%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Devoir surveillé CPGE B/L. 2022/11/03.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé CPGE B/L. 2022/11/03.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		{\Large \textbf{Début du sujet A noté sur 15.}
		
		Exercices 1 à 7}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}

\subsection{Exercice 1: calcul numérique.}

\subsubsection{Partie A: calcul numérique.}

\begin{notabene}
	Calcul numérique.
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez le résultat sous forme d'une fraction irréductible. \emph{Aucune justification n'est exigée.}
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\displaystyle \frac{15}{7}-\frac{29}{7}$.
			
			\task $\displaystyle \frac{5}{3} + \frac{2}{7}$.
			
			\task $\displaystyle \frac{4}{3} \times \frac{8}{7}$.
			
			\task $\displaystyle \frac{\frac{3}{5}}{\frac{27}{5}}$.			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $-2$.
			\task $\frac{41}{21}$.
			\task $\frac{32}{21}$.
			\task $\frac{1}{9}$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers les plus petits possibles: par exemple $\sqrt{68}= \sqrt{2^2 \times 17}=\sqrt{2^2} \times \sqrt{17}=2\sqrt{17}$.  \emph{Aucune justification n'est exigée.}
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\sqrt{64}$.
			\task $\sqrt{72}$.
			\task $\sqrt{3} \times \sqrt{75}$.
			\task $\sqrt{12}$.
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $8$.
			\task $6\sqrt{2}$.
			\task $15$.
			\task $2\sqrt{3}$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez les expressions suivantes sous la forme $a^n$ où $a$ et $n$ sont des nombres entiers. \emph{Aucune justification n'est exigée.}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\displaystyle A=5^3 \times 5^3 \times 5^2$.			
			\task $\displaystyle B=\frac{7^{24} \times 7^{8}}{7^{17}}$.	
			\task $\displaystyle C= 17^{22} \times 17^{-31}$.			
			\task $\displaystyle D= \frac{13^4 \times 13^{-8}}{\left(13^{-4} \right)^3 \times 13^{-5}}$.			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $A=5^8$.
			\task $B=7^{15}$.
			\task $C= 17^{-9}$.
			\task $D=13^{13}$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: calcul littéral.}

\begin{notabene}
	Algèbre: développement, factorisation d'expressions littérales.
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cet partie aucune justification n'est exigée.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $M(x)=6(x+8)$.
			\task $N(x)=-2(7x-5)$.
			\task $P(x)=(4x+5)(2x-4)$.	
			\task $Q(x)=(5x-3)^2$.			
			\task $R(x)= -3(x-4)(3x-1)$.		
			\task $S(x)= -(2x-1)(x+3)^2$.		
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $M(x)=6x+48$.
			\task $N(x)=-14x+10$.
			\task $P(x)=8x^2-6x-20$.
			\task $Q(x)=25x^2-30x+9$.
			\task $R(x)=-9x^2+39x-12$.
			\task $S(x)=-2x^3-11x^2-12x+9$
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Factorisez les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $T(x)= 2x^7+x^6-5x^4$.
			\task $U(x)=49x^2-14x+1$.
			\task $V(x)=x^2-23$.
			\task $W(x)= (x^2-16)-(x+4)$.
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $T(x)=x^4 ( 2x^3+x^2-5)$.
			\task $U(x)=(7x-1)^2$.
			\task $V(x)= (x-\sqrt{23})(x+\sqrt{23})$.
			\task $W(x)=(x+4)(x-5)$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: résolution d'équations.}

\begin{sujet}
	
	Résolvez les équations suivantes d'inconnue $x$.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $2x+3=4$.
		\task $(x-2)(3x-4)=0$.
		\task $x^2-2x=1$.
		\task $\dfrac{3x}{2}=0$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	les ensembles de solutions sont:
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $\left\{ \frac{1}{2} \right\}$.
		\task $\left\{ 2,\frac{4}{3} \right\}$.
		\task $\left\{ 1,-1 \right\}$.
		\task $\left\{ 0 \right\}$.
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie D: étude du signe de fonctions.}

\begin{sujet}
	
	Donnez \emph{sans aucune justification} le tableau de signe des fonctions suivantes.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $g_1:x\mapsto \sqrt[3]{x}$.
		\task $g_2:x \mapsto 2x-7$.
		\task $g_3:x \mapsto (-x+1)(2x+4)$.
		\task $g_4:x \mapsto \dfrac{x-5}{x+1}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}
		\task 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g_1$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\task 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g_2$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$\frac{7}{2}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\task 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8,$-x+1$ /0.8, $2x+4$ /0.8, $g_3$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $1$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\task 
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8,$x-5$ /0.8, $x+1$ /0.8, $g_4$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-1$, $5$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\subsection{Exercice 2: dérivées en vrac.}

\begin{notabene}
	
	Des applications directes de leçon de dérivation.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Déterminez les fonctions dérivées des fonctions suivantes, sans vous préoccuper du domaine de dérivabilité, mais en justifiant si nécessaire. 
	
