%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{Devoir surveillé CPGE B/L. 2023/01/31.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé CPGE B/L. 2023/01/31.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les problèmes qui suivent sont indépendants les uns des autres.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Faire soit les problèmes 0 et 1 et 2, soit les problèmes 1 et 2 et 3.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Pour répondre à une question, on pourra toujours utiliser les résultats de questions précédentes, à condition de clairement l'indiquer.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
	\emph{Il est demandé de soigneusement numéroter les questions et de mettre clairement les réponses en évidence, par exemple en les \framebox{encadrant} ou en les \underline{soulignant}. Lors de la correction, il sera fait grand cas de la \textbf{clarté}, de la \textbf{concision} et de la \textbf{précision} de la rédaction. L'utilisation de surligneur ou de crayon n'est pas recommandé.}
	
	\hfill *** \hfill~
	
\end{sujet}

\begin{notabene}
	
	Copié sur le précédent avec des exrecices de type bac en compiqué.
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Format ENs: trois problèmes, environ 15 questions par problème, trois domaines différents.
	
\end{notabene}

\subsection{Problème 0.}

\begin{sujet}
	
	Les 6 questions de ce problème sont indépendantes les unes des autres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En justifiant, écrire sous forme d'une seule expression fractionnaire les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\displaystyle H(x)= \frac{2}{x} + x+1$.
			\task $\displaystyle K(x)= \frac{3x}{\frac{x^2}{4}}$.
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}
			\task 
			
			\begin{align*}
				H(x) &= \frac{2}{x}+ \frac{(x+1)x}{x}\\
				&= \frac{2+(x+1)x}{x}
			\end{align*}
			
			\task 
			
			\begin{align*}
				H(x) &= 3x \times \frac{4}{x^2}\\
				&= \frac{12x}{x^2}
			\end{align*}
			
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En justifiant, développer les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $P(x)= 3(2x+1)(x-3)$.			
			\task $Q(x)= 8(3x+2)^2$.			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}
			\task 
			
			\begin{align*}
				P(x) &= 3[2x \times x + 2x \times (-3) + 1 \times x + 1 \times (-3)]\\
				&= 3[ 2x^2-6x+x-3]\\
				&= 3 [ 2x^2-5x-3]\\
				&= 3 \times 2x^2+3 \times (-5)x +3 \times (-3)\\
				&= 6x^2-15x-9
			\end{align*}
			
			\task 
			
			\begin{align*}
				Q(x) &= 8[(3x)^2+2 \times 3x\times 2 +2^2] \\
				&= 8[ 9x^2+12x+4]\\
				&= 8 \times 9x^2+8 \times 12x+8 \times 4\\
				&= 72x^2+ 96x+32
			\end{align*}
			
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En justifiant, factoriser les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $R(x)= (2x+1)(x-2)+(x-2)^2$.			
			\task $S(x)= \frac{x^2}{4}+3x+9$.
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}
			\task 
			
			\begin{align*}
				R(x) &= (2x+1){\color{orange}(x-2)} + (x-2){\color{orange}(x-2)}\\
				&= \left[ (2x+1)+(x-2) \right]{\color{orange}(x-2)}\\
				&= \left[ 2x+1+x-2 \right](x-2)\\
				&= \left[ 3x-1 \right](x-2)\\
			\end{align*}
			
			\task 
			
			\begin{align*}
				S(x) &= \left( \frac{x}{2} \right)^2+2 \times \frac{x}{2} \times 3 + 3^2\\
				&= \left( \frac{1}{2} x + 3 \right)^2
			\end{align*}
			
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En détaillant la résolution si nécessaire, résoudre les équations suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $E_1:\ -3x+7=4$.
			\task $E_2:\ 3(x-5)(6-2x)=0$.
			\task $E_3:\ \dfrac{4x+2}{5}=0$.
			\task $E_4:\ x^2+3x-4=0$.
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}
			\task
			
			\begin{align*}
				E_1 &\Leftrightarrow-3x+7=0\\ &\Leftrightarrow -3x+7-7=4-7\\
				&\Leftrightarrow -3x=-3\\
				&\Leftrightarrow \frac{-3x}{-3}= \frac{-3}{-3}\\
				&\Leftrightarrow x=1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}= \{ 1 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\task 
			
