%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Matrices.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Matrices.}

\subsection{Matrice et application associée.}

\begin{notabene}
	
	Matrice réelle comme tableau de nombre: vocabulaire, diverses tailles.
	
	Application associée: $(x_i) \mapsto \sum_j A_{ij} x_j$. On montre qu'elle est linéaire. Toute application linéaire est associée à une matrice.
	
	
\end{notabene}

\subsubsection{Définition.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $(A_{ij})_{\begin{subarray}{c} 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant m \end{subarray}}$ un élément de $\mathbb{R}^{nm}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}matrice} à \emph{\color{purple}$n$ lignes} et \emph{\color{purple}$m$ colonnes} le tableau de nombres réels suivant \[ A= \begin{pmatrix}
	A_{11} & A_{12} & A_{13} & \dots & A_{1m}
	\\
	A_{21} & A_{22} & A_{23} & \dots & A_{2m}
	\\
	A_{31} & A_{32} & A_{33} & \dots & A_{3m}
	\\
	\vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots 
	\\
	A_{n1} & A_{n2} & A_{n3} & \dots & A_{nm}
	\end{pmatrix}. \]
	
	$A_{23}$ est le \emph{\color{purple}coefficient} (ou le terme) de $A$ d'indice $(i,j)$.
	
	L'ensemble des matrices à coefficients réels de $n$ lignes et $p$ colonnes est noté $\color{purple} \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	
	Si $n=m$ alors nous dirons que la matrice est \emph{\color{purple}carrée} de taille $n$. L'ensemble des matrices réelles carrées de taille $n$ est noté $\color{purple}\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la matrice: \[ M= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}. \]
		
		Décrivons $M$.
		
		\item Nous noterons $0_{n,m}$ (et si la situation est claire juste $0$) et nous appellerons \emph{\color{purple}matrice nulle} la matrice de taille $n \times m$ dont tous les coefficients sont nuls.
		
		\item Une matrice de $\mathscr{M}_{n,1}$ comme $\begin{pmatrix} -4 \\ 5\\ 1 \end{pmatrix}$ est appelée une \emph{\color{purple}matrice colonne} ou un \emph{\color{purple}vecteur colonne}.
		
		\item Une matrice de $\mathscr{M}_{1,m}$ comme $\begin{pmatrix} -4 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ est appelée une \emph{\color{purple}matrice ligne} ou un \emph{\color{purple}vecteur ligne}.
		
		\item Les coefficients $A_{ii}$ d'une matrice carrée sont appelés les \emph{\color{purple}coefficients diagonaux} de $A$. Ainsi pour $A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 &  8 & 9 \end{pmatrix}$ les termes diagonaux sont $3$, $5$ et $9$.
		
		\item Parmi les matrices carrées on distingue certaines matrices: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 &5 & 6\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$ est dite \emph{\color{purple}triangulaire supérieure}, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ est dite \emph{\color{purple}triangulaire inférieure}, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ est dite \emph{\color{purple}diagonale}. Une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ est appelée une \emph{\color{purple}matrice identité} et est notée $\color{purple}I_n$.
		
		\item Les matrices formées de $1$ ligne et $1$ colonne peuvent être identifiées au nombres réels. $\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$ correspond à $2$.
		
		\item On note $E_{23}$, et on appelle matrice élémentaire d'indice $(i,j)$, la matrice (peu importe sa taille) dont tous les coefficients sont nuls hormis celui d'indice $(i,j)$ qui vaut $1$. \[ E_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
		
		\item On appelle \emph{\color{purple}transposée} de \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m}\\
		a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m}\\
		\cdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
		a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}\\
		\end{pmatrix}\] de $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ la matrice de $\mathscr{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ définie par: \[ {\color{purple}{}^t\!A}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1}\\
		a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2}\\
		\cdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
		a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{nm}\\
		\end{pmatrix} \]
		
		Ainsi, si $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & a \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ alors ${}^t\!A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \\ a & 6 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les matrices peuvent être vues comme des éléments de $\mathbb{R}^{nm}$. Les propriétés vues sur les espaces $\mathbb{R}$ peuvent donc leur être appliquées.
		
		\item Les coefficients seront notés indifféremment avec des minuscules ou des majuscules: $a_{ij}$ ou $A_{ij}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Transposée:
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 166 exercice 15
				
	\end{notabene}
	
	Déterminez les transposées des matrices suivantes: \[ A= \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}.\]
	
\end{exercice}

\subsubsection{Application associée.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A=(A_{ij})$ une matrice prise dans $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
		\item $\vec{x}=(x_j)_{1\leqslant j \leqslant m}$ un vecteur colonne élément de $\mathscr{M}_{m,1}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}application associée à $A$} l'application définie sur $\mathscr{M}_{m,1}$ à valeurs dans $\mathscr{M}_{n,1}$ qui au vecteur colonne $(x_i)_{1\leqslant i \leqslant m}$ associe le vecteur colonne $\left( \sum_{j=1}^m A_{ij} \times x_i \right)_{1\leqslant i \leqslant m}$.
	
	\medskip
	En résumé il s'agit de l'application \[ A:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr{M}_{m,1}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} & \mapsto & \begin{pmatrix}
	\sum_{j=1}^m A_{1j} \times x_j \\ \sum_{j=1}^m A_{2j} \times x_j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^m A_{nj} \times x_j \end{pmatrix} \end{array} \right. . \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous confondrons dans les notations une matrice et l'application associée en notant les deux $A$. L'image de $x \in \mathscr{M}_{m,1}(\mathbb{R})$ sera donc notée $A(x)$.
		
		\item Dans la suite, $\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ sera noté $\mathbb{R}^n$, cette confusion ne posant pas problème.
		
		\item N'insistons pas sur cette définition; l'aspect matriciel la rendra plu digeste.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Application linéaire.}

\begin{definition}
	
	Une application $f$ de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$ est dite \emph{\color{purple}linéaire} si et seulement si elle vérifie les deux propriétés suivantes:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m,\ f(\lambda \vec{x})= \lambda f(\vec{x})$.
		
		\item $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m,\ f (\vec{x}+ \vec{y})= f(\vec{x})+f(\vec{y})$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'application $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ et à valeur dans $\mathbb{R}^3$ par: si $\vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ alors $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 3x_1+x_2 \\ -x_2 \\ 0 \end{pmatrix}$.
		
