%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{Devoir surveillé CPGE B/L. 2023/02/16.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}
	
	\section{Devoir surveillé CPGE B/L. 2023/02/16.}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Les exercices qui suivent sont indépendants les uns des autres.}
		
		\hfill *** \hfill~
		
		\emph{Pour répondre à une question, on pourra toujours utiliser les résultats de questions précédentes, à condition de clairement l'indiquer.}
		
		\hfill *** \hfill~
		
		\emph{Il est demandé de soigneusement numéroter les questions et de mettre clairement les réponses en évidence, par exemple en les \framebox{encadrant} ou en les \underline{soulignant}. Lors de la correction, il sera fait grand cas de la \textbf{clarté}, de la \textbf{concision} et de la \textbf{précision} de la rédaction. L'utilisation de surligneur ou de crayon n'est pas recommandé.}
		
		\hfill *** \hfill~
		
	\end{sujet}

\subsection{Exercice 1. \hfill 2 points}

\begin{notabene}
	
	Numérique fraction.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Calculez les nombres suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A= 2+3 \times 4$.
		\task $B= 7 \times 8-1$.
		\task $C= (3+5) \times 2$.
		\task $D= -7+12$.
		\task $E= 2 \times 3^2$.
		\task $\displaystyle F= \frac{2}{3} + \frac{5}{3}$.
		\task $\displaystyle G= \frac{3}{5}+\frac{4}{7}$.
		\task $\displaystyle H= 4+\frac{3}{7}$.
		\task $\displaystyle I= \frac{3}{6} \times \frac{4}{7}$.
		\task $\displaystyle J= \frac{2\times 37}{3 \times 15} \times \frac{4 \times 15}{7 \times 37}$.
		\task $\displaystyle K= (3+2)^2$.
		\task $\displaystyle L= 3 \times (7-1)^2$.
	
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $A=14$.
		\task $B=55$.
		\task $C=16$.
		\task $D=5$.
		\task $E=18$.
		\task $F=\frac{7}{3}$.
		\task $G=\frac{41}{35}$.
		\task $H=\frac{31}{7}$.
		\task $I=\frac{12}{42}$.
		\task $J=\frac{8}{21}$.
		\task $K=25$.
		\task $L=108$.
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 2. \hfill 2 points}

\begin{notabene}
	
	Littéral développement somme de fractions.
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez le résultat sous forme d'une seule expression fractionnaire.
		
		\begin{tasks}(3)
			\task $\displaystyle A(x)=\frac{2x}{3}+4\frac{x}{5}$.
			\task $\displaystyle B(x)=\frac{2x}{3} + \frac{x}{7}$.
			\task $\displaystyle C(x)=\frac{2x}{5} \times \frac{3x}{2}$.
			\task $\displaystyle D(x)=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{5}}$.	
			\task $\displaystyle E(x)=\frac{x+1}{2}+\frac{3}{x+2}$.
			\task $\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{4}+ \frac{2}{x^2}$.			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(3)
			\task $A(x)= \frac{22x}{15}$.
			\task $B(x)= \frac{17x}{21}$.
			\task $C(x)= \frac{3x^2}{5}$.
			\task $D(x)= \frac{5}{2}$.
			\task $E(x)= \frac{(x+1)(x+2)+6}{2(x+2)}$.
			\task $F(x)= \frac{x^5+8}{4x^2}$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $M(x)=7(2-5x)$.
			\task $N(x)=3(3x-4)$.
			\task $P(x)=(2x+7)(3x-6)$.	
			\task $Q(x)=(3+4x)^2$.			
			\task $R(x)= -5(x-3)(x+1)$.		
			\task $S(x)= (2x+1)(3x+1)^2$.		
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $M(x)=-35x+14$.
			\task $N(x)=9x-12$.
			\task $P(x)=6x^2+9x-42$.
			\task $Q(x)=16x^2+24x+9$.
			\task $R(x)=-5x^2+10x+15$
			\task $S(x)=18x^3+21x^2+8x+1$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 3. \hfill 2 points}

