%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Signe et variation de fonctions.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Signe et variation de fonctions.}

\subsection{Signe des fonctions.}

\subsubsection{Tableau de signe.}

\begin{lecon}
	
	Étudier le signe d'une fonction $f$ c'est donner le signe de l'image $f(x)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.
	
	Pour certaines fonctions comme $g: x \mapsto x^2+1$ dont les images sont toutes strictement positives nous dirons simplement que $g$ est strictement positive et nous noterons $g>0$ (remarquez l'absence de $x$).
		
\end{lecon}

\subsubsection{Fonctions de référence.}


\subsubsection{Fonctions affines.}

\begin{exemples}
	
	\smallskip
	Soit $h: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}& \rightarrow & \mathbb{R}\\  x & \mapsto & -7x+49\end{array}\right.$
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item On cherche les valeurs de $x$ telles que
		
		\begin{align*}
		h(x)>0 \\
		\intertext{Cette inéquation équivaut successivement à:}
		-7x+49&>0\\
		-7x+49-40&>0-49\\
		-7x&>-49\\
		\frac{-7x}{-7}&<\frac{-49}{-7}\\
		x&<7\\
		x \in ]-\infty ; 7[
		\end{align*}
		
		\item En procédant comme précédemment nous obtiendrions que l'ensemble des solutions de l'équation $h(x)=0$ est $\{ 7 \}$.
		
		\item Des deux points précédents nous déduisons que $h(x)<0$ lorsque $x \in ]7; +\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous en déduisons finalement
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8,  $h(x)$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$7$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\begin{notabene}
		
		Que ce serait-il passé si la formule de $h$ avait été $h(x)= 7x+49$?
		
	\end{notabene}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	Soient:	
	
	\begin{enumerate}[.]
		\item $a$ et $b$ deux nombres réels,
		\item $f:x \mapsto ax+b$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Si $a>0$, alors:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
		{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
		{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
		\tkzTabLine{ , - , z , + , }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	Supposons $a>0$ et démontrons qu'alors le tableau de signe proposé convient.
	
	\medskip
	Recherchons pour quelles valeurs de $x$, $f(x)>0$.
	\begin{align*}
	f(x)>0 &\Leftrightarrow ax+b>0\\
	&\Leftrightarrow ax+b-b>0-b\\
	&\Leftrightarrow ax>-b\\
	\intertext{Et comme $a> 0$:}
	f(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{ax}{a}>-\frac{b}{a}\\
	&\Leftrightarrow  x> -\frac{b}{a}\\
	&\Leftrightarrow x\in \left] -\frac{b}{a};+\infty \right[ 
	\end{align*}
	
	\medskip
	Recherchons de même pour quelles valeurs de $x$, $f(x)=0$.
	\begin{align*}
	f(x)=0 &\Leftrightarrow ax+b=0\\
	&\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}
	\end{align*}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\medskip
	Remarques.
	\begin{enumerate}
		\item De même si $a<0$ alors le tableau de signe est 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{b}{a}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Si $a=0$ alors $f$ est la fonction constante égale à $b$ donc elle est toujours du même signe, celui de $b$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x \mapsto 2x+8$.
		
		$f$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=8$.
		
		$a>0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{8}{2}=-4$ donc, d'après le cours,
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-4$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Considérons la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g:x \mapsto -4x+10$.
		
		$g$ est une fonction affine avec $a=-4$ et $b=10$.
		
