%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{Devoir surveillé du 11/05/2023.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé de BL du 11/05/2023.}

\subsection{Analyse.}

\begin{sujet}
	
	Soient $\displaystyle f:x \mapsto (2x+3)\, \mathrm{e}^{x^2}$ une fonction et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.
	
	\medskip
	On définit également les fonctions $g$ et $h$ sur $]0,+\infty[$ par \[ g(x)=\ln\left( \frac{x+1}{x} \right) -\frac{1}{x+1} \quad \text{et} \quad h(x)= x\ln\left( \frac{x+1}{x} \right). \]
	 
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude de la fonction $f$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez l'image de $0$ par $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f(0)=(2 \times 0+3) \mathrm{e}^{0^2}=3$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sans justification: donnez le domaine de définition de $f$, dites si $f$ est paire ou impaire ou périodique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
			
			$f$ n'est ni pair, ni impaire, ni périodique.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquez brièvement pourquoi la fonction $f$ est continue et ce que cela signifie pour sa représentation graphique $\mathscr{C}_f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ est construite par composition et produit de fonctions continues donc est continue.
			
			La continuité de $f$ signifie que sa courbe représentative est formée d'une seule ligne (d'un seul tenant).
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez les éventuelles limites de $f$ en $+\infty$ puis $-\infty$ en expliquant.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2x=3 \underset{x \to \pm \infty}{\sim}2x$ donc $f(x) \underset{x \to \pm \infty}{\sim} 2x \mathrm{e}^{x^2}$. Or par composition $\mathrm{e}^{x^2} \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow}+\infty$ donc, par produit
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}+\infty$ et $f(x) \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow}-\infty$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que $f$ est dérivable, calculez sa dérivée $f'$ puis montrez que \[ f'(x)= (4x^2+6x+2)\, \mathrm{e}^{x^2}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$x \mapsto \mathrm{e}^{x^2}$ est une composée de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ donc est dérivable sur $\mathbb{R}$.
			
			Ainsi $f$ est un produit de fonctions dérivables donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Soit $x \in \mathbb{R}$.
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= 2\mathrm{e}^{x^2}+(2x+3) \times 2x \mathrm{e}{x^2}\\
				&= 2\mathrm{e}^{x^2}+(4x^2+6x)\mathrm{e}^{x^2}
			\end{align*}
			
			En factorisant par $\mathrm{e}^{x^2}$ nous obtenons enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=(4x^2+6x+2)\mathrm{e}^{x^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez l'équation $4x^2+6x+2=0$ dans $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$4x^2+6x+2=0 \Leftrightarrow 2x^2+3x+1=0$.
			
			$-1$ est racine évidente donc la seconde racine est $-\frac{1}{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}_1= \{\left\{ -1; -\frac{1}{2} \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Grâce à la question précédente recopiez puis complétez le tableau de signe suivant.
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $4x^2+6x+2$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-1$, $?$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,?,0,?,?,?,}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\emph{Rappelons la formulette: le trinôme est du signe de son coefficient dominant sauf entre ses éventuelles racines.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $4x^2+6x+2$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$-1$, $-\frac{1}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez des questions précédentes le tableau de signe de $f'$ et de variation de $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $\mathrm{e}^{x^2}>0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x)$ est du signe de $4x^2+6x+2$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$-1$, $-\frac{1}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $\mathrm{2}$, -/ $2\mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que $\mathscr{C}_f$ admet une tangente, $T$, au point d'abscisse  $0$, puis donnez-en une équation.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ est dérivable en $0$ donc $f$ admet une tangente en $0$.
			