\begin{notabene}
	
	Équations.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Résoudre les équations et inéquations suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $E_1:\ 3x+2=4$.
		\task $E_2:\ -7x+3=3x+1$.
		\task $E_3:\ (x-1)(x+2)=0$.
		\task $\displaystyle E_4:\ \frac{2x+1}{234}=0$.
		\task $E_5:\ x^2=4x$.
		\task $E_6:\ x^2-x+6=0$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\left\{ \frac{2}{3} \right\}$.
		\task $\left\{ \frac{2}{10} \right\}$.
		\task $\left\{ 1;-2\right\}$.
		\task $\left\{ -\frac{1}{2} \right\}$.
		\task $\left\{ 0;4\right\}$.
		\task $\emptyset$.
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 4. \hfill 3 points}

\begin{notabene}
	
	Probabilité seconde.
	
\end{notabene}

Une urne contient 4 jetons: deux jaunes, un rose et un violet.

On tire au hasard un jeton de l'urne puis un second sans remettre le premier. 

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

\begin{enumerate}
	\item Représenter cette situation par un arbre.
	\item Combien y-a-t-il de tirages possibles?
	\item On considère les événements:
	\begin{itemize}
		\item $R$: \og Le 1\ier\ jeton tiré est rose \fg;
		\item $J$: \og Le 2\ieme\ jeton tiré est jaune \fg.
	\end{itemize}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\mathbb{P}(R)$ et $\mathbb{P}(J)$.
		\item Traduire par une phrase $R \cap J$. \\
		Calculer $\mathbb{P}(R \cap J)$.
		\item Calculer $\mathbb{P}(R \cup J)$.
	\end{enumerate}
	
	\item On considère l'événement: $N$:\og Aucun jeton tiré n'est jaune \fg.
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathbb{P}(N)$.
		\item Exprimer $\overline{N}$ par une phrase.
		\item Calculer $\mathbb{P}\left(\overline{N}\right)$.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item {\color{orange}La modélisation la plus simple (car utilisant l'équiprobabilité) nécessite de distinguer les deux jetons jaunes: $J1$ et $J2$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.3]
			\coordinate (A1) at (0,11);
			\coordinate (A2) at (0,9);
			\coordinate (A3) at (0,7);
			\coordinate (A4) at (0,5);
			\coordinate (A5) at (0,3);
			\coordinate (A6) at (0,1);
			\coordinate (A7) at (0,-1);
			\coordinate (A8) at (0,-3);
			\coordinate (A9) at (0,-5);
			\coordinate (A10) at (0,-7);
			\coordinate (A11) at (0,-9);
			\coordinate (A12) at (0,-11);
			\coordinate (B1) at (-2,9);
			\coordinate (B2) at (-2,3);
			\coordinate (B3) at (-2,-3);
			\coordinate (B4) at (-2,-9);
			\coordinate (C1) at (-4,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$J2$};
			\draw node (A2) at (A2) {$R$};
			\draw node (A3) at (A3) {$V$};
			\draw node (A4) at (A4) {$J1$};
			\draw node (A5) at (A5) {$R$};
			\draw node (A6) at (A6) {$V$};
			\draw node (A7) at (A7) {$J1$};
			\draw node (A8) at (A8) {$J2$};
			\draw node (A9) at (A9) {$V$};
			\draw node (A10) at (A10) {$J1$};
			\draw node (A11) at (A11) {$J2$};
			\draw node (A12) at (A12) {$R$};
			\draw node (B1) at (B1) {$J1$};
			\draw node (B2) at (B2) {$J2$};
			\draw node (B3) at (B3) {$R$};
			\draw node (B4) at (B4) {$V$};
			\draw (B1)--(A1);
			\draw (B1)--(A2);
			\draw (B1)--(A3);
			\draw (B2)--(A4);
			\draw (B2)--(A5);
			\draw (B2)--(A6);
			\draw (B3)--(A7);
			\draw (B3)--(A8);
			\draw (B3)--(A9);
			\draw (B4)--(A10);
			\draw (B4)--(A11);
			\draw (B4)--(A12);
			\draw (C1)--(B1);
			\draw (C1)--(B2);
			\draw (C1)--(B3);
			\draw (C1)--(B4);
			\end{tikzpicture} 
		\end{center}
		
		\item D'après l'arbre précédent: $|\Omega|=12$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $12$ tirages possibles.
			
