%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Généralités sur les suites.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Généralités sur les suites.}

\begin{notabene}
	
	Objectif: rappeler tous les résultats de lycée qui ne concernent pas la convergence. En fait essentiellement des résultats de première.
	
	Moment: avant d'attaquer la leçon sur l'étude de la convergence.
	
\end{notabene}

\subsection{Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.}

\begin{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		\item Définition par récurrence.
		
		\item Formule explicite. Démonstration par récurrence.
		
		\item Formule des sommes. Démonstration par récurrence?
		
		\item 
		
	\end{enumerate}
		
\end{notabene}

\subsubsection{Suite arithmétiques.}

\begin{lecon}
	
	Soit $p\in\mathbb{N}$.
	
	Une suite $(u_n)_{n\geqslant p}$ est dite arithmétique si et seulement si il existe un nombre $r\in\mathbb{R}$ tel que: \[ \forall n\geqslant p,\ {\color{purple}u_{n+1}=u_n+r}.\]
	
	\medskip
	Formules explicites.
	
	Si la suite commence au rang $0$ (c'est-à-dire $(u_n)_{n\geqslant 0}$)  alors \[ \forall n \geqslant 0,\ {\color{purple}u_n=u_0+nr}. \]
	
	Si la suite commence au rang $p$ (c'est-à-dire $(u_n)_{n\geqslant p}$)  alors \[ \forall n \geqslant p,\ {\color{purple}u_n=u_p+(n-p)r}. \]
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Somme des termes d'une suite arithmétique.}
	
	Si $(u_n)_{n\geqslant 0}$ alors \[ \color{purple}\sum_{k=0}^n u_k= \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}.\]
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $\sum_{k=0}^n u_k= \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$ \fg{}.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $\mathscr{P}(n)$ est vraie.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item D'une part: \[ \sum_{k=0}^0 u_0=u_0\] et d'autre part \[ \frac{u_0+u_0)(n+1)}{2}= \frac{2u_0}{2}= u_0, \] donc \[ \sum_{k=0}^0 u_0= \frac{u_0+u_0)(n+1)}{2}.\]
		
		Ainsi $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est alors vraie.
		
		{\color{orange}Nous voulons établir une égalité au rang $n+1$. Pour démontrer une égalité $A=B$ on peut partir de $A$ ou de $B$. Ici nous partons de $B$. Autrement dit nous partons de $\frac{(u_0 + u_{n+1}) ((n+1)+1)}{2}$ et nous allons montré que c'est égale à $\sum{k=0}^{n+1}u_k$.}
		
		Puisque $(u_n)$ est arithmétique, en notant $r$ sa raison:
		
		\begin{align*}
			\frac{(u_0 + {\color{WildStrawberry}u_{n+1}}) ((n+1)+1)}{2} &= \frac{(u_0+{\color{WildStrawberry}u_n+r})((n+1)+1)}{2}\\
			\intertext{En développant:}
			\frac{(u_0 + u_{n+1}) ((n+1)+1)}{2} &= \frac{(u_0+u_n)(n+1)+r(n+1)+u_0+u_n+r}{2}\\
			&= {\color{Green}\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}} + \frac{r(n+1)+u_0+u_n+r}{2}\\
			\intertext{Par hypothèse de récurrence:}
			\frac{(u_0 + u_{n+1}) ((n+1)+1)}{2} &= {\color{Green}\left( \sum_{k=0}^n u_k \right)}  +\frac{{\color{orange}r(n+1)+u_0}+ {\color{Blue}u_n+r}}{2}\\
			&= \left( \sum_{k=0}^n u_k \right)  +\frac{{\color{orange}u_{n+1}}+ {\color{Blue}u_{n+1}}}{2}\\
			&= \left( \sum_{k=0}^n u_k \right) +u_{n+1}\\
			&= \sum_{k=0}^{n+1} u_k
		\end{align*}
		
		Donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		\item Nous avons démontré par récurrence que \[ \forall n\in\mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n u_k= \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}. \]
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsubsection{Suites géométriques.}

\begin{lecon}
	
	Soit $p\in\mathbb{N}$.
	
	Une suite $(u_n)_{n\geqslant p}$ est dite géométrique si et seulement si il existe un nombre $q\in\mathbb{R}$ tel que: \[ \forall n\geqslant p,\ {\color{purple}u_{n+1}=u_n\times q}.\]
	
	\medskip
	Formules explicites.
	