			\begin{align*}
				E_2 &\Leftrightarrow x-5=0 \quad \text{ou}\quad 6-2x=0\\
				&\Leftrightarrow x-5+5=0+5 \quad \text{ou} \quad 6-2x-6=0-6\\
				&\Leftrightarrow x=5 \quad \text{ou} \quad -2x=-6\\
				&\Leftrightarrow x=5 \quad \text{ou} \quad \frac{-2x}{-2}= \frac{-6}{-2}\\
				&\Leftrightarrow x=5 \quad \text{ou} \quad x=3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}= \{ 5 ; 3 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\task
			
			\begin{align*}
				E_3 &\Leftrightarrow \frac{4x+2}{5} \times 5= 0 \times 5\\
				&\Leftrightarrow 4x+2=0\\
				&\Leftrightarrow 4x+2-2 =0-2\\
				&\Leftrightarrow 4x=-2\\
				&\Leftrightarrow \frac{4x}{4} = \frac{-2}{4}\\
				&\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}= \left\{ -\frac{1}{2} \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			 
			\task 
			
			On reconnaît une équation polynomiale de degré deux dont le discriminant est $\Delta= 3^2-4 \times 1 \times (-4)=25$.
			
			Puisque $\Delta >0$, $(E_4)$ admet deux solutions réelles distinctes: $\frac{-3+\sqrt{25}}{2 \times 1}=1$ et $\frac{-3-\sqrt{25}}{2 \times 1}=-4$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}=\{ 1; -4 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la formule explicite de la suite géométrique $(u_n)$ de terme initial $u_0=12$ et de raison $\frac{1}{3}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$u_n=u_0 \times q^n=12 \times \left( \frac{1}{3} \right)^n=\frac{12}{3^n}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la formule explicite de la suite arithmétique $(v_n)$ de terme initial $v_1=2$ et de raison $5$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$v_n=v_1+(n-1)r=2+(n-1) \times 5= 5n-3$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si la suite $(w_n)$ est convergente et quelle vérifie la relation de récurrence $w_{n+1}=4 w_n-1$, quelle est forcément sa limite?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$x \mapsto 4x-1$ est continue donc, en passant à la limite dans la relation de récurrence proposée: $\ell =4 \ell -1$.
			
			Cette équation équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\ell -4\ell &= 4\ell-1 -4\ell\\
				-3\ell &= -1\\
				\frac{-3\ell}{-3} &= \frac{-1}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si la suite converge c'est nécessairement vers $\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On étudie, dans cette question, les variations de la fonction \[ f:x \mapsto \frac{2}{3}x^3+x^2-x+2 \] définie sur $\mathbb{R}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}En $+\infty$ comme en $-\infty$ il y a des formes indéterminées. $f$ étant polynomiale pour lever cette indétermination il suffit de travailler avec des équivalents.}
			
			$f(x) \sim \frac{2}{3}x^3$ en $+\infty$ et en $-\infty$ donc $\lim_{\pm \infty} f=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{3} x^3$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\lim_{-\infty} f= -\infty$ et $\lim_{+\infty} f=+\infty$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et, 
			
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $x$ réel: $f'(x)=2x^2+2x-1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre l'équation $2x^2+2x-1=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2x^2+2x-1$ est un trinôme du second degré dont le discriminant est $\Delta = 2^2-4 \times 2 \times (-1)=12$.
			
			$\Delta >0$ donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes: $x_1= \frac{-2-\sqrt{12}}{2 \times 2}= \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ et $x_2=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}= \left\{ \frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le signe de la fonction dérivée $f'$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Une fonction polynomiale de degré deux est du signe de son coefficient dominant sauf entre ses éventuelles racines donc, d'après la question précédentes, et puisque $a=2>0$:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$x_1$, $x_2$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Du précédent tableau de signe nous déduisons:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$x_1$, $x_2$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $f(x_1)$ , - / $f(x_2)$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\hfill ******** \hfill~

\subsection{Problème 1.}

\begin{notabene}
	
	Analyse un problème d'étude de fonction de niveau terminale.
	
	Bac 2003 pondichery problème: étude détaillée d'une fonction et tracer de courbe représentative. Pas de suite
		
	RETENU Bac 2003 centre étranger juiin 2003: ln position avec la tangente unbrin théorique, tracer des tangentes
	
	Bac h2003 antille guayne septembre 2003: ude tout des suites,
	
\end{notabene}


\begin{sujet}
	
	On appelle $f$ la fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ par \[f(x) = 1 + x\ln (x + 2).\]
	
	On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal $\left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)$.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie I. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\begin{enumerate} 
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez le domaine de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f$ est définie si et seulement si $x+2$ car la fonction $\ln$ est définie sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
		Or $x+2>0 \Leftrightarrow x>-2 \leftrightarrow x \in ]-2,+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{D}_f=]-2,+\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étude des variations de la dérivée $f'$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde (autrement dit la dérivée de la dérivée).
			
			Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ en précisant les domaines de dérivabilité pour $f$ et $f'$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$, comme $x+2>0$ sur $]-2,+\infty[$, par composition puis par produit $f$ est dérivable sur $]-2,+\infty[$ et, pour tout $x \in ]-2,+\infty[$:
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= \ln(x+2)+x \frac{1}{x+2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in ]-2,+\infty[,\ f'(x)=\ln(x+2)+ \frac{x}{x+2}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			$f'$ est dérivable par composition et par quotient (de dénominateur ne s'annulant pas) sur $]-2,+\infty[$ et pour tout $x \in ]-2,+\infty[$:
			
			\begin{align*}
				f''(x) &= \frac{1}{x+2}+\frac{x+2-x}{(x+2)^2}\\
				&= \frac{x+2}{(x+2)^2}+ \frac{2}{(x+2)^2}\\
				&= 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in ]-2,+\infty[,\ f''(x)= \frac{x+4}{(x+2)^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les limites de $f':x \mapsto \frac{x}{x+2} + \ln(x+2)$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\frac{x}{x+2} \underset{x \to +\infty}{\sim} 1$ et $\lim_{x \to + \infty} \ln(x+2)=+\infty$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$\lim_{x \to + \infty} f'(x)=+\infty$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} \ln(x+2) = -\infty$.
				
				Étudions $\frac{x}{x+2}$ au voisinage de $-2$.
				
				
				$\lim_{x \to -2} x=-2$ et $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} x+2=0^+$ donc par quotient $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} \frac{x}{x+2}= -\infty$.
				
				Finalement
				
				\begin{conclusion}
					
					$\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} f'(x)=-\infty$.
					
				\end{conclusion}
				
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudier les variations de $f'$ sur l'intervalle $]-2;+ \infty[$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après ce qui précède:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /1.6}
				{$-2$ , $+\infty$}
				\tkzTabVar {-/ $-\infty$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étude du signe de $f'(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate} 
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que sur l'intervalle $]-2;+ \infty[$ l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$.
			
			\emph{On admettra que $\alpha \in [-0,6;-0,5]$}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f'$ est continue sur $]-2,+\infty[$, strictement croissante, donc $f'$ réalise une bijection de $]-2,+\infty[$ sur $f'(]-2,+\infty[)= \left] \lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} f'(x) , \lim_{x \to +\infty} f'(x) \right[ =\mathbb{R}$.
			
			Or $0 \in f'\left( ]-2,+\infty[ \right)$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il existe un unique $\alpha \in ]-2,+\infty[$ tel que $f'(\alpha)=0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f'$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$ donc:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8}
				{$-2$, $\alpha$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étude des variations de $f$ sur $]-2;+ \infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les limites de $f$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Sans difficulté:
			
			\begin{conclusion} 
				
				$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			$\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} \ln(x+2)= -\infty$ donc, par produit:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -2 \\ x>-2 \end{subarray}} f(x)=+\infty$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]-2;+\infty[$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-2$ ,$\alpha$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {+/ $+\infty$, -/ $f(\alpha)$ , + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection{Partie II. Position de la courbe \boldmath $(\mathcal{C}_f)$ \unboldmath par rapport à ses tangentes}

\begin{sujet}
	
	Soit $x_0$ un réel appartenant à l'intervalle $]-2;+ \infty[$ , on appelle $T_{x_0}$ la tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $x_0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer une équation de la droite $T_0$, tangente $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $0$.
				
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\[ T_0:\ y=f'(0)(x-0)+f(0). \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$T_0:\ y= \ln(2)x +1$.
			
		\end{conclusion}
				
				
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On note, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]-2~;~+ \infty[,$ \[d(x) = f(x) - \left[f'(x_0) (x- x_{0}) + f(x_0)\right].\]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étude des variations de $d$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate} 
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-2;+ \infty[$, \[d'(x) = f'(x) - f'\left(x_0\right).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ étant dérivable sur $]-2,+\infty[$, $d$ l'est aussi et, pour tout $x \in ]-2,+\infty[$, par linéarité de la dérivation:
			
			\begin{align*}
				d'(x) &= f'(x)- [ f'(x_0)+0]
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in ]-2,+\infty[,\ d'(x)=f'(x)-f'(x_0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant la croissance de la fonction $f'$, donner le signe de $d'(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les variations de $d$ sur l'intervalle $]-2;+ \infty[$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $f'$ est strictement croissante {\color{orange}et même par définition de la stricte croissance} si $x > x_0$ alors $f'(x) > f'(\alpha)$. Autrement dit si $x > \alpha$ alors $d'(x)=f'(x)-f'(x_0)> 0$.		
			
