%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}


%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Plan d'étude d'une fonction.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Plan d'étude d'une fonction.}

\subsection{Les étapes.}

\begin{methode}
	
	Le plan d'étude d'une fonction obéit en général à l'ordre suivant.
	
	\begin{enumerate}
		\item On détermine l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.
		
		\item On étudie l'éventuelle parité ou l'éventuelle périodicité de $f$.
		
		\begin{enumerate}
			
			\item Si $f$ est paire ou impaire on peut restreindre l'étude de $f$ à l'ensemble $\mathscr{D}_f \cap \mathbb{R}_+$ ou $\mathscr{D}_f \cap \mathbb{R}_-$.
			
			\item Si $f$ est $T$-périodique ($T>0$), on peut restreindre l'étude de $f$ à un intervalle d'amplitude $T$.
			
			\item Si $f$ n'est ni paire, ni impaire, ni périodique, on ne restreint pas l'ensemble d'étude.
			
		\end{enumerate}
		
		\item On détermine les limites de $f$ aux bornes de $\mathscr{D}_f$.
		
		\item Dérivation.
		
		\begin{enumerate}
			\item On étudie la dérivabilité de $f$.
			
			\item On détermine ensuite la dérivée $f'$.
			
			\item On étudie enfin le signe de $f'$.
			
		\end{enumerate}
				
		\item On dresse le tableau de variation de $f$ en indiquant
		
		\begin{itemize}
			
			\item le sens de variation entre les bornes de $\mathscr{D}_f$,
			
			\item les limites aux bornes de $\mathscr{D}_f$, 
			
			\item les valeurs exactes des extremums locaux.
			
		\end{itemize}
		
		\item Si $\mathscr{C}_f$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j} \right)$,
		
		\begin{itemize}
			\item on détermine les éventuelles asymptotes à cette courbe,
			
			\item éventuellement on étudie la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à ses asymptotes.
			
		\end{itemize}
		
		\item On calcule les images par $f$ de quelques réels de $\mathscr{D}_f$ ($0$, $-1$, $1$, $-2$, $2$, $\mathrm{e}$,...) afin de placer quelques points de $\mathscr{C}_f$.
		
		\item On peut préciser les tangentes en certains points particuliers, notamment les tangentes horizontales.
		
		\item On trace $\mathscr{C}_f$ dans un repère judicieusement choisi.
		
	\end{enumerate}
	
\end{methode}

\subsection{Mise en œuvre, applications.}

\begin{exercice}{ - fonction polynomiale.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 41
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez la fonction $f:x \mapsto x^3-3x^2+2$ et tracez sa courbe représentative dans un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j} \right)$.
	
	\emph{On pourra démontrer que $S(1,0)$ est centre de symétrie de $\mathscr{C}_f$.}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Je fais le choix de ne pas utiliser la symétrie proposée par l'énoncé dans cette correction.}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une fonction polynomiale donc elle est définie sur $\mathbb{R}$: $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			
			\item {\color{orange}Le fait que la fonction soit formée de fonctions toutes paires ou toutes impaires peut laisse deviner une parité. Ici $x\mapsto x^3$ est impaire tandis que $x \mapsto x^2$ est paire: elle ne sera donc probablement ni l'une ni l'autre. Vérifions avec un contre exemple simple.}
			
			$f(-1)=-2$ et $f(1)=0$. $f$ n'est donc ni paire ni impaire.
			
			\item {\color{orange}Rien ne laisse supposer qu'il y aura de périodicité: pas de cosinus, sinus ou tangente,...).}
			
			\item {\color{orange}Pas de restriction du domaine de définition nous devons étudier $f$ sur $\mathbb{R}$.}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Étudions les limites de $f$ aux bornes de $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.}
		
		{\color{orange}Nous devons donc étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.}
		
		$x^3-3x^2+2 \underset{x \to \pm \infty}{ \sim} x^3$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$f \underset{+\infty}{\longrightarrow} + \infty$ et $f \underset{-\infty}{\longrightarrow} - \infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Étude de la dérivabilité de $f$.}
			
			$f$ est une fonction polynomiale donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f= \mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons $f'$ sur $\mathbb{R}$.}
			
