%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Événements aléatoires.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Événements aléatoires.}

\subsection{Expérience aléatoire.}

\subsubsection{Expérience aléatoire, issues, univers.}

\begin{lecon}
	
	Une \emph{\color{purple}expérience aléatoire} est un dispositif expérimental qui permet de reproduire une expérience dont on ne peut prévoir exactement l'\emph{\color{purple}issue} (ou résultat).
	
	L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'\emph{\color{purple}univers} de l'expérience et est noté $\Omega$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Jouer à pile ou face est une expérience aléatoire. $\Omega= \{ P, F \}$.
		
		\item Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire. $\Omega= \{ 1,2,3,4,5,6 \}$.
		
		\item Compter le nombre de piles obtenus an laçant $20$ fois une pièce est une expérience aléatoire. $\Omega =\llbracket 0,20 \rrbracket$.
		
		\item Noter le nombre de lancers d'une pièce de monnaie nécessaires pour obtenir pour la première fois un pile est une expérience aléatoire. $\Omega = \mathbb{N}^*$.
		
		\item Se présenter à un concours sans l'avoir préparé par un travail assidu n'est pas une expérience aléatoire, c'est une expérience déterministe puisqu'il n'y a qu'une issue: l'échec.
		
		\item On lance deux dés équilibrés jusqu'à ce que la somme des numéros obtenus soit un multiple de cinq. Dans ce cas $\Omega$ s'apparente à $\llbracket 2,12 \rrbracket^{\mathbb{N}}$ l'ensemble des suites à termes dans $\{ 2, 3, 4, \dots, 12 \}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Événements.}

\begin{notabene}
	
	Une première étape dans la modélisation: regrouper les issues.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les issues sont regroupées en ensembles appelés \emph{\color{purple}événements}. Autrement dit un événement est une partie de $\Omega$.
	
	L'ensemble de tous les événements possibles est noté $\color{purple}\mathscr{E}$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\Omega =\{ P, F \}$ alors $\{ P \}$ et $\{F \}$ sont des événements qui sont appelés \emph{\color{purple}événements élémentaires}.
		
		\item Si $\Omega= \llbracket 0;20 \rrbracket$ alors $\emptyset$, $\{ 1,3,12 \}$, $\{ 0,1,20 \}$ ou $\llbracket 0,20 \rrbracket$ sont des événements.
		
		\item Si $\Omega=\mathbb{N}^*$ alors l'ensemble des entiers pairs non nuls, $2 \mathbb{N}\setminus \{ 0 \}$, est un événement.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Les événements sont des ensembles et les outils ensemblistes se retrouvent donc ici, cependant il existe souvent une formulation spécifique aux probabilités.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|}*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		Ensembles & Probabilités 
		\\
		\hline
		&\\
		Singleton $\{ \omega \}$. & Événement élémentaire.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$\Omega$ & Événement certain.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$\emptyset$ & Événement impossible.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$\omega \in A$ & L'événement $A$ est réalisé par $\omega$.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$A \cup B$ & Événement $A$ ou $B$.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$A \cap B$ & Événement $A$ et $B$.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$\overline{A}$ & Événement contraire de $A$.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		Disjoints: $A \cap B=\emptyset$ & Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		$A \subset B$ & Si $A$ est réalisé alors $B$ est réalisé.
		\\
		&\\
		\hline
		&\\
		Partition &
		Système complet d'événements.
		\\
		&\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Expérience aléatoire: un lancer de dé à $6$ faces.
	
	\begin{enumerate}
		\item L'événement certain est $\Omega= \llbracket1,6 \rrbracket$ que l'on peut décrire par \og obtenir un entier entre $1$ et $6$ \fg{}.
		
		\item L'événement impossible est toujours $\emptyset$. On peut ici le décrire par \og obtenir 7 \fg{}.
		
		\item L'événement $A$: \og obtenir un nombre pair\fg{} peut aussi s'écrire: $A=\{ 2, 4, 6 \} $.
		
		L'événement $B=\{ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$ peut être décrit par $B$:\og obtenir un nombre strictement supérieur à $2$\fg{}.
		
		\item $A$ est réalisé par les issues $2$, $4$ ou $6$.
		
		\item L'événement \og obtenir un nombre pair ou strictement supérieur à $2$\fg{} est  $A\cup B=\{ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\} $
		
		\item L'événement \og obtenir un nombre pair et strictement supérieur à $2$\fg{} est  $A\cap B=\{  4 ; 6\}$
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{lecon}
	
	Le choix des événements d'un univers peut poser des difficultés pour un univers infini non dénombrable. 
	
	Les attentes vis-à-vis des événements: 
	
	\begin{itemize}
		\item le contraire d'un événement doit être encore un événement,
		
		\item une union ou une intersection de deux événements doit être encore un événement,
		
		\item $\emptyset$ et $\Omega$ doivent être des événements,
		
		\item que l'ensemble des événements ne soit pas inutilement gros,
		
		\item 
		
	\end{itemize} 
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un lycée parmi les $400$ élèves de classes préparatoires, dont $250$ économiques et $150$ littéraires on choisit au hasard un élève. On note $S_1$ l'événement \og l'élève choisi est en voie économique \fg{}. Et l'on souhaite calculer la probabilité de $S_1$.
		
		L'univers ayant $400$ issues, $\mathcal{P}(\Omega)$ regroupe $2^{400}$ événements. Mais ici les événements $\emptyset$, $S_1$, $\overline{S_1}$, $\Omega$ suffisent amplement pour décrire la situation.
		
		\item Un pile ou face joué indéfiniment peut être modélisé par un univers $\{ 0; 1 \}^{\mathbb{N}}$. En notant $X_i$ la valeur prise lors du lancer de rang $i \in \mathbb{N}$. Il est naturel de considérer comme événements les ensembles $\{ \omega \ | \ X_0(\omega) \in A_1, \dots X_k(\omega) \in A_k \}$ avec $k \in \mathbb{N}$ et $A_i$ un sous-ensemble de $\{ 0;1 \}$. Ces ensembles forment une algèbre de parties. Cependant il est un événement qui manque c'est l'événement $\left\{ \omega \ | \ \exists \lim_{n \to + \infty} \frac{X_i(\omega)}{n} \right\}$. Or cette limite et celle qui correspond à l'idée intuitive de convergence de la fréquence d'un échantillon vers la probabilité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soit:	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\Omega$ un ensemble non vide.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}tribu} de $\Omega$ tout sous-ensemble $\mathscr{E}$ de $\mathscr{P}(\Omega)$ formé d'ensembles tels que:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\Omega \in \mathscr{E}$,
		
		\item Si $A \in \mathscr{E}$ alors $\overline{A} \in \mathscr{E}$.
		
		\item Si, pour tout $n \in \mathbb{N}$ $B_n\in\mathscr{E}$ alors $\displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Cette année nous considérerons toujours que l'ensemble des événements $\mathscr{E}$ convient sans le justifier.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	{oméga, {1},{2},{},{1,2}} est l'ensemble des parties de oméga = {1,2}. La tribu engendrée par {1,2} dans {1,2,3} est {{},{1,2,3}, {1,2}, {3}}, qui ne contient pas toutes les parties de {1,2,3}; {1,3} par exemple.
	On utilise les tribus pour faire de l'intégration, de la mesure ou des probabilités sur des ensembles. Pour des ensembles finis, c'est facile, il suffit de savoir ce qui se passe pour chaque élément. Pour des ensembles infinis, c'est bien plus délicat : Pour les réels, par exemple, la longueur de {x}=[x,x] est 0. Mais [0,1], fabriqué avec des points de mesure nulle a une longueur non nulle. On n'a su traiter sérieusement le problème qu'avec la notion de tribu (la tribu des boréliens, engendrée par les intervalles), et une construction serrée des notions de mesure (Komolgorov, vers 1930).
	
