%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Espace $\mathbb{R}^n$.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Espace $\mathbb{R}^n$.}

\subsection{Définition de $\mathbb{R}^n$.}

\begin{notabene}
	
	Définition de l’espace R n des n-uplets de réels, interprétation géométrique comme vecteurs.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Introduire l'idée de produit cartésien sur $\{ S,\overline{S} \}$ et donnez un autre exemple de produit cartésien: $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$.
	
	Également loi des probabilités composées appliquée à des épreuves indépendantes on retrouve le principe multiplicatif. $\mathbb{P}(S,S,\dots,S)=\mathbb{P}(S) \times \mathbb{P}(S) \times \dots \times \mathbb{P}(S)$.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ et $F$ des ensembles,
		\item $x$ et $y$ deux éléments respectivement de $E$ et $F$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On appelle \emph{\color{purple}couple} "x, y" et on note $\color{purple}(x,y)$ l'ensemble $\{ x ,\{x,y\} \}$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On notera également les couples en colonne: $\color{purple}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ des éléments.
	
	\medskip
	$(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ si et seulement si \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1=x_2 \\ y_1=y_2 \end{array} \right. . \]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		Voir Monier mais vraiment sans intérêt pour les élèves.
	\end{notabene}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Cela signifie en particulier que, en général, $(x,y) \ne (y,x)$: on ne peut intervertir les éléments d'un couple. dans un couple l'ordre compte.

	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $E$ et $F$ des ensembles.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}produit cartésien de} $E$ et $F$ l'ensemble que nous noterons $\color{purple}E \times F$ formé de tous les couples $(x,y)$ où $x \in E$ et $y \in F$.
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $E=F$ plutôt que d'écrire $E \times E$ nous écrirons $\color{purple}E^2$.
		
		De même $E \times E \times E=E^3$.
		
		\item En particulier, pour $n\in \mathbb{N}^*$, $\underset{n \text{ facteurs}}{\underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}}$ est noté $\color{purple}\mathbb{R}^n$.
		
		Nous conviendrons (c'est donc une notation) que $\mathbb{R}^0= \{ 0\}$ pour des raisons de convenance qui apparaîtrons plus tard.
		
		\item En itérant le procédé nous définirions, pour $n\in\mathbb{N}^*$, les {\color{purple}$n$-uplets} (ou {\color{purple}$n$-listes}): $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ où $x_1 \in E_1$, ..., $x_n \in E_n$.
		
		L'ensemble des $n$-uplets est encore appelé produit cartésien et est noté $\color{purple}E_1 \times E_2 \times \dots \times E_n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}$ est l'ensemble des nombres réels.
		
		\item $\mathbb{R}^2$ est l'ensemble des couples de réels. Il peut être vu comme l'ensemble des coordonnées des points dans un espace affine muni d'un repère cartésien.
		
		\item $\mathbb{R}^2$ peut aussi être vu, et c'est le point de vu que nous retiendrons souvent, comme l'ensemble des vecteurs du plan.
		
		\item $\mathbb{R}^3$ est l'ensemble des coordonnées des points de l'espace affine euclidien muni d'un repère.
				
		\item $\mathbb{R}^3$ peut aussi être vu, et c'est le point de vu que nous retiendrons souvent, comme l'ensemble des vecteurs de l'espace.
		
		\item L'univers d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est $\Omega = \{ S, \overline{S} \}^n$ et les issues sont des $n$-uplets formés de $S$ et de $\overline{S}$.
		
		\item L'ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur (ou égale) à $2$ peut être assimilé à $\mathbb{R}^3$: en confondant $aX^2+bX+c$ et $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. Nous approfondirons ces rapprochements dans une leçon ultérieure.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Des opérations sur $\mathbb{R}^n$.}

\subsubsection{Addition.}

\begin{notabene}
	
	Les opérations + : R n × R n → R n et · : R × R n → R n .
	%On définira les opérations par leur expression algébrique en en donnant l’interprétation géo-métrique.
	
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $(x_1,x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$,
		
		\item $(y_1,y_2, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}somme des $n$-uplets} $\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} y_1 \\y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$, le $n$-uplet définie par \[ \color{purple} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\x_2+y_2 \\ \vdots \\ x_n+y_n \end{pmatrix}.\]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Attention de ne pas confondre: ici $x$ et $y$ désigne des $n$-uplets pas l'abscisse et l'ordonnée.
		
		\item C'est, notamment, pour faciliter ce calcul que nous présenterons les $n$-uplets en colonnes.
		
		\item Nous avons défini une loi de composition interne à $\mathbb{R}^n$: c'est-à-dire une application qui à deux éléments de $\mathbb{R}^n$ associe un élément de $\mathbb{R}^n$.
		
		\item Pour alléger les écritures un $n$-uplet sera souvent désigné par une seule lettre: $x =\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Le $n$-uplet $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0	\end{pmatrix}$ sera noté $0_{\mathbb{R}^n}$ ou même $0$ lorsqu'il n'y a pas s'ambiguïté.
		