			{\color{orange}$f$ étant polynomiale on peut donner directement la fonction dérivée.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=3x^2-6x$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Étudions le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$.}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			$f'(x)=3x(x-2)$, d'où
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $3$ /0.8, $x$ /0.8, $x-2$ /0.8, $f'(x)$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$0$, $2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Tableau de variation de $f$ sur $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.}
		
		De $f(0)=2$, $f(2)=-2$ et des questions précédentes nous déduisons:
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $2$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $2$ , - / $-2$, + / $+\infty$ }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Pas d'asymptote horizontale ou verticale. Pas d'asymptote oblique évidente ou suggérée par l'énoncé.}
		
		\item {\color{orange}En choisissant quelques valeurs simples à calculer mentalement.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1$ & $1$ & $3$
				\\
				\hline
				$f(x)$ & $-18$ & $-2$ & $0$ & $2$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}		
		
		\item Puisque $f'$ s'annule en $0$ et $2$, $\mathscr{C}_f$ admet des tangentes horizontales au points d'abscisses $0$ et $2$.
		
		\item \objectif{Traçons $\mathscr{C}_f$.}
		
		{\color{orange}Les calculs d'images et les variations (extrema du tableau de variation) nous incite à nous limiter au segment $[-2,4]$ du domaine de définition et des ordonnées limitées à $[-4,4]$.
		
		\begin{enumerate}
			\item D'après 7 et les extrema du tableau de variation nous pouvons placer {\color{red}quelques points}.
			
			\item D'après le signe de $f'$, question 4(c) nous avons deux {\color{blue}tangentes horizontales}.
			
			\item On trace enfin approximativement {\color{Green}la courbe} grâce au tableau de variation et aux limites en $\pm \infty$.
			
		\end{enumerate}
		}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2};
			\def\xcoinhautdroit{4};
			\def\ycoinbasgauche{-4};
			\def\ycoinhautdroit{4};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
			%Points
			\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {
				\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};
				}
			%Tangentes horizontales
			\def\longueurtangente{0.7};
			\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{
				\draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});
				}
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{ - fonction polynomiale.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 42
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez la fonction $f:x \mapsto -x^3-2x+4$ et tracez sa courbe représentative dans un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j} \right)$.
	
	\emph{On pourra démontrer que $S(0,4)$ est centre de symétrie de $\mathscr{C}_f$.}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\objectif{Étudions $f$.}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est polynomiale donc $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item $f$ n'est a priori pas périodique.
		
		$f(-1)=7$ et $f(1)=1$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire.
		
		\item $f(x) \underset{\pm \infty}{\sim} -3x^3$ donc $f\underset{+ \infty}{\longrightarrow} -\infty$ et $f\underset{- \infty}{\longrightarrow} +\infty$.
		
		\item $f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ réel: $f'(x)=-3x^2-2$.
		
		Clairement $f'(x)<0$ pour tout $x$ réel.
		
		\item On en déduit $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
		
		\item Pas d'asymptote.
		
		\item Quelques images simples:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$
				\\
				\hline
				$f(x)$ & $16$ & $-2$ & $4$ & $1$ & $-8$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item Aucune tangente horizontale.
		
		\item Traçons $\mathscr{C}_f$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-2};
			\def\xcoinhautdroit{2};
			\def\ycoinbasgauche{-8};
			\def\ycoinhautdroit{16};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-2:2] plot({\x},{-\x*\x*\x-2*\x+4)});
			%Points
			\foreach \a/\b in { -2/16, -1/-2, 0/4, 1/1, 2/-8} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
			%Tangentes horizontales
			%\def\longueurtangente{0.7};
			%\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{ - fonction polynomiale.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 1.8
		
	\end{notabene}
	
	Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels et soit $f$ la fonction définie sur $[0;2]$ par: $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx$.
	
	on appelle $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère et $A$ le point de coordonnées $\left(1; -\frac{1}{2} \right)$ dans ce repère.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez $a$, $b$ et $c$ pour que les trois propriétés suivants soient vérifiées simultanément:
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $f(0)=f(2)$.
			
			\item $\mathscr{C}_f$ passe par le point $A$.
			
			\item Au point $A$ la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Étudiez les variations de la fonction $g$ définie sur $[0;2]$ par: $g(x)=x^4-4x^3+\'rac{11}{3}x^2-3x$.
		
