%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Fonctions de référence.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
%\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Fonctions de référence.}

\begin{notabene}
	
	Dans cette leçon tout faire à partir de la représentation graphique sans démontrer.
	
\end{notabene}

\subsection{La notion de fonction.}

\subsubsection{Des liens.}

\begin{notabene}
	
	Un diagramme patate avec 
	\begin{itemize}
		
		\item ensemble d'arrivée 
		
		\item ensemble de départ
		
		\item situation pas d'image
		
		\item situation pas d'antécédents
		
	\end{itemize}
	
	Introduction du vocabulaire: antécédents, images, ensemble de départ, ensemble d'arrivée, ensemble de définition ou domaine de définition.
	
	Un diagramme contre-exemple.
	
	Du coup survol rapide la suite.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Une fonction $f$ indique des liens entre des nombres. Par exemple pour indiquer que $f$ relie le nombre $\color{blue}2$ au nombre $\color{green}3$ nous écrirons: \[ f({\color{blue}2})={\color{green}3}. \] 
	
	Nous dirons alors que $\color{blue}2$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $\color{green}3$ par $f$.
	
	Nous dirons aussi que $\color{green}3$ est \emph{\color{purple}l'image} de $\color{blue}2$ par $f$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soit $\mathscr{D}$ un ensemble de nombres. 
	
	\medskip
	On définit une \emph{\color{purple}fonction $f$ sur $\mathscr{D}$} en associant à chaque nombre $x$ appartenant à $\mathscr{D}$ \underline{un seul} nombre $y$, noté $f(x)$.
	
	\smallskip
	Nous dirons que $f$ est une fonction de la \emph{\color{purple}variable} $x$.
	
	\smallskip
	Nous dirons que $\mathscr{D}$ est \emph{\color{purple}l'ensemble de définition} de $f$.
	
\end{definition}

\begin{lecon}
	
	\begin{notabene}
		
		Ne pas présenter cette notation aux "élèves l'introduire dans les exemples des fonctions de références.
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Il existe une notation schématique qui regroupe toutes les informations de la définition.
	
	
	\begin{flushleft}
		\begin{tikzpicture}
		\node[rounded corners=3pt,color=purple, text centered,text width=3.5cm](A)at(0,0){\[ f:\left\{\begin{array}{rcl} \mathscr{D}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x &\mapsto & y\\ \end{array} \right.\]
			~
		};
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=8cm](B)at(0,2){$\mathscr{D}$ est \emph{\color{purple}l'ensemble} (ou \emph{\color{purple}domaine}) \emph{\color{purple}de définition} de $f$. $\mathscr{D}$ est l'ensemble des nombres auxquels un nombre est associé par $f$. On dit que $f$ est définie sur $\mathscr{D}$.};
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](C)at(-3,-2){$x$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $y$ par $f$. };
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](D)at(4,-2){$y$ est \emph{\color{purple}l'image} de $x$ par $f$. On le note $f(x)$ et on lit \og $f$ de $x$\fg .};
		\node[rounded corners=3pt,fill=gray!35, text centered,text width=5cm](E)at(5,0){Cette présentation se lit: \og la fonction $f$, définie sur $\mathscr{D}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, et qui à $x$ associe $y$\fg .};
		\draw(A)--(B);
		\draw(A)--(C);
		\draw(A)--(D);
		\draw(A)--(E);
		\end{tikzpicture}
	\end{flushleft}
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Les notations $f:x \mapsto f(x)$ ou $f$ et le nombre $f(x)$ en insistant sur les notations des nombres et des fonctions. En mathématique toujours prudent avec les manipulations d'infini car les résultats sont très surprenants: somme infini de $0$ pas égale à $0$ aires de segments donnent un rectangle.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire des exemples avec des représentations sagittales, qui a la longueur d'un côté associe l'aire du rectangle, qui a un nombre de  points associe le nombre d'arêtes du graphe, .
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Soient $ABCD$ un rectangle tel que $AB=8$ et $BC=x$. L'aire du rectangle est fonction de la longueur de $BC$. E notant $f$ cette aire: $f: x \mapsto 8x$.
		
		\item En associant à chaque $a\in \mathbb{R}$ l'unique solution de l'équation $3x-a=0$ on définie une fonction de la variable $a$.
		