			De plus une équation de cette tangente est \[ y=f'(0)\times (x-0)+f(0). \]
			
			Or $f'(0)=2$ et $f(0)=3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$T:\ y=2x+3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\emph{On admet que $\mathrm{e}\approx 2,7$ et $2 \mathrm{e}^{1/4} \approx 2,5$.}
			
			\medskip
			Recopiez le repère ci-dessous puis dessinez la courbe représentative de $f$ en faisant bien apparaître les informations obtenues aux questions précédentes. Vous penserez notamment à indiquer les tangentes horizontales.
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2]
				\def\xY{-1.75};
				\def\yY{2};
				\def\xZ{0.75};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.25cm, ystep=0.25cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1,-0.5,0,0.5}	\draw[thick](\x,{1.8+0.1})--(\x,{1.8-0.1}) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,3,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 1.8) -- (\xZ, 1.8) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.3:0.285] plot(\x,{(2*\x +3)*exp((\x)^(2) )});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
							
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
								
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2]
				\def\xY{-1.75};
				\def\yY{2};
				\def\xZ{0.75};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.25cm, ystep=0.25cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1,-0.5,0,0.5}	\draw[thick](\x,{1.8+0.1})--(\x,{1.8-0.1}) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,3,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 1.8) -- (\xZ, 1.8) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.3:0.285] plot(\x,{(2*\x +3)*exp((\x)^(2) )});
				\draw [Green] (0,3) node {$\times$};
				\draw [Green] (-1,{exp(1)}) node {$\times$};
				\draw [Green] (-0.5,{2*exp(1/4)}) node {$\times$};
				\draw[red, >=latex, <->][samples=100,domain=-1.25:-0.75] plot(\x,{exp(1) )});
				\draw[red, >=latex, <->][samples=100,domain=-0.75:-0.25] plot(\x,{2*exp(1/4) )});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude de la fonction $g$.}
		
		\begin{notabene}
			
			bac 1997
			
			Baccalauréat S Centres étrangers I juin 1997
			
			Pas térrible par tvi et pas  dérivée à droite.
			
			Baccalauréat S Asie juin 1997
			
			Famille de fonction
			
			Baccalauréat S Antilles–Guyane juin 1997
			
		\end{notabene}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ et étudier le sens de variation de $g$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\frac{x+1}{x}>0$ sur $]0;+\infty[$ donc, en composant, $x \mapsto \ln\left( \frac{1+x}{x} \right)$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
				
				$x+1>0$ sur $]0;+\infty[$ donc $x \mapsto -\frac{1}{x+1}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
				
				Finalement, par somme, $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
				
				\item Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
				
				\begin{align*}
					g'(x) &= \frac{\frac{1 \times x-(x+1) \times 1}{x^2}}{\frac{x+1}{x}}- \frac{-1}{(x+1)^2}\\
					&= \frac{-1}{x^2} \times \frac{x}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ g'(x)=-\frac{1}{x(x+1)}+ \frac{1}{(1+x)^2}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$.
				
				\begin{align*}
					g'(x) &= -\frac{1 {\color{orange}\times (x+1)}}{x(x+1){\color{orange}\times (x+1)}}+ \frac{1 {\color{orange}\times x}}{(x+1)^2 {\color{orange}\times x}}\\
					&= \frac{-1}{x(x+1)^2}
				\end{align*}
				
				Ainsi $g'<0$ donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					$g$ est strictement décroissante.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez les éventuelles limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\frac{x+1}{x} \underset{x \to +\infty}{\sim} 1$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$g(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item $\frac{x+1}{x} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty$ donc, par composition, $\ln\left( \frac{x+1}{x} \right) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0\\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow}+\infty$.
				
				Or $-\frac{1}{x+1} \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\sim} -1$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$g(x) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dressez le tableau de variation de la fonction $g$ et déduisez-en le signe de $g$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /1.6}
				{$0$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {-D+ / / $+\infty$, - / $0$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Donc $g>0$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude de la fonction $h$.}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $h'$ sur $]0,+\infty[$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$h$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ donc est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.
			
			Soit $x \in\mathbb{R}_+^*$.
			
			\begin{align*}
				h'(x) &= 1 \times \ln \left( \frac{x+1}{x} \right)+x \frac{-1}{x(x+1)}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$h'=g$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez les éventuelles limites de $h$ en $0$ et $+\infty$.
			