		Tracez la courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$, les unités graphiques étant: $4\ \mathrm{cm}$ sur l'axe des abscisses et $16\ \mathrm{cm}$ sur l'axe des ordonnées.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction rationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 43
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\displaystyle f:x \mapsto \frac{x^2-5x+3}{2x+4}$ une fonction, $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j} \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez le domaine de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.
		
		\item Étudiez les limites de $f$ aux bornes de $\mathscr{D}_f$ et en déduire une asymptote à la courbe de $f$.
		
		\item Montrez qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in \mathscr{D}_f$, $\displaystyle f(x)=ax+b+\frac{c}{2x+4}$.
		
		Déduisez-en une deuxième asymptote à $\mathscr{C}_f$.
		
		\item Déterminez le point d'intersection $S$ des deux asymptotes. 
		
		Montrez que $S$ est un centre de symétrie pour $\mathscr{C}_f$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $f$ puis dressez son tableau de variation.
		
		\item Tracez la courbe $\mathscr{C}_f$ et ses asymptotes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est définie si et seulement si $2x+4 \ne 0$. Or: $2x+4=0 \Leftrightarrow x=-2$, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{D}_f= \mathbb{R} \setminus \{ -2 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions les limites de $f$ aux bornes de $\mathscr{D}_f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f(x) \underset{x \to \pm \infty}{\sim} \frac{1}{2}x$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x) \underset{x \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $f(x) \underset{x \to - \infty}{\longrightarrow} -\infty$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $\displaystyle  \lim_{x \to -2} x^2-5x+3=17$ et $\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x<-2 \end{subarray}} 2x+4 = 0^-$ et $\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} 2x+4 = 0^+$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} f(x)= +\infty$ et 
				$\displaystyle \lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x<-2 \end{subarray}} f(x)= -\infty$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous en déduisons que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{C}_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=-2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item \objectif{Démontrons que les réels $a$, $b$ et $c$ existent.}
		
		{\color{orange}L'une des méthodes pour démontrer une existence consiste à procéder à un raisonnement par analyse synthèse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $x \in \mathscr{D}_f$.
			
			Supposons qu'il existe des réels $a$, $b$ et $c$ tels que \[ f(x)=ax+b+\frac{c}{2x+4}. \]
			
			Nous en déduisons: 
			
			\begin{align*}
				f(x) &= \frac{(ax+b)(2x+4)+c}{x+4}\\
				&= \frac{2ax^2+4ax+2bx+4b+c}{2x+4}\\
				&= \frac{2ax^2+(4a+2b)x+ (4b+c)}{2x+4}
			\end{align*}
			
			Par identification avec l'expression de l'énoncé nous en déduisons \[ \left\{ \begin{array}{l} 2a=1\\ 4a+2b=-5 \\ 4b+c=3 \end{array} \right. \]
			
			Donc \[ \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{7}{2} \\ c=17 \end{array} \right. \]
			
			\item On vérifie aisément que $a= \frac{1}{2}$, $b=-\frac{7}{2}$ et $c=17$ conviennent.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in \mathbb{R}\setminus \{-2\},\ f(x)= \frac{1}{2}x -\frac{7}{2} + \frac{17}{2x+4}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Comme $f(x)-\left( \frac{1}{2}x-\frac{7}{2} \right) \underset{x \to \pm \infty}{\sim} \frac{1}{2} \times \frac{1}{x}$ nous en déduisons que \[ f(x)-\left( \frac{1}{2}x-\frac{7}{2} \right) \underset{x \to \pm \infty}{0}. \]
		
		Par conséquent:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{C}_f$ admet une asymptote oblique d'équation $y\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}$ en $-\infty$ et $+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Déterminons les coordonnées de $S$ point d'intersection des deux asymptotes.}
		
		Si $S$ appartient aux deux deux asymptote alors ses coordonnées vérifient: \[ \left\{ \begin{array}{l} y_S=\frac{1}{2}x_S-\frac{7}{2}\\ x_S=-2\end{array} \right. \]
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$S\left( -2; -\frac{9}{2} \right)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $S$ est centre de symétrie pour $\mathscr{C}_f$.}
		
		Remarquons que $\mathscr{D}_f=\mathbb{R} \setminus \{ -2\}$ est symétrique par rapport à $x_S=-2$.
		
		Soit $h >0$.
		