		\item En associant à $a\in\mathbb{R}$ une solution de l'équation $9x^2-a^2=0$ nous ne définissons pas une fonction puisque $a$ peut être associé à plusieurs valeurs.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La première ligne ($\mathscr{D}$ et $\mathbb{R}$) est celle des ensembles, la seconde ($x$ et $y$) celle des variables. 
		
		\item La première colonne ($\mathscr{D}$ et $x$) correspond à l'axe des abscisses, la seconde ($\mathbb{R}$ et $y=f(x)$) à celui des ordonnées.
		
		\item Le préfixe \og anté- \fg{} signifie avant (latin).
		\item \og un\fg{} antécédent car il peut y en avoir plusieurs.
		
		\item \og l'\fg{}image car (par construction) il ne peut y en avoir qu'une.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\subsubsection{Représenter des liens par une formule de calcul ou un procédé implicite.}

\begin{lecon}
	
	Très souvent les liens entre les nombres seront représentés par des calculs. Par exemple nous écrirons \[ f:{\color{blue}x} \mapsto {\color{green} 2x-1}, \] et nous lirons \og {\color{purple}la fonction $f$ qui à $x$ associe} $2x-1$\fg{}, pour indiquer qu'à chaque nombre $\color{blue}x$ choisi nous associerons le résultat du calcul ${\color{green} 2x-1}$.
	
	\medskip
	Ce lien que vous avez déjà rencontré au collège défini une fonction affine.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Exemples détaillés en donnant des images des antécédents. En donnant les ensemble de définition.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les fonctions {\color{purple}affines}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}ax+b} \end{array} \right.\] où $a,b \in \mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions {\color{purple}linéaires}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}ax} \end{array} \right.\] où $a \in \mathbb{R}$.
		
		\item Les fonctions {\color{purple}constantes}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}b} \end{array} \right.\] où $b \in \mathbb{R}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}carré}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}x^2} \end{array} \right.\]
		
		\item La fonction {\color{purple}cube}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}x^3} \end{array} \right.\]
		
		\item La fonction {\color{purple}inverse}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}* & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\frac{1}{x}} \end{array} \right.\] où $\mathbb{R}^*= ]-\infty . 0[ \cup ]0;+\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{ O \}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}racine carrée}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\sqrt{x}} \end{array} \right.\] où $\mathbb{R}_+=[0;+\infty[$. Il s'agit d'une définition non explicite.
		
		\begin{notabene}
			
			Définition avec une phrase définissant la racine carré. Pas de formule calculatoire. Nous ne connaissons pas de procédé de calcul de ces valeurs mais seulement les algorithme , des programmes qui permettent d'obtenir des valeurs approchées aussi précisent que possibles. Nous étudierons certains qui permettent d'obtenir $\sqrt{2}$.
			
		\end{notabene}
				
		\item La fonction {\color{purple}racine cubique}.
		
		\[ f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\sqrt[3]{x}} \end{array} \right.\] 
		
		Il s'agit d'une définition non explicite.
			
		\item La fonction {\color{purple}exponentielle}.
		
		\[ \exp :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\mathrm{e}^(x)} \end{array} \right.\]
		
		Là encore, en terminale cette fonction fût définie comme une solution d'une équation différentielle.
		
		\item La fonction {\color{purple}logarithme népérien}.
		
		\[ \ln :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\ln(x)} \end{array} \right.\]
		
		Cette fonction vous a été présentée comme la réciproque de la fonction exponentielle: c'est une définition implicite.
		
		\item La fonction {\color{purple}sinus}.
		
		\[ \sin :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\sin(x)} \end{array} \right.\]
		
		Le procédé de construction vu au lycée ne permet pas de déterminer des images hormis les valeur remarquables.
		
		\item La fonction {\color{purple}cosinus}.
		
		\[ \cos :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple}\cos(x)} \end{array} \right.\]
		
		\item La fonction {\color{purple}tangente}.
		
		\[ \tan :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr{D}_{\tan} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{array} \right.\]
		
		où $\mathscr{D}_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \left. \frac{\pi}{2} + k \pi \right| k\in \mathbb{Z} \right\}$.
		