	Si la suite commence au rang $0$ (c'est-à-dire $(u_n)_{n\geqslant 0}$)  alors \[ \forall n \geqslant 0,\ {\color{purple}u_n=u_0\times q^n}. \]
	
	Si la suite commence au rang $p$ (c'est-à-dire $(u_n)_{n\geqslant p}$)  alors \[ \forall n \geqslant p,\ {\color{purple}u_n=u_p \times q^{n-p}}. \]
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{ - Somme des termes d'une suite arithmétique.}
	
	Si $q\in [0,+\infty[ \setminus \{ 1 \}$ alors \[ \color{purple}\sum_{k=0}^n q^k= \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
	
\end{proposition}


%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
\subsection{Variations.}

\subsubsection{Étude du signe de $u_{n+1}-u_n$.}


\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le sens de variation de la suite $u$ dans les cas suivants.
	
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n\geqslant 3$, $u_{n+1}=u_n+5$.
		
		\item $u_n=n+\frac{1}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $u_{n+1}=u_n-n-1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $u_0=2$.
		
		\item $u_n=n^2-4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $u_n=n^2-5n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n=3^n-5$.
		
		\item $u_0=-5$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+n^2$.
		
		\item $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{3}{u_n}$.
		
		\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=2^n-8$.
		
		\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n=1+0,5^n$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=2n^2-n+1$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}$.
		
		\item $u_0=1$ et:  $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+2n+3$.
		
		\item $u_0=2$ et:  $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n - \sqrt{u_n^2+3}$.

	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $u_{n+1}-u_n=5>0$ donc$(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= (n+1)+ \frac{1}{(n+1)+1} -\left( n+ \frac{1}{n+1} \right)\\
			&= 1-\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0
		\end{align*}
		
		Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item $u_{n+1}-u_n=-n-1<0$ donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= (n+1)^2-4 -\left( n^2-4 \right)\\
			&= 2n+1>0
		\end{align*}
		
		Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= (n+1)^2-5(n+1)+1-\left( n^2-5n+1\right)\\
			&= 2n-4
		\end{align*}
		
		On remarque $u_1-u_0=2 \times 0-4=-2<0$ et $u_4-u_3= 2\times 3-4=2>0$ donc $(u_n)$ n'est pas monotone.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= 3^{n+1}-5 - \left( 3^n-5 \right)\\
			&= 3 \times 3^n-3^n\\
			&= 3^n(3-1)>0
		\end{align*}
		
		Donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item $u_{n+1}-u_n=n^2 \geqslant 0$ donc $(u_n)$ est croissante.
		
		\item On remarque $u_0=3$, $u_1=1$ et $u_2=3$ donc $(u_n)$ n'est pas monotone.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1} -u_n &= 2^{n+1}-8-\left( 2^n-8 \right)\\
			&= 2^n(2-1)>0
		\end{align*}
		
		donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= 1+0,5^{n+1} - \left( 1+0,5^n \right)\\
			&= 0,5^n (0,5-1)<0
		\end{align*}
		
		donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
		\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
		u_{n+1}-u_n &= \left[ 2(n+1)^2-(n+1)+1 \right] - \left[ 2n ^2-n+1 \right]\\
		&= 2(n+1)^2-(n+1) +1 -2n^2+n-1\\
		&= 2(n+1)^2-(n+1)-2n^1+n\\
		&= 2 \left( n^2+2n+1 \right) -n-1-2n^2+n\\
		&= 2n^2+4n+2-1-2n^2\\
		&= 4n+1
		\end{align*}
		
		Or $4n+1>0$ puisque $n \geqslant 0$, donc $u_{n+1}-u_n>0$.
		
		Ainsi nous avons établi que, quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n>0$. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		u_{n+1}-u_n &= \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^n}\\
		&= \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{2^{n+1}}\\
		&= \frac{1-2}{2^{n+1}}\\
		&= -\frac{1}{2^{n+1}}\\
		&<0
		\end{align*}
		
		$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= 2n+3\\
			&>0
		\end{align*}
		
		$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_{n+1}-u_n &= -\sqrt{u_n^2+3}\\
			&<0
		\end{align*}
		
		$\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Suites strictement positives, étude de $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice avec des exponentielles et des simplifications;
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez les variations des suites suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle u_n=\frac{n}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
		
		\item $u_n=3^{2n^2+1}$ pour tout entier $n\in\mathbb{N}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{3^n \times 2^{n+1}}{3^{2n} \times 2^n}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
			\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{\frac{(n+1)}{(n+1)+1}}{\frac{n}{n+1}}\\
			&= \frac{n+1}{n+2} \times \frac{n+1}{n}\\
			&= \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\\
			&= \frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}>1
		\end{align*}
		
		donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{3^{2(n+1)^2+1}}{3^{2n^2+1}}\\
			&= 3^{2(n+1)^2+1-(2n^2+1)}\\
			&= 3^{4n+2}
		\end{align*}
		
		Comme $4n+2>0$, $3^{4n+2}>1$ donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{3^{n+1} \times 2^{(n+1)+1}}{3^{2(n+1)} \times 2^{n+1}} \times \frac{3^{2n} \times 2^n}{3^n \times 2^{n+1}}\\
			&= \frac{3^n \times 3 \times 2^{n+1} \times 2 \times 3^{2n} \times 2^n}{3^{2n} \times 3^2 \times 2^{n+1} \times 3^n \times 2^n \times 2}\\
			&= \frac{1}{3}<1
		\end{align*}
		
		donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Suites définies par une formule explicite.}

\begin{notabene}
	
	Je me limite au fonctions polynomiales pour ne pas devoir rappeler tous les résultats de dérivation.
	