		Démontrons que cette application $f$ est linéaire.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est une application de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$.
			
			\item Si $\lambda \in \mathbb{R}$ alors $f(\lambda \vec{x})= f \left[ \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 3 (\lambda x_1) +(\lambda x_2) \\ -(\lambda x_2) \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda \times (3x_1+x_2) \\ \lambda \times (-x_2) \\ \lambda \times 0 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 3x_1+x_2 \\ -x_2 \\ 0 \end{pmatrix} = \lambda f( \vec{x})$.
			
			\item De même $f(\vec{x} + \vec{y})= f(\vec{x}) + f( \vec{y})$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est linéaire.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $g: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & 3x \end{array} \right.$ est une application linéaire.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ (\emph{i.e.} $\mathbb{R}^1$) et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
			
			\item Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $x$ et $y$ des éléments de $\mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				g(\lambda x +y) &= 3 \times (\lambda x +y)\\
				&= \lambda 3x+3y\\
				&= \lambda g(x) +g(y)
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Donc $g$ est bien une application linéaire.
		
		\medskip
		Les applications qu'au collège nous appelions fonctions linéaire sont des applications linéaires.
		
		\item L'application $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 3x_1+2x_2\\ 2x_2+x_3 \\ x_1+x_2+x_3 \end{pmatrix}$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$.
		
		\item L'application $\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} & \mapsto & \begin{pmatrix} x_1^2 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array} \right.$ n'est pas linéaire.
		
		L'application est bien définie sur $\mathbb{R}^2$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^3$, des espaces vectoriels, mais
		
		\[ \varphi\left( 1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \varphi \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
		
		et 
		
		\[ 1 \varphi \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) + \varphi \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
		
		et donc: $\varphi\left( 1 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \ne 1 \varphi \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) + \varphi \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$. Autrement dit $\varphi$ n'est pas linéaire.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi une application est linéaire si elle "respecte" l'addition (on dit qu'elle est additive) et si elle "respecte" la multiplication par un nombre (on dit qu'elle est homogène).
		
		\item En tenant compte des deux propriétés simultanément nous voyons qu'une application linéaire "respecte" les combinaisons linéaires: $f(\lambda \vec{x} + \mu \vec{x} )= \lambda f(\vec{x}) + \mu f(\vec{y})$.
		
		\item Pour démontrer qu'une application est linéaire il faut d'abord s'assurer que les ensembles de départ et d'arrivée sont des espaces vectoriels de la forme $\mathbb{R}^n$ puis que, quels que soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\vec{x}$ et $\vec{y}$ des vecteurs de l'ensemble de départ: $f(\lambda \vec{x}+ \vec{y} )= \lambda f(\vec{x}) + f(\vec{y})$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A=(A_{ij})$ une matrice prise dans $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	L'application associée à la matrice $A$ est linéaire.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Au programme.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $\vec{x}$ et $\vec{y}$ des éléments de $\mathbb{R}^m$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $A(\lambda \vec{x}+ \vec{y} )=\lambda A(\vec{x})+ A(\vec{y})$.}
	
	{\color{orange}Introduisons une notation pour le vecteur image.}
	
	Notons $\vec{z}=A(\lambda \vec{x}+ \vec{y} )$.
	
	{\color{orange}Commençons par choisir une ligne quelconque du vecteur image.}
	
	Soit $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$.
	
	Par définition de l'application linéaire associée à $A$ la coordonnées $z_i$ du vecteur $\vec{z}$ est donnée par:
	
	\begin{align*}
		z_i &= \sum_{j=1}^m a_{ij} (\lambda x_j + y_j)\\
		\intertext{En distribuant:}
		z_i &= \sum_{j=1}^m a_{ij}\lambda x_j + a_{ij}y_j\\
		\intertext{En regroupant différement les termes sommés:}
		z_i &= \sum_{j=1}^m a_{ij}\lambda x_j + \sum_{j=1}^m a_{ij}y_j\\
		\intertext{En factorisant par $\lambda$ dans la première somme:}
		z_i &= \lambda \sum_{j=1}^m a_{ij}x_{j} + \sum_{j=1}^m a_{ij}y_{j}
	\end{align*}
	
	Ainsi pour tous $\lambda \in \mathbb{R}$, $\vec{x}$ et $\vec{y}$ dans $\mathbb{R}^m$, $A(\lambda \vec{x} + \vec{y})=\lambda A(\vec{x}) + A ( \vec{y})$.
	
	Autrement dit:
	
	\begin{conclusion}
		
		$A$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{conclusion}
		
\end{preuve}

\begin{proposition}{}
	
	Toute application linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$ est l'application associée à une matrice de $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	{\color{orange}Il vaut mieux passer cette démonstration en première lecture. L'idée de cette démonstration semblera beaucoup plus naturelle après que nous ayons vu le lien entre application linéaire et produit matricielle.}
	
	\medskip
	Soit $\varphi$ une application linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$.
	
	\medskip
	{\color{orange}La démonstration repose sur l'utilisation des bases canoniques qui n'ont pas encore été vues mais que nous pouvons utiliser.
	
	Il s'agit de trouver la matrice dont $\varphi$ serait la matrice associée. Nous allons la construire.}
	
	\medskip
	En notant, pour $j \in \llbracket 1,m \rrbracket$, $\vec{e}_j$ le vecteur de $\mathbb{R}^m$ dont toutes les coordonnées valent $0$ hormis celle de la ligne $j$ qui vaut $1$ (autrement dit $\vec{e}_j= E_{j,1}$ en utilisant les matrices élémentaires).
	
	Notons $\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}=\varphi(\vec{e}_j)$.
	
	Puis notons $A$ la matrice $(a_{ij})$ (autrement dit $A$ est formée des vecteurs dont les colonnes sont les vecteurs images $A(\vec{e}_j)$: $A= \begin{pmatrix} A(\vec{e}_1) & A(\vec{e}_2) & \dots & A(\vec{e}_m) \end{pmatrix}$).
	
	Il est alors aisé de vérifier que $\varphi$ est l'application linéaire associée à $A$.
	
