%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Dérivées.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} %\exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Dérivées.}

\begin{lecon}
	
	L'expression \og au voisinage de\fg{} 
	
\end{lecon}

\subsection{Dérivabilité et nombre dérivé.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a<b$ des réels,
		
		\item $f:[a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est dite \emph{\color{purple}dérivable à droite en $a$} si et seulement si $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures.
	
	
	\medskip
	Dans ce cas, cette limite est appelée \emph{\color{purple}le nombre dérivé de $f$ à droite en $a$}, et on note: \[ {\color{purple}f'_d(a)} := \lim_{\begin{subarray}{c} x \to a \\x>a \end{subarray}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La quantité $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est appelé \emph{\color{purple}taux d'accroissement de $f$ en $a$}.
		
		\item Si le taux d'accroissement n'admet pas de limite on dit que $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$.
		
		\item Il arrive que le taux d'accroissement soit présenté différemment. En procédant au changement de variable $x-a=h$, le taux d'accroissement s'écrit: \[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]
		
		\item Évidemment des notions semblables existent \og à gauche\fg{}.
		
		\item Par construction du nombre dérivé nous aurons très souvent es forme indéterminée et il faudra lever l'indétermination par des manipulations algébriques.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Nombre dérivé à droite en $1$ des fonctions $x \mapsto x^n$ avec $n\in\mathbb{N}^*$.}
		
		\smallskip
		Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		Soit $x \in ]1,+\infty[$.
		
		\begin{align*}
			\frac{x^n-1^n}{x-1} &= 1+x+x^2+\dots +x^{n-1}
		\end{align*}
		
		Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 1 \\x>1 \end{subarray}} \frac{x^n-1}{x-1}= n$.
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$x \mapsto x^n$ est dérivable à droite en $1$ et son nombre dérivé est $n$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Nombre dérivé à droite en $2$ de la fonction constante égale à $7$.}
				
		\item \objectif{Dérivée à droite en $1$ de la fonction $f:x \mapsto x^2+x+1$.}
		
		%En utiisant $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
		
		\item Nombre dérivé à droite et à gauche de valeur absolue en $0$.
		
		{\color{orange}Suivant la valeur de $x$ il y a deux expressions algébriques de la fonction valeur absolue donc nous allons procéder par disjonction des cas.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Premier cas: \objectif{dérivabilité à droite.}
			
			Soit $x \in ]0,+\infty[$.
			
			\begin{align*}
				\frac{|x|-|0|}{x-0} &= \frac{x}{x}\\
				&= 1
			\end{align*}
			
			Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x>0 \end{subarray}} \frac{|x|-|0|}{x-0}=1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Valeur absolue est dérivable à droite en $0$ et le nombre dérivé de la fonction valeur absolue à droite en $0$ est $1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Second cas: \objectif{Dérivabilité à gauche.}
			
			Soit $x \in ]-\infty,0[$.
			
			\begin{align*}
				\frac{|x|-|0|}{x-0} &= \frac{-x}{x}\\
				&= -1
			\end{align*}
			
			Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{|x|-|0|}{x-0}=-1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Valeur absolue est dérivable à gauche en $0$ et le nombre dérivé de la fonction valeur absolue à gauche en $0$ est $-1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Dérivabilité à droite en $0$ de racine carrée.}
		
		Soit $x \in ]0,+\infty[$.
		
		\begin{align*}
			\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} &= \frac{1}{\sqrt{x}}
		\end{align*}
		
		Or $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			la fonction racine carrée n'est pas dérivable à droite en $0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Soit $f$ l'application définie par $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ et $f(0)=0$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Étudions la dérivabilité de $f$ à droite en $0$.}
			
			Soit $x \in ]0,+\infty[$.
			
			\[ \tau_f(0,x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-0}{x-0} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty.\]
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ n'est pas dérivable à droite en $0$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$.}
			
			Soit $x \in ]-\infty,0[$.
			
			\[ \tau_f(0,x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x<0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 0.\]
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable à gauche en $0$ et $f'_g(0)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Dérivabilité en un point hors du domaine de dérivabilité de la fonction.
		
	\end{notabene}
	
	\smallskip
	Soit $f$ l'application définie, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$, et $f(0)=1$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item Étudiez la dérivabilité de $f$ en $0$.
			
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E$ tel que $f$ soit définie dans un voisinage ouvert de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est \emph{\color{purple}dérivable en $a$} si et seulement si 
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item $f$ est dérivable à droite en $a$,
		
		\item $f$ est dérivable à gauche en $a$,
		
		\item $f'_d(a)=f'_g(a)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$ alors on appelle \emph{\color{purple}nombre dérivé de $f$ en $a$} le nombre noté \[ f'(a):=f'_d(a)=f'_g(a). \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction carrée est dérivable en $0$.
		
		Notons $f:x \mapsto x^2$.
		
		Soit $x \in \mathbb{R}^*$.
		
		\begin{align*}
			\frac{x^2-0^2}{x-0} &= x
		\end{align*}
		
		donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x<0 \end{subarray}} \frac{x^2-0^2}{x-0}=0$ et $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\x>0 \end{subarray}} \frac{x^2-0^2}{x-0}=0$.
		
		Ainsi la fonction carré est dérivable à droite et à gauche en $0$ et comme de plus $f'_d(0)=f'_g(0)=0$ nous pouvons dire qu'elle est dérivable en zéro et $f'(0)=0$.
		
		\item Valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.
		
		En notant $g$ la fonction valeur absolue nous avons vu que $g'_d(0)=1$ et $g'_g(0)=-1$.
		
		Puisque $g'_d(0)\ne g'_g(0)$, $g$ n'est pas dérivable en $0$.
		
		{\color{orange}Cela se remarque graphiquement par un pointu sur la courbe représentative de la fonction valeur absolue en $0$.}
		
		\item Racine cubique n'est pas dérivable en zéro.
		
		Comme la fonction racine carrée elle n'est pas dérivable à droite car \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}^2} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x>0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty. \]
		
		Mais elle n'est pas non plus dérivable à gauche car \[ \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}^2} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x<0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E$ tel que $f$ soit définie sur un voisinage ouvert de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
	
\end{proposition}


\begin{preuve}
	
	\objectif{Démontrons $f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f(a)$.}
	
	La fonction $\tau_f(a,x)$ est prolongeable par continuité en $a$ puisque $f$ est dérivable en $a$. Donc, pour tout $x$ dans un voisinage de $a$, \[ f(x)=f(a)+\tau_f(a,x)(x-a) \]
	
	Or $\tau_f(a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f'(a)$ donc \[ f(x)=f(a)+\tau_f(a,x)(x-a) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f(a).\]
	
	Ainsi 
	
	\begin{conclusion}
		
		$f$ est continue en $a$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Les fonctions constantes sont dérivables donc continues.
	
		\item La fonction valeur absolue est continue et pourtant elle n'est pas dérivable.
		
		\item La fonction racine carrée est continue  à droite en $0$ mais n'est pas dérivable à droite en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La réciproque de la proposition (\og toute fonction continue est dérivable\fg{}) est fausse.
		
		\item Cette implication pourrait être scindée en deux: si $f$ est dérivable à droite en $a$ alors $f$ est continue à droite en $a$ puis le cas à gauche.
		
		\item Nous pourrons utiliser la contraposée de cette proposition pour justifier de la non dérivabilité: $f$ n'est pas continue à droite en $a$ donc $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Tangente.}

\begin{lecon}
	
	
	Comme bien souvent en mathématique c'est un point de vue géométrique qui est privilégié pour se représenter les objets. C'est aussi celui qui se généralise le plus simplement
	
	Rappelons que le taux d'accroissement correspond au coefficient directeur d'une certaine droite. Graphiquement, le taux d'accroissement d'une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est le coefficient de la droite dessinée en rouge.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {6} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {6}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Si nous remplaçons $h$ par $0$, alors le deux points sont confondus et parler d'une droite n'a plus aucune sens. Nous retrouvons le problème rencontré avec le taux d'accroissement: nous ne pouvons pas remplacer $h$ par $0$.
	