			\emph{Vous pouvez remarquer que $h(x)=\frac{\ln\left( 1+ \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}}$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\frac{1+y}{y} \underset{y \to 0^+}{\longrightarrow} 1$ et $\frac{\ln(1+x)}{x} \underset{x \to 0}{\longrightarrow}1$, donc par composition des limites et comparaison
				
				\begin{conclusion}
					
					$h(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 1$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item $h(x)=x\ln(1+x)-x\ln(x)$. Par croissance comparée: $x\ln(x) \underset{x \to 0^+}{\longrightarrow} 0$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$h(x) \underset{x \to 0^+}{\longrightarrow} 0$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dressez le tableau de variation de $h$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h'=g$ /0.8, $h$ /1.6}
				{$0$ , $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,}%
				\tkzTabVar {+D- / / $0$, + / $1$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}			
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$h$ est-elle dérivable à droite en $0$? La courbe représentative $\mathscr{C}_h$, de $h$, admet-t-elle une tangente en $0$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $x>0$.
			
			\begin{align*}
				\tau_h(0,x) &= \frac{h(x)-h(0)}{x-0}\\
				&= \ln\left( \frac{x+1}{x} \right)
			\end{align*}
			
			$\ln\left( \frac{x+1}{x} \right) \underset{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}}{\longrightarrow} +\infty$.
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$h$ n'est pas dérivable à droite en $0$ mais $\mathscr{C}_h$ admet une demi-tangente verticale vers le haut en $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\newpage

\subsection{Algèbre linéaire.}

\begin{notabene}
	
	\url{https://chauvetmath.fr/front/documents/DS_2_S_1_20211115.pdf}
		
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
		
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Des questions techniques indépendantes les unes des autres.}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Effectuez le produit  matriciel $AB$ avec \[ A= \begin{pmatrix} -1 & 2\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B= \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$AB= \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Effectuez le produit matriciel $DC$ avec %pas carrées.
			\[ C= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad D= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\end{pmatrix}. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$DC= \begin{pmatrix} 3 & 3 \end{pmatrix}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez le système en l'échelonnant (donnez l'ensemble des solutions) \[ S_1:\ \left\{ \begin{array}{ccccc}
			2x_1 &-& 3x_2 &=& 3\\
			x_1 & +& 5x_2 &=& 8 \end{array} \right. .\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$L_2 \leftrightarrow L_1$
			
			\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}
			x_1 & +& 5x_2 &=& 8 \\ 2x_1 &-& 3x_2 &=& 3\end{array} \right. .\]
			
			$L_2\leftarrow L_2-L_1$.
			
			\[ \left\{ \begin{array}{ccccc}
			x_1 & +& 5x_2 &=& 8 \\ 
			&-& 13x_2 &=& -13\end{array} \right. .\]
			
			Puis par substitution:
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $-13x_2=-13 \Leftrightarrow x_2=1$.
				
				\item $x_1+5 \times 1=8 \Leftrightarrow x_1=3$
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ (3;1) \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez le système en l'échelonnant (donnez l'ensemble des solutions) \[ S_2:\ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			-x_1 &+& x_2 &-& 2x_3 &=& -3\\
			x_1 &+& 2x_2 &+& 2x_3 &=& -3 \\
			2x_1 &-& x_2 &+& x_3 &=& 7\end{array} \right. .\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$L_2 \leftarrow L_2+L_1$ et $L_3\leftarrow L_3+2L_1$.
			
			\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			-x_1 &+& x_2 &-& 2x_3 &=& -3\\
			&& 3x_2 &&  &=& -6 \\
			&& x_2 &-& 3x_3 &=& 1\end{array} \right. .\]
			
			$L_3\leftarrow -3L_3+L_2$.
			
			\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			-x_1 &+& x_2 &-& 2x_3 &=& -3\\
			&& 3x_2 &&  &=& -6 \\
			&& && 9x_3 &=& -9\end{array} \right. .\]
			
			Puis par substitution
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $x_3=-1$.
				
				\item $x_2=-2$.
				
				\item $x_1=3$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}= \{ (3;-2;-1) \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			 	
			 	Vers quelle matrice la suite de matrices $(A_n)$ converge-t-elle si, pour tout $n$ entier naturel non nul \[ A_n= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{n+1} & \dfrac{\ln(n)}{n} \\ & \\ \dfrac{n+1}{2n+2} & n\mathrm{e}^{-n} \end{pmatrix}. \]
			 	
			 	\emph{Les réponses partielles seront valorisées.}
			 	
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\frac{1}{n+1} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			Par croissances comparées $\frac{\ln(n)}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			$\frac{n+1}{2n+2} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2}$ donc $\frac{n+1}{2n+2} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2}$.
			