\end{preuve}

\subsection{Opérations sur les matrices.}

\begin{notabene}
	
	Somme de matrices et multiplication par un réel, propriétés semblables à celles de $\mathbb{R}^{mn}$.
	
	Produit de matrices et composition.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Somme et multiplication par un réel.}

\begin{lecon}
	
	Comme observé plus haut on retrouve les règles générales concernant $\mathbb{R}^n$ muni de son addition et de sa multiplication par un scalaire.
	
	Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ matrices prisent dans $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ on définie:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $A+B= (a_{ij}+b_{ij})$.
		\item $\lambda A= (\lambda a_{ij})$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls.
		\item $\lambda$ et $\mu$ des réels,
		\item $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ et $C= (c_{ij})$ des éléments de $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $A+B=B+A$.
		\item $(A+B)+C= A + (B+C)= A+B+C$.
		\item $(-A)+A=A-A=0_{n,m}$.
		\item $A+0_{n,m}=0_{n,m}+A=A$.
		\item $0\cdot  A=0_{n,m}$.
		\item $1 \cdot A=A$.
		\item $\lambda \cdot \left( \mu \cdot A \right)= (\lambda \times \mu) \cdot A$.
		\item $(\lambda +\mu)\cdot(A+B)=\lambda \cdot A+\lambda \cdot B+ \mu \cdot A + \mu \cdot B$.
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Addition de deux matrices.
		
		\item Multiplication d'une matrice par un nombre.
		
		\item $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ ne peuvent être additionnées l'une à l'autre car elles n'ont pas les mêmes dimensions.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Il est impossible d'additionner des matrices n'ayant pas les mêmes dimensions. Elles doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes. L'addition est une loi interne à $\mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
		
		\item La multiplication par un réel se fait par la gauche. On évitera donc d'écrire: $A2$ et on préférera: $2A$.
		
		\item $-A=(-a_{ij})$.
		
		\item Comme indiqué dans la proposition au lieu d'écrire $A+(-B)$ on écrira comme nous en avons l'habitude avec les nombres, $A-B$.
		
		\item Hormis si elles sont carrées il n'est pas possible d'additionner une matrice et sa transposée.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Exprimez $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ comme une somme double combinaison linéaire des matrices élémentaires $E_{ij}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_appliquees_informatique_sarfati_alfre_2021
		exo 7 page 156
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ et $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ des matrices de $\mathscr{M}_3(\mathbb{R})$.
	
	Exprimez $A$ en fonction de $J$ et $I_3$.
	
\end{exercice}

\subsubsection{Produit de matrices.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$, $m$ et $p$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A=(a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $B=(b_{jk}) \in \mathscr{M}_{m,p}(\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons produit (matriciel) de $A$ et $B$ la loi qui à $A$ et $B$ associe la matrice $C=(c_{ik})$ de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ définie par: \[ c_{ik}:= \sum_{j=1}^m a_{ij}b_{jk}. \]
	
	On notera $A \times B=C$ ou $AB=C$.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Matrices $3 \times 2$ et $2 \times 3$.
		
		\item Matrice carrée $2 \times 2$.
		
		\item $3 \times 3$ et $3 \times 1$. Lien avec l'application associée.
		
		\item $3 \times 1$ et $1 \times 3$.
		
		\item $1 \times 3$ et $3 \times 1$.
		
		\item Non commutativité en général du fait des lignes et colonnes.
		
		\item Même pour les matrices carrées non commutativité.
		
		\item $A\vec{x}\ne \vec{x}A$ 
		
		\item Commutativité et matrices scalaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous remarquons que l'application associée à $A$ consiste en la multiplication d'un vecteur colonne par $A$.
		
		\item Le produit matriciel est associatif: $(A \times B) \times C= A \times (B \times C)$ et on écrira donc simplement $A \times B \times C$. 
		
		\item Nous pourrons noter $A\times A =A^2$, $A\times A \times A=A^3$ etc.
		
	\end{enumerate}

\end{remarques}


\begin{exercice}{\Football}
	
	Soit $C= \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Calculez $-3I_2+2C+C^2$.
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{ - Produit de matrices et applications associées.}
	
	L'application associée à $A \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$, est l'application qui à $X \in \mathbb{R}^m$ associe le vecteur $A \times X$ (qui appartient à $\mathbb{R}^n$).
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Il suffit de vérifier en notant $\vec{x}=(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant m}$ que le produit correspond bien à l'image par l'application linéaire associée à $A$.
	
\end{preuve}


\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Exemples d'images.
		
		\item Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$.
		
		$A \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3	\end{pmatrix}$ et $A \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{correction}
			
			On remarque que l'on obtient les colonnes de la matrice $A$. En déterminant les images des vecteurs de ce que nous appellerons plus tard la base canonique nous pouvons retrouver la matrice $A$.
			
			\medskip
			C'et ce constat qui permet, à partir d'une application linéaire de retrouver la matrice dont elle est l'application associée.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Nous confondrons souvent les applications linéaires et les matrices. 
		
		\item Si $n=m$ la matrice est carrée et on dit que l'application linéaire associée est un \emph{\color{purple}endomorphisme}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Produit de matrices diagonales.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} -7 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{pmatrix}$.
	
	\medskip
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{exercice}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Cet exercice permet de conjecturer deux choses: les produit de deux matrices diagonales est diagonale et le produit deux matrices diagonales est commutatif.}
	
\end{correction}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Le produit de deux matrices triangulaires est encore une matrice triangulaire.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3\\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} -2 & -1  & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Produit des et introduction de la trace:
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 157 exercice 8
		
	\end{notabene}
	
	Soient $n \geqslant 1$ et $D= (d_{kl})$ la matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ telle que: \[ \forall (k,l)\in\llbracket 1, n \rrbracket^2,\ d_{kl}=1. \]
	
	Déterminez $D^p$ pour tout $p$ dans $\mathbb{N}^*$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Produit relation de récurrence:
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 161 exercice 12
		
	\end{notabene}
	
	On considère la matrice $A$ suivante: \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe deux réels $a_n$ et $b_n$ tels que: \[ A^n = \begin{pmatrix} 1 & a_n & b_n \\ 0 & 1 & a_n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] et écrivez les relations de récurrence vérifiées par les suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
		
		\item Déduisez-en $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Produit relation de récurrence:
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 164 exercice 14
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ et $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ des matrices de $\mathscr{M}_3(\mathbb{R})$.
	