		\item La fonction {\color{purple}valeur absolue}.
		
		\[ f :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & {\color{purple} |x|} \end{array} \right.\].
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Si, pour les modélisations en sciences expérimentales (physique, chimie, biologie, géologie, économie,...), les fonctions constantes et linéaires correspondent à des modélisations spécifiques, pour l'étude mathématique, elles ne sont que des cas particuliers de fonctions affines.
		
		\item Pour la fonction racine carrée nous n'avons pas réellement une formule. Nous ne connaissons que les racines carrées des carrés parfaits ($0$, $1$, $4$, $9$, $16$, ...). L'utilisation du symbole $\sqrt{}$ n'indique pas un procédé de calcul pour obtenir ne serait-ce qu'une valeur approchée de la valeur désirée.
		
		Il s'agit, hormis pour les carrés parfaits, d'un procédé de définition implicite: la racine carrée est l'antécédent positif par la fonction carrée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Tableau de valeurs.}

\begin{lecon}
	
	Il est possible de représenter les nombres reliés par une fonction en les plaçant en vis-à-vis dans un tableau.
	
	Par exemple, en utilisant la fonction affine précédente, nous voyons: \[ f({\color{blue}-1}) = {\color{green}2 \times (-1) -1} = {\color{green}-3}. \]
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$\color{blue}x$ & $\color{blue}-1$ & $\color{blue}0$ &$\color{blue}1$ &$\color{blue}2$ & $\color{blue}3$
			\\
			\hline
			$\color{green}f(x)$ & $\color{green}-3$ & $\color{green}-1$ & $\color{green}1$ & $\color{green}3$ & $\color{green}5$ 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsection{Graphe et représentation graphique.}

\begin{notabene}
	
	Un lien entre l'algèbre, l'analyse et la géométrie.
	
	Travailler avec les fonctions de référence. Tableau de valeurs. Faire les calculs à la main.
	
	Donner les noms des courbes qui apparaissent.
	
\end{notabene}


\begin{notabene}
	
	Faire aparaître le lien graphique entre les fonctions et leur réciproque avec géogébra.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}$ un ensemble de nombres,
		\item $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr{D} & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f(x) \end{array} \right.$ une fonction.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le \emph{\color{purple}graphe de $f$}, que nous noterons souvent $\color{purple}\mathscr{C}_f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x;f(x))$ lorsque $x$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathscr{D}$.
	
	\medskip
	La \emph{\color{purple}courbe représentative de $f$} le dessin obtenu en représentant les points du graphe $\mathscr{C}_f$ dans un certain repère.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe (pas le dessin mais l'ensemble des couples $(x;f(x))$) est le point de vue retenu pour la définition générale d'une fonction.
		
		\item 
		Comme $f(x)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $x$ nous dirons aussi que $\mathscr{C}_f$ est la \emph{\color{purple}courbe d'équation $y=f(x)$}.
		
		\item Le graphe de la fonction est un objet mathématique très rigoureux et précis alors que la représentation graphique est un schéma, certes très parlant, mais peu rigoureux. La représentation graphique est souvent importante pour donner du sens, éclairer nos travaux et recherches.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{notabene}
		
		Tracer les courbes représentatives des fonctions de références en se limitant à la partie de l'ensemble de définition incluse dans $[-2;2]$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Fonction affine. La courbe est une \emph{\color{purple}droite} (nous le démontrerons après avoir défini proprement les droites).
		
		\item Fonction carré. La courbe est une \emph{\color{purple}parabole}.
		
		\item Fonction Cube.
		
		\item Fonction Inverse. La courbe est une \emph{\color{purple}hyperbole}.
		
		\item Fonction racine carrée. La courbe est une branche de parabole.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Parité.}

\subsubsection{Définition algébrique.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}_f$ un ensemble de réels symétrique par rapport à $0$, autrement dit si $x\in \mathscr{D}_f$, alors $-x \in \mathscr{D}_f$,
		
		\item $f: \mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $\mathscr{D}_f$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}paire} si et seulement si, quelque soit $x \in \mathscr{D}_f$, \[ f(-x)=f(x). \]
	
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}impaire} si et seulement si, quelque soit $x \in \mathscr{D}_f$, \[ f(-x)=-f(x). \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les fonctions de référence est paire la fonction carré et sont impaires les fonctions cube et inverse. La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire.
		
		\item La fonction $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & 2x-3 \end{array} \right.$ n'est ni paire ni impaire.
		