		\item Dans $\mathbb{R}^2$: \[ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\4 \end{pmatrix}=. \]
		
		\item Dans $\mathbb{R}^3$: \[ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix}=. \]
		
		\item Il est possible de mélanger les interprétations affines et vectorielles: $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 14 \\ 18 \end{pmatrix}$ est la somme de deux vecteurs mais c'est aussi une façon de dire que  l'image du point $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ par la translation de vecteur $\begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ 13 \end{pmatrix}$ est le point $\begin{pmatrix} 9 \\ 14 \\ 18 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		Calcul direct
	\end{notabene}
	
	Sommez dans chaque cas.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $s_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\-4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\-4 \end{pmatrix}$.
		\task $s_2=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ -1000 \\ \dfrac{4}{7} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dfrac{2}{5} \\ 428 \\ -\dfrac{4}{21} \end{pmatrix}$.
		\task $s_3=\begin{pmatrix} 2 \times 10^3 \\ \pi \\ 2+8\sqrt{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \times 10^4 \\ -12\pi \\ -5-4\sqrt{3} \end{pmatrix}$.
		\task $s_4 = \begin{pmatrix} 2,5 \\ -0,001 \\ 134,56 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0,25 \\ -0,042 \\ 17 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}$, $y= \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}$ et $z= \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \vdots\\ z_n \end{pmatrix}$ des éléments de $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	L'addition des $n$-uplets est
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		
		\item  \emph{\color{purple}commutative}: \[ x +y =y+x. \]
		
		\item \emph{\color{purple}associative}: \[ (x+y)+z= x+(y+z). \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{notabene}
		À FAIRE AVEC LES ÉLÈVES POUR QU'ILS VOIENT L'IDÉE DE TELLES démonstration et qu'ils se rendent comptent de leur simplicité
	\end{notabene}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le fait que l'addition de $n$-uplets soit associative permet d'écrire des successions d'additions sans aucune parenthèse: $x+y+z$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Multiplication par un scalaire.}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $(x_1,x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$,
		
		\item $a \in \mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}produit du $n$-uplet} $\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ \emph{\color{purple}par le scalaire $a$}, le $n$-uplet définie par \[ \color{purple} a \cdot  \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a \times x_1 \\ a \times x_2 \\ \vdots \\ a \times x_n \end{pmatrix}.\]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On peut y voir une distributivité sur chacune des coordonnées.
		
		\item Nous avons défini une loi externe: c'est-à-dire une application qui à un élément de $\mathbb{R}$ et à un élément de $\mathbb{R}^n$ associe un élément de $\mathbb{R}^n$.
		
		\item Remarquons que nous avons défini la multiplication uniquement à gauche nous n'écrions pas $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} \cdot 2$.
	
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dans $\mathbb{R}^2$: \[ 25 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 25 \times 3 \\ 25 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 75 \\100 \end{pmatrix}. \]
		
		\item Dans $\mathbb{R}^3$: \[ \frac{3}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 32 \\ 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{3}{4} \times 4 \\ \frac{3}{4} \times 32 \\ \frac{3}{4} \times 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 24 \\ \frac{9}{2} \end{pmatrix}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}


\begin{notabene}
	
	\subsubsection{Propriétés des opérations.}
	
	Les propriétés :
	%commutativité x + y = y + x ;
	%associativités (x + y) + z = x + (y + z) ;
	%(ab) · x = a · (b · x) ;
	%opposé x + (−1) · x = 0 ;
	%distributivité (a+b)·(x+y) = a·x+a·y+b·x+b·y.
	%Les propriétés pourront être démontrées à partir de la définition des opérations.

\end{notabene}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}$, $y= \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}$ et $z= \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \vdots\\ z_n \end{pmatrix}$ des éléments de $\mathbb{R}^n$.
		
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Le produit de $n$-uplet par un scalaire
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item est {\color{purple}associatif}: \[ (a \times b) \cdot x= a \cdot (b \cdot x).\]
		
		\item assure que chaque $n$-uplet admet un \emph{\color{purple}opposé}: \[ x+ (-1)\cdot x=0. \]
		
		\item est \emph{\color{purple}distributif} sur l'addition des $n$-uplets: \[ (a+b)\cdot (x+y)=a\cdot x+ a\cdot y+ b\cdot x + b \cdot y. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	La démonstration consiste à regarder ce qui se passe coordonnée par coordonnée et à utiliser les propriétés des nombres réels.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les deux opérations d'addition et de multiplication par un scalaire, et toutes les propriétés énoncées ci-dessus, confèrent à $\mathbb{R}^n$ une structure d'espace vectoriel.
		
		Autrement dit les $n$-uplets peuvent être vus comme des vecteurs à part entière. D'ailleurs nous parlerons indifféremment de $n$-uplet ou de \emph{\color{purple}vecteur}.
		
		\item La troisième propriétés est la classique double distributivité.
		
		\item On a aussi: $a\cdot x=0 \Leftrightarrow a=0 \text{ ou } x=0$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}


\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Résoudre une équation du premier degré dont l'inconnue est un vecteur.
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez dans $\mathbb{R}^2$ l'équation d'inconnue $x$: \[ 3\cdot x+\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = -7 \cdot x - \begin{pmatrix} 5 \\ 1\end{pmatrix}. \]
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Sigma de vecteurs dont les coordonnées sont des suites géométrique est arithmétique.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $n \in \mathbb{N}$.
	