		$a<0$ et $-\frac{b}{a} = - \frac{10}{-4}=\frac{5}{2}$ donc
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$g$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{5}{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Donnez le tableau de signe de $f$ définie sur l'intervalle $I$ dans les différents cas proposés.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\item $f(x)=2x+4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-15$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-7x+14$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-13x-39$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=x-\pi$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x+\sqrt{2}$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-x-2$, $I=\mathbb{R}$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\begin{enumerate}
				\setcounter{enumi}{8}
				\item $f(x)=3x+7$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-4x+13$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=-3x-4$, $I=\mathbb{R}$.
				\item $f(x)=5x+12$, $I=]-\infty; -3[$.
				\item $f(x)=6x-8$, $I=[-12; 10]$.
				\item $f(x)=-8x+12$, $I=\left[ \frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
				\item $f(x)=-3x-24$, $I=]-8 ;10[$.
			\end{enumerate}
			
		\end{minipage}
		
	\end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-7}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\pi$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\sqrt{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{7}{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{4}{5}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{13}{4}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{4}{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-3$,  $-\frac{12}{5}$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-12$ , $\frac{4}{3}$ , $10$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{ $\frac{3}{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\item ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-8$ , $10$ }%
			\tkzTabLine{ d , - ,d }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsubsection{Fonctions polynomiales de degré deux.}

\begin{lecon}
	
	Nous retiendrons la formulette mnémotechnique: \emph{\color{purple}la fonction polynomiale de degré deux est du signe de son coefficient dominant sauf entre ses éventuelles racines.}
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez le signe de la fonction $f$ définie sur $I$ dans les cas suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=(x-72)^2$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-2(x-2)(x+3)$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=7(x+3)^2$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-x^2-1$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=x+1$ et $I=[-10;10]$,
		\task $f(x)=3x^2-24x+48$ et $I=[-10;10]$.
		\task $f(x)=x^2+x-2$ et $I=[-5;3]$.
		\task $f(x)=-x^2+4x-3$ et $I=[ -2 ; 2]$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}
		\task
		
		
		\task 
		\objectif{Dressons le tableau de signe de $f$.}
		
		$f$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée avec $a=-2$, $x_1=2$ et $x_2=-3$.
		
		$f$ est donc du signe de $a<0$ sauf entre ses racines.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-3$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task \objectif{Dressons le tableau de signe de $g$.}
		
		$g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme factorisée avec $a=7$, $x_1=-3$ et $x_2=-3$.
		
		$g$ est donc du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
			
		\task \objectif{Démontrons que $h$ est strictement négative.}
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		Nous avons successivement
		
		\begin{align*}
		x^2 &\geqslant 0\\
		-x^2 &\leqslant 0\\
		-x^2-1 <0
		\end{align*}
		
		Ainsi pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x)<0$.
		
		\begin{conclusion}
		
		$f$ est strictement négative.
		
		\end{conclusion}
	\task \objectif{Dressons le tableau de signe de $\ell$.}
	
	{\color{orange}Ce n'est pas parce que vous avez un marteau qu'il y a des clous partout: il ne s'agit pas d'une fonction polynomiale de degré deux.}
	
	$\ell:x \mapsto x+1$ est une fonction affine avec $m=1$ et $p=1$. $m>0$ donc $\ell$ est strictement croissante. $\ell$ s'annule en $-\frac{p}{m}=-\frac{1}{1}=-1 $.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\ell(x)$ /0.8}
		{$-10$ ,$-1$, $10$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	\task 	\objectif{Dressons le tableau de signe de $f$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item $f$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=3$, $b=-24$ et $c=48$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		\Delta &= b^2-4ac\\
		&= (-24)^2-4 \times 3 \times 48\\
		&= 0
		\end{align*}
		
		$\Delta =0$ donc $f$ admet une racine double.
		
		\item 			
		
		\begin{align*}
		x_0 &= \frac{-b}{2a}\\
		x_0 &= \frac{-(-24)}{2\times 3}\\
		x_0 &= 4
		\end{align*}
		
		\item Le trinôme $f$ est du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-10$ ,$4$, $10$}
			\tkzTabLine{,+,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
	\task \objectif{Dressons le tableau de signe de $g$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item $g$ est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=1$, $b=1$ et $c=-2$.
		