		\item $f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x+ \frac{1}{x} \end{array} \right.$ est une fonction impaire.
		
		\item Les fonctions puissances $x \mapsto x^n$, avec $n\in\mathbb{N}$ sont paires si $n$ est pair et impaires sinon.
		\item Fonction carré.
		
		\begin{notabene}
			
			Pour avoir un exemple de fonction paires symétrie axiale.
			
		\end{notabene}
		
		\item Fonction cube.
		
		\begin{notabene}
			
			Pour avoir un exemple de fonction impaire, symétrie centrale.
			
		\end{notabene}
		
		\item Fonction racine carrée.
		
		\begin{notabene}
			
			Pour avoir un exemple de fonction non symétrique car son ensemble de définition lui-même n'est pas symétrique.
			
		\end{notabene}
		
		\item Fonction inverse.
		
		\begin{notabene}
			
			Pour avoir un exemple d'ensemble de définition symétrique étrange.
			
		\end{notabene}
		
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Interprétation géométrique.}

\begin{notabene}
	
	Si nous sommes partis du dessin pour trouver la définition algébrique, le fait que notre définition est algébrique est qu'il faut démontrer qu'effectivement alors il y a des symétries sur les courbes représentatives.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}_f$ un ensemble de réels symétrique par rapport à $0$,
		
		\item $f: \mathscr{D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction (définie sur $\mathscr{D}_f$),
		
		\item $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $\left( O,I,J \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f$ est paire si et seulement si sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
		
		\item 
		$f$ est impaire si et seulement si sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, présente une symétrie par rapport à l'origine du repère.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Pour simplifier la démonstration nous supposerons que le repère est orthonormé.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Démontrons l'implication directe: supposons que $f$ est paire et démontrons qu'alors, forcément, $\mathscr{C}_f$ présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
			
			\begin{notabene}
				
				Quels sont les outils qui vont permettre de faire du lien entre la géométrie et l'analyse? Les outils de géométrie repérée.
				
			\end{notabene}
			
			Soit $x \in \mathscr{D}_f$.
			
			Par définition de la courbe représentative: $P\left( x , f(x) \right) \in \mathscr{C}_f$ et $P'\left(-x,f(-x)\right) \in \mathscr{C}_f$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Montrons que le milieu $M$ de $[PP']$ est sur l'axe des ordonnées.
				
				\begin{align*}
				x_M &= \frac{x_P+x_{P'}}{2}\\
				&= \frac{x+(-x)}{2}\\
				&= 0
				\end{align*}
				
				Donc $M$ appartient à l'axe des ordonnées.
				
				\item Montrons que que l'origine du repère appartient à la médiatrice de $[PP']$.
				
				Le repère étant orthonormé:
				
				\begin{align*}
				OP &= \sqrt{(x_P-x_O)^2+(y_P-y_O)^2}\\
				&= \sqrt{(x-0)^2+(f(x)-0)^2}\\
				&= \sqrt{x^2+f(x)^2}
				\end{align*}
				
				De même:
				
				\begin{align*}
				OP' &= \sqrt{(x_{P'}-x_O)^2+(y_{P'}-y_O)^2}\\
				&= \sqrt{(x-0)^2+(f(-x)-0)^2}\\
				\intertext{$f$ étant paire $f(-x)=f(x)$ donc}
				OP' &= \sqrt{x^2+f(x)^2}
				\end{align*}
				
				Ainsi $OM=OM'$. Autrement dit $O$ appartient à la médiatrice de $[PP']$.
				
			\end{enumerate}
			
			Si $M$ et $O$ sont deux points distincts alors $(OM)$ est la médiatrice de $[PP']$ (sinon $P$ et $P'$ sont bien symétriques puisque appartenant à l'axe des abscisses). Mais comme $O$ et $M$ sont sur l'axe des ordonnées cela signifie que l'axe des ordonnées est la médiatrice de $[PP']$.
			
			Autrement dit: $P$ est symétrique de $P'$ par rapport à l'axe des ordonnées.
			
			\medskip
			Le raisonnement étant valable pour tous points $P$ et $P'$ nous avons démontré que la courbe toute entière est symétrique.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $f$ est paire alors $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Tableau de variation.}

\subsubsection{Origine géométrique.}

\begin{notabene}
	
	Présenter sur la courbe représentative de la fonction cube la notion de croissance. Et en fait dire qu'il ne s'agit pas de la fonction cube et zoomer et ses rendre compte qu'il y a d'autre variation.
	