	Calculez dans $\mathbb{R}^3$ la somme: \[ S_n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} k \\ 3 \\ 2^k \end{pmatrix} . \]
	
\end{exercice}

\subsection{Combinaisons linéaires.}

\subsubsection{Combinaison linéaire.}

\begin{notabene}
	
	Notion de combinaison linéaire, définition d’un
	sous-espace vectoriel de R n .
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	La première partie nous a montré que les éléments de $\mathbb{R}^n$ sont des vecteurs. C'est pourquoi nous utiliserons dorénavant indifféremment les expressions $n$-uplet et vecteur.
	
	\medskip
	Nous allons maintenant nous tourner vers l'outil indispensable pour travailler avec des vecteurs: la combinaison linéaire.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in\mathbb{N}$,
		
		\item $x$ et $y$ deux éléments de $\mathbb{R}^n$,
		
		\item $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}combinaison linéaire} des vecteurs $x$ et $y$ tout vecteur de la forme \[ \color{purple}a\cdot x+b\cdot y. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item On définirait de la même façon des combinaisons linéaires de $3$ ou $4$ vecteurs.
		
		\item Nous pouvons remarquer que tout vecteur de $\mathbb{R}^2$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. En effet: \[ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}=x_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ x_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}. \]
		
		\item De même tout vecteur de $\mathbb{R}^3$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ car \[ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=x_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ x_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le vecteur $3\cdot \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix} -5 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
		
		\item \objectif{Déterminons des réels $a$ et $b$ de sorte que $a \cdot \begin{pmatrix}2 \\-3 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} -3 \\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\-2\end{pmatrix}$.}
		
		L'égalité vectorielle équivaut au système de deux équations: \[ \left\{ \begin{array}{cccc} 2a & -3b &=& 5 \\ -3a & +5b &=& -2 \end{array} \right. \]
		
		En multipliant la deuxième ligne par $-1$ ($L_2\leftarrow -1 \cdot L_2$) puis en intervertissant les deux lignes ($L_1 \leftrightarrow L_2$): \[ \left\{ \begin{array}{cccc} \\ 3a & -5b &=& 2 \\ 2a & -3b &=& 5  \end{array} \right. \]
		
		En soustrayant la seconde ligne à la première ($L_1 \leftarrow L_1-L_2$): \[ \left\{ \begin{array}{cccc} a & -2b &=& -3 \\ 2a & -3b &=& 5  \end{array} \right. \]
		
		En faisant: $L_2\leftarrow L_2-2 \cdot L_1$ \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a & -2b &=& -3 \\  & b &=& 11  \end{array} \right. \]
		
		Puis avec: $L_1 \leftrightarrow L_1+2L_2$ \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& 19 \\  & b &=& 11  \end{array} \right. \]
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			il n'y a qu'un seul couple de réels qui convienne $(a,b)=(19,11)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Trouvez si possible des nombres $a$ et $b$ de sorte que les combinaisons suivantes soient nulles.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $a \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} -21 \\ 14 \end{pmatrix}$. %1 et -7
		\task $a \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -10 \end{pmatrix}$. %2 et 3
		\task $a \cdot \begin{pmatrix} -16 \\ 50 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -25 \end{pmatrix}$. %2 et 4
		\task $a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$. 
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  -7b &=& 0 \\  & 0 &=& 0  \end{array} \right. \]
		
		Pour chaque valeur de $b$ une valeur de $a$ convient il y a une infinité de solutions: $(a,b)=(7,1)$ convient.
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} 3a &  -2b &=& 0 \\  & 0 &=& 0  \end{array} \right. \]
		
		Pour chaque valeur de $b$ une valeur de $a$ convient il y a une infinité de solutions: $(a,b)=(2,3)$ convient.
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& 0 \\  & b &=& 0  \end{array} \right. \]
		
		Il n'y a qu'un couple qui convienne: $(a,b)=(0,0)$.
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& 0 \\  & b &=& 0  \end{array} \right. \]
		
		Il n'y a qu'un couple qui convienne: $(a,b)=(0,0)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Trouvez si possible des nombres $a$ et $b$ de sorte que les égalités soient vérifiées.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $a \cdot \begin{pmatrix}  7 \\ -3 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$.
		\task $a \cdot \begin{pmatrix}  -3 \\ 5 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 11 \end{pmatrix}$.
		\task $a \cdot \begin{pmatrix}  2 \\ 4 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix}$.
		\task $a \cdot \begin{pmatrix}  7 \\ 5 \end{pmatrix}+ b \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 31 \\ 25 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& \frac{11}{5} \\  & b &=& \frac{29}{5}  \end{array} \right. \]
		
		Il n'y a qu'un couple qui convienne: $(a,b)=\left( \frac{11}{5} , \frac{29}{5} \right)$.
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& \frac{29}{3} \\  & b &=& \frac{28}{3}  \end{array} \right. \]
		
		Il n'y a qu'un couple qui convienne: $(a,b)=\left( \frac{29}{3} , \frac{28}{3} \right)$.
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& -\frac{37}{10} \\  & b &=& -\frac{13}{5}  \end{array} \right. \]
		
		Il n'y a qu'un couple qui convienne: $(a,b)=\left( -\frac{37}{10} , -\frac{13}{5} \right)$.
		\task \[  \left\{ \begin{array}{cccc} a &  &=& -7 \\  & b &=& 5  \end{array} \right. \]
		