		\item 
		
		\begin{align*}
		\Delta &= b^2-4ac\\
		&= 1^2-4 \times 1 \times (-2)\\
		&= 9
		\end{align*}
		
		$\Delta >0$ donc $g$ admet deux racines distinctes.
		
		\item 			
		
		\noindent 
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
			$ \begin{aligned}
			x_1 &= \frac{-b{\color{red}-}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			x_1 &= \frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1}\\
			x_1 &= -2
			\end{aligned}$
			&
			$ \begin{aligned}
			x_2 &= \frac{-b{\color{red}+}\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			x_2 &= \frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1}\\
			x_2 &= 1
			\end{aligned}$
			
		\end{tabularx}
		
		\item Le trinôme $g$ est du signe de $a>0$ sauf entre ses racines.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g(x)$ /0.8}
			{$-5$ ,$-2$, $1$, $3$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
	\task \objectif{Étudions le signe de $h$ sur $[-2;2]$.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item $h(X)$ est un polynôme de degré deux, donné sous forme développée avec: $a=-1$, $b=4$ et $c=-3$.
		
		$x_1=1$ est clairement racine de $h(X)$. Nous en déduisons par équivalences successives:
		
		\begin{align*}
		x_1x_2 &= \frac{c}{a}\\
		1 \times x_2 &= \frac{-3}{-1}\\
		x_2 &= 3
		\end{align*}
		
		\item Le trinôme $h$ est du signe de son coefficient dominant $a<0$ saut entre ses racines donc
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-2$ ,$1$, $2$}
			\tkzTabLine{,-,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		{\color{orange}Si vous avez du mal à voir ce qui ses passe voici une présentation alternative dans laquelle on considère que $h$ est définie sur $\mathbb{R}$.}
		
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $h$ /0.8}
		{$-\infty$ ,$-2$, $1$, $2$, $3$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,z,-,}%
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M10) rectangle (M42);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{enumerate}
		
	\end{tasks}

\end{exercicecorrection}

\subsubsection{À l'arrache en utilisant factorisation et quotient.}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123 exercice 35, page 123 exercice 34
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquation suivantes dans l'ensemble des réels.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $x^2-4x\le -2x-1$
			\item $3x(x+3)-(x+3)^2\le 0$
			\item $x^3+2x^2+x\ge 0$
			\item $x(x+6)>3(x+6)$
			\item $2x(x-3)+3x-9<6x-18$
			\item $x^2(1-3x)+4(6x-2)\ge 0$
			\item $(1-2x)x-4x(x+6)\le 0$
			\item $7-x^2<2x-2\sqrt{7}$
			\item $(x^2-1)+2x-2>6x-6$
			\item $x^2 \le 10$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{10}
			\item $x^2 \le -16$
			\item $x^2 \le 0$
			\item $x^2<8$
			\item $x^2 \le 144$
			\item $x^2 \le 20$
			\item $x^2-4+(x+2)(2x+5)<0$
			\item $(x+1)(x-3)\ge x^2-9$
			\item $4x-4+(x-1)(x-4)+x^2-1>0$
			\item $(x+5)^2\le (x+5)(x+3)$
			\item $(2x-1)(x+3)\ge \left( x-\frac{1}{2} \right) (x+6)$
		\end{enumerate}
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $(x-1)^2\le 0$. $\mathscr{S}= \{ 1\}$.
		
		\item $(x+3)(2x-3)\le 0$. $\mathscr{S}= \left[-3 ; \frac{3}{2} \right]$.
		
		\item $x(x+1)^2\ge 0$. $\mathscr{S}= \{ -1 \} \cup [0 ;+\infty[$.
		
		\item $(x-3)(x+6)>0$. $\mathscr{S}= ]-\infty ; -6[ \cup ] 3;+ \infty[$.
		
		\item $(x-3)(2x-3)<0$. $\mathscr{S}= \left] \frac{3}{2} ; 3 \right[$.
		