	De la même façon nous allons rendre $h$ de plus en plus petit. Graphiquement cela revient à dire que nous rapprochons le point $M$ de $A$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {5} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {5} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {5}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {4} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {4} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {4}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {3} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {3} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {3}\draw[red] (\h,-1)node[fill=white]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left]{$A$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\foreach \h in {2} \draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(5+5*(\h*\h-\t0*\t0)/(\h-\t0)*(\x-\t0))/25});
		\foreach \h in {2} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {6} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node[above left]{$M$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\foreach \h in {2}\draw [red] (\h,-1)node[fill=white,right]{$a+h$};
		\end{tikzpicture}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
		\def\t0{1};
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (-1, -1) grid (6,6);
		%\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (-1, -1) grid (6,6);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!90!white] (-1, -1) grid (7,10);
		\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7, 0) node[right,fill=white]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, -1) -- (0, 10) node[above,fill=white]{$f(x)$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node{$\bullet$};
		\draw(\t0,{5*\t0*\t0/25})node[above left,fill=white]{$A=M$};
		\draw[blue, thick][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{\x*\x/5});
		\draw[red][samples=80,domain=0:7] plot(\x,{(-5+10*\x)/25});
		\foreach \h in {1} \draw[red] (\h,{5*\h*\h/25})node{$\bullet$};
		\foreach \h in {1}\draw (\h,-1)node[fill=white]{$a$};
		\draw (\t0,-1)node[fill=white]{$a$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous obtenons une droite qui semble posée sur la courbe représentative de la fonction. Cette droite sera appelée une \emph{\color{purple}tangente} de la courbe.
	
	\medskip
	Son coefficient directeur est le taux d'accroissement limite obtenu lorsque $h$ se rapproche de $0$. Autrement dit le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé.
	
	\medskip
	La courbe et la tangente semblent se confondre au voisinage du point $A$. Ceci correspond à un outil classique en mathématique, le développement limité. Ici, la fonction $f$, pour des valeurs de $x$ pas trop loin de $a$, est semblable à une fonction affine: "$f(x) \approx ax+b$". Cette approximation est extrêmement riche en applications sera revue dans le paragraphe suivant
	
	Sécantes et tangente: \href{https://www.geogebra.org/m/HJSNZFkG}{illustration avec geogebra} (télécharger le fichier: \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales_analyse_03_derivees_01_1ieme_analyse_01_tangente_nombre_derive_04_secantes_tangente}{lien}).

\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E$ tel que $f$ soit définie et dérivable dans un voisinage ouvert de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}tangente au graphe de $f$ au point $(a,f(a))$} la droite d'équation cartésienne \[ y=f'(a) \times (x-a)+f(a). \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}Nous utiliserons souvent les tangentes pour aider à tracer la courbe représentative de la fonction}. En effet, localement, la courbe et sa tangente peuvent être \og confondues\fg{}.
		
		\item Lorsque la fonction est dérivable uniquement à droite (ou à gauche) de $a$ on définie une \emph{\color{purple}demi-tangente} à la courbe. confer exemple infra.
		
		\item Lorsque la limite à droite en $a$ du taux d'accroissement est infini nous dirons que la fonction admet \emph{\color{purple}une demi-tangente verticale en $a$}.
		
		\item On parle parfois de la tangente au graphe en $a$ sans préciser le point.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Déterminons la tangente au graphe de $f:x \mapsto x^2-2x+3$ en $-1$.}
		
		{\color{orange}Trichons et admettons que $f$ est dérivable en $-1$ et que sont nombre dérivé est $f'(-1)=2 \times (-1)-2=-4$.}
		
		$f$ est dérivable en $-1$ donc son graphe admet une tangente en $-1$.
		
		Comme $f(-1)=6$ et $f'(-1)=-4$ une équation de la tangente en $-1$ est \[ y= -4(x-(-1))+6.\]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			l'équation réduite de la tangente au graphe de $f$ en $-1$ est: $y=-4x+2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Pour représenter graphiquement la tangente on place le point commun au graphe et à la tangente dont nous connaissons les coordonnées $(-1,6)$.
		
		Puis nous plaçons n autre point par lecture graphique avec le coefficient directeur ou par le calcul avec l'équation de la tangente.
		
		Pour distinguer les tangentes des autres tracés nous les dessinerons le plus souvent comme des segments munis de flèches aux extrémités.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{0.5};
			\def\yZ{10};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.7:0.5] plot(\x,{\x*\x-2*\x+3});
			\draw (-1,6) node {$\times$};
			\draw[red, thick,>=latex, <->][samples=100,domain=-1.5:-0.5] plot(\x,{-4*\x+2});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		}
		
		\item Demi-tangente verticale en zéro de la fonction racine carrée.
		
		Nous avons vu que la limite à droite en $0$ du taux d'accroissement de la fonction racine carrée est $+\infty$. dans un tel cas on dit que la fonction admet une demi tangente verticale (orientée vers le haut).
		
		Cette situation se représente de la façon suivante.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2, ..., 8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,3}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:8.5] plot(\x,{sqrt(\x)});
			\draw [very thick, red, >=latex, ->] (0,0) -- (0,1.5);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Tangente verticale en zéro de la fonction racine cubique.
		
		Nous avons déjà vu que:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			
			\item $\tau_{\sqrt[3]{.}}(0,x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x<0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} -\infty$.
			
			\item $\tau_{\sqrt[3]{.}}(0,x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\x>0 	\end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{enumerate}
		
		Par conséquent la fonction racine cubique admet une demi-tangente verticale orientée vers le bas en $0$ et une demi-tangente verticale orientée vers le haut en $0$. Si bien que nous dirons que racine cubique admet une tangente verticale en zéro.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-4};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{4};
			\def\yZ{2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{(\x)^(1/3)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:0] plot(\x,{-(-\x)^(1/3)});
			\draw [very thick, red, >=latex, <->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Bouquet}
		
	On a dessiné ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que les tangentes à cette courbe aux points $A(-2;4)$, $O(0,0)$ et $B(\sqrt{3};0,4\sqrt{3}^3-3,6\sqrt{3})$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.545:3.45] plot(\x,{0.4*(\x-3)*(\x-0)*(\x+3)});
		%A
		\draw[red,thick] [samples=100,domain={-2-3}:{-2+1}] plot(\x,{1*\x+6});
		\draw [red] (-2,4) node {$\bullet$};
		\draw [red] (-2,4) node[above left] {$A$};
		%O
		\draw[OliveGreen,thick] [samples=100,domain={0-1.25}:{0+1.2}] plot(\x,{-4*\x+0});
		\draw [OliveGreen] (0,0) node {$\bullet$};
		\draw [OliveGreen] (0,0) node[above right] {$O$};
		%B
		\draw[Violet,thick] [samples=100,domain={sqrt(3)-6}:{sqrt(3)+2.5}] plot(\x,{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)});
		\draw [Violet] ({sqrt(3)},{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)}) node {$\bullet$};
		\draw [Violet] ({sqrt(3)},{0.4*sqrt(3)*sqrt(3)*sqrt(3)-3.6*sqrt(3)}) node[below right] {$B$};
		\draw[blue] (2.5,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les nombres dérivés de $f$ en $-2$, en $0$ et en $\sqrt{3}$.
		
		\item Déduisez-en, les équations réduites des tangentes à $\mathscr{C}_f$ en $A$, $O$ et $B$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Diverses courbes; concaves, convexes, point d'inflexion, et des courbes impossibles points de rebroussement.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ une fonction dérivable en $3$ et telle que $f(3)=4$ et $f'(3)=\frac{1}{3}$.
	
	Tracez la tangente au graphe de $f$ en $3$ puis proposez une allure possible du graphe de $f$ au voisinage de $3$.
	
\end{exercice}

\subsection{Fonction dérivée.}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soit:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ une application définie sur $E \subset \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}dérivable sur $E$} si et seulement si, pour tout $a \in E$, $f$ est dérivable en $a$.
	
	\medskip
	Dans ce cas on appelle fonction dérivée de $f$ la fonction: \[ f':=\left\{ \begin{array}{ccl} E & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f'(x)\end{array} \right. \]
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	
	ln, exp, sin, cos, $x^a$ .
	
\end{notabene}


\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$,
		
		\item $f_n:x \mapsto x^n$ l'application définie sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip 
	$f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	De plus
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f_0'=0$.
		
		\item et si $n>0$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$ pour tout $x \in\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Essayer une démonstration par récurrence 
		
	\end{notabene}
	
	Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $a \in\mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}\setminus \{ a \}$.
	
	\begin{align*}
		\tau_{f_n}(a,x) &= \frac{x^n-a^n}{x-a}\\
		&= \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1})}{x-a}\\
		&= x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1}
	\end{align*}
	
	Or, par continuité des fonctions polynomiales, \[x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1} \underset{x \to a}{\longrightarrow} a^{n-1}+a^{n-2}a+\dots + aa^{n-2}+a^{n-1}\] donc \[ \tau_{f_n} (a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} na^{n-1}. \]
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nombre dérivé.
		