		Il n'y a qu'un couple qui convienne: $(a,b)=\left( -7 , 5 \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.}

\begin{lecon}
	
	Nous représentons habituellement $\mathbb{R}^2$ par un repère avec axes des abscisses et axe des ordonnées:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5,-0.5) -- (2,-0.5) -- (2,2) -- (-0.5,2) -- cycle;
			\draw [=latex,->] (-0.5,0) -- (2,0) node [right] {$x_1$ (ou $x$)};
			\draw [=latex,->] (0,-0.5) -- (0,2) node [above] {$x_2$ (ou $y$)};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Lorsque nous représentons $\mathbb{R}^3$ par un repère nous retrouvons le repère de $\mathbb{R}^2$:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.25,0.25) -- (-1.5,-1) -- (1.25,-1) -- (2.25,0.25) -- cycle;
		\draw [=latex,->] (0.25,0.25) -- (-1,-1) node [below left] {$x_1$ (ou $x$)};
		\draw [=latex,->] (-0.5,0) -- (2,0) node [right] {$x_2$ (ou $y$)};
		\draw [=latex,->] (0,-0.5) -- (0,2) node [above] {$x_3$ (ou $z$)};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Cela permet de conjecturer que l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ contient d'autres espaces vectoriels comme $\mathbb{R}^2$.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons qu'un ensemble $F$ est \emph{\color{purple}un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$} s'il satisfait les conditions suivantes:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $F \subset \mathbb{R}^n$,
		
		\item $F$ est non vide,
		
		\item $F$ est stable par combinaisons linéaires: \[ \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ \forall (x,y) \in F ^2,\ a\cdot x + b \cdot y \in F. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item La stabilité par combinaison linéaire signifie qu'il est impossible, en utilisant des combinaisons linéaires d'éléments de $F$, d'obtenir un vecteur qui ne soit pas dans cet ensemble.
		
		La somme de deux vecteurs du plan affine reste un vecteur de ce plan.
		
		\item {\color{purple}Tous les sous-espace vectoriels contiennent à minima le vecteur nul}, c'est pourquoi pour montrer que $F$ est non vide on s'assure que $0_{\mathbb{R}^n} \in F$.
		
		La contraposée sera très intéressante: {\color{orange}si $0 \notin F$ alors $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel.}
		
		\item {\color{purple}Pour s'assurer de la stabilité par combinaison linéaire il suffit de vérifier que: \[ \forall a \in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in F^2,\ a\cdot x + y \in F. \]}
		
		\item Ces critères sont à connaître par cœur. Nous verrons plus tard d'autre façons de vérifier qu'une partie est un sous-espace vectoriel.
		
		\item Le sous-espace vectoriel possède des propriétés semblables à celle de $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item \objectif{Montrons  que $F = \left\{ \left. \begin{pmatrix} r\\ s \\t \end{pmatrix}  \in \mathbb{R}^3\ \right|\ 2r-s+3t=0 \right\}$ est un sous espace-vectoriel de $\mathbb{R}^3$.}
		
		\item $\color{red}\varheartsuit$ $\{0_{\mathbb{R}^n}\}$ et $\mathbb{R}^n$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$.
		
		\item Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $e \in\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$.
		
		$F = \{ a \cdot e \ | \ a \in \mathbb{R} \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ que nous appellerons \emph{\color{purple}une droite vectorielle}.
		
		\item \objectif{Montrons que $F= \left\{ \left. \begin{pmatrix} \lambda \\-2\lambda \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ \lambda \in\mathbb{R} \right\}$ n'est pas un sous espace-vectoriel de $\mathbb{R}^3$.}
		
		Si $0 \in F$ alors en particulier $1=0$ ce qui est impossible donc $0 \notin F$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Montrons que $F= \left\{ \left. \begin{pmatrix} -2\lambda \\\lambda \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ \lambda \in\mathbb{R} \right\}$ est un sous espace-vectoriel de $\mathbb{R}^3$.}
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Clairement $F \subset \mathbb{R}^n$.
			
			\item Si $\lambda=0$ alors $\begin{pmatrix}
			-2\lambda \\ \lambda \\ 0
			\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
			0 \\ 0 \\ 0	\end{pmatrix}$. Donc $0 \in F$.
			
			\item Soient $(x,y)\in F^2$ et $a \in \mathbb{R}$.
			
			Si $x \in F$ alors il existe $\lambda_x$ un réel tel que: $x =\begin{pmatrix} -2\lambda_x \\ \lambda_x \\ 0 \end{pmatrix}$.
			
			De même si $y \in F$ alors il existe $\lambda_y\in \mathbb{R}$ tel que: $y =\begin{pmatrix} -2\lambda_y \\ \lambda_y\\ 0 \end{pmatrix}$.
			
			Montrons que $a\cdot x+ y \in F$.
			
			\begin{align*}
				a\cdot x +y &= \begin{pmatrix} -2 \lambda_x -2 \lambda_y \\ \lambda_x + \lambda_y \\ 0 \end{pmatrix}\\
				&= \begin{pmatrix} -2( \lambda_x+\lambda_y)\\ \lambda_x+ \lambda_y\\ 0\end{pmatrix}
				\intertext{En notant $\lambda =\lambda_x+\lambda_y$ on a bien:}
				a\cdot x +y &= \begin{pmatrix} -2\lambda \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}
			\end{align*}
			
			Autrement dit $a\cdot x +y \in F$.
			
