%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Khôlles de la semaine du 06/03/2023.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}
	
\section{Khôlles de la semaine du 03/04/2023.}

\newpage
~
\newpage

\section{Khôlle 0. Sujet A.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez, réduisez et ordonnez: $P(X)=(7X^2-5)(6X-8)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez $F$ comme une unique fraction rationnelle dont le numérateur est un polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite (vous laisserez le dénominateur sous forme factorisée): \[ F(X)= \frac{3X}{X+1} + \frac{X+3}{3X+2} .\]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle f: x \mapsto \ln\left( x^2-5x+6 \right)$ une fonction.
	
	Calculez la dérivée de $f$ puis donnez le tableau de variation de $f$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque.	Les saisies des douanes permettent d’estimer que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $20\ \%$ des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons;
		
		\item $2 \%$ des casques non contrefaits présentent un défaut de conception;
		
		\item $10 \%$ des casques contrefaits présentent un défaut de conception.
		
	\end{enumerate}
	
	Quelle est la probabilité qu'un masque qui présente un défaut soit contrefait?
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle n^7-n^2+4$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{n^3+2n^2+4}{7n^4+12}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{1}{n^2}+ \ln(n)=o(n)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2} \sim \frac{1}{n}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\arctan \left( \frac{1}{n} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=n^4$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n!}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{4^n}+\sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^2+n+1}{2n^2+3}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 1. Sujet A.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez, réduisez et ordonnez: $P(X)=(2X^3+1)(3X+2)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez $F$ comme une unique fraction rationnelle dont le numérateur est un polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite (vous laisserez le dénominateur sous forme factorisée): \[ F(X)= \frac{2X-2}{X+3} + \frac{4X}{X-1} .\]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle f: x \mapsto \exp\left( \frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+4x+7 \right)$ une fonction.
	
	Calculez la dérivée de $f$ puis donnez le tableau de variation de $f$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Le directeur d’une grande entreprise a proposé à l’ensemble de ses salariés un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel. Ce stage a été suivi par $25 \ \%$ des salariés.Dans cette entreprise, $52\ \%$ des salariés sont des femmes, parmi lesquelles $40\ \%$ ont suivi le stage.
	
	Quelle est la probabilité qu'un employé qui a suivi le stage soit un homme?
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle -3n^4+2n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{-2n^7+3n^5+n}{32n^4+n^3+1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{1}{n^4}+ \frac{1}{2^n}=o\left(\frac{1}{n^3} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle 2^n+ \frac{1}{n^2} \sim 2^n$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\sqrt{1+\frac{1}{2^n}}-1$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{4^n}$.
		\task $\displaystyle u_n=n^{-7}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n}+0,5^n$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^3+2n+12}{4n^4+n^3}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 8 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{sujet}


\begin{sujet}
	~
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 2. Sujet A.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez, réduisez et ordonnez: $P(X)=(4X^5+3X)(-X+3)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez $F$ comme une unique fraction rationnelle dont le numérateur est un polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite (vous laisserez le dénominateur sous forme factorisée): \[ F(X)= \frac{3X+1}{X+4} + \frac{3X}{-X+2} .\]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle f: x \mapsto \left( \frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+2 \right)^5$ une fonction.
	
	Calculez la dérivée de $f$ puis donnez le tableau de variation de $f$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
	Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, $70 \%$ des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose. Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Si le coyote est malade, le test est positif dans $90\ \%$ des cas.
		
		\item Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans $80\ \%$ des cas.
		
	\end{enumerate}
	
	Quelle est la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test es positif?
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle -\frac{4}{5}n^8-\frac{1}{3}n^3+2n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{3n^3+n^2+n+5}{2n+5}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{1}{\left( \ln(n)\right)^5}+ \frac{1}{n^3}=o\left(\frac{1}{\left( \ln(n) \right)^4} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^n+ \frac{1}{n^8} \sim \frac{1}{n^8}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \ln\left(1+\frac{n^2}{3^n} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{(-3)^n}{n!}$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{n^6}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{4^n}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{-n^3+n-5}{2n^3-n-1}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -4 \\ 8 & -1 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \\ -5 & 5 & 0 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 3. Sujet A.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez, réduisez et ordonnez: $P(X)=(-X^6+4X)(5X+8)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez $F$ comme une unique fraction rationnelle dont le numérateur est un polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite (vous laisserez le dénominateur sous forme factorisée): \[ F(X)= \frac{4X+2}{3X+1} + \frac{-2X}{X+1} .\]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle f: x \mapsto \frac{1}{\left( \frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-4x +12 \right)^3}$ une fonction.
	