		\item Fonction dérivée,
		
		\item Tangente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour $f_0$, donc une fonction constante, nous avons la caractérisation: une fonction est constante si et seulement si sa dérivée est nulle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $f_n:x \mapsto \frac{1}{x^n}$ l'application définie sur $\mathbb{R}^*$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip 
	$f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $f'(x)=\dfrac{n}{x^{n+1}}$ pour tout $x \in\mathbb{R}^*$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soient $n\in \mathbb{N}^*$, $a \in \mathbb{R}^*$ et $x \in \mathbb{R}^* \setminus\{ a\}$.
	
	\begin{align*}
		\tau_{f_n}(a,x) &= \frac{\frac{1}{x^n} - \frac{1}{a^n}}{x-a}\\
		&= \frac{a^n-x^n}{a^nx^n(x-a)}\\
		&= \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1})}{a^nx^n(x-a)}\\
		&= \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots + xa^{n-2}+a^{n-1})}{a^nx^n}
	\end{align*}
	
	Donc \[ \tau_{f_n}(a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \frac{na^{n-1}}{a^na^n}.\]
	
	Ainsi
	
	\begin{conclusion}
		
		$f_n$ est dérivable en $a$ et $f_n'(a)= \frac{n}{a^{n+1}}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\sin'=\cos$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}La démonstration suivante se veut élémentaire et ne fait donc pas appelle à la définition de $\sin$ comme somme de série entière.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item \objectif{Démontrons que $\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1$.}
		
		Soit $x \in \left] 0 ,\frac{\pi}{2} \right[$.
		
		Admettons dans un premier temps que pour tout $x \in \left] 0 ,\frac{\pi}{2} \right[$ on a $\cos (x) \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 1$.
		
		Or, par continuité de $\cos$ \[ \cos(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 1,\] donc, d'après le théorème des gendarmes: \[ \frac{\sin(x)}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x >0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 1.\]
		
		\medskip
		Si $x \in \left] -\frac{\pi}{2} ,0 \right[$ alors on a $\cos(-x) \leqslant \frac{\sin(-x)}{-x} \leqslant 1$. Puis par parité de $\cos$ et imparité de $\sin$: $\cos(x) \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 1$.
		
		On obtiendra donc de la même façon \[ \frac{\sin(x)}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x <0 \end{subarray}}{\longrightarrow} 1.\]
		
		Enfin 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que $\sin$ est dérivable en $a \in\mathbb{R}$.}
		
		\begin{align*}
			\tau_{\sin}(a,a+h) &= \frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}\\
			\intertext{En utilisant une formule d'addition $\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b)+\cos(a) \sin(b)$ nous obtenons:}
			\tau_{\sin}(a,a+h) &= \frac{\sin(a) \cos(h) +\cos(a)\sin(h)-\sin(a)}{h}\\
			&= \sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(a) \frac{\sin(h)}{h}\\
			\intertext{En utilisant la formule $\sin^2(x)= \frac{1-\cos(2x)}{2}$ nous avons:}
			\tau_{\sin}(a,a+h) &= \sin(a)\frac{-2 \sin^2\left( \frac{h}{2}\right)}{h}+\cos(a) \frac{\sin(h)}{h}\\
			&=  -\frac{h\sin(a)}{2}\left( \frac{\sin\left( \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right)^2+\cos(a) \frac{\sin(h)}{h}\\
		\end{align*}
		
		Puisque $\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0 }{\longrightarrow} 1$ \[ \frac{\sin \left( \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1. \]
		
		Finalement \[ \tau_{\sin} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} \cos(a). \]
		
		Autrement dit 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\sin$ est dérivable en $a$ et $\sin'(a)= \cos(a)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Démontrons que que pour tout $x \in \left] 0 ,\frac{\pi}{2} \right[$ on a $\cos (x) \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant 1$.}
		
		\begin{notabene}
			
			\url{http://nveron.lycee-berthelot.fr/IMG/pdf/15-Derivabilite_exos.pdf}
			
			et 
			
			\url{https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_trigonom%C3%A9triques/Propri%C3%A9t%C3%A9s_pr%C3%A9liminaires}
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction $\cos$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\cos'=-\sin$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	$\cos(x) =\sin (x+ \frac{\pi}{2})$ et composition ou reprendre la démarche utilisée pour le sinus.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Ce n'est pas vraiment une proposition puisque c'est par définition de la fonction exponentielle en tant que solution d'une équation différentielle.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Calculer une fonction dérivée.}

\begin{notabene}
	
	Peut être vaut-il mieux donner es résultats locaux en $a$.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{ - Linéarité de la dérivation.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ et $g$ des fonctions définies sur $E\subset \mathbb{R}$,
		
		\item $\lambda \in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $E$ alors $\lambda f +g$ est dérivable sur $E$ et \[ (\lambda f+g )' =\lambda f'+g'. \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	\begin{align*}
		\tau_{\lambda f +g}(a,x) & = \frac{\left( \lambda f +g \right)(x)-\left( \lambda f +g \right)(a)}{x-a}\\
		&= \frac{\lambda f(x) +g(x)-\lambda f(a)-g(a)}{x-a}\\
		&= \lambda \frac{f(x)-f(a)}{x-a} + \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\		
		&= \lambda \tau_{f}(a,x)+\tau_g(a,x)	
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Dérivation d'un produit.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ et $g$ des fonctions définies sur $E\subset \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $E$ alors $fg$ est dérivable sur $E$ et \[ \left( fg \right)'= f'g+fg'.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{align*}
		\tau_{fg}(a,x) &= \frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}\\
		&= \frac{\left[ f(x)-f(a) \right] g(x) +f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\
		&= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}g(x)+f(a)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\
		&= \tau_f(a,x)g(a)+f(a) \tau_g(a,x)
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Dérivation de l'inverse.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $g$ une fonction définie sur $E\subset \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $g$ est dérivable sur $E$ et que $g$ ne s'annule pas sur $E$ alors $\frac{1}{f}$ est dérivable sur $E$ et \[ \left( \frac{1}{g} \right)'= \frac{-g'}{g^2} .\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\begin{align*}
		\tau_{\frac{1}{g}}(a,x) &= \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}}{x-a}\\
		&= \frac{\frac{g(a)-g(x)}{g(a)g(x)}}{x-a}\\
		&= -\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \times \frac{1}{g(a)g(x)}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{corollaire}{ - Dérivation d'un quotient.}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $f$ et $g$ des fonctions définies sur $E\subset \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $E$ et que $g$ ne s'annule pas sur $E$ alors $\frac{f}{g}$ est dérivable sur $E$ et \[ \left( \frac{f}{g} \right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2} .\]
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	Découle des deux précédentes propositions appliquées à $f$ et $\frac{1}{g}$.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction tangente est dérivable sur $\left] -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[$ et \[ \tan'= 1+\tan^2= \frac{1}{\cos^2}. \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	
	Étudier la dérivabilité de la fonction cotangente définie par $\mathrm{cotan}=\dfrac{\cos}{\sin}$ sur $]0,\pi[$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Fonctions composées.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E \subset \mathbb{R}$,
		\item $F \subset \mathbb{R}$,
		\item $f:E \rightarrow F$ une application,
		\item $g: F \rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		
		\item $a \in E$.
		
	\end{enumerate}
	
	Si $f$ est dérivable en $a$ et si $g$ est dérivable en $f(a)$ alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et \[ \color{purple} \left( g\circ f \right)'(a)=\left( g'\circ f(a) \right) \times f'(a). \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}La notion de développement limité n'ayant pas encore été vue cette démonstration semblera très déroutante puisqu'elle y fait appel.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\tau_f(a,a+h) &= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
			\intertext{donc}
			f(a+h) &= f(a) + \tau_{f}(a,a+h)h\\
			&= f(a) + f'(a)h +\left( \tau_{f}(a,a+h)-f'(a)\right)h\\
			\intertext{En notant $\varepsilon_1(h)=\tau_{f}(a,a+h)-f'(a)$}
			f(a+h) &= f(a) + f'(a)h +\varepsilon_1(h)h\\
			\intertext{où $\varepsilon_1(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}0$.}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\intertext{D'une part:}
			f(a+h) &= f(a) +f'(a)h + h\varepsilon_1(h)\\
			\intertext{d'autre part:}
			g\left( f(a)+k \right) &= g\left( f(a) \right) + g'\left( f(a) \right)k +k\varepsilon_2(k)\\
			\intertext{donc:}
			g\circ f(a+h) &= g\left( f(a+h) \right)\\
			&= g\left(  f(a) +f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right)\\
			\intertext{puis comme $f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}0$:}
			g\circ f(a+h) &= g\left( f(a) \right) + g'\left( f(a) \right) \left[ f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right] \\
			&\qquad +\left[f'(a)h + h\varepsilon_1(h)  \right] \varepsilon_2\left[ f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right] \\
			\intertext{Notons $\varepsilon(h)= g'\left( f(a) \right) h\varepsilon_1(h) +\left[f'(a)h + h\varepsilon_1(h)  \right] \varepsilon_2\left[ f'(a)h + h\varepsilon_1(h) \right]$}
			g\circ f(a+h) &=g\left( f(a) \right)+hf'(a)g'(f(a))+h \varepsilon(h)
		\end{align*}
		
		comme $\varepsilon(h) \underset{h \to 0}{\longrightarrow}0$ \[ \frac{g\left( f(a+h) \right) - g\left( f(a) \right)}{h} \underset{h \to 0}{\longrightarrow} f'(a)g'\left( f(a) \right).\]
		
	\end{enumerate}
		
\end{preuve}
	
\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dérivabilité de $\cos$ à partir de celle de $\sin$ grâce à la formule $\cos(x)= \sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Replacer  proposition après $\ln$.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	
	La fonction $f_{\alpha}:x \mapsto x^a$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ \[ f_{\alpha}'(x)= \alpha x^{\alpha-1}.\]
	
\end{proposition}

\begin{corollaire}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$.
		