			{\color{orange}Nous avons établi que $F$ est stable par combinaison linaires.}
			
		\end{enumerate}
		
		Des trois points précédents nous déduisons que
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item $F= \left\{ \left. \begin{pmatrix} r \\ s \\t \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^3 \ \right| \ t=0 \right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ qui correspond à $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Dites si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$.
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $F_1= \left\{ \left. \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ r-s=0 \text{ et } s+t=0 \right\}$.
		\task $F_2= \left\{ \left. \begin{pmatrix} a \\ a+b \\ b \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ (a,b)\in\mathbb{R}^2 \right\}$.
		\task $F_3= \left\{ \left. \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ a \in \mathbb{R} \right\}$.
		\task $F_4= \left\{ \left. \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ r+s+t=1 \right\}$.
		\task $F_5= \left\{ \left. \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right|\ 2r+3s=0 \right\}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task 
		
		\begin{align*}
			(ax_1+y_1) - (ax_2+y_2) &= a(x_1-x_2) +(y_1-y_2)\\
			\intertext{Or $x \in F_1$ donc $x_1-x_2=0$ et $y \in F_1$ donc $y_1-y_2=0$, d'où}
			(ax_1+y_1) - (ax_2+y_2) &= 0
		\end{align*}
		
		De même
		\begin{align*}
			(ax_2+y_2) + (ax_3+y_3) &= a(x_2+x_3) +(y_2+y_3)\\
			\intertext{Or $x \in F_1$ donc $x_2+x_3=0$ et $y \in F_1$ donc $y_2+y_3=0$, d'où}
			(ax_2+y_2) + (ax_3+y_3) &= 0
		\end{align*}
		
		Ainsi: $a\cdot x+y \in F_1$.
		\task C'est un sous espace vectoriel.
		\task C'est aussi un sous espace vectoriel. C'est même une droite vectorielle.
		\task Ce n'est pas un sous-espace vectoriel car $0 \notin F_4$.
		\task C'est un sous-espace vectoriel.
	\end{tasks}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $x$ et $y$ des vecteurs éléments de $\mathbb{R}^2$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que $E_1= \left\{ \left. a\cdot x\ \right|\ a \in \mathbb{R} \right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
		\item Démontrez que $E_2= \left\{ \left. a\cdot x+b \cdot y \ \right|\ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$.}

\begin{notabene}
	
	Classification des sous-espaces vectoriels de R 2 .
	%Si le sous-espace n’est pas {0}, il contient un vecteur non nul e. Si tous les éléments du sous- espace sont proportionnels à e, c’est une droite vectorielle, sinon, c’est R 2 .
\end{notabene}

\begin{definition}
	
	Soient:
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}$,
		
		\item $(x,y) \in \left( \mathbb{R}^n \right)^2$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$x$ et $y$ sont dits \emph{\color{purple}colinéaires} si et seulement si il existe un nombre réel $a$ tel que \[ x=a \cdot y \quad \text{ou} \quad y=a \cdot x \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Dire qu'ils sont colinéaires c'est dire qu'il représentent la même ligne, la même direction. Autrement dit ils sont vecteurs directeurs des mêmes droites affines.
		
		\item Nous verrons une notion qui généralise celle-ci. Des vecteurs seront dit liés s'il existe une combinaison linaire $a\cdot x + b \cdot y=0$ dont les coefficients $a$ et $b$ ne sont pas tous nuls.
		
		\item La colinéarité est une sorte de proportionnalité.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $0 \in \mathbb{R}^n$ est colinéaire à tous les vecteurs de $\mathbb{R}^n$ puisque, si $x\in\mathbb{R}^n$, alors $0=0 \cdot x$.
		
		\item Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $e \in\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$.
		
		La droite vectorielle $F = \{ a \cdot e \ | \ a \in \mathbb{R} \}$ est formée de l'ensemble des vecteurs colinéaires à $e$.
		
		\item $\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 24 \\ -16\end{pmatrix}$ sont colinéaires car $\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}= \frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 24 \\ -16\end{pmatrix}$.
		
		\item $\begin{pmatrix} 12\\-\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -4 \\ \frac{1}{9} \end{pmatrix}$ sont colinéaires car \[ \begin{array}{|c|c|} \hline 12 & -4 \\ \hline -\frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array} \] est un tableau de proportionnalité comme le prouve le produit en croix: $12 \times \frac{1}{9} -\left( - \frac{1}{3} \right) \times (-4) =0$.
		
		\begin{notabene}
			Rappeler réintroduire l'idée de déterminant mais uniquement pour tester la colinéarité de deux vecteurs du plan.
		\end{notabene} 
		
		\item $\begin{pmatrix} 1\\2
		\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires car s'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $\begin{pmatrix} 1\\2
		\end{pmatrix} = a\cdot \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}$ alors $a=\frac{1}{2}$ et $a=2$. Ce qui est impossible.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			Pas colinéaire avec tableau de proportionnalité.
		\end{notabene}
		
		$\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 3 \\ -7,5 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont colinéaires.
		
		\item \begin{notabene}
			Il faut rajouter un exemple avec $\mathbb{R}^3$
		\end{notabene}
		
		$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 7 \\ 14 \\ 7 \end{pmatrix}$ ne sont  pas colinéaires.
		