		\end{conclusion}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R})$.}
			
			$\tilde{R}= \{ RJ1, RJ2, RV \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $\tilde{R}$ est réalisé par $3$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{R})=\frac{3}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{R})=\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{J})$.}
			
			$\tilde{J}= \{ J1J2, J2J1, RJ1, RJ2, VJ1, VJ2 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $\tilde{J}$ est réalisé par $6$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{J})=\frac{6}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{J})=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item ~
			
			\begin{conclusion}
				
				$\tilde{R} \cap \tilde{J}$: \og le premier jeton est rose et le second est jaune\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})$.}
			
			$\tilde{R} \cap \tilde{J}= \{ RJ1, RJ2 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $\tilde{R} \cap \tilde{J}$ est réalisé par $2$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})=\frac{2}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})=\frac{1}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J})$.}
			
			{\color{orange}Ici peu importe la loi de probabilité nous allons utiliser une formule qui fonctionne pour toutes les lois de probabilités.}
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J}) &= \mathbb{P}(\tilde{R}) + \mathbb{P}(\tilde{J}) -\mathbb{P}(\tilde{R} \cap \tilde{J})\\
			&= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\tilde{R} \cup \tilde{J})=\frac{7}{12}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
			
			$N= \{ VR, RV \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $N$ est réalisé par $2$ issues et l'univers contient $12$ issues donc: $\mathbb{P}(N)=\frac{2}{12}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N)=\frac{1}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item ~
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{N}$ : \og au moins un jeton est jaune\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
			
			{\color{orange}Ici peu importe la loi de probabilité nous allons utiliser une formule qui fonctionne pour toutes les lois de probabilités.}
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(N) &= 1-\mathbb{P}(\overline{N})\\
			&= 1-\frac{1}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N)=\frac{5}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{correction}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 5. \hfill 3 points}

\begin{notabene}
	
	Étude d'une fonction polynomiale de degré 3 avec limite.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Soit $f:x \mapsto \frac{2}{3}x^3-x^2+4x+1$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
	
\end{sujet}

	
\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez $f'$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \frac{2}{3}\times 3x^2-2\times x+4\times 1 +0 \\
			&= 2x^2-2x+4
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudiez le signe de $f'$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f'$ est une fonction polynomiale de degré deux dont le discriminant est $(-2)^2-4 \times 2 \times 4=-12<0$. Par conséquent $f'$ n'admet pas de zéro et $f'$ est du signe de son coefficient dominant, $2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f'$ est strictement positive.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(x)=\frac{2}{3}x^3-x^2+4x+1 \underset{x \to \pm \infty}{\sim} \frac{2}{3} x^3$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $f(x) \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} -\infty$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduisez des questions précédentes le tableau de variation de $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ , $+\infty$}
			\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 6. \hfill 4 points}

\begin{notabene}
	
	Probabilités avec suite.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$.
	
	L'urne $U_{1}$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
	
	L'urne $U_{2}$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
	
	On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
	
	\medskip
	
	Étape 1 : On tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.
	
	\medskip
	
	Étape $n~ (n \geqslant  2$) :
	
	\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n -1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.
		\item[$\bullet~$]	Si la boule tirée à l'étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_{2}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{2}$.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	On note $A$ l'évènement \og le tirage a lieu dans l'urne $U_{1}$ à l'étape $n$ \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité. On a donc $p_{1} = 1$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $p_{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il y équiprobabilité entre les $17+3=20$ boules de $U_1$.
		