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Si $\Omega$ et un univers et $\mathscr{E}$ une tribu sur $\Omega$ alors on dit que le couple $(\Omega,\mathscr{E})$ est un \emph{\color{purple}espace probabilisable}.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $\Omega$ est une ensemble fini alors $\mathscr{E}=\mathscr{P}(\Omega)$ est appelée la tribu discrète. C'est celle qu'implicitement on utilise toujours au lycée.
		
		\item $\mathscr{E} = \{ \emptyset , \Omega \}$ est appelé la tribu grossière.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Les ensembles.}

\begin{notabene}
	
	Nous travaillons dans le désordre exprès: maintenant que nous voyons la nécessité de maitriser les ensembles pour les probabilité parlons -en.
	
	Taille des ensembles sans entrer dans le détail des bijections.
	
	Ensembles: appartenance , inclusion double inclusion, réunion , intersection, distributivité associativité, lois de de Morgan, partition, complémentaire, 
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les objets et résultats vus ici ont une portée très importante en mathématique qui dépasse largement les probabilités.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Définition d'un ensemble.}

\begin{lecon}
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}ensemble} une collection d'objets clairement définis et distincts. L'un de ces objets est appelé un \emph{\color{purple}élément} de l'ensemble.
	
	Les éléments d'un ensemble sont dits \emph{\color{purple}appartenir à l'ensemble} et on utilise le symbole $\color{purple}\in$. Pour indiquer qu'un élément n'est pas dans un ensemble nous écrirons $\color{purple}\notin$.
	
	Très souvent nous décrirons les ensembles comme collections d'objets appartenant à un autre ensemble déjà connu et ayant une propriété commune: $\{ x \in E\ | \ P(x) \}$, où $P$ est une proposition (une phrase qui est soit vraie soit fausse). Dans ce cas l'ensemble est formé des éléments de $E$ qui vérifient la proposition $P$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\{ x \in \mathbb{R}\ | \ x\geqslant 0 \}$.
		
		\item L'ensemble $\{ x \in \mathbb{R}\ | \ x=1 \text{ ou } x=3 \}$ est noté plus simplement $\{ 1;3 \}$.
		
		\item Si $A \in \mathbb{R}$ et $u\in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$ alors $\{ M \in \mathbb{R}^n\ | \ \exists \lambda \in [0,1],\ M=A+\lambda \cdot u \}$ est un segment affine de $\mathbb{R}^n$.
		
		\item Si $u\in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$ alors $\{ t \cdot u \in \mathbb{R}^n\ | \ t \in \mathbb{R}^n \}$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^n$.
		
		\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé $\left\{ M(x,y) \ | \ x^2+y^2=1 \right\}$ est le cercle de rayon $1$ dont le centre est l'origine du repère.
		
		\item L'ensemble vide est $\emptyset = \{ \}$.
		
		\item Un ensemble avec un seul élément est appelé un \emph{\color{purple}singleton}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Appartenance et inclusion.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$ et $B$ des ensembles.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que \emph{\color{purple}$A$ est inclus dans $B$}, ou que \emph{\color{purple}$A$ est une partie de $B$}, ou encore que \emph{\color{purple}$B$ contient $A$},  et nous noterons $\color{purple}A \subset B$, si et seulement si: \[ \forall a \in A,\ a \in B. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemple.
		
		\item Contre exemple.
		
		\item Pour tout ensemble $E$: $\emptyset \subset E$.
		
		\item L'ensemble de toutes les parties d'un ensemble est un ensemble que nous noterons $\mathcal{P}(E)$.
		
		\item Pour tout ensemble $E$: $E \subset E$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Pour démontrer que $A \subset B$ il faut démontrer que tous les éléments de $A$ sont dans $B$.}
		
		\item {\color{orange}Pour démontrer que $A \nsubset B$ il faut démontrer qu'il existe un élément de $A$ qui n'appartient pas à $B$.}$\nin$
		
		\item Si $A \subset B$ alors nous dirons que \emph{\color{purple}$A$ est une partie (ou un sous-ensemble) de $B$}.
		
		\item L'inclusion définie une relation d'ordre (partiel) entre ensembles: si $A \subset B$ alors $A$ est plus petit que $B$ au sens de l'inclusion.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments.
	
	Mais pour démonter l'égalité de deux ensembles nous utiliserons souvent:
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $A$ et $B$ des ensembles.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ A=B \Leftrightarrow \left( A \subset B \text{ et } B \subset A \right). \]
	
\end{proposition}

\subsubsection{Opérations sur les ensembles.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		
		\item $A \subset E$ et $B \subset E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}union de $A$ et $B$}, et nous noterons $\color{purple}A \cup B$ l'ensemble: \[ A \cup B := \{ x \in E \ | x \in A \text{ ou } x \in B \}. \]
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}intersection de $A$ et $B$}, et nous noterons $\color{purple}A \cap B$ l'ensemble: \[ A \cap B := \{ x \in E \ | x \in A \text{ et } x \in B \}. \]
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}complémentaire de $A$ dans $E$}, et nous noterons $\color{purple}A $ l'ensemble: \[ \complement_E(A) := \{ x \in E \ | x \notin A \}. \]
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}$A$ privé de $B$}, ou \emph{\color{purple}$A$ moins $B$}, et nous noterons $\color{purple}A \setminus B$ l'ensemble: \[ A \setminus B := \{ x \in A \ | x \notin B \}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Lorsque $A \cap B= \emptyset$ on dit que les ensembles \emph{\color{purple}$A$ et $B$ sont disjoints}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble dans lequel nous travaillons ($E$) on simplifie la notation du complémentaire de $\complement_E(A)$ en $\overline{A}$.
		
		\item Une union ou une intersection quelconque d'ensembles est encore un ensemble. On généralise les précédentes définitions: \[ \bigcup_{i\in I} A_i = \left\{ x \in E \ | \ \exists i\in I,\ x \in A_i \right\}\] et \[ \bigcap_{i\in I} A_i = \left\{ x \in E \ | \ \forall i\in I,\ x \in A_i \right\}, \] où $I$ est un ensemble quelconque et $(A)_{i\in\ I}$ une famille quelconque d'ensembles.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{ - Union.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		\item $A$, $B$ et $C$ des parties de $E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $A \cup \emptyset= A$.
		\item $A \cup A=A$.
		\item $A \cup E=E$.
		\item $A \cup B=B \Leftrightarrow A\subset B$.
		\item $A \cup B = B \cup A$.
		\item $(A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C)$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}


\begin{proposition}{ - Intersection.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		\item $A$, $B$ et $C$ des parties de $E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $A \cap \emptyset= \emptyset$.
		\item $A \cap A=A$.
		\item $A \cap E=A$.
		\item $A \cap B=A \Leftrightarrow A\subset B$.
		\item $A \cap B = B \cap A$.
		\item $(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Union et intersection.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		\item $A$, $B$ et $C$ des parties de $E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
		\item $A \cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
		\item $A \cap (A \cup B)= A \cup (A \cap B)=A$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Complémentaire.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		\item $A$ une partie de $E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\complement_E(\emptyset)=E$.
		\item $\complement_E(E)=\emptyset$.
		\item $\complement_E \left( \complement_E(A) \right)=A$. 
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Union, intersection et complémentaire. {\color{purple}Lois de De Morgan}.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		\item $A$ et $B$ des parties de $E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$.
		\item $\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{ - Différence.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		\item $A$ et $B$ des parties de $E$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\complement_E(A)= E \setminus A$.
		\item $A \setminus \emptyset =A$.
		\item $A \setminus B= \emptyset \Leftrightarrow A \subset B$.
		\item $A \setminus B = A \cap \complement_E(B)=A \setminus (A \cap B)$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\subsubsection{Images d'ensemble.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ et $F$ des ensembles,
		
		\item $f:E \rightarrow F$ une application,
		
		\item $A \subset E$ et $B \subset F$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}image de $A$ par $f$}, et nous noterons $\color{purple}f(A)$ l'ensemble: \[ f(A):= \{ f(x) \ | x \in A \}. \]
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}image réciproque de $B$ par $f$}, et nous noterons $\color{purple}f^{-1}(B)$ l'ensemble: \[ f^{-1}(B):= \{ x \in E \ | \ f(x)\in B \}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemple.
		