	Exprimez, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $A^n$ en fonction de $I_3$, $J$ et $n$
	
\end{exercice}

\subsubsection{Produit de matrices et composition d'applications associées.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $m$, $n$ et $p$ des entiers naturels non nuls,
		
		\item $A \in \mathscr{M}_{m,n}(\mathbb{R})$,
		
		\item $B \in \mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{R})$
		
		\item $\varpi_A$ les applications linéaires associées à $A$ et $B$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	En confondant les matrices $A$ et $B$ et leurs applications associées, nous pouvons dire que l'application associée à $A \times B$ est $A \circ B$ et qu'une matrice associée à l'application $A \times B$ est $A \circ B$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 5 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ alors l'application associée à $A \times B$ est 
		
		\item Une matrice
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsubsection{Matrice inverse.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}^*$,
		
		\item $A$ et $B$ des éléments de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $A$ est \emph{\color{purple}l'inverse} de $B$ si et seulement si $AB=BA=I_n$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}		
		\item Il faut que $A$ et $B$ commutent et donc qu'elles aient nécessairement les mêmes dimensions.
		
		\item Si $A$ est l'inverse de $B$, alors $B$ est l'inverse de $A$.
		
		\item L'inverse de $A$ est noté $\color{purple}A^{-1}$. Nous avons donc: $A A ^{-1} =A^{-1} A=I_n$.
		
		\item On retrouve la notion d'inverse au sens de la multiplication des nombres réels: l'inverse de $3$ est $\frac{1}{3}$, qui se note aussi $3^{-1}$, car $3 \times 3^{-1}=1$. $I_n$ joue le même rôle pour les matrices que $1$ pour les nombres.
		
		\item La matrice inverse est unique.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Monter qu'une matrice est l'inverse d'une autre en déduire l'ensemble des solutions d'une équation $AX=Y$.
		
	\end{notabene}
	
	Soient $A=\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -3 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -2 & 8 & -5 \\ 3 & -11 & 7 \\ 9 & -34 & 21 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $B$ est l'inverse de $A$.
		
		\item Déduisez-en une solution de l'équation $A\vec{x}=\begin{pmatrix}
		 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		 
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
	 	
	 	%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
	 	page 169
	 	
	\end{notabene}
 	
 	Soient $n \geqslant 2$ et $A \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ inversible. Déterminez les solutions $B \in \mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ de $A^{-1}BA=0$.
 	
\end{exercice}

\subsection{Transposition.}

\begin{notabene}
	
	Exemple d'application linéaire qui n'est pas directement entre $\mathbb{R}^m$ et $\mathbb{R}^n$ mais entre espaces de matrices.
	
	Toutes les propriétés.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item La transposition est linéaire: ${}^t\! (A+B)={}^t\!A + {}^t\!B$ et $(\lambda A)= \lambda {}^t\!A$.
		
		\item La transposition est involutive: ${}^t\! \left( {}^t\!A \right) =A$.
		
		\item ${}^t\!(A \times B)= {}^t\!B \times {}^t\!A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Calculez ${}^t\!AA$ et $A{}^t\!A$ lorsque $A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	${}^t\!A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
	
	${}^t\!AA = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ et $A{}^t\!A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Systèmes linéaires.}

\subsubsection{Système linéaire et application linéaire.}

\begin{notabene}
	
	Écriture sous la forme $A(x)=y$.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Définition d'un système linéaire.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Nous savons calculer l'image d'un vecteur par une application linéaire. Recherchons maintenant les antécédents.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	Soit $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
	
	Déterminez l'ensemble des antécédents de $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ par l'application associée à $A$.
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A = (a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $\vec{y} \in \mathbb{R}^n$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Rechercher les antécédents de $\vec{y}$ par $A$ équivaut à résoudre le système linéaire \[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc}
	a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \dots &+& a_{1m} x_m &=& y_1
	\\
	a_{12} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \dots &+& a_{2m} x_m &=& y_2
	\\
	\vdots &+& \vdots &+& \ddots &+& \vdots &=& \vdots
	\\
	a_{1n} x_1 &+& a_{2n} x_2 &+& \dots &+& a_{nm} x_m &=& y_n
	\\	
	\end{array} \right. \] en les inconnues $x_1$, $x_2$, ..., $x_m$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On dit du système de la proposition qu'il a $n$ équations et $m$ inconnues.
		
		\item Résoudre un tel système c'est trouver l'ensemble de tous les $m$ uplets, $(x_1, x_2, \dots, x_m)$, qui vérifient, simultanément, les $n$ équations.
		
		\item Le précédent système linéaire sera appelé \emph{\color{purple}le système linéaire associé à $A$}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Résoudre un système par l'algorithme de Gauss et substitution.}

\begin{notabene}
	
	On donnera des exemples de résolution de sys-
	tèmes linéaires (homogènes ou non) en utilisant
	l’algorithme de Gauss. Des exemples où il existe
	une solution unique, où il n’existe pas de solu-
	tion, et où il existe plusieurs solutions seront
	traités. Dans ce dernier cas, on donnera une
	représentation paramétrique de l’ensemble des
	solutions.
	
\end{notabene}

\begin{proposition}{ - Opérations élémentaires sur les systèmes.}
	
	On ne modifie l'ensemble des solutions d'un système linéaire en lui appliquant l'une des transformation suivante.
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Échange (de place) de deux lignes $L$ et $M$: $L \leftrightarrow M$.
		
		\item Remplacer la ligne $L$ par $\lambda L$ où $\lambda \in \mathbb{R}^*$: $L\leftarrow \lambda L$.
		
		\item Remplacer la ligne $L$ par la somme de $L$ et d'une autre ligne $M$: $L \leftarrow L+M$
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Échanger deux lignes.
		
		\item Multiplier une ligne par un nombre non nul.
		
		\item Remplacer une ligne par la somme de cette ligne et d'une autre ligne.
		
		\item En tulisant simultanément les deux dernières opérations éléémentaires.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les deux dernières opérations élémentaires sont souvent utilisées simultanément: $L \leftarrow 2L-3M$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Un système (ou une matrice) est dit échelonné si sur chaque ligne le premier coefficient non nul apparaît dans une colonne plus à droite que sur la ligne précédente.
	
