pourquoi le joueur n'a aucun intérêt à jouer tant que $n$ ne dépasse pas 10.?
			Dans la suite, on considère $n > 10$ et on introduit la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l'épreuve, l'urne $U_{2}$ contient une seule boule blanche, $X = 2n - 20$).
			\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
			\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
			\item On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l'espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne $U_{1}$ contient au moins 25 boules blanches.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Vérifiez que la suite $\displaystyle \left( \frac{1}{n^2} -\frac{1}{(n+1)^2} \right)$ est une distribution de probabilité.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		BL page 588 exo 23 1
		
	\end{notabene}
	
	On pioche successivement deux boules, sans remettre la première boule, dans une urne contenant $5$ boules numérotées de $1$ à $5$. On note $X$ la valeur absolue de la différence des deux numéros obtenus.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez la loi de $X$.
		
		\item Même question en supposant que le tirage se fait avec remise
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		BL page 588 exo 23 3
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$.
	
	On lance $n$ fois une pièce équilibrée les lancers étant supposés indépendants.
	
	On note $Z$ la variable aléatoire qui vaut $0$ si on n'obtient aucun pile et sinon prend pour valeur le rang du premier pile.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $Z(\Omega)$.
		
		\item Calculez $\mathbb{P}(Z=k)$ pour tout $k \in Z(\Omega)$.
		
		\item Vérifiez que $\sum_{k\in Z(\Omega)} \mathbb{P}(Z=k)=1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		BL page 588 exo 23 4
		
	\end{notabene}
	
	On tire deux boules au hasard, une par une et sans remise d'une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On appelle $S$ la variable aléatoire égale au plus grand des deux numéros obtenus.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $S (\Omega)$ puis $\mathbb{P}(S \leqslant k)$ pour tout $k \in S(\Omega)$.
		
		\item Déduisez-en la loi de $S$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		BL page 588 exo 23 5 sans espérance et variance.
		
	\end{notabene}
	
	
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley.ovh
		
	\end{notabene}
	
	On lance deux dés équilibrés à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et on gagne un nombre de points égal à la somme des deux valeurs obtenues. Si les deux dés affichent la même valeur, on gagne en plus la valeur obtenue par un lancer de dé supplémentaire.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l’espérance du nombre de points obtenus.
		
		\item Un joueur a obtenu $12$ points. Calculer la probabilité qu’il ait commencé par obtenir deux valeurs identiques.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley.ovh
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $k \in \llbracket1 , n \rrbracket$. On considère une urne contenant $k$ boules rouges et $n-k$ boules blanches. On tire successivement toutes les boules de l’urne sans remise et on note $X$ le rang de la première boule rouge.
	
	Déterminer la loi de X et préciser son espérance.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley.ovh
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n \geqslant 2$. Un sac contient $n$ jetons distincts. On tire successivement et avec remise un jeton du sac jusqu’à obtenir un jeton différent du premier tiré. On note $X$ le nombre de jetons tirés.
	
	Justifier que $X(\Omega)$ est constitué de tous les entiers supérieurs ou égaux à $2$.
	
	Déterminer la loi de probabilité de $X$ et justifier qu’elle admet une espérance que l’on calculera.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley.ovh
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On procède à l'expérience suivante: on tire une boule et si elle est blanche, on la remet dans l'urne avec une boule blanche supplémentaire et on recommence; sinon on note $X$ le nombre de tirages effectués.
	
	Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $A_n$ l'évènement \og on tire $n$ boules blanches d'affilée depuis le début de l'expérience \fg{}. 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Calculer $\mathbb{P}_{A_n}(A_{n+1})$ puis $\mathbb{P}(A_n)$ et $\mathbb{P}(X = n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 
		
		\item Démontrer que $\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)= 0$ puis que $(n,\mathbb{P}(X=n))$ est bien une loi de probabilité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley.ovh
		
	\end{notabene}
	
	On considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire. On tire successivement et avec remise une boule de l’urne en rajoutant une boule de la même couleur. On note $B_n$ le nombre de boules blanches dans l’urne avant le $n$-ième tirage. En particulier, on a $B_1 = 1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de $B_2$ et de $B_3$.
		
		\item Pour tout $(n, k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$, exprimer la probabilité $\mathbb{P}(B_{n+1} = k)$ en fonction de la loi de $B_n$.
		
		\item Déterminer la loi de probabilité de $B_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley.ovh
		
	\end{notabene}
	
	Oscar et Louna sont tous deux munis d’un jeu de cartes et isolés chacun dans une salle sans avoir eu le temps de se concerter. On leur demande de choisir une carte de leur paquet sachant que:
	
	\begin{itemize}
		\item s’ils choisissent tous les deux une carte rouge, il repartent avec $10 \ \text{\euro}$,
		
		\item s’ils choisissent tous les deux une carte noire, il repartent avec $70\ \text{\euro}$,
		
		\item s’ils choisissent une carte rouge et une carte noire, il repartent avec $100 \ \text{\euro}$.
		
	\end{itemize}
	
	Ils décident de choisir au hasard une carte de leur paquet, en s’arrangeant pour que la probabilité de choisir une carte noire soit un réel $p \in [0, 1]$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrer que l’espérance de leur gain s’écrit $180p -120p^2 + 10$.
		
		\item Comment choisir $p$ pour maximiser cette espérance ? Calculer aussi l’espérance du gain dans ce cas.
		
		\item Comment choisir au hasard une carte pour obtenir cette probabilité?
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Bertault
		
	\end{notabene}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire uniforme sur $\llbracket 1,20 \rrbracket$. Déterminez la loi de $\lfloor \sqrt{X} \rfloor$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $A$ et $B$ des événements d'un espace probabilisé.
	
	Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire $\mathds{1}_A \times \mathds{1}_B$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BaccalaureatS2006.pdf}
		
		Baccalauréat S Métropole septembre 2006
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-1};
	\def\xcoinhautdroit{1};
	\def\ycoinbasgauche{-1};
	\def\ycoinhautdroit{1};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({cos(\x)},{sin(\x )});
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}