		$A_2$ est réalisé si la boule tirée dans $U_1$ est blanche donc $A_2$ est réalisé par $17$ boules sur un total de $20$ et il y a équiprobabilité donc $p_2=\mathbb{P}(A_2)=\frac{17}{20}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8 p_{n} + 0,05$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la formule des probabilités totales
		
		\begin{align*}
			p_{n+1} &= \frac{17}{20}p_n+\frac{1}{20} (1-p_n)\\
			&= \frac{16}{20}p_n+\frac{1}{20}\\
			&= \frac{8}{10} p_n +0,05
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item  
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $p_{3}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$p_3= \frac{4}{5} \times \frac{17}{20}+0,05 = \frac{17}{25} + 0,05= \frac{68}{100}+0,05=0,73$.
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{enumerate}
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ entier naturel non nul, $p_{n} > 0,25$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$p_1=1>0,25$.
			
			\begin{align*}
				p_{n+1} &= 0,8p_n+0,05\\
				&>0,8 \times 0,25+0,05\\
				&> 0,2+0,05\\
				&> 0,25
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est décroissante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par récurrence.
			
			$p_1=1>\frac{17}{20}=p_2$.
			
			La fonction affine $f:x \mapsto 0,8x+0,05$ est strictement croissante car $0,8>0$. On en déduit, à partir de l'hypothèse de récurrence que \[ f(p_{n+1})> f(p_n) \]
			Autrement dit $p_{n+2}>p_{n+1}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente vers un réel noté $\ell$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Décroissante et minorée donc convergente.
			
		\end{correction}
		
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$. En déduire la valeur de~$\ell$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ étant continue on peut passer à la limite dans $p_{n+1}=f(p_n)$ et donc $\ell =f(\ell)$. Autrement dit $\ell =0,8\ell +0,05$
			
			Donc $\ell= 0,25$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 7. \hfill 5 points}

\begin{notabene}
	
	Fonction niveau terminale.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.
	
	\medskip
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que: \[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Sans difficulté
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Par croissance comparée:
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(x) \underset{x \to -\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $f'$.}
		
		$f$ est un produit de fonctions dérivables donc est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= 1 \times \mathrm{e}^x +(x+1)\mathrm{e}^x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)(x+2)\mathrm{e}^x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\mathrm{e}^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ donc $f'(x)$ est du signe de $x+2$.
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$-2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ $0$, - / $-\mathrm{e}^{-1}$, + / $+\infty$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On définit la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:
	
	\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]\index{fonction exponentielle} 
	
	et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left( O; \vec{i},\vec{j} \vec{k} \right)$ du plan.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				g_m(x)=0 &\Leftrightarrow x+1-m\mathrm{e}^{x}=0\\
				&\Leftrightarrow x+1=m\mathrm{e}^{-x}\\
				&\Leftrightarrow (x+1)\mathrm{e}^{x}= m
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x\in\mathbb{R},\ g_m(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=m$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduire de ce qui précède le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=4.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$m$ /0.8, Points d'intersection /0.8}
				{$-\infty$ ,$-\mathrm{e}^{-1}$,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,0,1,2,2,1,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}

		Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$g_m(x)-(x+1)=-m\mathrm{e}^{-x}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=4.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$m$ /0.8, $x \mapsto g_m(x)-(x+1)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,0,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathcal{C}_m$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ sur $\mathbb{R}_-$ et au-dessous sur $\mathbb{R}_+$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 8. \hfill 5 points}

\begin{notabene}
	
	Exo suite facile terminale.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 
	
	\[u_{0} = 2\quad  \text{et pour tout entier naturel } n,\: u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.\] 
	
	On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} > 0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$u_1= \frac{4}{5}$.
			
			$u_2=\frac{\frac{14}{5}}{\frac{13}{5}}=\frac{14}{13}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Établir que pour tout entier naturel $n, u_{n+ 1} - 1 = \dfrac{- u_{n} + 1}{ 2u_{n} + 1}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$u_{n+1}-1=\frac{u_n+2}{
			2u_n+1} -\frac{
			2u_n+1}{
			2u_n+1}= \frac{-u_n+1}{
			2u_n+1}$.
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet} 
			
			Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$u_0-1=1>0$ et $(-1)^0=1>0$.
			
			{\color{orange}Nous pourrions travailler par disjonction des cas suivant que $n$ est pair ou impair.}
			
			Supposons $(u_n-1) \times (-1)^n>0$.
			