		\item Si $B$ est un singletons alors $f^{-1}(B)$ est l'ensemble des 	
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	Montrez que si $f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ (x_1,x_2) & \mapsto & 2x_1-7x_2=0 \end{array} \right.$  alors $f^{-1}(\{0\})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Partition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ un ensemble,
		
		\item $\mathscr{P}$ une partie de $\mathcal{P}(E)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $\mathscr{P}$ est une partition de $E$ si:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\forall A \in \mathscr{P},\ A \ne \emptyset$.
		
		\item $\forall A \in \mathscr{P},\ \forall B \in \mathscr{P},\  A\ne B \Rightarrow A \cap B= \emptyset$.
		
		\item $\bigcup_{A \in \mathscr{P}}A=E$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La condition (i) n'est pas toujours retenue dans la définition 'une partition suivant les auteurs. C'est pourquoi lorsque ce sera nécessaire nous le préciserons systématiquement.
		
		\item Le (iii) peut être remplacé par: $\forall x \in E, \ \exists A \in \mathscr{P},\ x\in A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathscr{P}=\{E \}$ est une partition de $E$.
		
		\item Si $A \subset E$ et $A \ne \emptyset$ alors $\mathscr{P}= \{ A, \overline{A}\}$ est une partition de $E$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Taille des ensembles: cardinal.}

\begin{definition}
	
	Soit $E$ un ensemble.
	
	\medskip
	Si $E= \emptyset$ alors nous dirons que son cardinal est nul et nous noterons: $|E|:=0$.
	
	\medskip
	S'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $E$ soit en bijection avec $\llbracket 1,n \rrbracket$ alors nous dirons que le \emph{\color{purple}cardinal de $E$} est $n$ et nous noterons $\color{purple}|E|:=n$.
	
	\medskip
	Si $E=n$, avec $n \in \mathbb{N}$ alors nous dirons que \emph{\color{purple}$E$ est un ensemble fini}.
	
	\medskip
	S'il existe une bijection $E$ sur $\mathbb{N}$ alors nous dirons que le cardinal est \emph{\color{purple}infini dénombrable} et nous noterons: $|E|=\aleph_0$.
	
\end{definition}

\subsection{Loi de probabilité.}

\subsubsection{Cas général.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\Omega , \mathscr{E})$ un espace probabilisable,
		\item $\mathbb{P}: \mathscr{E} \rightarrow [0;1]$ une application.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que l'application $\mathscr{P}$ est une \emph{\color{purple}loi de probabilité sur $(\Omega, \mathscr{E})$} si:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{P}( \Omega)=1$.
		
		\item Pour toute suite $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathscr{E}$ deux à deux disjoints, \[ \mathbb{P}\left( \bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i \right)= \sum_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_i). \]
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $0\leqslant \mathbb{P}(A)\leqslant 1$.
		
		\item $\sum_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_i)= \lim_{n \to + \infty} \sum_{i=0}^n \mathbb{P}(A_i)$.
		
		\item $\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ est appelé un \emph{\color{purple}espace probabilisé}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		\item $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$,
		\item $A$ et $B$ des événements.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathbb{P}(\emptyset)=0$.
				
		\item $A \cap B= \emptyset \Rightarrow \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$.
		
		\item $\displaystyle \left( \forall (i,j) \in \llbracket 1 ,n \rrbracket^2,\ A_i \cap A_j \right) \Rightarrow \mathbb{P} \left( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) =\sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)$.
		
		\item $A \subset B \Rightarrow \mathbb{P}(A) \leqslant \mathbb{P}(B)$.
		
		\item $\mathbb{P}(A \setminus B) = \mathbb{P}(A) -\mathbb{P}(A \cap B)$.
		
		\item $\mathbb{P}(A \cup B)= \mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B)$.
		
		\item $\mathbb{P}(\overline{A})= 1 - \mathbb{P}(A)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
\end{preuve}

\begin{theoreme}{ - de la limite monotone.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathscr{E}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante au sens de l'inclusion alors:  \[ \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right) = \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P}(A_n). \]
	
	\medskip
	Si $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante au sens de l'inclusion alors:  \[ \mathbb{P}\left( \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n \right) = \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P}(A_n). \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	$B_n=A_n-A_{n-1}$ et $B_0=a_0$.
	
	$\mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_n \right)= \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right)$.
	
	$\mathbb{P}\left( \bigcup_{ k \in \llbracket 0, n \rrbracket} A_n \right) = \sum_{k=0}^n \mathbb{P}(B_k)= \sum_{k=0}^n \mathbb{P}(A_k)-\mathbb{P}(A_{k-1}) = \mathbb{P}(A_n)$.
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\left( \Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé,
		
		\item $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathscr{E}$.
		
		\[ \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \right) = \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P}\left( \bigcup_{k=0}^n A_k \right) \text{ et } \mathbb{P}\left( \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n \right) = \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P}\left( \bigcap_{k=0}^n A_k \right). \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{corollaire}

\subsubsection{Univers fini.}

\begin{theoreme}{ - Distribution de probabilité sur les événements élémentaires.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $\Omega=\{ \omega_1,\dots, \omega_n \}$ un ensemble (fini)
		
		\item $(p_1, \dots , p_n)\in [0;1]^n$ tels que $\displaystyle \sum_{k=1}^np_k=1$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Il existe une unique probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$ telle que \[ \forall i\in \llbracket 1,n \rrbracket,\ \mathbb{P}(\{ \omega_i \})=p_i. \]
	
	Et alors \[ \forall A\in\mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}(A)= \sum_{\substack{i\in \llbracket 1,n\rrbracket \\ \omega_i \in A}} p_i \]
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat explique pourquoi on parle de \emph{\color{purple}distribution de probabilité} plutôt que de loi de probabilité dans ce cas. On une probabilité totale de $1$ qu'on a distribué aux différentes issus.
		
		\item Lorsque le nombre d'issues n'est pas trop grand nous définirons $\mathbb{P}$ en précisant ses images sur les événements élémentaires grâce à un tableau de valeurs:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{2cm}|c|c|c|}
				\hline
				Événements élémentaires & $\{ \omega_1 \}$ & $\dots$ & $\{ \omega_2 \}$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(\{ \omega_i \})$ & $p_1$ & $\dots$ & $p_n$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Loi uniforme discrète.}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient $(\Omega, \mathscr{E})$ un espace probabilisable fini.
	
	\medskip
	Il existe une unique probabilité $\mathbb{P}$ sur $(\Omega, \mathscr{E})$, appelée \emph{\color{purple}loi uniforme discrète}, pour laquelle toutes les issues sont équiprobables. 
	