		\item 
				
		\begin{align*}
		x^2(1-3x)+4(6x-2) &\geqslant 0\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		x^2(1-3x)+4 \times (-2)(1-3x) &\geqslant 0\\
		x^2(1-3x)-8(1-3x) &\geqslant 0\\
		[x^2-8] (1-3x) &\geqslant 0\\
		[x^2-(2\sqrt{2})^2 ] (1-3x) &\geqslant 0\\
		(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})(1-3x) &\geqslant 0
		\end{align*}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-2\sqrt{2}$ /0.8, $x+2\sqrt{2}$ /0.8, $1-3x$ /0.8, $P(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2\sqrt{2}$, $\frac{1}{3}$, $2\sqrt{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$\mathscr{S}= \left]-\infty ; -2\sqrt{2} \right] \cup \left[ \frac{1}{3} ; 2\sqrt{2} \right]$.
		
		\item $x(-6x-23)\le 0$.
		
		\item $(\sqrt{7}-x)(x+\sqrt{7}+2)<0$.
		
		\item $(x-1)(x-3)>0$.
		
		\item $(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\le 0$.
		
		\item 
		
		\item 
		
		\item $(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})<0$.
		
		\item $(x-12)(x+12)\le 0$.
		
		\item $(x-2\sqrt{5})(x+2\sqrt{5}) \le 0$
		
		\item $3(x+2)(x+1) <0$.
		
		\item $-2(x-3) \ge 0$.
		
		\item $(x-1)(2x+1)>0$.
		
		\item $2(x+5)\le 0$.
		
		\item $x\left( x-\frac{1}{2} \right)$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{notabene}
		
		2ieme hachette declic 2014 page 127 exercice 49, 
		
		2ieme nathan hyperbole 2010 page 123
		
	\end{notabene}
	
	Résolvez les inéquations dans $\mathbb{R}$.
	
	\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\begin{enumerate}
			\item $\frac{2x-4}{x+2}\leqslant 0$
			\item $\frac{-2x+8}{3x-2}\leqslant 0$
			\item $\frac{2x+4}{x-1}-2\ge 0$
			\item $\frac{2x+4}{x+1}<3$
			\item $\frac{2x+3}{x+1} \le \frac{x-6}{x+1}$
			\item $1<\frac{2x+10}{-x+3}$
			\item $\frac{x+3}{2x-1}\ge 0$
			\item $\frac{2-x}{5-2x}\le 0$
			\item $\frac{3x-1}{-x+5}>0$
			\item $\frac{5x(x-2)}{4x+1}<0$
		\end{enumerate}
		&
		\begin{enumerate}
			\setcounter{enumi}{10}
			\item $\frac{2x^2}{(-x+1)(x+3)}\ge 0$
			\item $\frac{-x(x-4)}{2+x^2}\le 0$
			\item $\frac{(x+1)(x-2)}{3-x}>0$
			\item $\frac{9-4x}{11-5x}<0$
			\item $\frac{-5+4x}{2x-1}\ge 0$
			\item $\frac{x+1}{3-x}\le 0$
			\item $\frac{7-2x}{2x-1} >0$
			\item $\frac{-5x}{(2x-7)^2}<0$
			\item $\frac{1+2x^2}{7-x}\ge 0$
			\item $\frac{x+4}{5-x}<2$
		\end{enumerate}
		