			$\left(u_{n+1}-1\right) \times (-1)^{n+1}= \frac{-u_n+1}{2u_n+1} (-1)^{n+1}= \frac{u_n-1}{2u_n+1} (-1)^{n}$.
			
			$u_n>0$ donc $2u_n+1>0$ et par hypothèse de récurrence $(u_n-1) \times (-1)^{n}>0$ d'où $(u_{n+1}-1) \times (-1)^{n+1}>0$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate} 
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Établir que pour tout entier naturel $n, v_{n+1} = \dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}$. 
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				v_{n+1} &= \frac{u_{n+1}-1}{ u_{n+1}+1}\\
				&= \frac{\frac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}-1}{\frac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}+1}\\
				&= \frac{\frac{u_n+2-2u_n-1}{2u_n+1}}{\frac{u_n+2+2u_n+1}{2u_n+1}}\\
				&= \frac{-u_n+1}{3u_n+3}
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
			
			En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente $v_{n+1}=-\frac{1}{3}v_n$.
			
			$v_0=\frac{u_0-1}{u_0+1}=\frac{1}{3}$.
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ v_n=\frac{1}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right)^n$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} =  \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
			
			Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$u_n=\frac{1+\frac{1}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right)^n}{1-\frac{1}{3} \times \left( -\frac{1}{3} \right)^n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 1$ car $-\frac{1}{3}\in ]-1;1[$.
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 9. \hfill 5 points}

\begin{notabene}
	
	Espace vectoriel.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère l'ensemble $F= \left\{ \left. \vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \ \right| \ 4x-2y=0 \right\}$. Ainsi $F$ est formé des vecteurs dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient $4x-2y=0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $\vec{v}= \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}$ appartient à $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$4 \times (-3)-2 \times (-6)=0$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un autre vecteur $\vec{w}$ non nul de $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Tout vecteur colinéaire à $\vec{v}$ convient.
		
		$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\det( \vec{v}, \vec{w} )= \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix}= -3 \times 2 - (-6) \times 1= 0$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$F \subset \mathbb{R}^2$ et $F \ne \emptyset$.
		
		Soient $\alpha\in \mathbb{R}$, $\vec{g}$ et $\vec{h}$ des vecteurs pris dans $F$.
		
		$\alpha \vec{g}+\vec{h}= \begin{pmatrix} \alpha g_1+h_1 \\ \alpha g_1+h_1 \end{pmatrix}$.
		
		Or
		$4 \times (\alpha g_1+h_1)-2 \times (\alpha g_1+h_1)= \alpha(4g_1-2g_2)+(4h_1-2h_2)=\alpha 0+0=0$. Donc $\alpha\vec{g}+\vec{h}\in F$.
		
		Ainsi $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $\vec{r} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ n'appartient pas à $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$4 \times 2-2 \times 1=6\ne 0$ donc $\vec{r} \notin F$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que $F$ est une droite vectorielle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$, $F\ne \emptyset$ et $F \ne \mathbb{R}^2$ donc $F$ est une droite vectorielle.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une représentation paramétrique de $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\vec{u} \in F$ donc $F: \left\{ \begin{array}{l} x= -3t \\ -6t \end{array} \right.,\ t \in \mathbb{R}$.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 10. \hfill 4 points}

\begin{notabene}
	
	Exo de proba costaud
	
	ecg1 approfondies  questions et méthodes
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Soient $n,a,b \in \mathbb{N}^3$. On effectue, dans une urne contenant initialement $b$ boules blanches et $b$ boules noires, une suite de tirages de la façon suivante: si les $k-1$ premiers tirages ont tous donné une boule blanche, on procède au $k^{\text{ème}}$ tirage, et alors:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item si la boule obtenue est noire, ce $k^{\text{ème}}$ tirage est le tirage final.
		
		\item si la boule obtenue est blanche, elle est replacée dans l'urne avec en plus $a$ autres boules blanches avant de procéder au tirage suivant.
		