			De même si $x< x_0$ alors $d'(x)<0$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $d'$ /0.8, $d$ /1.6}
				{$-2$ ,$x_0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $0$ , + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la position relative de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ et de $T_{x_0}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après le précédent tableau de variation
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left(\mathcal{C}_f\right)$ est au-dessus de $T_{x_0}$ sur $]-2,+\infty[$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie III. Tracés dans le repère \boldmath $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$ \unboldmath.}

\begin{enumerate} 
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
					
			Placer le point de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ d'abscisse $0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
				\def\xY{-1.2};
				\def\yY{-0.2};
				\def\xZ{2.2};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1, 2}	\draw[thick](\x,0.05cm)--(\x,-0.05cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.05cm,\y)--(-0.05cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				%\draw[green][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{ln(2)*\x+1});
				\draw[red] (0,1) node {$\times$};
				%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{1+\x*ln(\x+2)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Placer le point de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ d'abscisse $\alpha$.
			
			On prendra pour $\alpha$ la valeur $- 0,54$ et pour $f(\alpha)$ la valeur $0,8$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
				\def\xY{-1.2};
				\def\yY{-0.2};
				\def\xZ{2.2};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1, 2}	\draw[thick](\x,0.05cm)--(\x,-0.05cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.05cm,\y)--(-0.05cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				%\draw[green][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{ln(2)*\x+1});
				\draw[red] (0,1) node {$\times$};
				\draw[Green] (-0.58,0.8) node {$\times$};
				%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{1+\x*ln(\x+2)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracer la tangente $T_0$ dont l'équation a été déterminée dans la partie précédente.
			
			\emph{On utilisera $\ln(2)\approx 0,69$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
				\def\xY{-1.2};
				\def\yY{-0.2};
				\def\xZ{2.2};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1, 2}	\draw[thick](\x,0.05cm)--(\x,-0.05cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.05cm,\y)--(-0.05cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[green][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{ln(2)*\x+1});
				\draw[red] (0,1) node {$\times$};
				\draw[Green] (-0.58,0.8) node {$\times$};
				%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{1+\x*ln(\x+2)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Trouver les réels $x_0$ pour lesquels les tangentes $T_{x_0}$ passent par l'origine du repère puis tracer ces droites.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les $x_0$ pour lesquels la tangente passe par l'origine du repère vérifient: \[ 0=f'(x_0)(0-x_0)+f(x_0). \]
			
			Autrement dit:
			
			\begin{align*}
				0 &= -x_0 \left( \frac{x_0}{x_0+2}+ \ln(x_0+2) \right)+ 1+x_0 \ln(x_0+2)\\
				0 &= -x_0\frac{x_0}{x_0+2} +1\\
				x_0^2-x_0-2 &= 0
			\end{align*}
			
			Donc 	
					
			\begin{conclusion}
				
				les $x_0$ cherchés sont à prendre dans $\left\{ -1, 2 \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
				\def\xY{-1.2};
				\def\yY{-0.2};
				\def\xZ{2.2};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1, 2}	\draw[thick](\x,0.05cm)--(\x,-0.05cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.05cm,\y)--(-0.05cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[green][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{ln(2)*\x+1});
				\draw[brown] (-1,1) node {$\times$};
				\draw[brown][samples=100,domain=-1:0.22] plot(\x,{-\x});
				\draw[red] (0,1) node {$\times$};
				\draw[orange] (2,3.8) node {$\times$};
				\draw[orange][samples=100,domain=0:2] plot(\x,{1.9*\x});
				\draw[Green] (-0.58,0.8) node {$\times$};
				%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{1+\x*ln(\x+2)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $- 1$ et $2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
			\def\xY{-1.2};
			\def\yY{-0.2};
			\def\xZ{2.2};
			\def\yZ{4};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {-1, 2}	\draw[thick](\x,0.05cm)--(\x,-0.05cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.05cm,\y)--(-0.05cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[green][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{ln(2)*\x+1});
			\draw[brown] (-1,1) node {$\times$};
			\draw[brown][samples=100,domain=-1:0.22] plot(\x,{-\x});
			\draw[red] (0,1) node {$\times$};
			\draw[orange] (2,3.8) node {$\times$};
			\draw[orange][samples=100,domain=-0.1:2] plot(\x,{1.9*\x});
			\draw[Green] (-0.58,0.8) node {$\times$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{1+\x*ln(\x+2)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\hfill ******** \hfill~

\subsection{Problème 2.}

\begin{notabene}
	
	Problème de probabilité.
	