		\item $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ est colinéaire à $\begin{pmatrix} 17 \\ 17 \\ \vdots \\ 17 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	Dites si les vecteurs proposés sont colinéaires ou pas.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\begin{pmatrix}
			4 \\ 
			5
		\end{pmatrix}$ et 
		$\begin{pmatrix}
			2 \\
			-3
		\end{pmatrix}$.
		\task $\begin{pmatrix}
			\sqrt{\pi} \\ 
			\sqrt{\pi}+ 1
		\end{pmatrix}$ et 
		$\begin{pmatrix}
			\pi-\sqrt{\pi} \\
			\pi-1
		\end{pmatrix}$.		
		\task $\begin{pmatrix}
			2 \\ 
			-1 \\
			3
		\end{pmatrix}$ et 
		$\begin{pmatrix}
			6 \\
			-3 \\
			7
		\end{pmatrix}$.		
		\task $\begin{pmatrix}
			4 \\ 
			1 \\
			10
		\end{pmatrix}$ et 
		$\begin{pmatrix}
			0,4 \\
			-0,1 \\
			1
		\end{pmatrix}$.		
		\task $\begin{pmatrix}
			1,2 \\ 
			7 \\
			-5
		\end{pmatrix}$ et 
		$\begin{pmatrix}
			-7,2 \\
			-42 \\
			30
		\end{pmatrix}$.		
		\task $\begin{pmatrix}
		1 \\ 
		0 \\
		0
		\end{pmatrix}$ et 
		$\begin{pmatrix}
		0 \\
		1 \\
		0
		\end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{proposition}{ - Classification des sous-espaces vectorielles de $\mathbb{R}^2$.}
	
	Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
	
	\medskip
	$F$ vérifie l'une des trois situations qui s'excluent mutuellement:
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $F=\{0 \}$,
		
		\item Il existe $e \in\mathbb{R}^2$ tel que $F = \{ a\cdot e\ | \ a \in\mathbb{R} \}$.
		
		\item $F=\mathbb{R}^2$. 
		
	\end{enumerate}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Nous avons déjà remarqué que $\{ 0\}$ est un espace de $\mathbb{R}^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, donc, en particulier, de $\mathbb{R}^2$.
		
		\item Si $F \ne \{ 0 \}$ alors il existe $e \in \mathbb{R}^2 \setminus \{ 0 \}$ tel que $e \in F$.
		
		Comme nous l'avons déjà remarqué $\{ a\cdot e\ | \ a \in \mathbb{R} \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
		Deux cas sont alors possibles.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Premier cas: $F=\{ a\cdot e\ | \ a \in \mathbb{R} \}$.
			
			\item Second cas: $F \ne \{ a\cdot e\ | \ a \in \mathbb{R} \}$.
			
			Ce qui signifie qu'il existe un vecteur $f \in F$ et qui n'est pas colinéaire à $e$.
			
			Nous allons démontrer que, dans ce cas, tout vecteur $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ est une combinaison linéaire de $e$ et $f$. Ce qui établira que $\mathbb{R}^2 \subset F$.
			
			Notons $e = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ et $f=\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}$.
			
			$x=a\cdot e + b \cdot f$ avec \[ a=\frac{x_1}{e_1}-\frac{f_1}{e_1}\times \frac{e_1x_2-x_1e_2}{f_2e_1-f_1e_2} \] et \[ b=\frac{e_1x_2-x_1e_2}{f_2e_1-f_1e_2} \] et ces deux nombres ont du sens puisque $e \ne 0$ et $e$ et $f$ ne sont pas colinéaires.
			
			\begin{notabene}
 				%Expliquer la magie en regardant la résolution du système $a\cdot e + \b \cdot f=x$.
				
			\end{notabene}
			
		\end{enumerate}
		 
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi les seuls sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$ sont $\mathbb{R}^2$ tout entier, l'espace réduit à $0$ et des droites vectorielles.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item En admettant que $F= \left\{ \left. \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \right| \ (u_1-1)(u_1+1) \geqslant -1 \right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ précisez $F$.
		
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $F=\mathbb{R}^2$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in F$ car $(1-1)(1+1)=0\geqslant -1$. {\color{orange}Donc $F \ne \{ 0 \}$.}
			
			\item $\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \in F$ car $(0 -1)(0+1)=-1 \geqslant 0$. 
			
			\item De plus $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}$ sont linéairement indépendants puisque $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1\ne 0$.
			
		\end{enumerate}
		
		Ainsi $F$ contient deux vecteurs non nuls et non colinéaires donc, nécessairement: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$F=\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\subsection{Équation et paramétrisation d'une droite affine ou vectorielle.}

\begin{notabene}
	
	Représentation d’une droite vectorielle ou affine
	par équation ou par paramétrisation.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Droites affines.}

\begin{lecon}
	
	Rappelons qu'un $n$-uplet peut être vu comme un point ou comme un vecteur.
	
	Dans cette partie nous utiliserons ces deux interprétations simultanément.
	