		\item $f_n:x \mapsto \sqrt[n]{x}$ définie sur $\mathbb{R}_+$ si $n$ est pair est $\mathbb{R}$ sinon.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Si $n$ est pair alors $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		\item Si $n$ est impair alors $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}*$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Pour tout réel $x$ du domaine de dérivabilité de $f_n$ \[ f_n'(x)= \frac{1}{n \sqrt[n]{x}^{n-1}}.\]
	
\end{corollaire}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Peut-être rajouter l'étude de la non dérivabilité en $0$.
		
	\end{notabene}
	
	On distingue les deux cas suivant la parité de $n$.
	
	Lorsque $n$ est impair on utilise l'imparité de la fonction pour compléter l'étude du cas $\mathbb{R}_+$.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $n=2$
		
		\item Si $n=3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Fonction réciproque.}

\begin{notabene}
	Application au calcul de la dérivée de arctan.
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E \subset\mathbb{R}$,
		
		\item $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		
		\item $a \in E$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si 
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $f$ est strictement monotone,
		
		\item $f$ est continue,
		
		\item $f$ est dérivable en $a$,
		
		\item et $f'(a) \ne 0$
	\end{enumerate} 
	
	alors $f^{-1}: f(E) \rightarrow E$ est dérivable en $f(a)$ et \[ \left( f^{-1} \right)' \left( f(a) \right)= \frac{1}{f'\left(a \right)}.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Puisque $f$ est strictement monotone et  continue, $f$ réalise une bijection de $E$ sur $f(E)$ dont la réciproque $f^{-1}:f(E)\rightarrow E$ est continue sur $f(E)$ et a la même monotonie.
	
	Soit $y$ dans un voisinage ouvert de $f(a)$ mais distinct de $f(a)$.
	
	\begin{align*}
		\tau_{f^{-1}}\left( f(a) , y \right) &= \frac{f^{-1}( y) - f^{-1}\left( f(a) \right)}{y-f(a)}\\
		&= \frac{ f^{-1}(y)-a}{f\left( f^{-1}(y) \right) -f\left( f^{-1}(a) \right)}
	\end{align*}
	
	Or $f^{-1}(y) \underset{y \to f(a) }{ \longrightarrow} a$ donc
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une autre formulation que nous utiliserons plus souvent dans les exercices, en posant $y=f(a)$, la formule devient: \[ \color{purple}\left( f^{-1} \right)'(y)= \frac{1}{f'\left( f^{-1}(y) \right)}. \]
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.
	
\end{proposition}

\begin{proposition}{}
	
	La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}. \]
	
\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x)= \sqrt{x} \mathrm{e}^x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $f$ induit une bijection de $\mathbb{R}_+$ sur un intervalle $J$ à préciser.
		
		\item On note $g$ la bijection réciproque. Montrez que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
		
		\item Étudiez la dérivabilité de $g$ en $0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	Montrer que chacune des fonctions suivantes est une bijection de l’intervalle I sur un
	intervalle $J$ que l’on précisera. Donnez les propriétés de $f^{-1}$ sur $J$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)= x^3-8x+1$ et $I=[-1;1]$.
		
		\item $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ et $I=[1;+\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrez que la fonction f définie par $f (x) = \tan^3 (x)$ sur $I = \left[0, \frac{\pi}{4} \right]$ est une bijection de $I$ dans un intervalle $J$ à déterminer.
		
		\item Étudiez la dérivabilité de $f^{-1}$ sur $J$.
		
		\item Déterminez $\left( f^{-1} \right)'(1)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\subsection{Développement limité.}

\subsubsection{Négligeable.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a \in \mathbb{R} \cup\{ +\infty, -\infty\}$,
		
		\item $f$ et $g$ des applications définies sur un voisinage de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est dite \emph{\color{purple}négligeable devant} $g$ \emph{\color{purple}au voisinage de} $a$ si et seulement si il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage de $a$ telle que:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f=g\varepsilon$ au voisinage de $a$,
		\item et $\varepsilon (x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Dans ce cas on note $\color{purple}f(x) \underset{x \to a}{=} o\left(g(x)\right)$.
	
\end{definition}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a \in \mathbb{R} \cup\{ +\infty, -\infty\}$,
		
		\item $f$ et $g$ des applications définies sur un voisinage de $a$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$ alors \[ f(x)\underset{x \to a}{=}o\left( g(x) \right) \Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)} \underset{x \to a}{\longrightarrow} 0. \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La plupart des cas que nous considérerons relève de cette proposition et nous l'utiliserons donc prioritairement.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item On retrouve tous les résultats de croissances comparées vus sur les fonctions.
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item En $+\infty$.
			
			Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
			
			\begin{align*}
			\intertext{Si $a<b$}
			x^a &\underset{x \to +\infty}{=} o\left( x^b \right)\\
			\intertext{Si $b>0$}
			\left( \ln(x) \right)^a &\underset{x \to +\infty}{=} o \left( x^b \right)
			\intertext{Si $b>0$}
			x^a &\underset{x \to +\infty}{=} o\left( b^x	\right)
			\end{align*}
			
			
			\item En zéro.
			
			Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
			
			\begin{align*}
			\intertext{Si $a>b$}
			x^a &\underset{\begin{subarray}{c}x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{=} o\left( x^b \right)\\
			\intertext{Si $b\ne 0$}
			\left| \ln(x) \right|^a &\underset{\begin{subarray}{c}x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{=} o \left( x^b \right)
			\end{align*}
			
			\item En $-\infty$.
			
			\begin{align*}
			\intertext{Si $b>0$}
			b^x &\underset{x \to -\infty}{=} o \left(|x|^a\right)	
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
			
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $a \in E \cup\{ -\infty, + \infty\}$,
		
		\item $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		
		\item $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Si $\lambda \ne 0$ et $f\underset{a}{=} o\left(g \right)$ alors $\lambda f\underset{a}{=} o\left(g \right)$ et $f\underset{a}{=} o\left( \lambda g \right)$.
		
		\item Si $f\underset{a}{=} o\left(h \right)$ et $g\underset{a}{=} o\left(h \right)$ alors $f+g \underset{a}{=} o\left(h \right)$.
		
		\item Si $f\underset{a}{=} o\left(g \right)$ et $g\underset{a}{=} o\left(h \right)$ alors $f\underset{a}{=} o\left(h \right)$.
		
		\item Si $f\underset{a}{=} o\left(g \right)$ et $h\underset{a}{=} o\left(k \right)$ alors $fh\underset{a}{=} o\left(gk \right)$.
		
		\item Si $f\underset{a}{=} o\left(g \right)$ alors $fh\underset{a}{=} o\left(gh \right)$.
		
		\item Si $f\underset{a}{=} o\left(g \right)$ et $\lim_b \varphi =a$ alors $f\circ \varphi\underset{b}{=} o\left(g\circ \varphi \right)$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	Pas d'exemple confer infra développement limité.
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le (i) peut s'imagé par: le petit o absorbe le coefficient multiplicateur.
		
		\item Le (ii) peut s'imager par: la somme de deux petit o est un petit o.
		
		\item Le (iii) peut s'imager par un petit o d'un petit o est u petit o, ou encore il y a un transitivité du petit o.
		
		\item Le (iv) et (v) peuvent s'imager par: avec le produit tout se passe bien.
		