	Bac 2003 liban mai 2003: suite tirage de boules unpeu court
	
	Bac 1999 polynésie juin 1999 exo 1
	
	Bac 2010 asie juin 2010
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
	
	\medskip
	Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
	
	\medskip
	L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$.
	
	\medskip
	L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: 
	
	\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6=\frac{6}{10}$ d'être aussi positif; 
		\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9=\frac{9}{10}$ d'être aussi négatif. 
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
	
	On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.
	
	\medskip
	\emph{Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire ou décimale selon ce qui est le plus simple.}
	
	\emph{Les questions 3 et 4 sont indépendantes.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on s'intéresse aux deuxième et troisième sondages.
				
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopier puis compléter l'arbre suivant sur la copie.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$V_2$/$\np{0,6}$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{V_2}$/$?$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$V_3$/$\np{0,6}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_3}$/$?$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$V_3$/$?$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_3}$/$\np{0,9}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$V_2$/$\np{0,6}$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{V_2}$/$\np{0,4}$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$V_3$/$\np{0,6}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_3}$/$\np{0,4}$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$V_3$/$\np{0,1}$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_3}$/$\np{0,9}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $A$ l'événement \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{}.
			
			Exprimer $A$ avec $V_2$ et $V_3$ puis calculer la probabilité $\mathbb{P}(A)$ de $A$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$A= V_2 \cap V_3$ donc d'après la formule des probabilités composées, {\color{orange}ou la définition de la probabilité conditionnelle,}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_2 \cap V_3) & =\mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P} (V_3 | V_2)\\
				&= 0,6 \times 0,6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=0,36$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $B$ l'événement \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg{}.
			
			Exprimer $B$ avec $V_2$ et $V_3$ puis calculer la probabilité $\mathbb{P}(B)$ de $B$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$B= \overline{V_2} \cap \overline{V_3}$ donc d'après la formule des probabilités composées:
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(\overline{V_2} \cap \overline{V_3}) & =\mathbb{P}(\overline{V_2}) \times \mathbb{P} (\overline{V_3} | \overline{V_2})\\
			&= 0,4 \times 0,9
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)=0,36$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $p_3=\mathbb{P}(V_3)$ la probabilité pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\{ V_2, \overline{V_2} \}$ est un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_3) &= \mathbb{P}(V_2 \cap V_3) + \mathbb{P}(\overline{V_2} \cap V_3)\\
				&= \mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P}(V_3 | V_2) + \mathbb{P}(\overline{V_2}) \times \mathbb{P}(V_2 | \overline{V_3})\\
				&= 0,6 \times 0,6 + 0,4 \times 0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(V_3)=0,4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un membre de l'équipe archéologique arrivé en retard constate que le troisième sondage est positif.
			
			Calculer la probabilité que, sachant cela, le deuxième sondage ait été positif.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par définition de la probabilité conditionnelle:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}_{V_3}(V_2) &= \frac{\mathbb{P}(V_2 \cap V_3)}{\mathbb{P}(V_3)}\\
				&= \frac{\mathbb{P}(V_2) \times \mathbb{P}(V_3 | V_2)}{\mathbb{P}(V_3)}\\
				&= \frac{0,6 \times 0,6}{ 0,4}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(V_2 | V_3)=0,9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la suite $n$ désigne un entier naturel non nul.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$V_n$/$p_n$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{V_n}$/$?$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$V_{n+1}$/$\np{0,6}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_{n+1}}$/$?$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$V_{n+1}$/$?$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_{n+1}}$/$?$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$V_n$/$p_n$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{V_n}$/$1-p_n$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$V_{n+1}$/$\np{0,6}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{V_{n+1}}$/$\np{0,4}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$V_{n+1}$/$\np{0,1}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{V_{n+1}}$/$\np{0,9}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on cherche à calculer la probabilité d'obtenir une suite ininterrompue de sondages positifs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment noter l'événement $S_3$: \og les trois premiers sondages sont positifs\fg{} en utilisant $V_1$, $V_2$ et $V_3$.
			