	\medskip
	La méthode du pivot de Gauss consiste, par des opérations élémentaires sur les lignes, à trouver, à partir d'un système donné, un autre système qui soit échelonné et qui ait le même ensemble de solutions.
	
	À partir du système échelonné on peut par des substitutions trouver les solutions. L'ensemble des solutions sera le plus souvent représenté par une paramétrisation.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		5 x_1 &-& 2 x_2 &-& 3 x_3 &=& 0
		\\
		& & 7 x_2 &+& 3x_3 &=& 10
		\\
		& & & & 8x_3 &=& 8
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\item %ENsemble des solutions sous forme d'une représentation paramétrique
		$\left\{ \begin{array}{ccccc}
		x_1 &-& 2x_2 &=& 3
		\\
		-4x_1 & + & 8x_2 &=& -12
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		3 x_1 &+& x_2 &+& 4 x_3 &=& 11
		\\
		 x_1 & - & x_2 &+& x_3 &=& 3
		\\
		-2x_1& - & 5x_2 & - & 2x_3 &=& -6
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x_1 &+& 3 x_2 &+& 2x_3 &=& 2
		\\
		3x_1 & - & 2 x_2 &+& 2 x_3 &=& -1
		\\
		2x_1 & - & 5x_2 & &  &=& -3
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x_1 &+& x_2 &=& 2
		\\
		x_1 & - & x_2 &=& 6
		\\
		x_1 & + & 2x_2 &=& 1
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 1
		\\
		2x_1 & + & 4 x_2 &+& x_3 &=& 2
		\\
		\end{array} \right.$
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	L'ensemble des solutions d'un système linéaire est formée de la somme d'une solution particulière $\vec{x}_0$ de $A(\vec{x})=\vec{y}$ et des solutions du système homogène $A (\vec{x})= \vec{0}$. Cette propriété est appelée le \emph{\color{purple}principe de superposition}.
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Résolvez les systèmes suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task %Solution unique déjà échelonné
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+& 2 x_2 &+& x_3 &=& -1
		\\
		& & x_2 &-& 3x_3 &=& 0
		\\
		& & & & 4x_3 &=& 4
		\\	
		\end{array} \right.$
		%$(2,-3,1)$ %-4,3,1
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+&  x_2 &-& x_2 &=& 0
		\\
		3x_1& + & x_2 &+& x_3 &=& 0
		\\
		-x_1& -& x_2 & + & x_3 &=& 0
		\\	
		\end{array} \right.$
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		3 x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 7
		\\
		& & 3x_2 &-& 2x_3 &=& 2
		\\
		& & & & x_3 &=& 2
		\\	
		\end{array} \right.$
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+& 4 x_2 &+& x_3 &=& 1
		\\
		x_1 & &  &+& x_3 &=& 4
		\\
		4x_1 & + & 4x_2 & + & 3x_3 &=& 9
		\\	
		\end{array} \right.$
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+& 4 x_2 &+& x_3 &=& 0
		\\
		x_1 & &  &+& x_3 &=& 0
		\\
		4x_1 & + & 4x_2 & + & 3x_3 &=& 0
		\\	
		\end{array} \right.$
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+&  x_2 &+& x_3 &=& 0
		\\
		-6x_1 & - & 3x_2 &-& 3 x_3 &=& 0
		\\
		4x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 &=& 0
		\\	
		\end{array} \right.$
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+&  x_2 &+& x_3 &=& 2
		\\
		-6x_1 & - & 3x_2 &-& 3 x_3 &=& -6
		\\
		4x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 &=& 4
		\\	
		\end{array} \right.$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Résolvez les systèmes suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task %Solution unique déjà échelonné
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1 &+& 3 x_2 &-& x_3 &=& 5
		\\
		& & 4 x_2 &+& 2x_3 &=& 14
		\\
		& & & & 2x_3 &=& 6
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\task %Solution équation de droite.
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		3 x_1 &-& 2 x_2 &+& x_3 &=& 0
		\\
		x_1 & + & x_2 &-& 2x_3 &=& 4
		\\
		4x_1& - & x_2& - & x_3 &=& 4
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\task %Pas de solution.
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 6
		\\
		2x_1 & - & x_2 &-& x_3 &=& -4
		\\
		x_1& - & 2x_2& - & x_3 &=& 4
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\task 
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Bouquet}
	
	\begin{notabene}
		Bertault
	\end{notabene}
	
	Résolvez les systèmes suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccc}
		2 x &+& y  &=& 2
		\\
		3x & - & 5y &=& 1
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\task 
		$\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x &+& y &+& z &=& 6
		\\
		x & - & 3y &-& 7z &=& 10
		\\
		x& + & 3y& + & 4z &=& 6
		\\	
		\end{array} \right.$
		
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x &+& y &+& 2z &=& 0
		\\
		2x & + & 5y &-& 3z &=& 1
		\\
		3x & + & 6y & - & z &=& 1
		\\
		4x & + & 7y & + & z &=& 1
		\\
		\end{array} \right.$
		
		\task $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		2x &+& y &-& z &=& 1
		\\
		x & + & 3y &+& 2z &=& 4
		\\
		x & + & 2y & + & z &=& 2
		\\
		\end{array} \right.$
		
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Produit équation:
		%sup_1ieme_ecg1_dunod_j_integre_questions_et_methodes_mathematiques_approfondies_informatique_sarfati_alfre_2021
		page 168 exercice 17
		
	\end{notabene}
	
	Déterminez les solutions de l'équation $B^2=A$ d'inconnue $B \in \mathscr{M}_2(\mathbb{R})$ et $A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}


\subsubsection{Ensemble des solutions d'un système linéaire.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le système $A(\vec{x})=\vec{0}$ a des solutions non triviales si $A$ a moins de lignes que de colonnes.
	
\end{proposition}


\subsection{Noyau d'une application linéaire.}

\begin{notabene}
	
	Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à $\{ 0 \}$.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A = (a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $\varphi_A$ l'application linéaire associée à $A$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons noyau de l'application linaire associée à $A$ l'ensemble \[ \ker (\varphi_A) := \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^m\ | \varphi_A(\vec{x})=\vec{0} \right\}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Différentes situations de noyaux se sont présentés dans les exemples précédents.
		