		\item Le (vi) peut s'imager par: avec la composition à droite tout se passe bien.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Développement limité d'ordre $0$.}

\begin{lemme}{}
	
	$f$ est continue en $a$ si et seulement si il existe un voisinage ouvert de $a$ sur lequel: $f(x)=f(a)+ \underset{x \to a}{o}(1)$.
	
\end{lemme}

\begin{preuve}{}
	
	$f$ est continue en $a$ si et seulement si $f(x)-f(a) \underset{x \to a }{\longrightarrow} 0$. Autrement dit si et seulement si $f(x)-f(a)\underset{x \to a}{=} o(1)$.
	
\end{preuve}

\subsubsection{Développement limité d'ordre $1$.}

\begin{theoreme}{}
	
	$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, dans un voisinage ouvert $V$ de $a$: \[ \forall x \in V,\ f(x)= \alpha+ \beta (x-a)+ \underset{x \to a}{o}\left( x-a\right). \]
	
	Et dans ce cas $\alpha=f(a)$ et $\beta=f'(a)$.
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi, si $f$ est dérivable en $a$ alors, \emph{\color{purple}$f$ admet un développement limité à l'ordre $1$ en $a$} qui est \[ \color{purple}f(x)=f(a) +f'(a)(x-a)+\underset{x \to a}{o}(x-a).\]
		
		\item Pour se ramener à développement limité en $0$ plutôt qu'en $a$ nous écrirons \[ \color{purple}f(a+h)=f(a) +f'(a)h+\underset{h \to 0}{o}(h).\]
		
		\item De la même façon $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f(a+h)=f(a)+\underset{h \to 0}{o}(1)$.
		
		\item L'équivalence ente l'existence d'un développement limité et la continuité ou la dérivabilité ne se généralise à des dérivations d'ordre supérieur.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire les exemples avant la démonstration pour habituer aux manipulations de dl.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Supposons $f$ dérivable en $a$: $\tau_f(a,a+h) \underset{x \to a}{\longrightarrow} f'(a)$. Donc
		
		\begin{align*}
			\tau_f(a,x) -f'(a) &\underset{x \to a}{=} o(1)\\
			\intertext{Le résultat étant clair pour $x=a$ supposons $x\ne 0$ et donc:}
			f(x)-f(a) (x-a)f'(a) &= \underset{x \to }{o}( x-a) 
			f(x) &= f(a) +(x-a) f'(a)+\underset{x \to a}{o}( x-a)
		\end{align*}
		
		\item Supposons que $f(x)= \alpha+\beta (x-a)+ \underset{x \to a}{o}(x-a)$ sur un voisinage ouvert de $a$.
		
		\smallskip
		Nous en déduisons $f(x)=\alpha+ \underset{x \to a}{o}(1)$ et donc $f$ est continue en $a$ et $f(a)=\alpha$.
		
		\smallskip
		De $f(x)= f(a)+\beta (x-a)+ \underset{x \to a}{o}(x-a)$ nous déduisons si $x\ne a$
		
		\begin{align*}
			\frac{f(x)-f(a)}{x-a} &= \beta + \underset{x \to a}{o} (1)
		\end{align*}
		
		D'où $\tau_f(a,x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \beta$.
		
		Enfin: $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\beta$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Une compilation de dl de fonction de référence puis des opérations entre eux.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathrm{e}^x=1+x+\underset{x \to 0}{o}(x)$.
		
		$2 \mathrm{e}^x=2+2x+ \underset{x \to 0}{o}(x)$.
		
		\item $\sin(x)=x+\underset{x \to 0}{o}(x)$.
		
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^x + \sin(x) &= \left( 1+x+\underset{x \to 0}{o}(x) \right)+ \left( x+\underset{x \to 0}{o}(x) \right)\\
			\intertext{Formellement:}
			"\mathrm{e}^x + \sin(x) &= 1+2x+\underset{x \to 0}{o}(x)+\underset{x \to 0}{o}(x)"\\
			\intertext{Or "$\underset{x \to 0}{o}(x)+\underset{x \to 0}{o}(x)=\underset{x \to 0}{o}(x)$" donc on écrira}
			\mathrm{e}^x + \sin(x) &= 1+2x+ \underset{x \to 0}{o}(x)
		\end{align*}
		
		\item $\ln(1+x)=x+\underset{x \to 0}{o}(x)$.
		
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^x \ln(x+1) &= 
		\end{align*}
		
		\item $\sqrt{x+1}=1+\frac{x}{2}+\underset{x \to 0}{o}(x)$.
		
		\item $\tan(x)= x+\underset{x \to 0}{o}(x)$.
		
		\item $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}= 1+ \frac{1}{x}+ \underset{x \to +\infty}{o}(x)$
		
		\item %Composition à droite
		
		$\sqrt{x}= \underset{x \to +\infty}{o}(x)$ donc $\sqrt{\ln(x)}= \underset{x \to +\infty}{o}(\ln(x))$.
		
		%Contreexemple Bertault $\ln(x)=\underset{x \to +\infty}{o}(x)$ mais $\frac{1}{\ln(x))\ne \underset{x \to +\infty}{o}\left( \fac{1}{x}\right)$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On ne fait des opérations que sur des développements limités au même point $a$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Dérivation et extremum.}

\begin{theoreme}{ - Théorème de Fermat.}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$,
		\item $c\in ]a,b[$,
		\item $f:]a,b[\rightarrow \mathbb{R}$ une application dérivable en $c$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $f$ possède un extremum local en $c$, alors $f'(c)=0$.
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La notion d'extremum local en $c$ suppose de pouvoir trouver un voisinage ouvert $]a',b'[\subset I$ sur lequel $f$ admet un extremum absolu en $c$.
		\item Pour obtenir une équivalence il faut ajouter des conditions, comme: $f'$ s'annule en changeant de signe.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{preuve}
	
	Quitte à considérer un voisinage de $c$ nous pouvons supposer que $f(c)$ est un extremum global, ce que nous supposerons pour cette démonstration.
	
	Supposons, par exemple, que $f(c)$ est un maximum: \[ \forall x\in ]a,b[,\ f(x)\le f(c) \]
	Soit $x \in ]a,c[$.
	\[ \left\{ \begin{array}{l} f(x)-f(c)\le 0 \\x-c< 0 \end{array} \right. \Rightarrow \tau_f(c,x)\ge 0 \]
	
	Puisque $f$ est dérivable en $c$, $f'_g(c)$ existe et \[ f'_g(c)=\lim_{\substack{x\to c \\ x\in[c,c+\epsilon[}} \tau_f(c,x)\ge 0 \]
	
	\medskip
	De même nous établirions que $f'_d(c)\le 0$. Or $f$ étant dérivable en $c$, $f'_g(c)=f'_d(c)=f'(c)$, donc, nécessairement $f'(c)=0$.
	
\end{preuve}

\subsection{Égalité des accroissements finis.}


\subsubsection{Théorème de Rolle.}

\begin{theoreme}{ - Théorème de Rolle.}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tels que $a<b$,
		\item $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		\item $f$ continue sur $[a,b]$,
		\item $f$ dérivable sur $]a,b[$.
	\end{enumerate}
	
	\[ f(a)=f(b) \  \Rightarrow  \exists c\in ]a,b[,\ f'(c)=0 \]
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La démonstration repose sur l'idée que dans ce cas la fonction possède nécessairement un extremum local et de conclure grâce au théorème de Fermat.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{preuve}
	
	\begin{notabene}
		
		Apparemment il y a une démonstration plus élémentaire ne faisant intervenir que la propriété de la borne supérieur sans  faire intervenir la compacité.
		
	\end{notabene}
	
	$f$ est continue sur le compact $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ donc $f([a,b])$ est un compact de $\mathbb{R}$. Ainsi: \[ \exists (m,M)\in\mathbb{R}^2,\ \left\{ \begin{array}{l} m\le M \\ f([a,b])=[m,M] \end{array} \right. \]
	
	\begin{itemize}
		\item Si $m=M$ alors $f$ est la fonction constante, donc sa dérivée est nulle.
		\item Supposons que $m<M$. Alors $f(a)\ne m$ ou $f(a)\ne M$. Supposons par exemple $f(a)\ne m$. Puisque $m$ est le minimum de $f$ et qu'il diffère de  $f(a)$ (et de $f(b)$) \[ \exists c\in ]a,b[,\ f(c)=m\] Si $f$ admet un minimum en $c$ alors sa dérivée s'annule en $c$, d'après le théorème de Fermat.
	\end{itemize}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Égalité des accroissements finis.}

\begin{theoreme}{ - \hypertarget{theoreme_accroissements_finis}{\color{purple}Théorème des accroissements finis}}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$,
		\item $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		\item $f$ continue sur $[a,b]$,
		\item $f$ dérivable sur $]a,b[$.
	\end{enumerate}
	
	\[ \exists c\in ]a,b[,\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \]
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'expression \og accroissement fini\fg{} provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux $\mathrm{d}x$ et les accroissements \og finis \fg{} $x_1-x_0$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{preuve}
	
	Soit $\varphi: \left\{ \begin{array}{rcl} [a,b] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x \end{array} \right.$.
	