			Par croissances comparées: $n\mathrm{e}^{-n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(A_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$.
					
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Fin des questions techniques début du problème.}
	
	\medskip
	Dans la suite on considère les deux sous-ensembles $F_1$ et $F_2$ de $\mathbb{R}^3$ définis par: \[ F_1= \left\{ \left. \begin{pmatrix}
	x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right| \ x_1+x_2-x_3=0 \text{ et } x_1-x_2-x_3=0 \right\} \] et \[ F_2= \left\{ \left. \begin{pmatrix}
	x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ \right| \ x_1+x_2-2x_3=0 \right\} \]
	
	\medskip
	\emph{Exemple: $\begin{pmatrix}
		2 \\ 1 \\ 3
	\end{pmatrix}$ n'appartient pas $F_1$ car $2+1-3=0$ mais $2-1-3 \ne 0$.}
	
	\emph{$\begin{pmatrix}
	2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ appartient à $F_2$ car $2+0-2 \times 1=0$.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Éléments de $F_1$ et $F_2$.}
				
		Parmi les vecteurs $u_1=\begin{pmatrix}
		1 \\ 1 \\ 2 
		\end{pmatrix}$, $u_2=\begin{pmatrix}
		1 \\ 1 \\ 1 
		\end{pmatrix}$ et $u_3=\begin{pmatrix}
		2 \\ 0 \\ 2 
		\end{pmatrix}$, lesquels appartiennent à $F_1$? et à $F_2$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$u_1 \notin F_1$, $u_2 \notin F_1$, $u_3 \in F_1$.
		
		$u_1 \notin F_2$, $u_2 \in F_2$, $u_3 \notin F_2$.
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Structure vectorielle $F_2$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ et $y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$ des vecteurs appartenant à $F_2$, et $\lambda$ un nombre réel.
			
			Montrez que $\lambda x +y$ appartient à $F_2$.
			 
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\lambda x+y =\begin{pmatrix} \lambda x_1+y_1 \\ \lambda x_2+y_2 \\ \lambda x_3+y_3 \end{pmatrix}$.
			
			Or 
			
			\begin{align*}
				& \left( \lambda x_1+y_1 \right) + \left( \lambda x_2+y_2 \right) -2 \left( \lambda x_3+y_3 \right)\\
				&= \lambda \left(x_1+x_2-2x_3 \right) +\left( y_1+y_2-2y_3 \right)\\
				&= \lambda \times 0 +0\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\lambda x+y \in F_2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À l'aide notamment de la question précédente, justifiez que $F_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$	.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[(i)]
				\item D'après la question précédente $F_2$ est stable par combinaisons linéaires.
				
				\item $\vec{0}\in F_2$: $0+0-2 \times 0=0$.
				
				\item $F_2 \subset \mathbb{R}^3$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$F_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Structure vectorielle de $F_1$.}
		
		On note $N= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ une matrice et  $X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ un vecteur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez le vecteur obtenu par le produit $NX$.
			
			\emph{Le résultat sera donné en fonction de $x_1$, $x_2$ et $x_3$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$NX= \begin{pmatrix}
					x_1 +x_2-x_3 \\
					x_1 -x_2 -x_3
				\end{pmatrix}$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que $F_1$ est le noyau de l'application linéaire associée à la matrice $N$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le noyau de l'application linéaire associée à $N$ est formé des vecteurs $X$ tels que $NX=0$.
			
			Autrement dit: $X \in \ker(N) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 0\\
			x_1 &-& x_2 &-& x_3 &=& 0
			\end{array} \right.$.
			
			Autrement dit: $X \in \ker(N)$ si et seulement si $\ x_1+x_2-x_3=0 \text{ et } x_1-x_2-x_3=0$.
			