	Présenter une sinusoïde pour montre le côté il peut y avoir plein de variation et il faudra décrie en précisant les intervalles.
	
\end{notabene}

\begin{correction}
		
	\begin{notabene}
		
		Pour la classe faire avec la calculatrice et des schémas au tableau.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{7};
		\def\yZ{6};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Quantité produite (tonne)};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Bénéfice (milliers d'euros)};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(sqrt(4*\x+0.5)});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Lorsque nous voyons que la courbe représentative d'une fonction $f$ monte cela traduit le fait que la quantité $f(x)$ augmente à mesure que $x$ augmente. Ci-dessus le bénéfice augmente à mesure que la quantité produite augmente.
	
	\newpage
	Regardons ce qu'il se passe dans une situation purement mathématique.Nous allons essayer comme d'habitude d'étudier le géométrique (la courbe monte) en en donnant une interprétation avec des coordonnées.
	
	On a dessiné ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g:x \mapsto (x-0,001)^2(x+0,001)$
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-8};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
		\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\newpage
	Nous voyons que la courbe monte. Cela traduit bien le fait que les $f(x)$ augmente à mesure que les $x$ augmentent.
	
	Par exemple si les $x$ passent d'une valeur $x_1$ à une plus grande valeur $x_2$ on constate qu'on est passé d'une image $f(x_1)$ à une plus grande image $f(x_2)$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-8};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
		\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
		\draw [red] (-1.5,0.5) node {$x_1$};
		\draw [violet, dashed] (0,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
		\draw [violet] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$f(x_1)$};
		\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
		\draw [red] (1.2,-0.5) node {$x_2$};
		\draw [violet, dashed] (0,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
		\draw [violet] (-0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$f(x_2)$};
		\draw [red, very thick, >=latex,->] (-1,-0.5) -- (0.9,-0.5);
		\draw [violet, very thick, >=latex,->] (0.5,{(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)+0.5}) -- (0.5,{(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)-0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\newpage
	Alors que si la courbe descend, lorsque les $x$ augment les images $f(x)$ diminuent:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-8};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:2] plot(\x,{-(\x-0.001)*(\x-0.001)*(\x+0.001)});
		\draw[blue] (1.25,-6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\draw [red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
		\draw [red] (-1.5,-0.5) node {$x_1$};
		\draw [violet, dashed] (0,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) -- (-1.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)});
		\draw [violet] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)}) node {$f(x_1)$};
		\draw [red, dashed] (1.2,0) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
		\draw [red] (1.2,0.5) node {$x_2$};
		\draw [violet, dashed] (0,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) -- (1.2,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)});
		\draw [violet] (-0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)}) node {$f(x_2)$};
		\draw [red, very thick, >=latex,->] (-1,0.5) -- (0.9,0.5);
		\draw [violet, very thick, >=latex,->] (0.5,{-(-1.5-0.001)*(-1.5-0.001)*(-1.5+0.001)-0.5}) -- (0.5,{-(1.2-0.001)*(1.2-0.001)*(1.2+0.001)+0.5});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\newpage
	Pourquoi aller regarder ce qui ce passe pour les $x$ et les $f(x)$? Pourquoi ne pas se contenter de la représentation graphique pour dire si ça augmente ou diminue?
	
	Parce que nous ne pouvons nous fier à nos sens. Agrandissons la courbe représentative au voisinage de $0$.
	
	\begin{notabene}
		
		À aire avec Géogébra szoomer à la roulette jusqu'à obtenir l'intervalle $[-0,002;0,002]$ puis tirer à la souris sur l'axe de ordonnées pour continuer à zooer sur l'axe des ordonnées.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-8};
		\def\xZ{2};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.8:2] plot(\x,{(\x-1)*(\x-1)*(\x+1)});
		\draw[blue] (1.25,6) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous avons besoin d'un outil qui ne peut se tromper: une définition analytique des variations d'une fonction.
	