	On a alors \[ \forall A \in \mathscr{E},\ \mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.\]	
	
\end{corollaire}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Loi uniforme discrète: issues équiprobables.
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Un dé pipé présente la particularité de tomber deux fois plus souvent sur le $6$ que sur chacune des cinq autres faces (lesquelles ont la même probabilité d’apparaître). Quelle est sa loi de probabilité?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Une loi de probabilité sur l’ensemble $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}$ suit une progression arithmétique. Montrer que $\mathbb{P}(\{3\})$ vaut 1/5. Quelle est la plus grande raison possible ?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Quelle est la probabilité qu’un individu quelconque soit né un 29 février?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Sur les $38$ élèves de la classe, dix-sept proviennent de la spécialité SES, trois de la spécialité HLP et dix-huit de la spécialité maths (événements disjoints). On choisit deux élèves distincts dans la classe de façon équiprobable. Quelle est la probabilité que les deux élèves soient issus de SES ? Quelle est la probabilité qu’ils soient issus de sections différentes ?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Quelle est la probabilité de deviner les trois premières places d’une course de huit chevaux si tous les classements sont équiprobables?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Décrire un univers probabilisé correspondant au lancer de deux dés standards distincts, puis calculer la probabilité que la somme des deux résultats soit paire et la probabilité que le produit des deux résultats soit pair.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}

	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
		page 605
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n\geqslant 2$. Sur la piste de danse, $n$ couples ($n$ hommes, $n$ femmes) dansent ensemble, puis sont séparés à la fin de la première danse. Pour la deuxième danse, on forme au hasard $n$ couples avec les $n$ hommes et les $n$ femmes.
	
	Quelle est la probabilité que tous les couples initiaux soient reconstitués pour la deuxième danse?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Un sac contient des jetons indiscernables au toucher, chaque jeton portant une lettre de l'alphabet. Chaque lettre de l'alphabet est portée par un nombre de jetons égal à son rang dans l'alphabet (Un seul jeton A, deux jetons B… jusqu'à 26 jetons Z). On tire simultanément deux jetons du sac. Calculer la probabilité que les deux jetons portent la même lettre.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	On tire au hasard deux dominos distincts. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un double ? Quelle est la probabilité que les deux dominos aient une valeur en commun ?
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}

On tire simultanément au hasard trois boules d'une urne qui contient $4$ boules rouges, $5$	blanches et $7$ jaunes.

Déterminez la probabilité d'obtenir:

\begin{enumerate}
	\item Un tirage monocolore.
	\item Un tirage tricolore.
	\item Un tirage bicolore.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\subsubsection{Univers discret (infini dénombrable).}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse maths bl 1re année 2022.
		
	\end{notabene}
	
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
		page600
		
	\end{notabene}
	
	On lance une pièce équilibrée une infinité de fois. On note pour $i \in \mathbb{N}^*$, $A_i$: \og On obtient le premier face au $i$-ème lancer\fg{} et $A_0$:\og On n'obtient jamais face\fg{}.
	
	Montrer que $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ forme un système complet d'événements.
	
\end{exercice}

\subsection{Probabilité conditionnelle.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé fini,
		
		\item $A\in\mathscr{P}$ un événement tel que $\mathbb{P}(A)>0$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Pour tout $B\in \mathscr{E}$, nous appellerons \emph{\color{purple}probabilité de $B$ sachant $A$}, et nous noterons $\color{purple}\mathbb{P}(B|A)$ ou $\color{purple}\mathbb{P}_A(B)$, le réel: \[ \mathbb{P}(B|A)= \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{ \mathbb{P}(A)} \]
	
\end{definition}

\begin{proposition}{}
		
	L'application $\mathbb{P}_A:\mathscr{E}\rightarrow [0;1]$ qui à tout $A\in\mathscr{P}(\Omega)$ associe $\mathbb{P}(A|B)$ est une probabilité sur $\Omega$.
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	
	On lance une fois un dé parfait. On sait que le résultat est un nombre inférieur ou égal à $5$. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à $3$?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice de Bac bidon.
		
	\end{notabene}
	
	
	Dans une usine, deux lignes de montage fabriquent des composants électroniques. La ligne $A$ fabrique $70\ \%$ des composants. Le reste est fabriqué par la ligne $B$. La ligne $A$ a un taux de composants défectueux en sortie de $0,5\ \%$. Pour la ligne $B$, ce taux est de $0,4\ \%$. On choisit au hasard un composant à la sortie de l'usine.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que ce composant ait été fabriqué par la ligne $A$ et présente un défaut?
		
		\item Calculez la probabilité que ce composant présente un défaut.
		
		\item En déduire, le composant présentant un défaut, la probabilité que ce composant ait été fabriqué sur la ligne $A$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%Écarts entre entre racine et premier niveau
\def\xA{2};
%Nombre de nœuds du premiers niveau
\def\noA{2};
%Nombre de nœuds du deuxième niveau
\def\noB{4};
%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
\def\noBe{2};
%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
\def\xB{2+\xA};
\def\yB{1};
%Racine
\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
%Pour ne pas écrire les mots above et below
\def\posA{above};
\def\posB{below};
%Position des nœuds du premier niveau
%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/A1/1/$A$/$\np{0,7}$/\posA,
	nA2/A2/2/$\overline{A}$/$\np{0,3}$/\posB
}{
	\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
	\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
	\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
	nA1/nB1/B1/1/$D$/$\np{0,005}$/\posA,
	nA1/nB2/B2/2/$\overline{D}$/$\np{0,995}$/\posB,
	nA2/nB3/B3/3/$D$/$\np{0,004}$/\posA,
	nA2/nB4/B4/4/$\overline{D}$/$\np{0,996}$/\posB
}{
	\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
	\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
	\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(A\cap D)$.}

$\mathbb{P}(A)>0$, donc d'après la formule des probabilités composées

\begin{align*}
\mathbb{P}(A \cap D) &= \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}_A(D)\\
&= 0,7 \times 0,005
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	$\mathbb{P}(C \cap R)=0,0035$.
	
\end{conclusion}

\medskip
\objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}

$\{A;\overline{A} \}$ constituent un système complet d'événements donc, d'après la formule des probabilités totales:

\begin{align*}
\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(D \cap A) + \mathbb{P}(D \cap \overline{A})\\
\intertext{Comme $\mathbb{P}(\overline{A})>0$, d'après la formule des probabilités composées:}
\mathbb{P}(R) &= 0,0035 + \mathbb{P}(\overline{A}) \cdot \mathbb{P}_{\overline{A}}(D)\\
&= 0,0035+0,30 \times 0,004
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	$\mathbb{P}(D)=0,0047$.
	
\end{conclusion}

\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}_D(A)$.}

Par définition de la probabilité conditionnelle:

\begin{align*}
\mathbb{P}_A(D) &= \frac{\mathbb{P}(A\cap D)}{\mathbb{P}(A)}\\
&= \frac{0,0035}{0,0047}\\
&\approx 0,74468
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	$\mathbb{P}_D(A) \approx 0,7447$.
	
\end{conclusion}

\end{enumerate}

\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple 5 page 163 ellipse prépa maths cours exercices corrigés ece 2 celin laurent 2018
		
	\end{notabene}
	
	La cuisine $A$ et la salle d'un restaurant $B$ sont reliées entre elles de la façon suivante: $A$ ouvre sur $B$ et $B$ ouvre sur l'extérieur. Une mouche initialement dans la cuisine souhaite y rester. Mais elle ne contrôle pas son trajet qui est aléatoire et régi par les règles suivantes: à chaque instant si elle est dans la pièce $A$, elle reste dans la pièce $A$ avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ et passe dans la pièce $B$ avec une probabilité de $\frac{2}{3}$; si elle est dans la pièce $B$, elle reste dans la pièce $B$ avec une probabilité de $\frac{1}{2}$, passe dans la pièce $A$ avec une probabilité de $\frac{1}{4}$ et sort à l'air libre avec une probabilité de $\frac{1}{4}$. Si elle sort elle ne rentre plus.
	
	Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'événement \og la mouche est dans la pièce $A$ à l'instant $n$ \fg{} et $B_n$ l'événement \og la mouche est dans la pièce $B$ à l'instant $n$ \fg{}. On considère $a_n$ et $b_n$ leur probabilités respectives.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que, pour tout entier naturel $n$, $A_{n+1}= \left( A_n \cap A_{n+1} \right) \cup \left( B_n \cap A_{n+1} \right)$ et $B_{n+1}= \left( A_n \cap B_{n+1} \right) \cup \left( B_n \cap B_{n+1} \right)$.
		