			Donc: 
			
			\begin{conclusion}
				
				$X \in \ker(N) \Leftrightarrow X \in F_1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$F_1$ est-il un sous-espace vectoriel? Justifiez très brièvement.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $F_1$ est le noyau d'une application linéaire
			
			\begin{conclusion}
				
				$F_1$ est un sous-espace vectoriel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Description détaillée de $F_1$.}
		
		Vous pourrez admettre sans justification que résoudre $NX=0$ revient à résoudre le système \[ S_3:\ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
		x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 0 \\ x_1 &-& x_2 &-& x_3 &=& 0 \end{array} \right. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez le système $S_3$ en l'échelonnant. Vous préciserez l'ensemble des solutions sous forme d'un ensemble de vecteurs ou par une représentation paramétrique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$L_1 \leftarrow L_1-L_2$
			
			\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 0 \\ 
			&& 2x_2 &&  &=& 0 \end{array} \right. \]
			
			Puis par substitution
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $x_2=0$.
				
				\item $x_1=x_3$.
			\end{enumerate}
			
			Donc les vecteurs de $F_1$ sont de la forme $\begin{pmatrix} t\\ 0 \\ t\end{pmatrix}$ avec $t \in \mathbb{R}$.
			
			Autrement dit une représentation paramétrique est: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1=t \\ x_2=0 \\ x_3=t \end{array} \right. \]
				
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que $F_1$ est une droite vectorielle dont vous préciserez un vecteur directeur.
			
			\emph{Rappel: n'importe quel vecteur non nul d'une droite vectoriel en est un vecteur directeur.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$F_1$ est l'ensemble des vecteurs de la forme $t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ autrement dit $F_1$ est la droite vectorielle dont $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude de $F_1$ et $F_2$.}
		
		On note $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si le vecteur $X$ vérifie $PX=0$, le vecteur $X$ appartient-il à $F_1$? à $F_2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Avec les deux premières lignes de la matrice nous retrouvons la question 8 et donc $X \in F_1$.
			
			Avec la dernière ligne de la matrice on voit que $X \in F_2$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez le système \[ S_4:\ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 0 \\ x_1 &-& x_2 &-& x_3 &=& 0  \\ x_1 &+& x_2 &-& 2x_3 &=& 0\end{array} \right. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			$L_1 \leftarrow L_1-L_2$ et $L_3 \leftarrow L_1-L_3$
			
			\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc}
			x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 0 \\ 
			&& 2x_2 &&  &=& 0 \\
			&&&& 3x_3 &=& 0\end{array} \right. \]
			
			Par substitution
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $x_3=0$.
				
				\item $x_2=0$.
				
				\item $x_1=0$
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en $F_1 \cap F_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$F_1 \cap F_2 = \{ \vec{0} \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\newpage

\subsection{Probabilité.}

\begin{notabene}
	
	\url{https://mathsblpothier.ovh/images/pdf/pdfKh/DS1_2223} Pas de variable aléatoire
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{9}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Des questions techniques indépendantes les unes des autres.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si $\mathbb{P}(A)=0,5$ et $\mathbb{P}(B)=0,3$ et $\mathbb{P}(A\cap B)=0,2$ calculez
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$\mathbb{P}\left( \overline{B} \right)$,
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{align*}
					\mathbb{P}\left( \overline{B} \right) &= 1 - \mathbb{P}(B)\\
					&= 1-0,3\\
					&=0,7
				\end{align*}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$\mathbb{P}(A|B)$,
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{align*}
					\mathbb{P}(B|A) &= \frac{\mathbb{P}(B \cap A)}{\mathbb{P}(A)}\\
					&= \frac{0,2}{0,5}\\
					&= 0,4
				\end{align*}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$\mathbb{P}(A\cup B)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{align*}
					\mathbb{P}(A \cup B) &= \mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B)\\
					&= 0,5+0,3-0,2\\
					&= 0,6
				\end{align*}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Avec un diagramme de Venn (diagramme patates) illustrez ce qu'est l'ensemble $A \cap \overline{B}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudiez la nature de la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} \frac{n\sin\left( \frac{1}{n} \right)}{3^n}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\frac{1}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ donc $\sin \left(\frac{1}{n} \right) \underset{n \to +\infty}{\sim}\frac{1}{n}$.
			
			D'où $\frac{n\sin\left( \frac{1}{n} \right)}{3^n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{3^n}$.
			