\end{lecon}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}$,
		
		\item $A(a_1,a_2,\dots ,a_n) \in \mathbb{R}^n$ et $B(b_1,b_2,\dots ,b_n) \in \mathbb{R}^n$ deux points de $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous noterons $\overrightarrow{AB}$ et nous dirons \og vecteur $A$, $B$ \fg{}, le vecteur de $\mathbb{R}^n$ défini par: \[ \overrightarrow{AB}:=\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ \vdots \\ b_n-a_n \end{pmatrix}. \]
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Si $A(2,3,5)$ et $B(4,-2,8)$ alors $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\-5 \\ 3 \end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{definition}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n\in\mathbb{N}^*$,
		
		\item $A(a_1,a_2,\dots ,a_n) \in \mathbb{R}^n$ et $B(b_1,b_2,\dots ,b_n) \in \mathbb{R}^n$ deux points distincts de $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous appellerons \emph{\color{purple}droite affine} $(AB)$ l'ensemble \[ (AB) := \left\{ M \in \mathbb{R}^n\ | \ \exists \lambda \in \mathbb{R},\ \overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB} \right\}. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item $A\in (AB)$ et $B\in (AB)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $\mathscr{D} \subset \mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	$\mathscr{D}$ est une droite affine de $\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe un point $A \in \mathbb{R}^n$ et un vecteur $u \in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$ tels que: \[ \mathscr{D}= \left\{ A+\lambda \cdot u \in \mathbb{R}^n\ | \lambda \in \mathbb{R} \right\}. \]
	
	Dans ce cas nous dirons que $u$ est un \emph{\color{purple}vecteur directeur} de $\mathscr{D}$.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item En particulier $A \in \mathscr{D}$.
		
		\item On notera éventuellement $\mathscr{D}=A+\mathbb{R} \cdot u$.
		
		\item Autrement dit une droite affine est entièrement définie par la donnée de l'un de ses points et d'un vecteur non nul.
		
		\item Il n'y a pas unicité du vecteur directeur puisque tout vecteur colinéaire à $u$ est aussi un vecteur directeur.
		
		\item L'ensemble des vecteurs directeurs de la droite affine $\mathscr{D}$ est: \[ \left\{ \lambda \cdot u\ | \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}. \]
		
		Nous reconnaissons une droite vectorielle. Nous dirons que cette droite vectorielle est \emph{\color{purple}la direction} de la droite affine $\mathscr{D}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $u=(u_1,u_2,\dots,u_n) \in \mathbb{R}^n\setminus \{ 0 \}$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$,
		
		\item $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n) \in\mathbb{R}^n$ un point de $\mathbb{R}^n$, 
		
		\item $\mathscr{D}$ la droite affine passant par $A$ et de vecteur directeur $u$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	
	$M \in \mathscr{D}$ si et seulement si il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que \[ \left\{ \begin{array}{c} m_1= u_1 \times  t+a_1 \\ m_2=u_2 \times t+a_2\\ \vdots \\ m_n = u_n\times t+a_n \end{array} \right. \]
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Le système de $n$ équations qui caractérise la droite affine est appelé \emph{\color{purple}une paramétrisation} de la droite affine.
		
		\item La paramétrisation n'est pas unique puisqu'elle dépend du choix de $A$ et de $u$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item  
		
		\begin{notabene}
			
			trouver la paramétrisation à partir d'un point et dun vecteur en dimension 1
			
		\end{notabene}
		
		La droite $\mathscr{D}$ de $\mathbb{R}^1$ passant par $A = \begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}$ {\color{orange}(ici un point est un nombre)} et de vecteur directeur $u=\begin{pmatrix} -3 \end{pmatrix}$ {\color{orange}(et il en est de même pour un vecteur)}.
		
		$M\in\mathscr{D}$ si et seulement si il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $M=-3t+1$.
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			trouver la paramétrisation à partir d'un point et dun vecteur en dimension 2
			
		\end{notabene}
		
		La droite $\mathscr{D}$ de $\mathbb{R}^2$ passant par $A\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $u=\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$ admet pour paramétrisation: \[ \left\{ \begin{array}{l} m_1 = -t -3 \\ m_2=-2 t+7 \end{array} \right. ,\ t \in \mathbb{R} \]
		
		\item 
		
		\begin{notabene}
			
			trouver la paramétrisation à partir d'un point et dun vecteur en dimension 3
			
		\end{notabene} 
		
		\item  
		
		\begin{notabene}
			
			trouver la paramétrisation à partir de deux points en dimension 2
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{\Football}
	
	\begin{notabene}
		
		Donnez des représentations paramétriques.
		
	\end{notabene}
	
	Donnez des représentations paramétriques des droites suivantes.
	
	\begin{tasks}
		\task $\mathscr{D}_1$ passant par $A=\begin{pmatrix} -12 \\ 35 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $u=\begin{pmatrix} 7 \\13 \end{pmatrix}$.
		\task $\mathscr{D}_2$ passant par $A=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $u=\begin{pmatrix} 0 \\-4 \end{pmatrix}$.
		\task $\mathscr{D}_3$ passant par $A=\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 2^3 \\ 7 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $u=\begin{pmatrix} -1 \\0 \\ 5 \end{pmatrix}$.
		\task $\mathscr{D}_4$ passant par $A=\begin{pmatrix} 0 \\ \pi \\ -2 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $u=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -434 \end{pmatrix}$.
		\task $\mathscr{D}_5$ passant par $A=\begin{pmatrix} 9 \\ -7 \\8 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}$.
		\task $\mathscr{D}_6$ passant par $A=\begin{pmatrix} 76 \\ 435 \\ -986 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 5 \\ -84 \\ 3 \end{pmatrix}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{\YinYang}
	
	\begin{notabene}
		
		Pour introduie les problèmes dintersection: vérifier qu'un point appartient à une droite à deux droites qu'en déduire?
		