	$\varphi$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle ce qui permet de conclure.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Applications: prolongement de la dérivée, caractérisation des fonctions lipschitziennes dérivables.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Inégalité des accroissements finis.}

\begin{notabene}
	
	Ajouter a forme vue en terminale autrefois avec les maxima et minima qui provient plutôt d'une intégration .
	
\end{notabene}

\begin{theoreme}{ - Inégalité des accroissements finis.}
	
	Soient 
	\begin{enumerate}[.]
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$,
		\item $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ une application,
		\item $f$ continue sur $[a,b]$,
		\item $f$ dérivable sur $]a,b[$,
		\item $\exists (m,M) \in\mathbb{R}^2,\ \forall x \in ]a,b[,\ m\leqslant f'(x)\leqslant M$.
	\end{enumerate}
	
	\[ m(b-a) \leqslant f(b)-f(a) \leqslant M |b-a|. \]
	
\end{theoreme}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une variante pour la condition sur l'encadrement: {\color{purple}$\exists M\in\mathbb{R}_+,\ \forall x \in ]a,b[,\ |f'(x)|\le M$} et alors
		\[ \color{purple}\left| f(b)-f(a) \right| \le M |b-a|. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemples d’application à la convergence de
		suites récurrentes.
		
		Sujet de bac 1990 juin Asie.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f:x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ une application définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez $f$.
		
		\item On souhaite étudier l'équation $f(x)=x$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Expliquez pourquoi $f(x)=x$ n'admet pas de solution négative.
			
			\item Montrez que $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0 ,+\infty[$;
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étudiez les variations de $f'$ sur $\mathbb{R}_+$ puis déduisez-en que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ \[ \left| f'(x) \right| \leqslant \left| f'\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right|.\]
		
		\item On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ \left\{ \begin{array}{rcl} u_0 &=& 0,5 \\ u_{n+1} &=& f(u_n) \text{ pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array} \right.\]
		
		\begin{enumerate}
			\item Justifiez: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n \in \mathbb{R}_+$.
			
			\item \emph{On admettra que $\left| f'\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right|\leqslant 0,9$.} Montrez à l'aide de l'inégalité des accroissements finis, que pour tout entier naturel $n$: \[ |u_{n+1}-\alpha|\leqslant 0,9 |u_n-\alpha|.\]
			
			\item Déduisez-en la limite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est paire, dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=-2x \mathrm{e}^{-x^2}$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$, $f(0)=1$ et $f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}0$.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $1$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Si $x\leqslant 0$, comme $f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}>0$, alors l'équation $f(x)=x$ n'admet pas de solution.
			
			\item Soit $g:x \mapsto f(x)-x$. $g$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et strictement monotone sur $\mathbb{R}$ donc $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+$ sur $g\left( \mathbb{R}_+ \right)= ]-\infty,1]$.
			
			Comme $0 \in ]-\infty,1]$ il existe un unique $\alpha \in\mathbb{R}_+$ tel que $f(x)-x=0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $f'$ est dérivable sur$\mathbb{R}_+$ puisque c'est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}_+$.
		
		$\forall x \in \mathbb{R}_+,\ f''(x)=(4x^2-1) \mathrm{e}^{-x^2}= 4\left( x -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( x +\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \mathrm{e}^{-x^2}$. (On peut aussi étudier le signe du trinôme $4x^2-1$.)
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f''$ /0.8, $f'$ /1.6}
			{$0$ ,$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ $0$, - / $f\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , + / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		On a donc, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $ f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \leqslant f'(x) \leqslant 0$.
		
		Et donc $|f'(x)| \leqslant \left| f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right|$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Soit $\mathcal{P}(n)$: \og $u_n\geqslant 0$ \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est toujours vraie.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $u_0=0,5$ donc $u_0 \geqslant 0$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
				
				Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie et démontrons que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
				
				$u_n \in [0,+\infty[$ or $f( [0,+\infty[)= ]0;1]$ donc $u_{n+1} \in ]0;1]$ et $u_{n+1}\geqslant 0$.
				
				Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
				
				\item Nous avons démontré par récurrence que
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leqslant 0$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			$f$ est continue sur l'intervalle $[0;1]$, dérivable sur $]0;1[$ et $\left| f' \right| \leqslant \left| f'\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right|$ donc, d'après l'inégalité des accroissements finis, pour tout $a$ et $b$ dans $[0;1]$
			
			\begin{align*}
				|f(a)-f(b)| &\leqslant |b-a|\\
				\intertext{Pour $a=u_{n}$ et $b=\alpha$:}
				|f(u_n) - f(\alpha)| &\leqslant \left| f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right| \times |u_n-\alpha|\\
				\intertext{Comme $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(\alpha)=\alpha$, et $\left| f'\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right| \leqslant 0,9$:}
				|u_{n+1}-\alpha | &\leqslant 0,9|u_n-\alpha|
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ |u_{n+1}-\alpha | \leqslant 0,9|u_n-\alpha|$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $0,9\in ]-1;1[$, $0,9|u_n-\alpha| \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et donc $\lim u_n=\alpha$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemples d’application à la convergence de
		suites récurrentes.
		
		Bac 1990 juin centre étranger 3 Problème partie 3.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x+\frac{1}{2}(x^2+4x+5) \mathrm{e}^{-x}$
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $g'$.
		
		\item Démontrez que l'équation $g'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$% et que $\alpha \in ]-2,-2[$.
		
		On admettra que $\alpha \in [-2;-1]$.
		
		\item Étudiez les variations de $g$.
		
		\item L'objet de cette question est de trouver des valeurs approchées de $\alpha$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrez que $\alpha=-\sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{\alpha}{2}}-1$.
			
			\item Soit $\varphi$ l'application définie sur $[-2,-1]$ par $\varphi(x)=-1-\sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$.
			
			Démontrez que si $a$ et $b$ sont des réels de l'intervalle $[-2,-1]$ alors $|varphi(a)-\varphi(b)| \leqslant \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{e}}} |a-b|$.
			
			\item Démontrez que si $x \in [-1,-1]$ alors $f(x) \in [-2,-1]$.
			
			\item On définit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $u_0 \in [-2,-1]$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\varphi(u_n)$.
			
			Démontrez que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-\alpha| \leqslant \frac{1}{2} |u_n-\alpha|$.
			
			\item Justifiez que $\lim_{n\to +\infty}u_n=\alpha$.
					
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}

\begin{notabene}
	
	Exemples d’application à la convergence de
	suites récurrentes.
	
	\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Amerique_Sud_C_dec_1990.pdf}
	
\end{notabene}

\end{exercice}

\subsection{Étude des variations.}

\subsubsection{Monotonie.}

\begin{theoreme}{ - Dérivation et monotonie.}
	
	Soit $I$ un intervalle non trivial de $\mathbb{R}$, $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$ et dérivable sur $\mathring{I}$.
	
	\medskip
	Pour que $f$ soit croissante sur $I$ il faut et il suffit que \[ \forall x\in \mathring{I},\ f'(x)\ge 0 . \]		
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	{\color{orange}Démontrons le résultat par conditions nécessaire et suffisante.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Supposons $f$ croissante sur $I$ et démontrons qu'alors: $\forall x\in \mathring{I},\ f'\ge 0$.}
		
		Soit $x_0\in\mathring{I}$.
		
		$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ x< y \Rightarrow f(x)\le f(y) \]
		
		Donc, quelque soit $y\in I$ si $x_0< y$, alors $\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}\ge 0$.
		
		De même si $x_0< y$ alors $\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}\ge 0$.
		
		Autrement dit \[ \forall y\in I,\ \frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}\ge 0 \]
		
		Puisque $x_0\in\mathring{I}$, $f$ est dérivable en $x_0$ et en passant à la limite lorsque $y$ tend vers $x_0$ dans l précédente inégalité nous obtenons \[ \lim_{y\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{y-x_0}\ge 0 \]
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			$\forall x_0\in\mathring{I},\ f'(x)\ge 0$
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Réciproquement supposons: $\forall x\in\mathring{I},\ f'(x)\ge 0$. Démontrons qu'alors $f$ est croissante sur $I$.}
		
		{\color{orange}Nous allons démontrer \[ \forall (x,y)\in I,\ x<y \Rightarrow f(x)\le f(y) \]}
		
		Soit $(x_1,x_2)\in I^2$ tel que $x_1<x_2$ et $f$ est dérivable sur $]x_1,x_2[$.
		