			La série $\sum \frac{1}{3^n}$ est une série géométrique de raison $\frac{1}{3} \in ]-1;1[$ donc est convergente.
			
			Par conséquent 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\sum_{n\geqslant 0} \frac{n\sin\left( \frac{1}{n} \right)}{3^n}$ est convergente.
				
			\end{conclusion} 
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Fin des questions techniques début du problème.}
	
	\medskip
	Dans la suite du problème on considère une urne contenant $2$ boules noires, $1$ boule verte et $1$ boule rouge.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{10}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Deux tirages sans remise.}
		
		Dans cette question on tire successivement deux boules de l'urne sans les remettre dans l'urne.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopiez et complétez sur votre copie l'arbre pondéré dessiné ci-dessous.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (4,6);
				\coordinate (A2) at (4,4);
				\coordinate (A3) at (4,2);
				\coordinate (A4) at (4,0);
				\coordinate (A5) at (4,-2);
				\coordinate (A6) at (4,-4);
				\coordinate (A7) at (4,-6);
				\coordinate (B1) at (2,4);
				\coordinate (B2) at (2,-1);
				\coordinate (B3) at (2,-5);
				\draw node (A11) at (A1) {$N_2$};	
				\draw node (A12) at (A2) {$R_2$};
				\draw node (A13) at (A3) {$V_2$};
				\draw node (A14) at (A4) {$N_2$};
				\draw node (A15) at (A5) {$V_2$};
				\draw node (A16) at (A6) {$N_2$};
				\draw node (A17) at (A7) {$R_2$};
				\draw node (B11) at (B1) {$N_1$};
				\draw node (B12) at (B2) {$R_1$};
				\draw node (B13) at (B3) {$V_1$};
				\draw (B11)--(A11)node[midway,above]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (B11)--(A12)node[midway,below]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (B11)--(A13)node[midway,below]{\color{blue}$?$};
				\draw (B12)--(A14)node[midway,above]{\color{blue}$2/3$};
				\draw (B12)--(A15)node[midway,below]{\color{blue}$?$};
				\draw (B13)--(A16)node[midway,above]{\color{blue}$?$};
				\draw (B13)--(A17)node[midway,below]{\color{blue}$?$};
				\draw (0,-1)--(B11)node[midway,above]{\color{blue}$2/4$};
				\draw (0,-1)--(B12)node[midway,below]{\color{blue}$1/4$};
				\draw (0,-1)--(B13)node[midway,below]{\color{blue}$?$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (4,6);
				\coordinate (A2) at (4,4);
				\coordinate (A3) at (4,2);
				\coordinate (A4) at (4,0);
				\coordinate (A5) at (4,-2);
				\coordinate (A6) at (4,-4);
				\coordinate (A7) at (4,-6);
				\coordinate (B1) at (2,4);
				\coordinate (B2) at (2,-1);
				\coordinate (B3) at (2,-5);
				\draw node (A11) at (A1) {$N_2$};	
				\draw node (A12) at (A2) {$R_2$};
				\draw node (A13) at (A3) {$V_2$};
				\draw node (A14) at (A4) {$N_2$};
				\draw node (A15) at (A5) {$V_2$};
				\draw node (A16) at (A6) {$N_2$};
				\draw node (A17) at (A7) {$R_2$};
				\draw node (B11) at (B1) {$N_1$};
				\draw node (B12) at (B2) {$R_1$};
				\draw node (B13) at (B3) {$V_1$};
				\draw (B11)--(A11)node[midway,above]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (B11)--(A12)node[midway,below]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (B11)--(A13)node[midway,below]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (B12)--(A14)node[midway,above]{\color{blue}$2/3$};
				\draw (B12)--(A15)node[midway,below]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (B13)--(A16)node[midway,above]{\color{blue}$2/3$};
				\draw (B13)--(A17)node[midway,below]{\color{blue}$1/3$};
				\draw (0,-1)--(B11)node[midway,above]{\color{blue}$2/4$};
				\draw (0,-1)--(B12)node[midway,below]{\color{blue}$1/4$};
				\draw (0,-1)--(B13)node[midway,below]{\color{blue}$1/4$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez la probabilité d'obtenir deux boules vertes.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il n'y a pas de chemin avec deux $V$. C'est un événement impossible.
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité d'obtenir deux boules vertes est nulle.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez la probabilité d'obtenir une boule noire au second tirage sachant qu'on a obtenu une boule rouge au premier tirage.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(N_2|R_1)$.}
			
			Par lecture sur l'arbre
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N_2 | R_1) =\frac{2}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $C$ l'événement \og obtenir $2$ boules noires\fg{}.
			