\end{notabene}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez la monotonie des suites suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=n^2+n+13$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=n^2-2n-4$.
		
		\item $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=n^3+\frac{9}{2}n^2+6n$.
		
		\begin{notabene}
			
			$3(x+2)(x+1)=3x^2+9x+6$.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $x^2+x+13=\left(x+\frac{1}{2} \right)^2+\frac{51}{4}$.
		
		On pouvait aussi faire: $\alpha = -\frac{b}{2a}= - \frac{1}{2 \times 1}=-\frac{1}{2}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{1}{4}- \frac{1}{2} +13= \frac{51}{4}$.
		
		Dans les deux cas nous en déduisons les variations de la fonction polynomiale de degré deux puisque $a=1>0$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-\frac{1}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {+/ $+\infty$, -/ $\frac{51}{4}$ , + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		En particulier sur $\mathbb{R}_+$ la fonction est strictement croissante donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
		\item $u_0=-4$, $u_1=-5$ et $u_2=-4$ donc $(u_n)$ n'est pas monotone.
		
		\item $f:x \mapsto x^3+ \frac{9}{2}x^2+6x$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$:
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= 3x^2+9x+6
		\end{align*}
		
		$-1$ est racine évidente de $f'$ donc l'autre racine de ce trinôme est $\frac{6}{-1\times 3}=-2$. Comme de plus $a>0$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-2$, $-1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/ $-\infty$, +/ $-2$ , -/ $-\frac{5}{2}$, +/ $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Sur $\mathbb{R}_+$ $f$ est strictement croissante donc $(u_n)$ est strictement croissante.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Exercices.}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Suite arithmético géométrique. Exercice 140 page 137 du manuel hachette repères 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}= 0,9u_n+90\\ u_0= 1000 \end{array} \right. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$et $u_2$.
		
		\item On considère la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par \[ v_n=u_n-900 . \]
		
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $v_0$ et $v_1$.
			
			\item Montrez que pour tout nombre entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,9v_n$.
			
			\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$? Écrivez $v_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Déduisez-en pour tout nombre entier naturel $n$, $u_n=100 \times 0,9^n+900$.
		
		\item Conjecturez la valeur dont semble se rapprocher $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
				
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_1=990$, $u_2=981$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $v_0=90$, $v_1=81$.
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
				v_{n+1} &= {\color{Green}u_{n+1}}-900\\
				&= {\color{Green}0,9u_n+90}-900\\
				&= 0,9u_n-810\\
				&= {\color{WildStrawberry}0,9}u_n-{\color{WildStrawberry}0,9} \times 900\\
				&= {\color{WildStrawberry}0,9} \left({\color{Blue}u_n -900} \right)\\
				&= 0,9 {\color{Blue}v_n}
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ v_{n+1}=0,9v_n$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item D'après la question précédente
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de terme initial $v_0=90$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			On en déduit sa formule explicite, pour $n \in \mathbb{N}$:
			
			\begin{align*}
				v_{n} &= v_0 \times q^n
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N},\ v_n=90 \times 0,9^n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			u_n &= v_n+900\\
			&= 90 \times 0,9^n+900
		\end{align*}
		
		\item $(0,9^n)_{n\geqslant 0}$ tend vers 0 donc $u_n$ tend vers $900$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soient $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(S_n)_{n\in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour tout $n \in \mathbb{N}$ par \[ w_n=-n^2+2n \quad \text{et} \quad S_n=w_{n+1}-w_n. \]
	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimez $w_{n+1}$ en fonction de $n$.
		
		\item Déduisez-en l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Exprimez $S_{n+1}$ en fonction de $n$.
		
		\item Déduisez-en que $S_{n+1}-S_n=-2$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		w_{n+1} &= -(n+1)^2+2(n+1)\\
		&= -(n^2+2n+1) +2n+2\\
		&= -n^2-2n-1+2n+2\\
		&= -n^2+1
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		S_n &= w_{n+1}-w_n\\
		&= -n^2+1-\left( -n^2+2n \right)\\
		&= -n^2+1 +n^2-2n\\
		&= -2n+1
		\end{align*}
		
		Dès ici nous remarquons que la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est arithmétique de terme initial $S_0=1$ et de raison $-2$. Ce qui répond aux questions suivantes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		1ieme s hachette repere 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifiez que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie.
		