		Démontrons que $\frac{f(x_S-h)+f(x_S+h)}{2}= y_s$ {\color{orange}autrement dit que $S$ est milieu du segment dont les extrémités sont les points de coordonnées $\left( x_S-h; f(x_S-h) \right)$ et $\left( x_S+h; f(x_S+h) \right)$.}
		
		\begin{align*}
			f(x_S-h)+f(x_S+h) &= f(-2-h)+f(-2+h)\\
			&= \frac{4+4h+h^2+10+5h+3}{-4-2h+4}+\frac{4-4h+h^2+10-5h+3}{-4+2h+4}\\
			&= \frac{h^2+9h+7}{-2h} + \frac{h^2-9h+7}{2h}\\
			&= \frac{-h^2-9h-7+h^2-9h+7}{2h}\\
			&= -\frac{9}{2}\\
			&= y_S
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$S$ est une centre de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$.
			
		\end{conclusion}
		
		\item \objectif{Étudions les variations de $f$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $f$ est quotient de deux fonctions polynomiales $u:x \mapsto x^2-5x+3$ et $v:x \mapsto 2x+4$ dont le dénominateur $v$ s'annule en $-2$ donc $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f= \mathbb{R}\setminus \{ -2 \}$.
			
			\item Comme $u'(x)=2x-5$ et $v'(x)=2$ nous en déduisons, pour tout $x \in \mathscr{D}_f$:
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= \frac{(2x-5)(2x+4) -(x^2-5x+3) \times 2}{(2x+4)^2}\\
				&= \frac{4x^2+8x-10x-20-2x^2+10x-6}{(2x+4)^2}\\
				&= \frac{2x^2+8x-26}{(2x+4)^2}\\
				&= 2 \frac{x^2+4x-13}{(2x+4)^2}
			\end{align*}
			
			\item $f'$ est du signe de $h:x \mapsto x^2-4x-13$ qui est une fonction polynomiale de degré deux donnée sous forme développée avec $a=1$, $b-4$ et $c=-13$.
			
			$\Delta= b^2-4ac= 4^2 -4 \times 1 \times (-13)=68 {\color{orange}=2^2 \times 17}$.
			
			$\Delta >0$ donc $h$ admet deux racines réelles distinctes:
			
			\[ x_1= \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-4-2\sqrt{17}}{2 \times 1}=-2-\sqrt{17} \] et \[ x_2= \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-4+2\sqrt{17}}{2 \times 1}=-2+\sqrt{17}. \]
			
			Puisque le trinôme est du signe de son coefficient dominant sauf entre ses éventuelles racines:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$x_1$, $-2$, $x_2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,z,+,}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item Pour les plus motivés: $f\left( -2-\sqrt{17} \right)=-\frac{9}{2}-\sqrt{17}$ et $f\left( -2+\sqrt{17} \right)= -\frac{9}{2}+\sqrt{17}$ {\color{orange}(l'un ses déduisant de l'autre par symétrie.}
			
		\end{enumerate}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$x_1$, $-2$, $x_2$, $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $-\frac{9}{2}-\sqrt{17}$ , -D+ / $-\infty$ / $+\infty$, -/$-\frac{9}{2} + \sqrt{17}$, +/$+\infty$ }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{conclusion}
		
		\item {\color{orange}Légende: {\color{red}points}, {\color{blue}tangentes horizontales}, {\color{Green}asymptotes}, {\color{orange}courbe.}}
		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-10};
			\def\xcoinhautdroit{10};
			\def\ycoinbasgauche{-16};
			\def\ycoinhautdroit{12};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-10:-2.9] plot({\x},{(\x*\x-5*\x+3)/(2* \x+4)});
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.45:10] plot({\x},{(\x*\x-5*\x+3)/(2* \x+4)});
			%Points
			\foreach \a/\b in { 0/{3/4}, {-2-sqrt(17)}/{-9/2-sqrt(17)}, 0/{3/4}, 1/{-1/6}, {-2+sqrt(17)}/{-9/2+sqrt(17)}, -2/{-9/2}} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};	}
			%Tangentes horizontales
			\def\longueurtangente{2};
			\foreach \a/\b in { {-2-sqrt(17)}/{-9/2-sqrt(17)}, {-2+sqrt(17)}/{-9/2+sqrt(17)}}{	\draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
			%Assymptotes
			\draw[Green, thick][samples=100,domain={\ycoinbasgauche}:{\ycoinhautdroit}] plot({-2},{\x});
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=-10:10] plot({\x},{1/2*\x-7/2});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{ - fonction rationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 43
		
	\end{notabene}
	
	Soient $\displaystyle f:x \mapsto \frac{1}{x(x-2)}$ une fonction, $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j} \right)$ orthogonal.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez le domaine de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.
		