		Déduisez-en que $a_{n+1}= \frac{1}{3}a_n+ \frac{1}{4}b_n$ et $b_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+ \frac{1}{2} b_n$.
		
		\item Montrez que pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}=2a_{n+1}$.
		
		\item Déduisez-en pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n$ en fonction de $n$. Calculez sa limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Interprétez ce résultat.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		0ieme hachette reperes 2012.
		
		93 page 359
		
	\end{notabene}
	
	Dans un zoo l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.
	
	On a observé que si un manchot choisir le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$. Si un manchot choisir le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
	
	Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
	
	Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les événements $T_n$: \og le manchot utilise le toboggan  lors de son $n$-ième passage \fg{} et $P$: \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage \fg{}.
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $u_n=\mathbb{P}(T_n)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Donnez les valeurs de $\mathbb{P}(T_1)$, $\mathbb{P}(P_1)$, $\mathbb{P}_{T_1}(T_2)$ et $\mathbb{P}_{P_1}(T_2)$.
			
			\item Montre que $\mathbb{P}(T_2)=\frac{1}{4}$.
			
			\item Recopiez et complétez l'arbre ci-dessous.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$T_n$/$u_n$/\posA,
					nA2/A2/2/$P_n$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$T_{n+1}$/$\dots$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$P_{n+1}$/$\dots$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$T_{n+1}$/$\dots$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$P_{n+1}$/$\dots$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item 
			Démontrez que pour tout entier $n \geqslant 1$: \[ u_{n+1}=0,1u_n+0,2. \]
			
		\end{enumerate}
		
		\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, par $v_n=u_n-\frac{2}{9}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{10}$. Précisez son premier terme.
			
			\item Exprimez $v_n$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
			
			\item Calculez la limite de la suite $(u_n)$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsubsection{Formule des probabilités composées.}

\begin{theoreme}{ - Formule des probabilités composées.}
	
	Soient $(\Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé fini, $n\in\mathbb{N}^*$ et $(A_1,\dots,A_n) \in \mathscr{E}^n$. 
	
	\medskip
	Si \[ \mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_n)>0 \] alors \[ \mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_n)= \mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2|A_1)\dots \mathbb{P}(A_n|A_1\cap \dots A_{n-1}) \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Justifions l'existence des probabilités conditionnelles.}
	
	Soit $n\in \mathbb{N}^*$.
	
	\medskip
	Quelque soit $k\in\llbracket 1, n \rrbracket$, $A_1\cap \dots \cap A_n \subseteq A_1\cap \dots \cap A_k$.
	
	Donc du fait de la croissance de la probabilité: \[ \mathbb{P}(A_1\cap\dots \cap A_n)\le \mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_k) \]
	
	Or \[ 0<\mathbb{P}(A_1\cap\dots \cap A_n),\] donc \[ \forall k\in \llbracket 1, i \rrbracket ,\ \mathbb{P}(A_1\cap\dots \cap A_k)>0 \]
	
	\begin{conclusion}
		
		Les probabilités conditionnelles $\mathbb{P}(A_2|A_1), \dots , \mathbb{P}(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1} )$ existent bien.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Montrons: $\mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_n)= \mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2|A_1)\dots \mathbb{P}(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1})$.}
	
	Remarquons un télescopage des termes
	\begin{align*}
	& \mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2|A_1)\dots \mathbb{P}(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\\
	&= \mathbb{P}(A_1) \prod_{k=1}^{n-1}\mathbb{P}(A_k|A_1\cap \dots \cap A_{k-1})\\
	&= \mathbb{P}(A_1) \prod_{k=1}^{n-1} \frac{\mathbb{P}(A_k\cap A_1\cap \dots \cap A_{k-1})}{\mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_{k-1}}\\
	&= \mathbb{P}(A_1) \mathbb{P}(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\\
	&=\mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_n)
	\end{align*}
	
	Ainsi
	
	\begin{conclusion}
		
		quelque soit $i\in\mathbb{N}^*$ \[ \mathbb{P}(A_1\cap \dots \cap A_i)= \mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2|A_1)\dots \mathbb{P}(A_i|A_1\cap \dots \cap A_{i-1}) \]
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\medskip
Remarques.
\begin{enumerate}
	\item Nous retrouvons le résultat appelé principe multiplicatif (ou principe des bergers) utilisé pour calculer la probabilité d'un chemin sur un arbre probabiliste au lycée, $A_1\cap \dots \cap A_i$ désignant un chemin sur l'arbre probabiliste.
\end{enumerate}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		ellipse maths bl 1re année 2022.
		
		Exemple page 528.
		
	\end{notabene}
	
	Une épreuve consiste à lancer indéfiniment une pièce équilibrée. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l'événement \og on obtient au moins un pile pendant les $n$ premiers lancers \fg{}.
	
	Pour tout entier naturel $k$ non nul, on note $E_k$ l'événement \og le premier Pile apparaît lors du $k$-ième lancer \fg{}.
	
	Déterminez la probabilité $E_k$ puis déduisez-en celle de $A_n$.	
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$E_k=F_1 \cap \dots \cap F_{k-1} \cap P_k$.
	
	$A_n =\bigcup_{k=1}^n E_k$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple 6 page 164 ellipse prépa maths cours exercices corrigés ece 2 celin laurent 2018
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient $a$ boules blanches et $b$ boules noires indiscernables. On tire successivement une boule jusqu'à obtenir une boule noire. Le jeu s'arrête alors.
	
	\begin{enumerate}
		\item on effectue les tirages avec remise. Quel est la probabilité que le jeu s'arrête à l'étape $n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$?
		
		\item On effectue le tirage sans remise. Quelle est la probabilité que le jeu s'arrête à l'étape $n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Formule des probabilités totales.}

\begin{theoreme}{ - Formule des probabilité totales}
	
	Soient $(\Omega, \mathscr{E}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé, $n\in\mathbb{N}^*$ et $\{ A_1,\dots,A_n\}$ un système complet d'événements de $\Omega$ de probabilités strictement positives. Pour tout $B\in\mathscr{E}$ \[ \mathbb{P}(B)=\sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)\mathbb{P}(B | A_k) \]
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	Soit $B\in\mathscr{E}$.
	
	\begin{align*}
	B &= B\cap \Omega\\
	&= B \cap \left( \bigsqcup_{k=1}^n A_k \right)\\
	&= \bigsqcup_{k=1}^n B\cap A_k\\
	\intertext{D'où}
	\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}\left( \bigsqcup_{k=1}^n B\cap A_k \right)\\
	&= \sum_{k=1}^n \mathbb{P}\left( B\cap A_k \right)\\
	&= \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)\mathbb{P}_{A_k}(B)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Situation de type bac:
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$A$/$\frac{1}{10}$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{A}$/$\frac{9}{10}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$B$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{B}$/$\frac{3}{4}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$B$/$\frac{2}{3}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{B}$/$\frac{1}{3}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
		
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Ce résultat qui est vu en classe terminale est en général utilisé dans le cas d'arbres probabilistes. Il s'agit le plus souvent de retrouver la probabilité d'un événement qui apparaît dans plusieurs chemins:
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\coordinate (B1) at (2,2);
			\coordinate (B2) at (2,-2);
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$B$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{B}$};
			\draw node (A3) at (A3) {$B$};
			\draw node (A4) at (A4) {$\overline{B}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$A_1$};
			\draw node (B2) at (B2) {$A_2$};
			\draw (B1)--(A1)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{A_1}(B)$};
			\draw (B1)--(A2)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{A_1}(\overline{B})$};
			\draw (B2)--(A3)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{A_2}(B)$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{A_2}(\overline{B})$};
			\draw (C1)--(B1)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}(A_1)$};
			\draw (C1)--(B2)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}(A_2)$};
			\end{tikzpicture}
			
			$\mathbb{P}(B)= \mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}_{A_1}(B) + \mathbb{P}(A_2)\mathbb{P}_{A_2}(B)$.
			