		\item Montrez que la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n^2$ est une suite arithmétique.
		
		\item Donnez l'expression du terme général $v_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Déduisez-en l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
		\item Trouvez la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n\geqslant 50$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $u_n^2+3 \geqslant 0$.
		
		\item $v_{n+1}=u_{n+1}^2=u_n^2+3=v_n+3$.
		
		\item $v_n=-1+3n$.
		
		\item $u_n=\sqrt{-1+3n}$ si $n\geqslant 1$ et $u_0=-1$.
		
		\item $u_n>50$ donc $-1+3n\geqslant 2500$ et $n\geqslant \frac{2500-1}{3} = 833$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}= \dfrac{2u_n}{2+3u_n}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_2$ et $u_3$.
		
		\item La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est-elle arithmétique?
		
		\item On suppose que pour tour entier naturel $n$, $u_n\ne 0$ et on définie la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $v_n=\frac{1}{u_n}$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Montrez que la suite $(v_n)$ est arithmétique et donnez ses éléments caractéristiques.
			
			\item Donnez l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
			
			\item Donnez l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étudiez la monotonie de la suite $(u_n)$.
		
		\item Montrez que pour tour $n$ de $\mathbb{N}$, $0<u_n\leqslant 1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{align*}
		u_1 &= \frac{2u_0}{2+3u_0}\\
		&= \frac{2\times 1}{2+3 \times 1}\\
		&= \frac{2}{5}
		\end{align*}
		
		De même
		
		\begin{align*}
		u_2 & = \frac{1}{4}\\
		u_3 &= \frac{2}{11}
		\end{align*}
		
		\item $u_2-u_1=-\frac{3}{20}$ et $u_3-u_2=-\frac{3}{44}$ donc pas arithmétique.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2+3u_{n+1}}{2u_{n+1}}$
			
			$v_{n+1}-v_n= \frac{2+3u_{n}}{2u_{n}} - \frac{1}{u_n}=\frac{2+3u_n-2}{2u_n}=\frac{3}{2}$. $r=\frac{3}{2}$ et $u_0=1$
			
			\item $v_n=1+\frac{3}{2}n$.
			
			\item $u_n=\frac{1}{1+\frac{3}{2}n}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item $\frac{u_{n+1}}{u_n}= \frac{1+\frac{3}{2}n}{1+\frac{3}{2}(n+1)} <1$. Donc strictement décroissante.
		
		\item $u_n>0$ par formule explicite et $u_n\leqslant 1$ par monotonie.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}


\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 131 page 135 du manuel hachette repère de première S 2011.
		
	\end{notabene}
	
	Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+3} \ \text{et}\ u_0=1.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item De quelle façon est définie la suite $(u_n)$?
		
		\item Donnez l'expression de la fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
		
		\item Représentez graphiquement la fonction $f$, puis représentez les cinq premiers termes de la suite sur ce graphique.
		
		\item Que pouvez-vous conjecturer quant aux variations de cette suite?
		
		\item Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour tout entier $n$, par $v_n=\frac{u_n+2}{u_n-2}$. Montrez que $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique.
		
		\item Déduisez-en $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par récurrence.
		
		\item $f:x \mapsto \frac{3x+4}{x+3}$.
		
		\item $f'(x)= \frac{5}{(x+3)^2}$ donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,d,+,}%
			\tkzTabVar {-/ $3$, +D- / $+\infty$ / $-\infty$, + / $3$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		En ajoutant quelques images simples  à calculer de tête on obtient un assez bon schéma: $f(0)=\frac{4}{3}$, $f\left( -\frac{4}{3} \right)=0$, $f(1)=\frac{7}{4}$, $f(-1)=\frac{3}{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		Exercice 139 page 137 du manuel hachette repère de première S 2011.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item On considère le nombre $B$ dont l'écriture décimale illimitée est $\np{0,375375375} \dots$ où $375$ est répété indéfiniment. Le nombre $B$ est-il rationnel? Justifiez votre réponse.
		
		\item On considère la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par son premier terme $u_1=0,375$ et $u_{n+1}=10^{-3}u_n$ pour tout entier $n$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la nature de la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$?
			
			\item On considère pour tout entier naturel $n$, la somme $S_n$ des $n$ premiers termes de la suite $\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$. On a donc $S_n=u_1+u_2+u_3+\dots+u_n$.
			
			Exprimez $S_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Conjecturez la valeur de $\lim_{n\to+ \infty}10^{-3n}$.
		
		\item Déduisez-en $\lim_{n\to +\infty} S_n$. Que représente ce nombre par rapport à $B$?
		
	\end{enumerate}
	
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}