			Calculez $\mathbb{P}(C)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(N_1\cap N_2)$.}
			
			Formule ds probabilités composées:
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(N_1\cap N_2) &= \mathbb{P}(N_1) \times \mathbb{P}(N_2 | N_1)\\
				&= \frac{2}{4} \times \frac{1}{3}\\
				&= \frac{1}{6}
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez la probabilité d'obtenir une boule noire au second tirage.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Formule des probabilités totales:
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(N_2) &= \mathbb{P}(N_1 \cap N_2) + \mathbb{P}(R_1 \cap N_2) + \mathbb{P}V_1 \cap N_2)\\
				&= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}\\
				&= \frac{1}{2}
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $X$ la variable aléatoire qui indique le nombre de boules noires obtenues lors des deux tirages.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donnez $X (\Omega)$, le support de la variable aléatoire $X$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$X(\Omega)= \{ 0;1;2 \}$
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donnez la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{center}
					\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
						\hline
						$x_i$ & $0$ & $1$ & $2$
						\\
						\hline
						$\mathbb{P}(X=x_i)$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{1}{6}$
						\\
						\hline
					\end{tabular}
				\end{center}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{$n$ tirages avec remise.}
		
		On suppose maintenant qu'on tire successivement $n$ (avec $n \in \mathbb{N}^*$) boules de l'urne en remettant à chaque fois la boule dans l'urne.
		
		Les tirages sont supposés indépendants les uns des autres et les probabilités d'obtenir une boule ne sont pas modifiées à chaque tirage.
		
		\medskip
		On note $V_i$ l'événement \og obtenir une boule verte au $i$-ième tirage \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Interprétez par une phrase en français les événements:
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$V_1 \cap V_2 \cap \dots V_n$,
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Les $n$ boules tirées sont vertes.
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				$V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_n$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Au moins une des boules tirées est verte.
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que $\mathbb{P}\left( V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_n \right)=\dfrac{1}{4^n}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Formule des probabilités composées:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_n) &= \mathbb{P}(V_1) \times \mathbb{P}(V_2 |v_1) \times \dots \times \mathbb{P}(V_n|V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_{n-1})\\
				&= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \dots \times \frac{1}{4}\\
				&= \left( \frac{1}{4} \right)^n
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $Y$ la variable aléatoire qui aux $n$ tirages associe le rang de la première boule verte obtenue ou $0$ si la boule verte n'est pas obtenue.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donnez le support (univers-image) de $Y$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$Y(\Omega)= \llbracket 0;n \rrbracket$.
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Calculez $\mathbb{P}(Y=0)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Formule des probabilités composées: $\mathbb{P}(Y=0)= \left( \frac{3}{4} \right)^n$.
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Calculez, pour tout $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, $\mathbb{P}(Y=k)$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$\mathbb{P}(Y=k)= \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} \times \frac{1}{4}$.
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Vérifiez que les $\left(k, \mathbb{P}(Y=k) \right)$, pour $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, forment bien une loi (ou distribution) de probabilité de variable aléatoire.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Les $\mathbb{P}(Y=k)$ sont bien positifs et
				
				\begin{align*}
					\sum_{k=0}^n \mathbb{P}(Y=k) &=  \mathbb{P}(Y=0) + \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(Y=k)\\
					&= \left( \frac{3}{4} \right)^n + \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1}\\
					&= \left( \frac{3}{4} \right)^n + \frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \left( \frac{3}{4} \right)^{k}\\
					&= \left( \frac{3}{4} \right)^n + \frac{1}{3} \times \frac{1-\left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}}{1 -\frac{3}{4}} -\frac{1}{3}\\
					&= 1
				\end{align*}
				
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\hfill *** \hfill~

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}