		\end{center}
		
		\item Il n'est pas indispensable d'avoir un système complet d'événements. Il suffit d'événements disjoints deux à deux dont la réunion contient $B$. Autrement dit plutôt que: $\bigsqcup_{k=1}^n A_k=\Omega$, il suffit de $\bigsqcup_{k=1}^n A_k \supset B$. En effet dans ce cas: $B= B\cup \bigsqcup_{k=1}^n A_k$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	On dispose de $3$ urnes $U_1$, $U_2$, $U_3$, chacune contient $10$ boules; parmi elles, $U_1$ contient $1$ blanche, $U_2$ contient $2$ blanches, et $U_3$ contient $6$ blanches. On tire au hasard une boule. Quelle est la probabilité d'obtenir une blanche?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On effectue $3$ tirages successifs sans remise dans une urne contenant $3$ boules blanches et $7$
	boules noires.
	
	Calculer la probabilité d'obtenir une boule noire au deuxième tirage.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple 7 page 166 ellipse prépa maths cours exercices corrigés ece 2 celin laurent 2018
		
	\end{notabene}
	
	Une personne appelle au hasard un service téléphonique et tombe sur la ligne occupée. On considère que si la ligne est occupée à un instant, elle reste occupée à l'instant d'après avec une probabilité de $\frac{2}{3}$ et que si elle est libre à un instant, elle redevient occupée à l'instant d'après avec une probabilité de $\frac{5}{6}$.
	
	Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'événement \og la ligne est occupée à l'instant $n$ \fg{} et $a_n$ sa probabilité.
	
	Déterminez $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$, puis déduisez-en $a_n$ en fonction de $n$ entier naturel.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Formule de Bayes.}

\begin{theoreme}{ - Formule Bayes}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(\Omega , \mathscr{E}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé,
		
		\item $B\in\mathscr{E}$ un événement tel que: $\mathbb{P}(B)>0$,
		
		\item $n\in\mathbb{N}^*$
		
	\end{enumerate}
	
	
	Si $\{ A_1,\dots,A_n \}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles alors \[  \forall j\in\llbracket 1,n \rrbracket,\ \mathbb{P}_B(A_j)=\frac{\mathbb{P}(A_j)\mathbb{P}(B | A_j)}{\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(B | A_i)}. \]
	
\end{theoreme}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la situation typique du baccalauréat:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$A$/$\frac{1}{10}$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{A}$/$\frac{9}{10}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$B$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{B}$/$\frac{3}{4}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$B$/$\frac{2}{3}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{B}$/$\frac{1}{3}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$\{ A,\overline{A} \}$ est un système complet d'événements, $\mathbb{P}(A) \ne 0$ et $\mathbb{P}(\overline{A})\ne 0$ donc: 
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \frac{\mathbb{P}(B | A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B | A) +  \mathbb{P}(\overline{B}) \mathbb{P}( \overline{B} | A)}\\
			&= \frac{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4} + \frac{9}{10} \times \frac{2}{3}}\\
			&= \frac{1}{25}
		\end{align*}
		
		\item Un peu plus rare au bac:	
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$A_1$/$\np{0,1}$/\posA,
				nA2/A2/2/$A_2$/$\np{0,3}$/\posB,
				nA3/A3/3/$A_3$/$\np{0,6}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$B$/$\np{0,2}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{B}$/$\np{0,8}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$B$/$\np{0,5}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{B}$/$\np{0,5}$/\posB,
				nA3/nB5/B5/5/$C$/$\np{0,4}$/\posA,
				nA3/nB6/B6/6/$\overline{C}$/$\np{0,6}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$\{ A_1,A_2, A_3 \}$ est un système complet d'événements, $\mathbb{P}(A_1)\ne 0$, $\mathbb{P}(A_2)\ne 0$ et $\mathbb{P}(A_3)\ne 0$ donc, d'après la formule de Bayes: 
		
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(A_2) &= \frac{\mathbb{P}(B | A_2) \mathbb{P}(A_2)}{\mathbb{P}(A_1) \mathbb{P}(B | A_1) +\mathbb{P}(A_2) \mathbb{P}(B | A_2) + \mathbb{P}(A_3) \mathbb{P}(B | A_3)}\\
		&= \frac{0,3 \times 0,5}{0,1 \times 0,2 + 0,3\times 0,5 + 0,6 \times 0}\\
		&= \frac{15}{16}
		\end{align*}
		
		\item Faux positif (encore le bac).
		
		Un test de dépistage de maladie fonctionne dans $95\ \%$ des cas sur une personne effectivement malade et dans $98\ \%$ des cas il confirme bien l'absence de maladie pour une personne saine.
		
		Quelle est la probabilité qu'une personne soit effectivement malade sachant que le test est positif sachant que la maladie touche $1\ \%$ de la population?
		
		Modélisons: notons $M$: \og la personne est malade\fg{} et $P$:\og le test est positif\fg{}.
		
		Nous devons calculer $mathbb{P}(M|P)$.
		
		$\{ M, \overline{M} \}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles: $\mathbb{P}(M)=0,01$ et $\mathbb{P}\left( \overline{M} \right)=0,99$.
		
		On en déduit, d'après la formule de Bayes:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(M | P) &= \frac{\mathbb{P}(M)\mathbb{P}(P|M)}{\mathbb{P}(M)\mathbb{P}(P|M) +\mathbb{P}(\overline{M})\mathbb{P}(P|\overline{M})}\\
			&= \frac{0,01 \times 0,95}{0,01 \times 0,95 + 0,99 \times (1-0,98)}\\
			&= \frac{0,95}{1,93}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n=1$ on retrouve la définition de la probabilité conditionnelle. Quelque soit $A\in\mathscr{P}(\Omega)$ \[ \mathbb{P}(A)>0 \Rightarrow \mathbb{P}_B(A)=\frac{\mathbb{P}_A(B)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}. \]
		
		L'idée serait d'intervertir les deux niveaux de  l'arbre suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\coordinate (B1) at (2,2);
			\coordinate (B2) at (2,-2);
			\coordinate (C1) at (0,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$B$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{B}$};
			\draw node (A3) at (A3) {$B$};
			\draw node (A4) at (A4) {$\overline{B}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$A$};
			\draw node (B2) at (B2) {$\overline{A}$};
			\draw (B1)--(A1)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{A}(B)$};
			\draw (B1)--(A2)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{A}(\overline{B})$};
			\draw (B2)--(A3)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{\overline{A}}(B)$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}_{\overline{A}}(\overline{B})$};
			\draw (C1)--(B1)node[midway,above]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}(A)$};
			\draw (C1)--(B2)node[midway,below]{\footnotesize\color{blue}$\mathbb{P}(\overline{B})$};
			\end{tikzpicture}
			
			Nous dirons que $\mathbb{P}(A)$ est une \emph{\color{purple}probabilité a priori} (en l'état initial des connaissances, de la situation) et que $\mathbb{P}_B(A)$ est \emph{\color{purple}la probabilité a posteriori} (en ajoutant une nouvelle information qui est la réalisation de $B$).
			
		\end{center}
		
		\item Inférence bayésienne.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple 8 page 168 ellipse prépa maths cours exercices corrigés ece 2 celin laurent 2018
		
	\end{notabene}
	
	Une information circule parmi les étudiants. Chaque étudiant la transmet fidèlement avec une probabilité $p\in ]0;1[$ et la déforme en son contraire avec une probabilité $q=1-p$.
	