		\item Déterminez deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in\mathscr{D}_f$, $f(x)=\frac{a}{x} + \frac{b}{x-2}$.
		
		\item Montrez que la droite d'équation $x=1$ est un axe de symétrie de $\mathscr{C}_f$.
		
		\item Étudiez les limites aux bornes de $\mathscr{D}_f$ et en déduire les asymptotes à $\mathscr{C}_f$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $f$.
		
		\item Déterminez une équation à la droite $T$ tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $3$.
		
		La droite $T$ a-t-elle un autre point commun avec $\mathscr{C}_f$?
		
		\item Tracez $\mathscr{C}_f$ et $T$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction rationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 57 1.7
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2} \right\}$ par: $\displaystyle f(x)=2x-3+ \frac{9}{2x+1}$. 
	
	On appelle $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left( O,; \vec{i}, \vec{j} \right)$ (unités graphiques: $2\ \mathrm{cm}$ en abscisse et $0,5\ \mathrm{cm}$ en ordonnée).
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2} \right\}$ et que $\displaystyle f'(x)= \frac{8(x+2)(x-1)}{(2x+1)^2}$.
		
		Déduisez-en les variations de $f$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez la limite de $f$ en $+\infty$ puis celle en $-\infty$.
			
			\item Étudiez les limites de $f$ à droite et à gauche en $-\frac{1}{2}$.
			
			Déduisez-en que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une asymptote verticale dont on précisera une équation.
			
			\item Démontez que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=2x-3$ est asymptote à l courbe $\mathscr{C}_f$.
			
			\item Étudiez la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathscr{D}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Tracez la courbe $\mathscr{C}_f$ et ses asymptotes.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction rationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 58 1.9
		
	\end{notabene}
	
	Faites l'étude complète de la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{(x-1)^2}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction rationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 58 1.10
		
	\end{notabene}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)= x-1+ \frac{8}{x^2+3}$; on appelle $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité: $1\ \mathrm{cm}$).
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminez la limite du quotient $\frac{8}{x^2+3}$ quand $x$ tend vers $-\infty$ puis $+\infty$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item Déterminez la fonction $f'$ dérivée de $f$, et vérifiez que pour tout $x$ réel, on peut écrire: \[ f'(x)=\frac{(x-1)^2(x^2+2x+9)}{(x^2+3)^2}. \]
			
			\item Déduisez-en le sens de variation de $f$.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		Soit $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x-1$.
		
		\begin{enumerate}
			\item Étudiez la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathscr{D}$.
			
			\item Déterminez le plus petit entier $n$ tel que: si $|x|\geqslant n$, alors $\left| f(x)-(x-1) \right| \leqslant 10^{-1}$.
			
			Donnez une interprétation géométrique de ce résultat.
			
		\end{enumerate}
		
		\item Montrez qu'il existe un point $A$ et un seul , de la courbe $\mathscr{C}_f$, en lequel la tangente $\Delta$ est parallèle à  $\mathscr{D}$. Précisez les coordonnées d $A$.
		
		\item Construisez $\mathscr{D}$, $\Delta$ et $\mathscr{C}_f$ sur une même figure.
	
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction irrationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 50
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez le fonction $f$ définie par $f(x)= \sqrt{9-4x^2}$.
	
	Avant de tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, vous étudierez la dérivabilité de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction irrationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 58 exo 1.11
		
	\end{notabene}
	
	Faites l'étude complète de la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x-1}}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction irrationnelle.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 58 exo 1.12
		
	\end{notabene}
	
	Faites l'étude complète de la fonction définie par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}$.
	