			Calculer sa probabilité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(S_3) &= \mathbb{P}(V_1 \cap V_2 \cap V_3)\\
				\intertext{D'après la formule des probabilités composées:}
				&= \mathbb{P}(V_3 | V_1 \cap V_2)  \times \mathbb{P}(V_2 | V_1) \times \mathbb{P}(V_1)\\
				&= 1 \times 0,6 \times 0,6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(S_3)=0,6^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment noter l'événement $S_n$: \og les $n$ premiers sondages sont positifs\fg{} en utilisant $V_1$, $V_2$, ...,  $V_n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$S_n=V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_n$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que la suite $\left( \mathbb{P}(S_k) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est géométrique en précisant son terme initial et sa raison.
			 
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(S_{n+1}) &= \mathbb{P}(V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_n)\\
				&= \mathbb{P}(V_1) \times \mathbb{P}(V_2|V_1) \times \dots \times \\
				&\quad \mathbb{P}(V_{n-1}|V_1 \cap vV_1 \cap \dots \cap V_{n-2}) \times \mathbb{P}(V_n |V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_{n-1})\\
				&= \mathbb{P}(S_n) \times \mathbb{P}(V_n |V_1 \cap V_2 \cap \dots \cap V_{n-1})
			\end{align*}
			
			Or la probabilité qu'un sondage soit positif sachant que le précédent l'est aussi est $0,6$ donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(S_{n+1}) &=  0,6 \times \mathbb{P}(S_n)
			\end{align*}
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( \mathbb{P}(S_k) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est une suite géométrique de terme initial $\mathbb{P}(S_1)= \mathbb{P}(V_1)=1$ et de raison $q=0,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la convergence de $\left( \mathbb{P}\left(S_k \right) \right)_{k\in\mathbb{N}^*}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $q \in ]-1;1[$, la suite géométrique 
			
			\begin{conclusion}
				
				$(\mathbb{P}(S_k))$ converge vers $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'objet de cette question est l'étude de la suite $(p_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que: $p_{n+1}=0,5 p_n+0,1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			D'après la formule des probabilités totales, $\{ V_n, \overline{V_n} \}$ étant un système complet d'événements:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(V_{n+1}) &= \mathbb{P}(V_n) \times \mathbb{P}(V_{n+1}| V_n) + \mathbb{P}(\overline{V_n}) \times \mathbb{P} (V_{n+1} | \overline{V_n})\\
				&= p_n \times 0,6 +(1-p_n) \times 0,1\\
				&= 0,5p_n+0,1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N}^*,\ p_{n+1}=0,5p_n+0,1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On note $u_n=p_n-0,2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la suite $(u_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ est géométrique en précisant terme initial et raison.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $k \in \mathbb{N}^*$.
			
			\begin{align*}
				u_{k+1} &= p_{k+1}-0,2\\
				&= 0,5 p_k-0,1\\
				&= 0,5(p_k-0,2)\\
				&= 0,5u_k
			\end{align*}
			
			Et $u_1=p_1-0,2=0,8$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(u_n)$ est géométrique de terme initial $u_1=0,8$ et de raison $q_1= 0,5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			Puisque $(u_k)$ est géométrique de raison $0,5$ et de terme initial $u_1=0,8$
			
			\begin{align*}
				u_k &= 0,8 \times 0,5^{k-1}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ p_k=0,8 \times 0,5^{k-1} + 0,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudier la convergence de $(p_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ et interpréter le résultat obtenu.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $q_1=0,5 \in ]-1;1[$, $0,8 \times 0,5^{k-1} \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$p_k \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} 0,2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\begin{conclusion}
				
				Lorsqu'on effectue un très grand nombre de sondages la probabilité qu'un sondage soit positif est proche de $0,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\bigskip

\hfill ******** \hfill~

\subsection{Problème 3.}

\begin{notabene}
	
	Problème de géoméhtrie dans l'espace.
	
	Démontrer qu'une sous ev de R2 est une droite vectorielle et en donner une représentation paramétrique.
	
	Trouver une plan de R3 dont l'interection avec le plan R2 soit la droite précédente. Montrer sous-ev. Démontrer l'intersection est sous-ev. Démontrer que coincide avec la précédente droite.
	