\end{correction}

\subsubsection{Définition.}

\begin{notabene}
	
	Vraie définition mais simple constat que ça fonctionne.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $\mathscr{D}_f \subset \mathbb{R}$ un ensemble,
		
		\item $E \subset \mathscr{D}_f$ un ensemble,
		
		\item $f: \mathscr {D}_f \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}croissante sur} $E$ lorsque, quels que soient $x_1$ et $x_2$ choisis dans $E$, si $x_1<x_2$ alors, forcément, $f(x_1)\leqslant f(x_2)$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Regarder le paragraphe suivant pour des exemples graphiques de fonctions avec divers sens de variation.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous pouvons définir de même:
		
		\begin{enumerate}
			\item $f$ est \emph{croissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)\leqslant f(\beta)$.
			
			\item $f$ est \emph{strictement décroissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)> f(\beta)$.
			
			\item $f$ est \emph{décroissante} ssi dès lors que $\alpha <  \beta$ alors forcément $f(\alpha)\geqslant f(\beta)$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Nous retiendrons que \emph{\color{purple}les fonctions croissantes conservent l'ordre tandis que les fonctions décroissantes ne conservent pas l'ordre}.
		
		\item C'est une définition complexe. Il faut comprendre l'idée correspondante: dire que $f$ est \emph{\color{purple}croissante} c'est dire que \emph{\color{purple}quand les $x$ augmentent les $f(x)$ augmentent aussi}. Il faut commencer à se familiariser avec l'aspect technique.
		
		\item Une fonction qui est croissante ou décroissante sur tout son ensemble de définition est dite \emph{\color{purple}monotone}. Il existe des fonctions qui ne sont pas monotone.
		
		\begin{notabene}
			
			\item Permet de trouver de nouvelles inéquations mais pas d'équivalences.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{notabene}
	
	Des exemples graphiques dans ce qui suit.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Décrire les variations à partir d'une représentation graphique.}

\begin{notabene}
	
	Le prgramme impose de parti de la réprésentation graphique à la calculatrice.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les \emph{\color{purple}fonctions monotones} sont les fonctions dont le sens de variation ne varie pas.
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{6cm}|m{6cm}}
		\hline \\
		Fonction \emph{\color{purple}croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-6};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick](-3,-5)--(-1,1)--(1,1)--(3,3);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement croissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-6};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline \end{tabular}
	
	
	\noindent \begin{tabular}{m{6cm}|m{6cm}}
		\hline \\
		
		Fonction \emph{\color{purple}décroissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-6};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick](-3,4)--(-1,4)--(1,1)--(3,-4);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Fonction \emph{\color{purple}strictement décroissante}.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-6};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=50,domain=-3:3] plot(\x,{-0.1*((\x+4) ^2-4)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\\ \hline 
	\end{tabular}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Une fonction n'est pas monotone lorsqu'elle est tantôt croissante tantôt décroissante. Dans ce cas il faut préciser sur quelles parties elle est croissante ou décroissante.
	
	\begin{notabene}
		
		Lorsque $x$ augmente de $-3$ à $-2$, $f(x)$ diminue de $5$ à $1$. Ce que nous traduirons en disant:
		
	\end{notabene}
	
	\noindent \begin{tabular}{m{4cm}m{0.5cm}m{6cm}}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\def\xY{-3};
			\def\yY{-1.5};
			\def\xZ{3};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left](0,0){\small $O$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
			\draw[blue, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
			\draw[blue, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
			\draw[blue, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
			\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{blue}$\mathcal{C}_f$};
			\draw[blue] (3,0) node{$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		&&
		
		Nous dirons que:\newline
		$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2]$,\newline
		$f$ est constante sur $[-2;-1]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$,\newline
		$f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$,\newline
		$f$ est strictement croissante sur $[2;3]$.
		
		\\ \end{tabular}
	
	La courbe fait également apparaître des \emph{\color{purple}sommet} (points haut ou bas de la courbe). Nous dirons que, par exemple, \emph{\color{purple}$f$ admet un minimum (absolu) égale à $-1$ qui est atteint pour $x=2$}. Ou encore que \emph{\color{purple}$f$ admet un maximum local sur $[-2;3]$ qui est égale à $3$ et qui est atteint en $x=0$}.
	