		D'après le théorème des accroissements finis \[ \exists c\in ]x_1,x_2[,\ f(x_2)-f(x_2)=(x_2-x_1) f'(c) \]
		
		Or par hypothèse $f'(c)\ge 0$ donc \[ f(x_2)-f(x_1)\ge 0 \]
		
		Autrement dit: $f(x_1)\le f(x_2)$.
		
		Donc $f$ est croissante sur tout ouvert inclus dans $\mathring{I}$.
		
		\medskip
		Par recollement nous en déduisons, grâce à la continuité de $f$, le résultat sur $I$ tout entier.
		
		\begin{conclusion}
			$f$ est donc croissante sur $I$.
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item La démonstration serait simplifiée en considérant un intervalle ouvert $]a,b[$ sur lequel $f$ est dérivable plutôt que $I$.
		\item Ainsi le résultat reste même si la fonction n'est pas dérivable sur un ensemble d'intérieur vide de valeurs de $I$. Ce qui est le cas s'il s'agit d'un nombre fini ou dénombrable de valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas dérivable (ensembles d'intérieur vide dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle).
		\item En appliquant ce théorème à $-f$ nous obtiendrions un résultat analogue sur la décroissance.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Stricte monotonie.}

\begin{lemme}{- Dérivée nulle sur un ouvert.}
	
	Soient $(a,b)\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$, $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.
	
	\medskip
	Si \[ \forall x\in\ ]a,b[,\ f'(x)=0 \]
	alors $f$ est constante sur $[a,b]$.
	
\end{lemme}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Supposons que $f'$ est nulle sur $]a,b[$ et démontrons: $\forall (x,y)\in [a,b]^2,\ f(x)=f(y)$.}
	
	Soit $(x,y)\in [a,b]^2$.
	
	Supposons par exemple $x<y$.
	
	D'après le théorème des accroissements finis: \[ \exists c\in ]x,y[,\ f(x)-f(y)=(x-y)f'(c) \]
	
	Or  $f'(c)=0$ par hypothèse, donc \[ f(x)-f(y)=0 \]
	
	\begin{conclusion}
		Si $f'=0$ sur $]a,b[$ alors $f$ est constante sur $[a,b]$.
	\end{conclusion}
	
\end{preuve} 

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat se généralise par recollement à une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ non trivial et dérivable sur $\mathring{I}$ dont la dérivée s'annule sur $\mathring{I}$.
		
		\item Réciproquement, si $f$ est constante alors sa dérivée est nulle.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez pour tout réel $x$ non nul la valeur de $\arctan(x)+ \arctan\left( \frac{1}{x} \right)$.
	
\end{exercice}


\begin{exercicecorrection}
	
	$\varepsilon(x)\frac{\pi}{2}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{theoreme}{}
	
	Soit $I$ un intervalle non trivial de $\mathbb{R}$, $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$ et dérivable sur $\mathring{I}$.
	
	\medskip
	$f$ est strictement croissante si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\forall x\in \mathring{I},\ f'(x)\ge 0$
		\item $\left\{ x\in\mathring{I}\ |\ f'(x)=0 \right\}$ est d'intérieur vide.
	\end{enumerate}
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	{\color{orange}Démontrons le résultat par conditions nécessaire et suffisante.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Supposons $f$ strictement croissante et démontrons les points (i) et (ii).}
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item D'après le \hyperlink{derivation_monotonie}{théorème liant dérivation et monotonie} $f$ étant croissante sur $I$, $f'$ est positive sur $\mathring{I}$.
			
			\item {\color{orange}Démontrons que l'ensemble $J=\left\{ x\in\mathring{I}\ |\ f'(x)=0 \right\}$ est d'intérieur vide en raisonnant par l'absurde.}
			
			\medskip
			\objectif{Supposons que $J$ n'est pas d'intérieur vide et établissons une contradiction.}
			
			$J$ n'est pas d'intérieur vide signifie qu'il existe un ouvert (non vide) contenu dans $J$: \[ \exists (a,b)\in \mathbb{R}^2,\ \left\{ \begin{array}{l} a<b \\ ]a,b[ \subset J \end{array} \right. \]
			
			Donc \[ \forall x\in ]a,b[,\ f'(x)=0 \]
			
			et d'après le \hyperlink{derivee_nulle_ouvert}{lemme précédent} $f$ est donc constante sur $]a,b[$.
			
			Ceci contredit la stricte monotonie de $f$.
			
			\begin{conclusion}
				Nous avons démontré par l'absurde que, nécessairement, $J$ est d'intérieur vide.
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			Nous avons démontré que si $f$ est strictement croissante alors $f'\ge 0$ sur $\mathring{I}$ est $J$ et d'intérieur vide.
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Réciproquement supposons que $\mathring{J}=\emptyset$ et que $f'\ge 0$ sur $\mathring{I}$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après le précédent théorème nous savons que $f$ est croissante sur $I$.
			
			\item {\color{orange}Pour montrer la stricte croissance de $f$ raisonnons par l'absurde.}
			
			\medskip
			\objectif{Supposons que $f$ n'est pas strictement croissante et vérifions que cela conduit à une contradiction.}
			
			Si $f$ croissante mais pas strictement croissante sur $I$ alors \[ \exists (a,b)\in I,\ \left\{ \begin{array}{l} a< b \\ f(a)=f(b) \end{array} \right. \]
			Et puisque $f$ est croissante cela implique \[ \forall x\in [a,b],\ f(x)=f(a) \]
			
			Donc $f'=0$ sur $]a,b[$. Ainsi: $]a,b[\subset J$.
			
			Ceci contredit le fait que $J$ est d'intérieur vide.
			
			\begin{conclusion}
				Nous avons démontré par l'absurde que $f$ est strictement croissante sur $I$.
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En considérant $-f$ nous en déduisons un résultat similaire pour une fonction strictement décroissante.
		\item $f$ est croissante si et seulement si $f'$ est positive (ou nulle).
		\item Un cas particulier usuel: si $f'>0$ alors $f$ est strictement croissante.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Dérivées successives.}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez la dérivabilité et donnez la dérivée des fonctions dont l'expression algébrique est 
	\begin{tasks}(2)
		\task $x^x$,
		\task $\ln\left( x+ \sqrt{x^2+1} \right)$,
		\task $\ln\left| \ln(x) \right|$,
		\task $\arctan\left( \ln(x)\right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez la dérivabilité de $f$ en $0$ dans les cas suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$,
		\task $f(x)=x^2 \ln(x)$ et $f(0)=0$.
		\task $f(x)= \left\{ \begin{array}{l} x \ln(x) \text{ si } x>0\\ \mathrm{e}^x-1 \text{ si }x \leqslant 0 \end{array} \right.$
	\end{tasks}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	Donnez l'ensemble de dérivabilité et la dérivée de la fonction $f$ dans les cas suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x^2+1)}{\ln(x)}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{\sqrt{x}}}{x}$.
		\task $\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{\sqrt{x}}}$.
		\task $\displaystyle f(x)=\sin(2x^2-x+1)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		À PLACER APRÈS LE RÉSULTAT SUR $\sin /X$
		
	\end{notabene}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	Dites si la fonction $f$ est prolongeable par continuité et le cas échéant si son prolongement est dérivable en $0$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \exp\left( \frac{-1}{x^2} \right) \end{array} \right.$.
		\task $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \frac{\sin(x)}{x} \end{array} \right.$.
		\task $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x+x^3\sin\left( \frac{1}{x^2}\right) \end{array} \right.$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	Les fonctions proposées sont paires ou impaires inutile de regarder à droite et à gauche de $0$.
	
	\begin{tasks}
		\task $f(x) \underset{x \to 0}{\longrightarrow}0$. 
		
		$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{1}{x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}} \underset{x \to +}{\longrightarrow} 0$ car $x^a \underset{x \to +\infty}{=} o\left( b^x \right)$ avec $b>0$.
		
		Remarquons que le taux d'accroissement ne pouvait pas converger vers une autre valeur que $0$ en $0$ car la fonction est paire.
		
		\task Résultat de cours: $\frac{\sin(x)}{x} \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 1$.
		
		%Avec dl à l'ordre 3 en $0$.
		
		\task $f(x) \underset{x \to 0}{\longrightarrow} 0$.
		
		$\tau_f(0,x)\underset{x \to 0}{\longrightarrow} 2$.
		