	\end{enumerate}
	
	On note $A_n$ l'événement \og une boule blanche apparaît à chacun des $n$ tirages\fg{}. Montrer que \[ \mathbb{P}(A_n)=\prod_{k=0}^{n-1} \frac{ka+b}{ka+2b}. \]
	
	\medskip
	Rappel: $\prod$ signifie un produit. Par exemple $\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} k+1=(0+1) \times (1+1) \times (2+1) \times \dots \times (n-1) \times n$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	On démontre par récurrence sur $k$ que: $\forall k \in \llbracket 1,n\rrbracket,\ \mathbb{P}(B_k|B_{k-1})= \frac{(k-1)a+b}{(k-1)a+2b}$ en raisonnant sur un embranchement.
	
	Formule des probabilité composées.
	
	$\mathbb{P}(A_n)= \prod_{k=1}^{n} \frac{(k-1)a+b}{(k-1)a+2b}$.
	
	Reste à décaler les indices.
	
\end{correction}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\subsection{Exercice 11. \hfill 4 points}

\begin{notabene}
	
	Exo d'équivalence
	
	sup mpsi ellipse hami page 275
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Trouver un équivalent simple à la suite $(u_n)$ dans les cas suivants et donner si possible sa limite.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle u_n=(n+3\ln(n)) \mathrm{e}^{-(n+1)}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\ln(n^2+1)}{n+1}$.
		\task $\displaystyle u_n= \frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}$.
		\task $\displaystyle u_n=\frac{n!+\mathrm{e}^n}{2^n+3^n}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}
		\task $\ln(n) \underset{n \to +\infty}{=}o(n)$ donc $n+3\ln(n) \underset{n \to +\infty}{\sim} n$.
		
		Ainsi $u_n\underset{n \to +\infty}{\sim} n\mathrm{e}^{-n} \mathrm{e}$.
		
		Par croissance comparée $n\mathrm{e}^{-n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\lim_{n \to +\infty} u_n=0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\ln(n^2+1)=2\ln(n)+ \ln\left( 1 +\frac{1}{n^2} \right)$.
		
		Or $\ln\left( 1 +\frac{1}{n^2} \right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{n^2}$ et $\frac{1}{n^2} \underset{n \to +\infty}{=}o(\ln(n))$ donc $\ln(n^2+1) \underset{n \to +\infty}{\sim} 2 \ln(n)$.
		
		Ainsi $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{2\ln(n)}{n}$. Et par croissance comparée: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\sqrt{n^2+n+1}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} \underset{n \to +\infty}{\sim} n \times 1$.
		
		De même $\sqrt[3]{n^2-n+1}= n^{2/3} \sqrt[3]{ 1-\frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2}} \underset{n \to +\infty}{\sim} n^{2/3} \times 1$.
		
		Par quotient $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} n^{1-2/3}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\mathrm{e}^n \underset{n \to +\infty}{=} o( n!)$ et $2^n \underset{n \to +\infty}{=}o(3^n)$ donc 
		$u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{n!}{3^n}$.
		
		Puisque $3^n \underset{n \to +\infty}{=} o(n!)$
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~
\subsection{Exercice 12. \hfill 3 points}

\begin{notabene}
	
	Exo de suite difficile.
	
	mpsi ediscience
	
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour $n \in \mathbb{N}$, justifier que $x^5+nx-1=0$ admet une unique solution $u_n$ dans $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f'(x)=5x^4+n>0$ sauf si $n=0$ et $x=0$.
		
		Donc $f$ strictement croissante et monotone, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un unique zéro pour $f$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		$u_0=1$. Si $u_1>1$ alors $u_1^5+u_1-1>0$ ce qui est impossible donc $u_1\leqslant 1=u_0$.
		
		$f(0)=-1<0$. Donc $u_n>0$.
		
		$f_{n+1}(u_n)=u_n \geqslant 0$ donc $u_{n+1}\leqslant u_n$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Minorée par $0$ et décroissante donc convergente.
		
		$\frac{1}{n}u_n^5+u_n-\frac{1}{n}=0$ en passant à la limite: $\ell =0$.
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\bigskip
\hfill ***** \hfill~

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}