	
\end{lecon}

\subsubsection{Schématisation avec le tableau de variation.}

\begin{lecon}
	
	Nous schématiserons la courbe représentative de la fonction par un \emph{\color{purple}tableau de variation}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\xY{-3};
		\def\yY{-1.5};
		\def\xZ{3};
		\def\yZ{5.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,very thick,violet] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick,orange] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left](0,0){\small $O$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize $I$};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  $J$};
		\draw[blue, thick](-3,5)--(-2,1)--(-1,1)--(0,3);
		\draw[blue, thick][samples=50,domain=0:2] plot(\x,{-\x^2+3});
		\draw[blue, thick][samples=50,domain=2:3] plot(\x,{(\x-2) ^2-1});
		\draw(1.5,4)node[fill=white]{\color{blue}$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tikzpicture}	
		\tkzTabInit[lgt=2, deltacl=0.5, espcl=1.6, color, colorV=violet!50, colorL=violet!50, colorC=orange!50, colorT=orange!50]{$x$ /1, $f$ /2}
		{$-\infty$, $-2$, $-1$, $0$, $2$, $3$}
		\tkzTabVar{+/ /, -/ $1$ / , -/ $1$, + / $3$, -/ $-1$, +/ $0$ /}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Tableau de variations de la fonction carrée:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/0.8,$x \mapsto x^2$/1.6}{$-\infty$ , $0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\begin{preuve}
			
			\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty [$.}
			
			Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $[0\ ;\ +\infty [$ tels que: $x_1<x_2$.
			
			D'une part:
			
			$$x_1^2\le x_2\times x_1\text{, car } x_1\ge 0$$
			
			et d'autre part:
			
			$$x_1x_2<  x_2^2\text{, car } x_2 x_2>x_1\ge 0$$
			
			On en déduit: 
			
			$$x_1^2\le x_1x_2<x_2^2$$
			
			et donc $x_1^2 <x_2^2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Montrons que la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\ 0]$.}
			
			Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres quelconques dans $]-\infty \ ;\ 0]$ tels que: $x_1<x_2$.
			
			D'une part:
			
			$$x_1^2\trous[0.5cm]{> }x_2\times x_1\text{, car } x_1\trous[1cm]{x_1<x_2 \le 0}$$
			
			et d'autre part:
			
			$$x_1x_2\trous[0.5cm]{\ge } x_2^2\text{, car } x_2 \trous[1cm]{x_2\le 0}$$
			
			On en déduit: 
			
			$$x_2^2\le \trous[2cm]{x_1x_2}<x_1^2$$
			
			et donc $x_2^2 \trous[0.5cm]{<}x_1^2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontrés que la fonction carrée est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{preuve}
		
		
		\item Tableau de variations de la fonction inverse:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \frac{1}{x}$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ , -D+ / , - /  }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\begin{preuve}{}
			
			Nous allons démontrer trois choses: la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$, sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas sur $\mathbb{R}$.
			
			\begin{enumerate}
				\item Soient $x_1,x_2 \in \mathbb{R}_-^*$ tels que $x_1<x_2$.
				
				Donc
				
				\begin{align*}
				\frac{x_1}{x_2} &> \frac{x_2}{x_2} \quad \text{car }x_2<0\\
				\frac{x_1}{x_2} &> 1\\
				\frac{1}{x_1} \times \frac{x_1}{x_2} &< \frac{1}{x_1} \times 1 \quad \text{car } \frac{1}{x_1}<0\\
				\frac{1}{x_2} &< \frac{1}{x_1}
				\end{align*}
				
				Donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Idem pour $\mathbb{R}_+^*$.
				
				\item 
				
				\begin{notabene}
					
					Introduire le contre-exemple sur un graphique.
					
				\end{notabene}
				
				$-2<2$ et pourtant $-\frac{1}{2}< \frac{1}{2}$ donc la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{preuve}
		
		\item Tableau de variations de la fonction cube:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto x^3$ /1.6}
			{$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {- / $0$, + /  }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\begin{preuve}{}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item \objectif{Démontrons que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.}
				
				Nous allons utiliser une identité remarquable qui vous est encore inconnue: \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). \]
				
				\medskip
				Soient $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $x_h1 < x_2$.
				
				Démontrons que $x_1^3 < x_2^3$.
				
				Ou plutôt, ce qui revient au même démontrons que $x_2^3-x_1^3>0$.
				