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri IV
		
	\end{notabene}
	
	Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}_+$, on pose $P_{\lambda}(x) = x^3 + \lambda x - 1$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Montrez que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}_+$, le polynôme $P_{\lambda}$ a une unique racine réelle notée $u(\lambda)$.
		
		\item Montrez que l'application $u: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,+\infty[ & \rightarrow &  \mathbb{R} \\ \lambda & \mapsto & u(\lambda) \end{array} \right.$ est monotone et continue.
		
		\item Tracez le graphe de $u$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Montrez que la fonction $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{ll} x+1 & \text{si }x \in \mathbb{Q} \\ 3-x  & \text{si } x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{array} \right. \end{array} \right.$ n'est dérivable en aucun point de $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-1}{x}$ pour tout $x<-2$, $f(x)=\sqrt{x}$ pour tout $x>4$, $f(x)=ax+b$ pour tout $x \in[-2;4]$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les limites à droite et à gauche de la fonction en $-2$ et $4$.
		
		\item À quelles conditions sur $(a,b)$ la fonction $f$ est-elle continue?
		
		\item Dans ces conditions, la fonction $f$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	On pose pour tout $s \in [0;1[$, $f(s)=\dfrac{1}{(1-s)^2}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
		
		\item Déterminez l'équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathscr{C}$ représentative de $f$ au point d'abscisse $\frac{1}{2}$.
		
		\item Représentez sur une même figure $\Delta$ et $\mathscr{C}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	On pose $f:x \mapsto x\ln(x)-x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f(1)$ et $f(e)$.
		
		\item Calculez $\lim_{x \to 0} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty}f(x)$.
		
		\item Dressez le tableau de variation de $f$.
		
		\item Calculez l'équation de $\Delta$, tangente à la courbe $\mathscr{C}$ de $f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$.
		
		\item Représentez sur une même figure $\Delta$ et $\mathscr{C}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(1)=-1$ $f(\mathrm{e})=0$.
		
		\item $\lim_{x \to 0^+} f(x)=0$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
		
		\item 
		
		$f'(x)=\ln(x)$
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$0$ ,$1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ $0$, - / $-1$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item $\Delta:\ y=x$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Dressez le tableau de variation de la fonction $f:x \mapsto x-x^2$ définie sur $[0;1]$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $f: x\mapsto \dfrac{x^2+1}{2x-1}$ définie sur $\left]\frac{1}{2} , +\infty\right[$ et montrez qu'elle admet un minimum.
		
		\item Montrez que les domaine de définition de $f$ est stable par $f$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Montrez que pour tout $u \in \mathbb{R}_+^*$, $u \ln(u) \geqslant u-1$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Montrez que $-x-2x^2\leqslant \ln(1-x)\leqslant x$ pour tout $0<x\leqslant \frac{1}{2}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Montrez que pour tout $x \in [0;1]$, $\ln(1+x) \leqslant x-\frac{x^2}{4}$
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudiez les variations de $\varphi:y \mapsto \mathrm{e}^y-y$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Déduisez-en que cette fonction est minorée par $1$.
		
		\item Montrez que pour tout $y\in\mathbb{R}$ on a $\varphi(y) \leqslant \varphi(|y|)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Montrer que pour tout entier $k$ strictement positif, la fonction $f : x \mapsto x^k \ln(x)$ admet un minimum et calculer la valeur de ce minimum.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Boilley
		
	\end{notabene}
	
	Soient $u,v \in \mathbb{R}_+^*$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez les variations de $f: x \mapsto xu-v(\mathrm{e}^x-1)$.
		
		\item À quelles conditions cette fonction atteint-t-elle un maximum en un réel strictement positif?
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $f$ l'application définie par $f(t)=\frac{t^2+1}{4}$ si $t\in[0;1]$, constante sur $]-\infty,0]$ et sur $[1,+\infty[$.
	
	$f$ est-elle de classe $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		parties A et B du bac 1990 juin espagne
		 
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Espagne_C_juin_1990.pdf}
		
	\end{notabene}
	
	On considère pour $n$ entier naturel non nul la fonction numérique $f_n$ définie sur $[0 , +\infty[$ par \[ \left\{ \begin{array}{rcl} f_n(x) &=& x^n \left( \ln(x) \right)^2 ,\quad \text{si } x \in ]0,+\infty[\\ f_n(0) &= 0. \end{array} \right. \]
	
	On appelle $(\mathscr{C}_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal. \emph{Pour les représentations graphiques vous pourrez choisir $4\ \mathrm{cm}$ pour une unité.}
	
	Question préliminaire: montrez que $f_n$ est prolongeable par continuité en $0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question on choisit $n=1$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudiez la dérivabilité de $f_1$ en $0$.
			
			\item Établissez le tableau de variation de $f_1$.
			
			\item Construisez $\mathscr{C}_1$.
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item Écrire une équation cartésienne de la tangente à $(\mathscr{C}_1)$ en son point d’abscisse $x_0$ ($x_0$ réel
				strictement positif donné).
				
				\item Quelle relation $x_0$ doit-il vérifier pour que cette tangente passe par le point $A$ de coordonnées $(2;0)$?
				
			\end{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{enumerate}
				\item Établir le tableau de variations de la fonction numérique h définie sur $]0 ; +\infty[$ par
					$h(x) = 2 - x + \ln x$.
					
				\item Justifier que l’équation $h(x) = 0$ admet dans $]0 ;+\infty[$ deux solutions distinctes.
					
				\item Déduire des questions précédentes le nombre de tangentes, autres que l’axe des abscisses,
				à la courbe $(\mathscr{C}_1)$ issues du point $A(2;0)$?
				
				
			\end{enumerate}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Dans cette question $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudier, pour $n \geqslant 2$, la dérivabilité de $f_n$ en $0$.
			
			\item Établir, pour $n \geqslant 2$, le tableau de variations de $f_n$.
			
			\item Étudier, pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$, la position relative des courbes $(\mathscr{C}_n)$ et $(\mathscr{C}_{n+1})$.
			
			\item Construire la courbe $(\mathscr{C}_2)$ dans le même repère que $(\mathscr{C}_1)$ en précisant sa tangente au point $O$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_gr_V_DV_C_juin_1990.pdf}
		
	\end{notabene}

\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Baccalaureat_S_2000.pdf}
		
		Amérique du nord
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Considérons une fonction $f$ définie sur $[-5;5]$.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Dans un repère orthonormé dessinez les points $A(-3,-3)$, $B(0,4)$ et $C(4,4)$.
		
		\item Tracez les tangentes à $\mathscr{C}_f$ respectivement en $A$, $B$ et $C$ d'équations réduites respectives $d_A:\ y=2x+3$, $d_B:\ y=-\frac{1}{2}x+4$ et $d_C:\ y=-x+8$.
		
		\item Tracez à main levée une courbe représentative possible pour $f$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4:1] plot(\x,{2*\x+3});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$d_A$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{-0.5*\x+4});
		\draw[red] (3,2) node[fill=white] {$d_B$};
		\draw[violet, thick][samples=100,domain=3:5] plot(\x,{-\x+8});
		\draw[violet] (-3,-3) node[above left] {$A$};
		\draw[violet] (-3,-3) node {$\bullet$};
		\draw[violet] (0,4) node[above left] {$B$};
		\draw[violet] (0,4) node {$\bullet$};
		\draw[violet] (4,4) node[above left] {$C$};
		\draw[violet] (4,4) node {$\bullet$};
		%\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-5,-4)(-3,-3)(-2,3.5)(0,4)(2,3.5)(4,4)(5,2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		\url{https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Pondichery_C_mai_1991.pdf}
		
	\end{notabene}
	
	Soit la fonction $g$ définie sur $I = \left[ 2, \frac{5}{2} \right]$ par: $g (x) = \ln(x + 1) + 1$.
	
	Nous admettrons que $g$ admet un unique point fixe $\alpha$ appartenant à $I$, autrement dit $g(\alpha)=\alpha$.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que $I$ est stable par $g$ (c'est-à-dire que pour tout élément $x$ de $I$, $g(x)$ appartient à $I$).
			
			\item Montrez que pour tout élément $x$ de $I$: $0\leqslant g'(x) \leqslant \frac{1}{3}$.
			
			\item Déduisez-en que pour tout élément $x$ de $I$, $|g(x)-\alpha | \leqslant \frac{1}{3} |x-\alpha|$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $(u_n)_{n \geqslant 0}$ la suite définie par $u_0=2$ et pour tout $n\geqslant 0$, $u_{n+1}=g(u_n)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Établissez que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $|u_n-\alpha|\leqslant \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n$.
			
			\emph{Le $\frac{1}{2}$ correspond à la valeur maximale de $|x-\alpha|$.}
			
			\item Déduisez-en la limite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}