	Calculez la dérivée de $f$ puis donnez le tableau de variation de $f$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Une urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et sans remise deux jetons de cette urne.
	
	Quelle est la probabilité que le premier jeton prélevé soit blanc sachant que le second est noir?
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \sqrt{4} n^3+n^2+100$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{-2n^4+3n^2+n+1}{7n^5+5n^4+4n^3}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \left(\ln(n)\right)^4+ n^3=o\left(\frac{1}{ n^4} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle n^2 +\frac{1}{2^n} \sim n^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\mathrm{e}^{0,5^n}-1$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$.
		\task $\displaystyle u_n=5,56^n$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n^4}+\frac{1}{4^n}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{2,2n^2+4n+1}{2n+7}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 5 & 6 & -5 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 4. Sujet A.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez, réduisez et ordonnez: $P(X)=(X^5+4)(-3X^2+2X)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez $F$ comme une unique fraction rationnelle dont le numérateur est un polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite (vous laisserez le numérateur sous forme factorisée): \[ F(X)= \frac{3X}{2X-1} + \frac{-X}{2X+1} .\]
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle f: x \mapsto \ln \left( x^2+4x+3 \right)$ une fonction.
	
	Calculez la dérivée de $f$ puis donnez le tableau de variation de $f$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa
	voiture.
	
	Lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur $50$ alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur $10$.
	
	On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
	
	Quelle est la probabilité que Paul ait pris sa voiture sachant qu'il a raté son train?
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{1}{3} n^7+n^6+n^5$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{3n^3+2n^2+n+1}{5n^3+4n^2+4}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{1}{n^3}+ \frac{1}{3^n}=o\left(\frac{1}{ n^2} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{1}{\ln(n)}+ 2^n \sim 2^n$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\cos \left( \frac{1}{n^2} \right) -1$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{n!}$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{1}{2^n}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{1}{n^3}+\sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{n^8+n^7}{n^9+n^8}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 6 & 1 & -7 \\ 8 & 10 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 11. Sujet B.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction définie par $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f(0)=0\\ f(x)= x\left( \ln(|x|) \right)^2 \ \text{si } x\ne 0 \end{array} \right. $
	
	Étudiez $f$ et donnez l'allure de sa courbe représentative.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90\ \%$ des cas le jour suivant;
		
		\item si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\ \%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
	\end{enumerate}
	
	On note $p_n$ la probabilité que l'’athlète réussisse à franchir la haie lors de la $n$-ième séance.
	
	On considère que $p_0 = 0, 6$
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il réussisse à franchir la haie tous les jours?
		
		\item Exprimez $p_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{4}{n^3}+ \frac{1}{\sqrt{n}}=o\left(\frac{1}{ \left( \ln(n) \right)^2} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \cos \left( \frac{1}{4^n}+\frac{1}{n^2}+\frac{7}{n!} \right) -1$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle n^2+n-\ln \left( n^2+n \right)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item  $\displaystyle u_n=\sin(n^2+1)-\sqrt{n}$.
		\item  $\displaystyle u_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{n+\cos(n)}{\mathrm{e}^n+\sin(n)}$.		 
		
		\item  $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$.
		\item $\displaystyle u_n=\ln(1+v_n)$ où $v_n$ est le terme général d'une série convergente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 5}

\begin{sujet}
	
	Soit $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 &  -1 \end{pmatrix}$.
	
	Montrez que $A^3-A^2-A+I_3=0$ et déduisez-en, que $A$ est inversible et donnez $A^{-1}$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 12. Sujet B.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction définie par $f(x)= \left| \frac{1+x}{1-x} \right|^{\frac{1}{2}}$.
	
	Étudiez $f$ et donnez l'allure de sa courbe représentative.
	
	\medskip
	Démontrez que $f(x)f(y)= f \left( \frac{x+y}{1+xy} \right)$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun. S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$. S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.
	