		\\ \end{tabularx}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 	
		\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{2x-4}{x+2}$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto 2x-4$ est une fonction affine avec $a=2$ et $b=-4$. $a>0$ donc $f$ est strictement croissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$.
			\item $g:x \mapsto x+2$ est une fonction affine avec $a=1$ et $b=2$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $2x-4$ /0.8, $x+2$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $\frac{2x-4}{x+2}\leqslant 0$ est $\mathscr{S}= \left]-2; 2 \right]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\objectif{Étudions le signe de $h:x \mapsto \frac{-2x+8}{3x-2}$.}
		
		\begin{enumerate}[.]
			\item $f:x \mapsto -2x+8$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=8$. $a<0$ donc $f$ est strictement décroissante. $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-2}=4$.
			\item $g:x \mapsto 3x-2$ est une fonction affine avec $a=3$ et $b=-2$. $a>0$ donc $g$ est strictement croissante. $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$.
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-2x+8$ /0.8, $3x-2$ /0.8, $h(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\frac{2}{3}$, $4$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de $\frac{-2x+8}{3x-2}\leqslant 0$ est $\mathscr{S}= \left]-\infty ; \frac{2}{3} \right[ \cup [4 ; + \infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\subsection{Étude de variations.}

\subsubsection{Fonctions de références.}

\subsubsection{Des presque fonctions de références.}

\begin{notabene}
	
	Translations, homothéties de fonctions de références.
	
	Compositions de fonctions de références.
	
\end{notabene}
	
\subsubsection{Utilisation de la dérivée}

\begin{theoreme}
	
	Soient:
	\begin{enumerate}[.]
		
		\item $a<b$ deux réels,
		
		\item $f:]a,b[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $]a,b[$.
		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	Nous avons les résultats suivants.
	
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\item $f'\geqslant 0$ si et seulement si $f$ est croissante.
		
		\item $f'\leqslant 0$ si et seulement si $f$ est décroissante.
		
		\item $f'=0$ si et seulement si $f$ est constante.
		
		\item {\color{purple}Si $f'>0$, sauf éventuellement en un nombre fini de points pour lesquels $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement croissante}.
		
		\item {\color{purple}Si $f'<0$, sauf éventuellement en un nombre fini de points pour lesquels $f'(x)=0$, alors $f$ est strictement décroissante}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{theoreme}

\begin{preuve}
	
	L'idée (très approximative) de la démonstration est la suivante pour le cas $f'\geqslant 0$. Pour $h$ suffisamment proche de $0$ le taux d'accroissement est positif: $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geqslant 0$. Donc pour $h>0$, $f(x_0+h)-f(x_0)\geqslant 0$. Ou encore: $f(x_0) \leqslant f(x_0+h)$. $f$ conserve l'ordre entre $x_0$ et $x_0+h$. Autrement dit $f$ est croissante.
	
	La réciproque est du même tabac.
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Par convention les tableaux de variations indiquent la stricte monotonie. Pour les construire nous utiliserons donc les implications $(iv)$ et $(v)$ correspondantes.
		
		\item Le $(ii)$ offre une caractérisation des fonctions constantes. Autrement dit c'est un moyen des démontrer qu'une fonction est constante. Nous utiliserons ce résultat dans des démonstrations de la leçon sur la fonction exponentielle.
		
		\item Ce résultat n'est valable que sur un intervalle. En effet, il n'est qu'à considérer la fonction inverse pour voir que le théorème ne fonctionne pas si on est pas sur un intervalle.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f:x \mapsto -x^2+4x-7$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.}
		
		{\color{orange}La démarche pour étudier les variations d'une fonction se fera désormais ainsi:
			\begin{enumerate}
				\item calcul de la fonction dérivée,
				\item étude du signe de la fonction dérivée,
				\item construction d'un tableau indiquant le signe de la fonction dérivée puis les variations de la fonction.
			\end{enumerate}
		}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons la dérivée de $f$.
			
			$f$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $]0;+\infty[$ et quelque soit $x\in ]0;+\infty[$, \[ f'(x)=-2x+4 \]
			
			\item Étudions le signe de $f'$.
			