	\end{enumerate}

\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En confondant la matrice, $A$, et son application linéaire, $\varphi_A$, nous écrirons $\ker(A)$.
		
		\item $\ker(A)$ est donc l'ensemble des antécédentes du vecteur nul par l'application linéaire associée à $A$.
		
		Ainsi les éléments de $\ker(A)$ se trouvent tous réduits à $\vec{0}$ en passant par la moulinette $A$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A = (a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $\varphi_A$ l'application linéaire associée à $A$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\ker(\varphi_A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^m$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Par définition $\ker( \varphi_A) \subset \mathbb{R}^m$.
		
		\item $A \vec{0}{m,1}=\vec{0}_{n,1}$ donc $\vec{0}_{m,1} \in \ker(\varphi_A)$.
		
		\item Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $\vec{x},\vec{y} \in \ker ( \varphi_A)$.
		
		Par linéarité:
		
		\begin{align*}
			A(\lambda \vec{x} + \vec{y}) &= \lambda A(\vec{x} + A (\vec{y})
		\end{align*}
		
		Or $A(\vec{x})=A(\vec{y})=\vec{0}$ car $\vec{x}, \vec{y} \in \ker(\varphi_A)$, donc
		
		\begin{align*}
			A(\lambda \vec{x} + \vec{y}) &= \lambda \times \vec{0} + \vec{0}\\
			&= \vec{0}
		\end{align*}
		
		Autrement dit $\lambda \vec{x} + \vec{y} \in \ker(\varphi_A)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\ker(\varphi_A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^m$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'image réciproque par $\varphi_A$ de tout sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^m$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsection{Injectivité, surjectivité, bijection}

\subsubsection{Définitions.}

\begin{notabene}
	
	Illustration avec diagramme sagittal.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ et $F$ des ensembles,
		
		\item $f:E\rightarrow F$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons $f$ est \emph{\color{purple}injective} si et seulement si: \[ \forall (x,y)\in E^2,\ f(x)=f(y) \Rightarrow x=y. \]
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}surjective} si et seulement si: \[ \forall y\in F,\ \exists x \in E,\ f(x)=y. \]
	
	\medskip
	Nous dirons que $f$ est \emph{\color{purple}bijective} si et seulement si $f$ est injective et surjective.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Diagrammes sagittaux.
		
		\item Fonctions de référence.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une application est injective si et seulement si chaque élément de l'ensemble image $f(E)$ admet un unique antécédent par $f$.
		
		\item Une application est injective si les images d'éléments distincts sont distinctes.
		
		\item Une application est surjective si chaque élément de l'ensemble d'arrivé $F$ admet, au moins un antécédent.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ et $F$ des ensembles,
		
		\item $f:E\rightarrow F$ une application.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$f$ est bijective si et seulement si: $\forall y \in F,\ \exists! x \in E,\ f(x)=y$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dire qu'une application est bijective signifie que tous les éléments des ensembles de départ et d'arrivée sont reliés entre eux et que chaque élément est associé à un seul élément de l'autre ensemble.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Applications linéaires injectives.}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A = (a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $\varphi_A$ l'application linéaire associée à $A$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	L'application linéaire $\varphi_A$ associée à $A$ est injective si et seulement si son noyau est réduit à $\{ 0 \}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Soient 
	
\end{preuve}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons si l'application linéaire associée à la matrice $B= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1  \end{pmatrix}$ est injective.
		
		Recherchons les antécédents de $\vec{0}$ par $\varphi_B$.
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc} x_1 &+& x_2 &=& 0\\ 2x_1 &+& x_2  &=& 0 \end{array} \right. \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccc} x_1 &+& x_2 &=& 0\\ &-& x_2  &=& 0 \end{array} \right. \]
		
		Par substitution: $x_2=0$ donc $x_1=0$.
		
		Ainsi $\ker(\varphi_B)= \{ \vec{0} \}$.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$\varphi_B$ est injective.
			
		\end{conclusion}
		
		\item Déterminons si l'application linéaire associée à la matrice $A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ est injective.
		
		Recherchons les antécédents de $\vec{0}$ par $\varphi_A$.
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\ 2x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0 \\ 3x_1 &+& 2x_2 &+& 2x_3 &=& 0\end{array} \right. \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\  &-& x_2 &-& x_3 &=& 0 \\  &-& x_2 &-& x_3 &=& 0\end{array} \right. \quad \begin{array}{l} L_2\leftarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-3L_1 \end{array} \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\  &-& x_2 &-& x_3 &=& 0 \\  &&  && 0 &=& 0\end{array} \right. \quad \begin{array}{l}  \\ L_3 \rightarrow L_3-L_2 \end{array} \]
		
		Donc $x_2=-x_3$ puis $x_1=0$ et enfin $\ker(\varphi_A)= \left\{ \left.  \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\ \right| \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}$.
		
		Donc $\ker(\varphi_A) \ne \{ \vec{0} \}$ et finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\varphi_A$ n'est pas injective (et \emph{a fortiori} pas bijective).
			
		\end{conclusion}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Déterminez si l'application linéaire associée à $A$ est injective.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
		\task $A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
		\task $A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks} 
	
\end{exercice}

\subsection*{Un ensemble de combinaisons linéaires.}

\begin{definition}
	
	Si $\vec{x}$ et $\vec{y}$ sont des éléments de $\mathbb{R}^m$ on note $\mathrm{v}(\vec{x}, \vec{y})$ et on appelle \emph{\color{purple}espace vectoriel engendré par $\vec{x}$ et $\vec{y}$} l'ensemble des vecteurs obtenus comme combinaisons linéaires de $\vec{x}$ et $\vec{y}$.
	
	Ainsi $\mathrm{Vec}(\vec{x} , \vec{y} )$ est formé de vecteurs de la forme $\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels quelconques.
	
\end{definition}

\begin{proposition}{}
		
	On remarque que $\mathrm{Vec}( \vec{x} , \vec{y} )$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^m$.
	