	Essayer d'introduire une question avec un paramètre
	
	
\end{notabene}

\subsubsection{Partie I. Dans $\mathbb{R}^2$.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Effectuez les calculs vectoriels suivants: $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}$, $3\begin{pmatrix} 4 \\ 2  \end{pmatrix}$ et $-2\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -7 \\8 \end{pmatrix}$.	
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
		
		$3\begin{pmatrix} 4 \\ 2  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix}$.
		
		$-2\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -7 \\8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -13 \\ 8 \end{pmatrix}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $G_1= \left\{ \left. \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \right| \ x^2+y^2-1=0 \right\}$, autrement dit $G_1$ est l'ensemble de tout les vecteurs dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient $x^2+y^2-1=0$.
		
		Démontrer que $G_1$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
				
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$0^2+0^2-1 \ne 0$ donc $\vec{0} \notin G_1$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$G_1$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on étudie l'ensemble $E= \left\{ \left. \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \ \right| \ 2x-y=0 \right\}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ est un élément appartenant à l'ensemble $E$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2 \times 1 -2=0$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{u} \in E$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On souhaite, dans cette question , démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				On note $a$ un nombre réel, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}= \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs appartenant à $E$.
				
				Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{s}$, obtenu comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$: $\overrightarrow{s}= a\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$, appartient aussi à $E$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{align*}
					2 x_{\vec{s}}-y_{\vec{s}} &= 2 (ax_1+x_2)-(y_1+y_2)\\
					&= a (x_1-y_1) + (2x_2-y_2)\\
					&= a \times 0 +0\\
					&= 0
				\end{align*}
				
				donc 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\vec{s} \in E$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				En déduire que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				
				$E \subset \mathbb{R}^2$, $\vec{u} \in E$ et, d'après la question précédente $E$ est stable par combinaisons linéaires donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans cette question on établit une représentation paramétrique de $E$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Démontrer qu'il existe un vecteur de $\mathbb{R}^2$ qui n'appartient pas à $E$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				{\color{orange}Il suffit de trouver $x$ et $y$ tels que $2x-y\ne 0$ en tâtonnant.}
				
				\medskip
				Clairement 
				
				\begin{conclusion}
					
					$\vec{g}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \notin E$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Justifier que $E$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				$E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ qui n'est pas réduit à $\{ 0 \}$ puisque $\vec{u} \in E$, et qui n'est pas $\mathbb{R}^2$ puisque $\vec{g} \notin E$.
				
				Par conséquent
				
				\begin{conclusion}
					
					$E$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Déterminer une représentation paramétrique de $E$.
				
				\emph{On pourra par exemple utiliser $\overrightarrow{u}$ comme vecteur engendrant $E$.}
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Puisque $\vec{u}\in E$ et puisque $E$ est une droite vectorielle: $E =\{ t\vec{u}|t \in\mathbb{R} \}$.
				
				Donc:
				
				\begin{conclusion}
					
					$E:\ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=2t \end{array} \right., \quad t\in\mathbb{R}$.
				
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie II. Dans $\mathbb{R}^3$.}

\begin{sujet}
	
	On note $E'$ la droite vectorielle de $\mathbb{R}^3$ dont une représentation paramétrique est \[ E': \ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=2t \\ z=0 \end{array} \right.,\ t \in \mathbb{R}, \] (autrement dit $E'$ contient tous les vecteurs $\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 0 \end{pmatrix}$ où $t$ peut prendre toutes les valeurs réelles) et \[ F= \left\{ \left. \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ \right| \ 2x-y+4z=0 \right\}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $E'$ contient un vecteur non nul.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si $t=1$ alors on obtient le vecteur $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} \in E'$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $\overrightarrow{e}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{f}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{g}= \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{h} = \begin{pmatrix} -7 \\ -42  \\ -7 \end{pmatrix}$ des vecteurs de $\mathbb{R}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer parmi  $\overrightarrow{e}$, $\overrightarrow{f}$, $\overrightarrow{g}$ et $\overrightarrow{h}$ ceux qui appartiennent à $F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2 x_{\vec{e}}-y_{\vec{e}}+4 z_{\vec{e}}=2 \times 2-0+4 \times (-1)=0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{e} \in F$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En procédant de même:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{f} \notin F$, $\vec{g} \in F$, $\vec{h} \in F$.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\overrightarrow{g}$ et $\overrightarrow{h}$ sont colinéaires.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a clairement proportionnalité entre les coordonnées de $\vec{g}$ et $\vec{h}$: $-7 \vec{g}=\vec{h}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{g}$ et $\vec{h}$ sont colinéaires.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{g}$ ne sont pas colinéaires, autrement dit, démontrer qu'ils sont linéairement indépendants.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En utilisant les deux premières coordonnées de $\vec{e}$ et $\vec{g}$:
			
			$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 6 \end{vmatrix}=2 \times 6 -1 \times 0=12 \ne 0$.
			