	On note $p_n$ la probabilité qu'il prenne les transports en commun le $n$-ième jour.
	
	On considère que $p_1 =1$
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il prenne les transports en commun tous les jours?
		
		\item Exprimez $p_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{n!}+ \frac{4}{n^4}=o\left( \frac{1}{\left( \ln(n) \right)^2} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \sqrt{1+ \frac{1}{n^2}+ \frac{2}{3^n}} -1$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{1}{\sin\left( \frac{1}{n} \right)} - \ln(n)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\displaystyle \sqrt{n+\frac{1}{2}}-\sqrt{n}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{\sin \left( \pi \sqrt{n} \right)}{n^2}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\ln\left(\frac{v_{n+1}}{v_n}\right)$ où $v_n$ est le terme général d'une série convergente.
		
		\item $\displaystyle u_n= n^{1/n^2}-1$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{n^33^n}{n!}$
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 5}

\begin{sujet}
	
	Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 &  2 \end{pmatrix}$.
	
	Déterminez $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 13. Sujet B.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{e}^{x^2-3x+2} \ \text{si }x \in [0;3],\\ x-1 -\frac{1}{\ln(x-2)}\end{array} \right.$.
	
	Étudiez $f$ et donnez l'allure de sa courbe représentative.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi. On estime que:
	\begin{itemize}
		
		\item lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$;
		
		\item lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.
		
	\end{itemize}
	
	On note $p_n$ la probabilité que la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa
	mise en service.
	
	On considère que $p_0 =1$
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'une trottinette reste toujours en bon état?
		
		\item Exprimez $p_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{\sin(n)}{n^2}+ \frac{1}{2^n}=o\left( \frac{1}{\left( \ln(n) \right)^2} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \sin\left( \frac{1}{n^2}+ \frac{2}{3^n} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \ln(1+n) \times \ln\left( 1+\frac{1}{n} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{\ln(n)}{n^4}+ \frac{1}{2^n}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=3^n \sin \left( \frac{1}{n!} \right)$.
		
		\item $\displaystyle u_n = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \right)^n$.
		
		\item $\displaystyle u_n= \left( 1-\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right)^2$.
		
		\item $\displaystyle u_n=\mathrm{e}^{v_n}$ où $v_n$ est le terme général d'une série convergente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 5}

\begin{sujet}
	
	Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -4 &  -1 \end{pmatrix}$.
	
	Montrez que $A^3-A^2-7A+11I_3=0$ et déduisez-en, que $A$ est inversible et donnez $A^{-1}$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\section{Khôlle 14. Sujet B.}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x)= x+ \frac{1-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}$.
	
	Étudiez $f$ et donnez l'allure de sa courbe représentative.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun. S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$. S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.
	
	On note $p_n$ la probabilité qu'il prenne les transports en commun le $n$-ième jour.
	
	On considère que $p_1 =1$
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il prenne les transports en commun tous les jours?
		
		\item Exprimez $p_n$ en fonction de $n$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifiez que $\displaystyle \frac{\cos(n)}{3^n}+ \frac{1}{n}=o\left( \frac{1}{\left( \ln(n) \right)^5} \right)$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \exp\left( \frac{1}{n^2}+ \frac{2}{3^n} \right) -1$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez un équivalent de $\displaystyle \frac{1-\cos\left( \frac{1}{n} \right)}{2 \tan \left( \frac{3}{n^2} \right)}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n^4}+ \frac{\ln(n)}{2^n}$.
		
		\item $\displaystyle u_n=2^n \ln \left( 1+\frac{1}{4^n} \right)$.
		
		\item $\displaystyle u_n = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \right)^n$.
		
		\item $\displaystyle u_n= \left( 1-\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \right)^2$.
		
		\item $\displaystyle u_n=v_n^2$ où $v_n$ est le terme général d'une série convergente.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 5}

\begin{sujet}
	
	Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 &  2 \end{pmatrix}$.
	
	Déterminez $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la nature de la série de terme général $u_n$.
	
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Soient $A= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix} 6 & 1 & -7 \\ 8 & 10 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$.
	
	Calculez $AB$ puis $BA$.
	
\end{sujet}



\begin{sujet}
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\newpage
	
\end{sujet}
	

\begin{sujet}
	
	\newpage
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}


\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}