\end{proposition}

\subsection{Image d'une application linaire.}

\begin{notabene}
	
	Détermination d’un système d’équations pour
	l’image d’une matrice (écriture de l’image d’une
	matrice comme noyau d’une autre matrice)
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A = (a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $\varphi_A$ l'application linéaire associée à $A$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}image de l'application linéaire $\varphi_A$} l'ensemble des images des éléments de $\mathbb{R}^m$ par $\varphi_A$. 
	
	Nous noterons: \[ \mathrm{Im}(\varphi_A)=\left\{ \varphi_A(\vec{x})\ | \ \vec{x}\in \mathbb{R}^m \right\}.\]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathrm{Im}(\varphi_A)=\varphi_A(\mathbb{R}^m)$.
		
		\item 
	\end{enumerate}
		
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	Rappelons que $A \times E_{j,1}$ est le $j$-ième vecteur colonne de $A$.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n$ et $m$ des entiers naturels non nuls,
		\item $A = (a_{ij}) \in \mathscr{M}_{n,m}(\mathbb{R})$,
		\item $\varphi_A$ l'application linéaire associée à $A$,
		\item $C_i=A E_{i,1}$ pour tout $i \in \llbracket 1, m \rrbracket$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	\[ \mathrm{Im}(\varphi_A)= \mathrm{Vec}(C_1, C_2, \dots, C_m). \]
	
\end{proposition}

\begin{notabene}
	
	Exemples pour montrer la détermination de Im par une famille génératrice ou des équations de plans.
	
\end{notabene}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A= \begin{pmatrix}
		2 & 1 \\
		-1 & 3\end{pmatrix}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Une représentation paramétrique de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$ est \[ \left\{ \begin{array}{ccl} y_1 &=& 2t+v \\ y_2 &=& -t+3v \end{array} \right., (t,v) \in \mathbb{R}^2 \]
			
		\end{conclusion}
				
		\item $A= \begin{pmatrix} 
		2 & -1 & -1 \\
		3 & 1 & 3\\
		1 & 2 & 4
		\end{pmatrix}$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons une représentation de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$ par un système d'équations cartésiennes.}
		
		Échelonnons le système:
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x_1 &-& x_2 &-& x_3 &=& y_1\\ 3x_1 &+& x_2 &+& 3x_3 &=& y_2 \\ x_1 &+& 2x_2 &+& 4x_3 &=& y_3\end{array} \right.  \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x_1 &-& x_2 &-& x_3 &=& y_1\\ && 5 x_2 &+& 9x_3 &=& 2y_2-3y_1 \\  &&  && \color{WildStrawberry}0 &\color{WildStrawberry}=& \color{WildStrawberry}y_3-y_2+y_1\end{array} \right. \quad \begin{array}{l} L_2\leftarrow 2L_2-3L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-L_2+L_1 \end{array} \]
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			une équation cartésienne de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$ est \[ \color{WildStrawberry} y_1-y_2+y_3=0.\]
			
		\end{conclusion}
		
		%équation cartésienne de IM
		
		\item $A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\
		2 & 1 & 1 \\
		1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons une représentation de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$ par un système d'équations cartésiennes.}
		
		Échelonnons le système:
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x_1 &-& x_2 &+& 2x_3 &=& y_1\\ 2x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& y_2 \\ x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& y_3\end{array} \right.  \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x_1 &-& x_2 &+& 2x_3 &=& y_1\\ &&  3x_2 &-& 3x_3 &=& y_2-2y_1 \\  && 2x_2 &-& x3 &=& y_3-y_1\end{array} \right. \quad \begin{array}{l} L_2\leftarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-L_1 \end{array} \]
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x_1 &-& x_2 &+& 2x_3 &=& y_1\\ &&  3x_2 &-& 3x_3 &=& y_2-2y_1 \\  && 2x_2 &-& x3 &=& y_3-y_1\end{array} \right. \quad \begin{array}{l} L_3 \rightarrow 2L_2-3L_3 \end{array} \]
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathrm{Im}(\varphi_A)=\mathbb{R}^3$ {\color{orange}et nous ne donnerons pas d'équation cartésienne}.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 0 \\ 2& -1 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -3 & 1 & \\ -1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{notabene}
			
			$\begin{pmatrix}
				1 & -1 & -2 & 0 & a\\
				0 & 1 & -1 & 1 & -2a+b\\
				0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2}a+b-\frac{c}{2}\\
				0 & 0 & 0 & 0 & 2a-b-c\\
				0 & 0 & 0 & 0 & -a+b+d
			\end{pmatrix}$
			
		\end{notabene}
				
		$\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
		x_1 &-& x_2 &-& 2x_3 && &=& y_1\\
		&+& x_2 &-& x_3 &+& x_4 &=& -2y_1+y_2\\
		&&  &&  && x_4 &=& -\frac{3}{2}y_1+y_2-\frac{1}{2}y_3\\
		&&  &&  && &=& 2y_1-y_2-y_3\\
		&&  && && &=& -y_1+y_2+y_4
		\end{array} \right.$
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			un système d'équation cartésienne de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$ est \[\left\{ \begin{array}{rcr} 2y_1-y_2-y_3 &=& 0 \\ -y_1+y_2+y_4 &=& 0 \end{array} \right. \]
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Nous remarquons que l'image de $A$ est le noyau de l'application associée à la matrice $\begin{pmatrix}
		2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Autrement dit l'image d'une application linéaire est le noyau d'une autre application linéaire.}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez une représentation paramétrique de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$.
		
		\begin{enumerate}
			\item $A = \begin{pmatrix}2 & -2 & 1 & 0\\ 3 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -5 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déterminez un système d'équations cartésiennes de $\mathrm{Im}(\varphi_A)$. Puis déduisez-en la matrice dont $\mathrm{Im}(\varphi_A)$ est le noyau.
		
		\begin{enumerate}
			\item $A = \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ -4 & 28 \\ 3 & 21 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A = \begin{pmatrix} 
			1 & 0 & -2 \\ 
			2 & -5 & 1 \\ 
			3 & -5 & -1 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
			
			\item $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -12 & 4 & 4  \end{pmatrix}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	L'image de l'application linéaire est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	$\mathrm{Im}(\varphi_A)= \mathrm{Vec}=(C_1, C_2, \dots,C_m)$ et $\mathrm{Vec}=(C_1, C_2, \dots,C_m)$ est un sous espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.
	