	Le premier étudiant détient la bonne information.
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le deuxième étudiant détienne la bonne information?
		
		\item Quelle est la probabilité que le troisième étudiant détienne la bonne information?
		
		\item Quelle est la probabilité que le deuxième étudiant détienne la bonne information sachant que le troisième étudiant est bien informé?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{P}(B_2)=\mathbb{P}(B_2 | B_1)= p$.
		
		\item $ \mathbb{P}(B_3)= \mathbb{P}(B_3\cap B_2)+\mathbb{P}(B_3 \cap \overline{B_2})= \mathbb{P}(B_2) \times \mathbb{P}(B_3|B_2) + \mathbb{P}(\overline{B_2}) \times \mathbb{P}(B_3 | \overline{B_2})= p \times p+q \times q$.
		
		\item 
		$\mathbb{P}(B_2 | B_3) = \frac{\mathbb{P}(B_2) \times \mathbb{P}(B_3 | B_2)}{\mathbb{P}(B_2) \times \mathbb{P}(B_3|B_2) + \mathbb{P}(\overline{B_2}) \times \mathbb{P}(B_3 | \overline{B_2})}=\frac{p \times p}{p^2+q^2}$
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercice.}

\begin{exercice}{}
	
	On effectue $3$ tirages successifs sans remise dans une urne contenant $3$ boules blanches et $7$
	boules noires.
	
	On suppose que le second tirage a donné
	une boule blanche, quelle est la probabilité que le premier tirage ait donné une boule blanche?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On effectue $3$ tirages successifs sans remise dans une urne contenant $3$ boules blanches et $7$
	boules noires.
	
	Quelle est la probabilité d'obtenir $3$ boules blanches?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On fait l'hypothèse que la probabilité de mettre au monde une fille est de $\frac{1}{2}$.
	
	M. X et Mme Y ont deux enfants. Quelle est la probabilité qu'ils aient deux filles?
	
	On arrive chez eux. Un enfant ouvre la porte. C'est une fille. Quelle est la probabilité pour que l'autre
	enfant soit une fille?
	
	Et si en plus, elle nous dit qu'elle est l'aînée, quelle est la probabilité que la seconde soit une fille?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Une urne contient $9$ boules, numérotées de $1$ à $9$.
	
	On tire deux boules. 
	
	Déterminer la probabilité d'obtenir deux boules portant des numéros de même parité dans les cas suivants:
	
	\begin{enumerate}
		\item On tire deux boules simultanément.
		
		\item On tire une boule, on ne la remet pas et on tire une deuxième boule.
		
		\item On tire une boule, on la remet et on tire une deuxième boule.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		Hors sujet car indépendance.
		
	Une boîte contient deux boules, une rouge et une noire.
	
	On tire $n$ fois une boule dans cette boîte en la remettant à chaque fois et en notant sa couleur.
	
	On note $A_n$ l'évènement: \og on obtient des boules des deux couleurs au cours de $n$ tirages\fg{}, et $B_n$: \og on obtient au plus une boule noire\fg{}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathbb{P}(A_n)$ et $\mathbb{P}(B_n)$.
		\item $A_2$ et $B_2$ sont-ils indépendants?
		\item $A_3$ et $B_3$ sont-ils indépendants?
	\end{enumerate}
	
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	$\frac{1}{4}$ d'une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte $\frac{1}{12}$ de malades.
	
	Parmi les malades, il y a $4$ non vaccinés pour un vacciné.
	
	Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de tomber malade?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On range au hasard $7$ dossiers numérotés de $1$ à $7$ dans $5$ tiroirs $a$, $b$, $c$, $d$, $e$.
	
	Quelle est la probabilité des évènements suivants?
	\begin{enumerate}
		\item Les $7$ dossiers sont dans un même tiroir.
		\item Les $7$ dossiers sont dans $2$ tiroirs exactement.
		\item Les $7$ dossiers sont dans $3$ tiroirs exactement.
		\item Les $7$ dossiers sont dans $4$ tiroirs exactement.
		\item Aucun des tiroirs n'est vide.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Un jeu de cartes est constitué de $20$ cartes dont $17$ portent le numéro $0$ et $3$ le numéro $1$.
	
	Un joueur tire au hasard simultanément $4$ cartes de ce jeu; il gagne s'il obtient au moins deux $1$.
	
	Quelle est la probabilité qu'il gagne?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que $\mathbb{P}(A)= \mathbb{P}(B)= \frac{3}{4}$.
	
	Trouver les valeurs maximales et minimales de $\mathbb{P} (A \cap B)$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	On jette trois fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On note $a$, $b$ et $c$ les numéros obtenus. Soit $Q(x) = ax^2 + bx + c$.
	
	Déterminer la probabilité pour que l'équation du second degré ait:
	
	\begin{enumerate}
		\item deux racines réelles distinctes,
		\item une racine réelle double,
		\item pas de racines réelles.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Hors sujet à caus e de l'indépendance.
		
	Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
	
	On lance $n$ fois un dé équilibré. Les lancers sont supposés indépendants.
	
	On s'intéresse aux nombres de lancers dont le résultat est pair, ainsi qu'au nombre de lancers dont le résultat est $1$.
	
	Pour $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, on note $A_k$ l'événement \og on obtient $k$ nombres pairs \fg{}, $B_k$ l'événement \og on obtient $k$ "$1$" \fg{} et $C_k$ l'événement \og on obtient un nombre de pairs ou de "$1$" égal à $k$\fg{}. 
	
	Par exemple la suite de $5$ lancers: $1$, $5$, $3$, $2$, $1$ réalise les événements $A_1$, $B_2$ et $C_3$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, déterminer $\mathbb{P}(A_k)$ et $\mathbb{P}(B_k)$.
		\item Déterminer $\mathbb{P}(A_0 \cap B_0 )$ puis $\mathbb{P}(C_0 )$. Les événements $A_0$ et $B_0$ sont-ils indépendants?
		\item Déterminer $\mathbb{P}(A_1 \cap B_0 )$, $\mathbb{P}(A_0 \cap B_1)$, puis $\mathbb{P}(C_1)$.
		\item Pour $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, déterminer $\mathbb{P}(C_k)$.
	\end{enumerate}
	
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Événements incompatibles.
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
	\end{notabene}
	
	On lance une pièce une infinité de fois. On note pour $n\geqslant 3$, $B_n$ l'événement \og on obtient face au $(n-2)$-ème lancer, pile au $(n-1)$-ème lancer et pile au $n$-ème lancer\fg{}.
	
	Pour $n \geqslant 3$, les événements $B_n$ et $B_{n+2}$ sont-ils incompatibles?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 602
		
	\end{notabene}
	
	On dispose d’une urne avec $3$ boules: une bleue, une verte
	et une rouge. On tire une boule dans l’urne:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Si elle est verte, on perd $5$ euros.
		
		\item Si elle est bleue, on joue à pile ou face: on gagne $10$ euros si on fait face, et on perd $10$ euros si on fait pile.
		
		\item Si elle est rouge, on gagne $3$ euros.
		
	\end{enumerate}
	
	On note $V$: \og on obtient la boule verte\fg{}, $B$: \og On obtient la boule bleue \fg{} , $R$: \og On obtient la boule rouge \fg{}, $F$: \og On fait
	face au jeu pile ou face\fg{}, et $G$: \og On gagne de l’argent\fg{}.
	
	Justifiez que $G = (B \cup F ) \cup R$.
	
\end{exercice}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
		page 617
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n \geqslant 2$. On dispose de $n$ dés. Pour $k \in \llbracket 1, n \llbracket$, le $k$-ème dé est un dé à $k$ faces numérotées de $1$ à $k$.
	