		Que deux pints appartiennent à deyx droites.
		
	\end{notabene}
	
	On considère les droites, respectivement $\mathscr{D}_1 $ et $\mathscr{D}_2$, dont des représentations paramétriques sont \[ \left\{ \begin{array}{l} m_1= -3 t+ 2 \\ m_2= 2t-7\\ m_3 = 4t+1 \end{array} \right. \quad \text{et} \quad \left\{ \begin{array}{l} m_1= 6t-4 \\ m_2= -4t-3\\ m_3 = -8t+9 \end{array} \right. \] où $t \in\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrez que les points $A=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -4 \\-3 \\9 \end{pmatrix}$ appartiennent aux deux droites.
		
		\item Concluez.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Déterminez les positions relatives des droites suivantes espace et plan.
		
		pour s'habituer aux problématiques qui se poserons.
		
		Parler de coplanaire et non coplanaire
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		
	\end{notabene}		
		
\end{exercice}

\subsubsection{Droites vectorielles.}

\begin{lecon}
	
	Comme nous l'avons indiqué:
	
\end{lecon}

\begin{definition}{}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		\item $n \in \mathbb{N}^*$,
		
		\item $D \subset \mathbb{R}^n$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous dirons que $D$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe un vecteur $u \in \mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$ tel que: \[ D= \left\{ \lambda \cdot u\ | \lambda \in \mathbb{R} \right\}. \]
	
\end{definition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Une droite vectorielle est une droite affine qu'on aurait détachée de son point $A$ et qui serait donc mouvante (comme un vecteur).
		
		\item Toute droite vectorielle peut être vue comme une droite affine passant par le point $(0,0,\dots,0)$. Nous aurons en particulier la représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{c} m_1= u_1 \times  t \\ m_2=u_2 \times t\\ \vdots \\ m_n = u_n\times t \end{array} \right. \]		
		
		\item On peut faire un parallèle entre droites vectorielle et affine d'une part et fonctions linéaire et affine d'autre part.
		
		\item Une droite vectorielle représente la direction d'une infinité de droites affines.
		
		\item On notera éventuellement $D=\mathbb{R} \cdot u$.
		
		\item Plutôt que de parler de vecteur directeur comme pour les fonctions affines,nous dirons que $u$ est une base de la droite vectorielle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	Une droite vectorielle de $\mathbb{R}^n$ en est un sous-espace vectoriel.

\end{proposition}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Parmi les ensembles suivants indiuez ceux qui sont des droites vectoriels et pas des droites affines.
		
		Peut être préciser vecteur directeur.
		
		Et à l'oral indiquer de vérifier pour zéro.
		
	\end{notabene}
	
\end{exercice}

\subsubsection{Représenter une droite de $\mathbb{R}^2$ par une équation.}

\begin{notabene}
	
	Faire cette partie en soutien.
	
	équation CARTÉSIENNE RÉDUITE EN PRÉVISION DES TANGENTES et autres droites d'ajustement.
	
	Donc copié collé de lycée.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Cette partie est traitée en soutien.
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{}
	
	Justifiez  que l'ensemble $F$ est une droite vectorielle en en donnant une représentation paramétrique.
	
	\begin{enumerate}
		\item $F= \left\{ x \in \mathbb{R}^2\ | \ x_1=3 x_2 \right\}$.
		
		\item $F= \left\{ x \in \mathbb{R}^3\ | \  x_1=-x_3 \text{ et } x_2=7x_3 \right\}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $e_1= (1,0,0)$ et $e_2=(0,1,0)$ des vecteurs de $\mathbb{R}^3$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que $F_1= \left\{ \lambda \cdot e_1 \ | \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}$ et $F_2= \left\{ \lambda \cdot e_2 \ | \ \lambda \in \mathbb{R} \right\}$ sont des droites vectorielles.
		
		\item Déterminez $F_1 \cap F_2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Existe-t-il une combinaison linéaire des vecteurs $e_1= (1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ et $e_3=(0,0,1)$ qui égale le vecteur nul? Si oui, Déterminez toutes les combinaisons linéaires qui égalent le vecteur nul.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Démontrez que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$.
	
	\emph{Il s'agit à chaque fois de droites vectorielles.}
	
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Présentation en représentation paramétrique classique.} \[ F= \left\{ x \in \mathbb{R}^2 \ \left| \ \left\{ \begin{array}{l} x_1 = 4t \\ x_2 = -2t \end{array} \right., \ t \in \mathbb{R} \right. \right\}. \]
		
		\item \emph{Présentation en représentation paramétrique en ligne.} \[ F= \left\{ x \in \mathbb{R}^2 \ \left| \  \exists t \in \mathbb{R},\ x_1 = 7t \text{ et } x_2 = 14t \right. \right\}. \]
		
		\item \emph{Présentation dans laquelle le paramètre de la représentation paramétrique est une des coordonnées, ici $x_1$.} \[ F= \left\{ \right. x \in \mathbb{R}^3 \ \left| \ x_3 =2x_1 \in\mathbb{R} \right\}. \]
		
		\item \emph{Présentation dans laquelle les équations paramétriques sont directement écries dans les coordonnées.} \[ F= \left\{ \right. \begin{pmatrix} 2t \\ -3t \end{pmatrix}\ \left| \ t \in\mathbb{R} \right\}. \]
			
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}