\end{preuve}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	
	\begin{notabene}
		
		Système linéaires avec paramètres.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Déterminez le noyau de l'application linéaire associée à $A = \begin{pmatrix}	\alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
	\alpha x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\
	x_1 &+& \alpha x_2 &+& x_3 &=& 0\\
	x_1 &+& x_2 &+& \alpha x_3 &=& 0
	\end{array} \right. \]
	
	Si $\alpha \ne 0$
	
	\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
	\alpha x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\
	&& (\alpha^2-1) x_2 &+& (\alpha -1)x_3 &=& 0\\
	&& (\alpha-1)x_2 &+& (\alpha^2-1) x_3 &=& 0
	\end{array} \right. \]
	
	
	\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
	\alpha x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\
	&& (\alpha-1)(\alpha +1) x_2 &+& (\alpha -1)x_3 &=& 0\\
	&& (\alpha-1)x_2 &+& (\alpha-1)(\alpha +1) x_3 &=& 0
	\end{array} \right. \]
	
	\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
	\alpha x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\
	&& (\alpha-1)(\alpha +1) x_2 &+& (\alpha -1)x_3 &=& 0\\
	&&  && \left[ (\alpha-1)(\alpha +1)(\alpha +1) - (\alpha -1) \right] x_3 &=& 0
	\end{array} \right. \]
	
	Or $ (\alpha-1)(\alpha +1)(\alpha +1) - (\alpha -1)= (\alpha-1) \left[ (\alpha +1)(\alpha +1) - 1 \right]= (\alpha-1) \alpha (\alpha +2)$ donc, puisque $\alpha \ne 0$ il reste trois cas à distinguer.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{ 0;1;-2 \}$.
		
		$\mathscr{S}= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$.
		
		\item Si $\alpha =1$.
		
		$\mathscr{S}= \left\{ \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$.
		
		\item Si $\alpha =-2$.
		
		\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
		-2 x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 0\\
		&& 3 x_2 &+& -3x_3 &=& 0
		\end{array} \right. \]
		
		Donc $x_2=x_3$ puis $x_1=x_3$.
		
		$\mathscr{S}= \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$.
		
	\end{enumerate}
	
	Il reste le cas $\alpha=0$ et alors 
	
	$\mathscr{S}= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $A$ et $B$ deux matrices non nulles telles que $AB = 0$. Montrez que $A$ et $B$ ne sont pas inversibles. 
	
	Soit $C$ une matrice telle que $C^2 + C = 0$, $C$ est-elle inversible?
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri iv
	\end{notabene}
	
	Soit $A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Montrer que $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=0$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri iv
	\end{notabene}
	
	Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 &-1 \end{pmatrix}$. Montrer que $A^3 - A^2 - A + I_3 = 0$ et déduisez en que $A$ est inversible et donnez $A^{-1}$
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri iv
	\end{notabene}
	
	Résolvez en discutant suivant les valeurs du paramètre $a$ le systèmes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccc}
		ax_1 &+& x_2 &=& 1
		\\
		x_1 & + & ax_2 &=& a
		\end{array} \right.$
		
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x_1 &+& x_2 &+& (2a-1)x_3 &=& 1
		\\
		ax_1 & + & x_2 &+& x_3 &=& 1
		\\
		x_1 & + & ax_2 & + & x_3 &=& 3(a+1)
		\end{array} \right.$
		
		\item $\left\{ \begin{array}{ccccccc}
		(a+1)x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& a^2+3a
		\\
		x_1 & + & (a+1)x_2 &+& x_3 &=& a^3+3a^2
		\\
		x_1 & + & x_2 & + & (a+1)x_3 &=& a^4+3a^3
		\\
		\end{array} \right.$
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri iv
	\end{notabene}
	
	Soit $A= \begin{pmatrix}
	1 & 0 & 0 \\
	6& -5 & 6 \\
	3 & -3 & 4 \end{pmatrix}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $a_n \in \mathbb{R}$ tel que $A^n= \begin{pmatrix}
		1 & 0& 0 \\
		2a_n & 1-2a_n & 2a_n \\
		a_n & -a_n & a_n+1 \end{pmatrix}$.
		
		\item Donnez une expression explicite de $(a_n)$ puis déduisez-en une expression de $A^n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Henri iv
	\end{notabene}
	
	Soit $A= \begin{pmatrix}
	2& -1 & 2 \\
	0& 2 & -1 \\
	0& 0 & 2 \end{pmatrix}$. Calculez $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		%pothier_cassiopeoa
		
	\end{notabene}
	
	Soit A une matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, on dit que $A$ est nilpotente s’il existe $p \in\mathbb{N}^*$ tel que $A^p= 0$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $(a,b,c)\in \mathbb{R}^3$. Montrez que $A= \begin{pmatrix}
		0 & a & b\\
		0 & 0 & c \\
		0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ est nilpotente.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Une matrice inversible peut-elle être nilpotente?
			
			\item Une matrice non inversible est-elle forcément nilpotente? Vous pourrez considérer $M=\begin{pmatrix}
			1 & 1 & 1 \\
			1 & 1 & 1 \\
			1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et calculer $M^n$ pour $n \in \mathbb{N}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Si $A$ et $B$ sont nilpotentes la somme $A + B$ est-elle nilpotente? (on pourra envisager $A =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
			
			\item Soit $A$ et $B$ deux matrices nilpotentes telles que $AB = BA$. Montrer que la somme $A + B$ est nilpotente. (Avec formule du binôme de Newton.)
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}
\begin{correction}
	
\subsection{Ce qu'il faut retenir.}

\begin{enumerate}
	\item Méthodes: produit de deux matrices, résolution d'un système par la méthode de Gauss, déterminer le noyau d'une application linéaire avec une paramétrisation ou avec une combinaison linéaire de vecteurs, déterminer l'image d'une application linéaire par une paramétrisation, par une combinaison linéaire de vecteurs ou par un système d'équations cartésienne.
	
	\item Nouveaux objets et mots: matrice, matrice triangulaire, matrice diagonale, application linéaire, système linéaire échelonné, noyau d'une application linéaire, application injective, application surjective, application bijective, image d'une application linéaire.
	
\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}