			Nous en déduisons qu'il n'y a pas proportionnalité entre les coordonnées de $\vec{e}$ et $\vec{g}$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{e}$ et $\vec{g}$ sont linéairement indépendants.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $\lambda \in \mathbb{R}$, $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2  \end{pmatrix}$ des éléments de $F$. Démontrons que $\vec{p}=\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2  \end{pmatrix}$ appartient aussi à $F$.
		
		\medskip
		\begin{align*}
			& 2 x_{\vec{p}} -y_{\vec{p}}+4 z_{\vec{p}}\\
			&= 2 (a x_1+x_2)-(2y_1+y_2)+4(2z_1+z_2)\\
			&= a(2x_1-y_1+4z_1)+(2x_2-y_2+4z_2)\\
			&= a \times 0 + 0\\
			&= 0
		\end{align*}
		
		donc $\vec{p} \in F$.
		
		\medskip
		$F \subset \mathbb{R}^3$, $\vec{e} \in F$ et $F$ est stable par combinaisons linéaires donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $F$ n'est pas $\mathbb{R}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \notin F$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$F \ne \mathbb{R}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on cherche à comparer $E'$ et $F$ du point de vue de l'inclusion.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $E' \subset F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $\vec{b} \in E'$.
			
			D'après la représentation paramétrique de $E'$, il existe un nombre $t_{\vec{b}}$ tel que $\vec{b}= \begin{pmatrix} t_{\vec{b}} \\ 2 t_{\vec{b}} \\ 0 \end{pmatrix}$.
			
			Or 
			
			\begin{align*}
				& 2 x_{\vec{b}}-y_{\vec{b}}+4 z_{\vec{b}}\\
				&= 2 \times t_{\vec{b}} -2t_{\vec{b}} +4 \times 0\\
				&= 2t_{\vec{b}}-2t_{\vec{b}}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			donc $\vec{b} \in F$.
			
			Nous avons démontré que quelque soit $\vec{b} \in E'$, $\vec{b} \in F$ autrement dit:
			
			\begin{conclusion}
				
				$E' \subset F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que $E' \ne F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\vec{g} \in F$ mais $\vec{g} \ne E'$ car $z_{\vec{g}} \ne 0$
			
			\begin{conclusion}
				
				$E' \ne F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire $E' \cap F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De 5.(a) nous déduisons:
			
			\begin{conclusion}
				
				$E' \cap F=E'$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{notabene}
			
			$m=2e-3g$
		\end{notabene}
		
		On note $\overrightarrow{m} = \begin{pmatrix} 1 \\-18 \\ -5 \end{pmatrix}$.
	
	On souhaite établir le fait que $\overrightarrow{m}$ peut être obtenu comme une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{g}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que $\overrightarrow{m} \in F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$2 \times 1 -(-18)+4 \times (-5)=0$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{m} \in F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soient $x$ et $y$ des réels.
			
			Calculer les coordonnées du vecteur $x\overrightarrow{e}+y\overrightarrow{g}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$x\overrightarrow{e}+y\overrightarrow{g}= \begin{pmatrix} 2x+y \\ 6y \\ -x+y \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre le système \[ \left\{ \begin{array}{rl} 2x+y &= 1 \\ 6y &= -18 \\ -x+y &= -5 \end{array} \right. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De la deuxième ligne on déduit $y=-3$ puis avec la troisième $x=2$.
			
			Reste à vérifier que $(2,-3)$ est bien solution du système en remplaçant dans chaque égalité, ce qui est immédiat.
			
			\begin{conclusion}
				
				La seule solution du système est $(2,-3)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $\overrightarrow{m}$ comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{e}$ et $\overrightarrow{g}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\vec{m}= 2 \vec{e} -3 \vec{g}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\subsection{Annexe.}

\begin{sujet}
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
		\def\xY{-1.2};
		\def\yY{-0.2};
		\def\xZ{2.2};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {-1, 2}	\draw[thick](\x,0.05cm)--(\x,-0.05cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.05cm,\y)--(-0.05cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		%\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:2] plot(\x,{1+\x*ln(\x+2)});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}


\begin{sujet}
	
	~
	\newpage
	~
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}