	La courbe $\mathscr{C}_f$ sera représentée dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ avec $\|\vec{i} \| =2 \ \mathrm{cm}$ et $\|\vec{j} \| =4 \ \mathrm{cm}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction circulaire.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 52
		
	\end{notabene}
	
	Étudiez les variations de la fonction définie par $f(x)=\sin(2x)+1$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $\sin$ étant définie sur $\mathbb{R}$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item {\color{orange}$\sin$ est impaire mais avec le $+1$ ce n'est plus le cas.} $\sin\left(2 \times \frac{\pi}{4} \right)+1=2$ et $\sin \left( 2 \times \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)+1=0$, donc $f$ n'est ni paire ni impaire.
			
			\item {\color{orange}Deviner la périodicité demande un peu d'habitude. $\sin$ est $2\pi$-périodique donc $\sin(2x)$ est $\pi$-périodique. Vérifions-le.}
			
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				f(x+\pi) &= \sin\left( 2 \times (x+\pi) \right)+1\\
				&= \sin\left( 2x+ 2\pi \right)+1\\
				\intertext{Donc, sinus étant $2\pi$-périodique:}
				f(x+\pi) &= \sin(2x)+1\\
				&= f(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est $\pi$ périodique et nous pouvons donc réduire l'étude de $f$ à $\mathscr{D}=\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc, a fortiori, sur $\mathscr{D}$. Par composition nous en déduisons que 
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable sur $\mathscr{D}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item En utilisant la règle de dérivation d'une fonction composée, 
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $x \in \mathscr{D}$, $f'(x)= 2\cos(2x)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $x \mapsto 2\cos(2x)$ étant paire il suffit d'étudier son signe sur $\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$.
			
			Si $x \in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$ alors $y=2x \in \left[ 0,\pi \right]$. D'où
			
			\begin{align*}
				\cos(y)>0 &\Leftrightarrow y \in \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right[\\
				&\Leftrightarrow x \in \left[ 0,\frac{\pi}{4} \right[ 
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-\frac{\pi}{2}$ ,$-\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
				\end{tikzpicture}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item Nous en déduisons
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\frac{\pi}{2}$ ,$-\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$}
			\tkzTabVar {+/ $1$, - / $0$ , + / $2$, -/ $1$ / }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{-3.16};
			\def\xcoinhautdroit{3.16};
			\def\ycoinbasgauche{-0.1};
			\def\ycoinhautdroit{2.1};
			%Les deux grilles
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
			%repere orthonorme
			\coordinate (O) at ({0},{0});
			\draw (O) node[below left] {$O$};
			\coordinate (I) at ({1},{0});
			\draw (I) node[below left] {$I$};
			\coordinate (J) at ({0},{1});
			\draw (J) node[below left] {$J$};
			%fonction
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=-3.16:3.16] plot({\x},{sin(2*\x/3.1416*180)+1 )});
			%Points
			\foreach \a/\b in { {-3.1416/2}/1, {-3.1416/4}/0, {3.1416/4}/2, {3.1416/2}/1} {
				\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};
			}
			%Tangentes horizontales
			\def\longueurtangente{0.7};
			\foreach \a/\b in { {-3.1416/4}/0, {3.1416/4}/2}{
				\draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});
			}
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{ - fonction circulaire.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 53
		
	\end{notabene}
	
	Étudions la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:$f(x)=\sin^2(x)-\cos(x)$.
	
	On appelle $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrez que l'intervalle d'étude de $f$ peut se réduire à $\mathscr{D}_f= [0,\pi]$.
		
		\item Étudiez le sens de variation de $f$ et dressez son tableau de variation.
		
		\item Résolvez dans $[0,\pi]$ l'équation $f(x)=0$.
		
		\item Donnez une équation de la droite $T$ tangente à $\mathscr{C}_f$, au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$.
		
		\item Construisez la courbe $\mathscr{C}_f$ et la tangente $T$.
		
	\end{enumerate}
		
\end{exercice}

\begin{exercice}{ - fonction circulaire.}
	
	\begin{notabene}
		
		CNED 2000 page 58 exo 1.13
		
	\end{notabene}
	
	Faites l'étude complète des fonctions suivantes.
	
	\begin{enumerate}
		\item $f$ définie sur $[-\pi,\pi]$ par $f(x)=\sin^3 ( x) \cos(x)$.
		
		\item $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\cos^2(x) \sin(2x)$.
		
		\item $h$ définie par $\displaystyle h(x)=\frac{\sin(x)+2}{2\sin(x)+1}$.
		
		\item $\varphi$ définie par $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\sin(x)+1}{\cos(x)+1}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}


\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}