				Pour étudier le signe d'une expression il vaut mieux qu'elle soit factorisée.
				
				\begin{align*}
				x_2^3-x_1^3 &= (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)
				\end{align*}
				
				D'une part, par hypothèse, \[ x_2-x_1>0. \]
				
				D'autre part, puisque $0 \leqslant x_1<x_2$: $x_1\geqslant 0$, $x_1x_2\geqslant 0$ et $x_2^2>0$ donc \[ x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0. \]
				
				Donc: \[ (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2 + x_2^3)>0. \]
				
				Ainsi, si $0\leqslant x_1<x_2$ alors $x_1^3<x_2^3$.
				
				Autrement dit
				
				\begin{conclusion}
					
					la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item La fonction cube étant impaire nous en déduisons par symétrie, que la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}_-$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{preuve}
		
		\item Tableau de variations de la fonction racine carrée:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $x \mapsto \sqrt{x}$ /1.6}
			{$0$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {- / $0$, + /  }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item Tableau de variation de la fonction racine cubique.
		
		\item Tableau de variation de la fonction exponentielle.
		
		\item Tableau de variation de la fonction logarithme népérien.
		
		\item Tableau de variation de la fonction sinus.
		
		\item Tableau de variation de la fonction cosinus.
		
		\item Tableau de variation de la fonction tangente.
		
		\item Tableau de variation de la fonction valeur absolue.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans un tableau de variation apparaissent bien sûr les variations mais aussi les \emph{\color{purple}extremum} (\emph{\color{purple}minimum} ou \emph{\color{purple}maximum}, \emph{\color{purple}absolu} ou \emph{\color{purple}local}).
		\item Les valeurs dans un tableau de variation sont toutes exactes. Pas de valeur approchée.
		\item Il est possible de décrire les variations de la fonction à partir du tableau de variation sans connaître la courbe représentative.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Variation des fonctions affines.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		
		\item $f$ la fonction affine définie par: $f(x)= ax+b$ quelque soient $x\in\mathbb{R}$
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Si $a<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\color{red}$\varheartsuit$}
	
	Si $a=0$ la fonction est évidemment constante.
	
	\medskip
	Démontrons l'un des deux cas l'autre se traitant de la même façon. Supposons par exemple que $a<0$. 
	
	Il faut démontrer que $f$ est strictement décroissante. {\color{orange}D'après la définition de la monotonie, il faut donc montrer que quels que soient les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$.}
	
	\medskip
	Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha<\beta$. Cette inégalité est successivement équivalente à:
	
	\begin{align*}
	a\alpha &>ax\beta \text{ car $a<0$} \\
	a\alpha+b &> a\beta+b \\
	f(\alpha) &> f(\beta)
	\end{align*}
	
	On a donc démontrer que si $\alpha < \beta$ alors $f(\alpha)>f(\beta)$. Autrement dit $f$ est strictement décroissante.
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Étudions les variations de la fonction $h$, définie par $h(x)=-12x+3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
		
		$h$ est une fonction affine avec $a=-12$ et $b=3$. Comme $a<0$, $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Nous ne pouvons rien dire pour $x\mapsto 2x^2-3x+1$ car ce n'est pas une fonction affine.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\subsection{Périodicité.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}$,
		
		\item $f: \mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que la fonction $f$ est \emph{\color{purple}périodique} s'il existe un nombre $T\in\mathbb{R}^*$ tel que, quelque soit $x \in \mathscr{D}$, on a $x+T\in\mathscr{D}$ et dans ce cas $f(x+T)=f(x)$.
	
	Si $f$ est périodique $T$ est appelé \emph{\color{purple}une période}.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Du pont de vue géométrique son graphe est invariant par translation. Un même motif se répète indéfiniment pour la courbe représentative de $f$.
		
		\item $t$ est une période est non la période.
		
		\item Si $T$ est une période de $f$ nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}$T$-périodique}.
		
		\item Les fonctions continues admettent une plus petite période.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			$\sin$ et $\cos$ avec diverses périodes.
			
		\end{notabene}
		
		\item La fonction tangente.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			Des fonctions affines par morceaux.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Fonctions majorées, minorées, bornées.}
\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $\mathscr{D}\subset \mathbb{R}$,
		
		\item $f: \mathscr{D} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est 
	
	\begin{enumerate}[i]
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}