	On lance tous les dés l’un après l’autre. Un lancer est
	considéré comme gagnant si le dé tombe sur $1$.
	
	Quelle est la probabilité de gagner au moins deux lancers
	de dés?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		
		page 618
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		BAc 1993 Pondichery
		
	\end{notabene}
	
	Dans une entreprise, on fait appel à un technicien lors de ses passages hebdomadaires, pour l’entretien des machines.
	
	Chaque semaine, on décide donc pour chaque appareil de faire appel ou non au technicien.
	
	Pour un certain type de machines, le technicien constate:
	
	\begin{itemize}
		
		\item qu’il doit intervenir la première semaine,
		
		\item que s’il est intervenu la $n$-ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la $(n + 1)$-ième semaine est égale à $\frac{3}{4}$,
		
		\item que s’il n’est pas intervenu la $n$-ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la $(n + 1)$-ième semaine est égale à $\frac{1}{10}$.
	\end{itemize}
	
	On désigne par $E_n$ l’évènement: \og le technicien intervient la $n$-ième semaine \fg{} et par $p_n$ la probabilité de cet évènement $E_n$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Déterminez les nombres: $p(E_1)$, $p(E_{n+1} | E_n )$ et $p(E_{n+1} | \overline{E_n})$, puis en fonction de $p_n$: $p(E_{n+1}\cap E_n)$ et $p(E_{n+1} | \overline{E_n})$.
		
		\item Déduisez-en que pour tout entier $n$ non nul: \[ p_{n+1}= \frac{13}{20} p_n + \frac{1}{10}. \]
		
		\item On pose $q_n = p_n -\frac{2}{7}$.
		
		Montrez que la suite $(q_n)$ est une suite géométrique. Déduisez-en l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.
		
		Pour quelles valeurs de l’entier $n$, la probabilité que le technicien intervienne la $n$-ième semaine est-elle inférieure à $\frac{3}{10}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		BAc 2022 19 juin amérique du nord
		
	\end{notabene}
	
	
	Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
	
	\smallskip
	
	La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux points de location.
	
	\smallskip
	
	On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
	
	\smallskip
	
	D'après une étude statistique :
	
	\smallskip
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
		\item[$\bullet~~$] Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
	
	\smallskip
	
	On considère un vélo de la société pris au hasard.
	
	\smallskip
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :
	
	\setlength\parindent{1cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$]$A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
		\item[$\bullet~~$]$B_n$ : \og le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0cm}
	
	Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l'évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$A_1$/$\dots$/\posA,
				nA2/A2/2/$B_1$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$A_{2}$/$\dots$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$B_{2}$/$\dots$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$A_{2}$/$\dots$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$B_{2}$/$\dots$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $a_2$.
			\item Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\setcounter{Exercice}{\theExercice-1}

\begin{exercice}{ - suite.}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.
			
			\begin{center}
					
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{2};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{4};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$A_n$/$a_n$/\posA,
						nA2/A2/2/$B_n$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$A_{n+1}$/$\dots$/\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$B_{n+1}$/$\dots$/\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					\end{tikzpicture}
			\end{center}
			\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$,\: $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
		\end{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, \: $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemple du cour s de Bertaul
		
		Formule des probabilités totales.
		
	\end{notabene}
	
	Une urne contient $n$ boules noires et $b$ boules blanches et on tire $2$ boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\{ B_1,N_1 \}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles  donc, d'après la formule des probabilités totales:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(B_2) &= \mathbb{P}(N_1) \times \mathbb{P}(B_2|N_1)+ \mathbb{P}(B_1) \times \mathbb{P}(B_2|B_1)\\
		&= \frac{n}{n+b} \times \frac{b}{n+b-1} + \frac{b}{n+b} \times \frac{b-1}{n+b-1}\\
		&= \frac{nb+b(b-1)}{(n+b)(n+b-1)}
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cours Bertault
		
	\end{notabene}
		
	Dans une usine, trois machines $A$, $B$ et $C$ produisent respectivement $50\ \%$, $30\ \%$ et $20\ \%$ des pièces fabriquées. Les pourcentages de pièces défectueuses sont $3\ \%$ pour $A$, $4\ \%$ pour $B$ et $5\ \%$ pour $C$. Une pièce choisie au hasard se trouve défectueuse. Avec quelle probabilité a-t-elle été fabriquée par la machine $A$?
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\{ A,B,C \}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles donc, d'après la formule des probabilités totales.
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(D) &= \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(D|A) + \mathbb{P}(B) \times \mathbb{P}(D|B) + \mathbb{P}(C) \times \mathbb{P}(D|C)\\
		&= \frac{50}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{4}{100} + \frac{20}{100} \times \frac{5}{100}\\
		&= \frac{1,5+1,2+1}{100}\\
		&= \frac{3,7}{100}
	\end{align*}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cours Bertault
		
	\end{notabene}
²
	Dans une population donnée, deux maladies $M_1$ et $M_2$ sont observables chez respectivement $10\ \%$ et $20\ \%$ des individus. On suppose que le nombre des malchanceux qui souffrent à la fois de $M_1$ et $M_2$ est négligeable (nul), pour simplifier. On entreprend un dépistage systématique de ces maladies au moyen d’un test unique. Ce test est positif pour $90\ \%$ des malades de $M_1$, $70\ \%$ des malades de $M_2$ et $10\ \%$ des individus sains.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour un individu choisi au hasard, avec quelle probabilité le test est-il positif?
		
		\item Quelle est la probabilité pour qu’un individu pour lequel le test est positif soit atteint de la maladie $M_1$? Même question avec $M_2$?
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\{ M_1,M_2,P \}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles donc, d'après la formule de probabilités totales:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(P) &= \mathbb{P}(M_1) \times \mathbb{P}(P | M_1) + \mathbb{P}(M_2) \times \mathbb{P}(P | M_2) +\mathbb{P}(S) \times \mathbb{P}(P | S)
		\end{align*}
		
		\item $\{ M_1,M_2,P \}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles donc, d'après la formule de Bayes
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(M_1) &= \frac{\mathbb{P}(M_1) \times \mathbb{P}(P | M_1)}{\mathbb{P}(M_1) \times \mathbb{P}(P | M_1) + \mathbb{P}(M_2) \times \mathbb{P}(P | M_2) +\mathbb{P}(S) \times \mathbb{P}(P | S)}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Cours Bertault
		
		Necessite l'indépendance.
			
	\end{notabene}
	
	On dispose de $4$ dés à $6$ faces, dont un pipé, qui tombe sur $1$ avec une probabilité de $\frac{5}{6}$ et donne une même probabilité aux autres faces. On choisit au hasard un dé parmi les $4$, on le lance $2n$ fois et on obtient $n$ fois l’entier $1$. Avec quelle probabilité le dé choisi est-il pipé?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV exo 9
		
	\end{notabene}
	Soit $n\geqslant 3$ un entier. Une urne contient n pièces. Il se trouve que $n-1$ d’entre elles sont
	normales et équilibrées : lorsque l’on les lance on fait pile avec probabilité 1/2 et face aussi. La dernière
	pièce est truquée, elle est face des deux côtés.
	On prend une pièce au hasard dans l’urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs
	de cette pièce.
	1. Quelle est la probabilité qu’on obtienne face pendant les n premiers lancers ?
	2. Sachant que l’on a obtenu face lors des n premiers lancers, quelle est la probabilité d’avoir pris la
	pièce truquée ? Quelle est la limite de probabilité quand n tend vers l’infini ?
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_S_2000.pdf}
		
		Baccalauréat S Asie juin 2000
		
	
	\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_S_2000.pdf}
		
		Baccalauréat S Polynésie septembre 2000 
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://mathsblpothier.ovh/images/pdf/pdfKh/DS1_2223}
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}


\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}