			$f'$ est donc une fonction affine. Elle s'annule en $-\frac{b}{a}=-\frac{4}{-2}=2$. Comme son coefficient directeur $a=-2<0$, elle et strictement positive sur $]0;2[$ et strictement négative sur $]2;+\infty[$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$ ,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {+D- / / , + / $-3$, - /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $g:x \mapsto \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x-13$ définie sur $\mathbb{R}$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.}
		
		{\color{orange}En devoir surveillé une telle question, qui nécessite de nombreuses étapes, sera coupée en plusieurs sus questions: calculez la fonction dérivée, étudiez le signe de la fonction dérivée, dressez le tableau de variation de la fonction.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons la dérivée de $g$.
			
			$g$ est une fonction polynomiale donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, quelque soit $x$ réel, 
			
			\begin{align*}
			g'(x) &= \frac{1}{3}\times 3x^2-\frac{3}{2} \times 2x+2+0\\
			&= x^2-3x+2
			\end{align*}
			
			\item Étudions le signe de $g'$.
			
			$g'$ est une fonction polynomiale de degré $2$ avec: $a=1$, $b=-3$ et $c=2$.
			
			Recherchons les racines de $f'$.
			
			\[ \Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4\times (1) \times (2)=1 \]
			
			$\Delta >0$ donc $g'$ admet deux racines distinctes.
			
			\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
				$\begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times (1)}\\
				&= 1
				\end{aligned}$
				&
				$\begin{aligned}
				x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times (1)}\\
				&= 2
				\end{aligned}$
			\end{tabularx}
			
			$g'$ est donc du signe de $a=1$ sauf entre les racines $1$ et $2$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $g'(x)$ /0.8, $g(x)$ /1.6}
				{$0$ ,$1$,$2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,+,z,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+D- / / , + / $-\frac{73}{6}$, - / $-\frac{37}{3}$, +/  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $h:x\mapsto -4\sqrt{x}$ une fonction définie sur $]0;+\infty[$.
		
		\objectif{Étudions les variations de $h$ sur $]0;+\infty[$.}
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminons $f'$.
			
			$h$ est le produit d'une constante et de la fonction racine carrée donc $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, quelque soit $x\in ]0;+\infty[$,
			
			\begin{align*}
			h'(x) &= 4\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
			&= \frac{2}{\sqrt{x}}
			\end{align*}
			
			\item Étudions le signe de $h'$.
			
			Comme $x\ne 0$, $\sqrt{x}$ est strictement positif. Donc $h'$ est strictement positive sur $]0;+\infty[$.
			
			\item Nous en déduisons
			
			\begin{conclusion}
				
				$h$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Soit $h:x \mapsto x^3$.
		
		\begin{notabene}
			
			Exemple de fonction strictement croissante avec dérivée strictement positive sauf en un point.
			
		\end{notabene}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{exercice}{}
	
	Soit $f :x \mapsto x+1+\mathrm{e}^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $f'$ et $f''$.
		
		\item Étudiez les variations de $f'$ et déduisez-en le signe de $f'$.
		
		\item Déduisez-en les variations de $f$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudiez les variations de $g: x \mapsto x+2 -\mathrm{e}^x$ définie sur $[0,+\infty[$.
			
			\item Justifiez que $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0,+\infty[$.
			
			\item Déduisez-en le signe de $g$ sur $[0,+\infty[$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étudiez les variations de $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x-1}{x \mathrm{e}^x+1}$ sur $[0;+\infty[$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Étudiez les variations des fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $I$.
	
	\begin{tasks}
		\task $f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1)$ et $I=]0,5;+\infty[$.
		\task $f(x)=x\sqrt{ \frac{1+x}{1-x}}$ et $I=]-1,1[$.
		\task $f(x)=(5x+7)\sqrt{x^2-1}$ et $I=]-\infty,-1[ \cup ]1,+\infty[$.
		\task $f(x)=\exp\left( \sqrt{x^2-5x+6} \right)$ et $I=]-\infty,2] \cup [3,+\infty[$.
		\task $f(x)=\exp{-x^2+x+1}$ et $I=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=\frac{x}{2}\ln(1-x^2)$ et $I=]-1,1[$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}