	\emph{Aucune présentation particulière de la fonction dérivée n'est attendue.}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle f_1:x \mapsto \ln(x)$.
		\task $\displaystyle f_2: x \mapsto 4x^3-3x^2+5x-1$.
		\task $\displaystyle f_3: x \mapsto (3x-1) \sqrt{x}$.
		\task $\displaystyle f_4: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^x}{x^2+1}$.
		\task $\displaystyle f_5: x \mapsto \ln \left( \sqrt{x} \right)$.
		\task $\displaystyle f_6: x \mapsto \exp \left( \frac{x+1}{x-2}\right)$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $f_1'(x)=\frac{1}{x}$.
		\task $f_2'(x)=12x^2-6x+5$.
		\task $f_3'(x)=3\sqrt{x}+ \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}$.
		\task $f_4'(x)= \frac{\mathrm{e}^x(x^2+1)-\mathrm{e}^x \times 2x}{(x^2+1)^2}$.
		\task $f_5'(x)=\frac{1}{2x}$.
		\task $f_6'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2} \exp \left( \frac{x+1}{x-2} \right)$.
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\subsection{Exercice 3: étude des variations d'une fonction.}

\begin{notabene}
	
	Étude simple: variation signe de la dérivée, image recherche d'antécédents.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Étudiez les variations de $f: x \mapsto (x^2-3x-3) \mathrm{e}^x$ qui est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	$f'(x)=(x^2-x-6)\mathrm{e}^x$.
	
	$f'$ est du signe de $g:x \mapsto x^2-x-6$.
	
	Or $2$ et $-3$ sont racines de la fonction polynomiale de degré deux $g$ donc
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$-3$, $2$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\tkzTabVar {-/ , + / $6\mathrm{e}^{-3}$ , - / $-4\mathrm{e}^2$ / , +/, }
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{correction}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		{\Large \textbf{Début du sujet B noté sur 20.}
		
		Exercices 4 à 10.}
			
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{notabene}
	
	Limites de suites en vrac.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Déterminez la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A_n=\ln(n)$.
		\task $\displaystyle B_n=n^3 \sqrt{n}$.
		\task $\displaystyle C_n=\frac{\frac{1}{n}+3}{n^2}$.
		\task $\displaystyle D_n=\frac{n^3-n^2+4}{n^5-n^3+n}$.
		\task $\displaystyle E_n=\frac{\mathrm{e}^n}{n^{234}}$.
		\task $\displaystyle F_n=\frac{n!n^4}{3^n}$.
		\task $\displaystyle G_n= \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+n}$.
		\task $\displaystyle H_n= \sum_{k=0}^n \frac{n}{\pi^k}$.
	\end{tasks}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{tasks}
		\task D'après le cours: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$A_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}

		\task $n^3 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ et $\sqrt{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ par produit
		
		\begin{conclusion}
			
			$B_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\frac{1}{n}+3 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 3$ et $n^2 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}$ par quotient 
		
		\begin{conclusion}
			
			$C_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^3-n^2+4}{n^5-n^3+n} = \lim_{n\to + \infty} \frac{n^3}{n^5} = \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{n^2}=0$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$D_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task $e>1$ donc par comparaison des suites géométriques et puissances
		
		\begin{conclusion}
			
			$E_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task Par comparaison des suites géométrique et puissance $\frac{n!}{3^n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ puis par produit
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			\sqrt{n^2+n+1} - \sqrt{n^2+n} &= \frac{\sqrt{n^2+n+1}-(n^2+n)}{\sqrt{n^2+n+1} + \sqrt{n^2+n}}\\
			&= \frac{1}{\sqrt{n^2+n+1} + \sqrt{n^2+n}}
		\end{align*}
		
		Or $\sqrt{n^2+n+1} + \sqrt{n^2+n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty$ donc par passage à l'inverse
		
		\begin{conclusion}
			
			$G_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{conclusion}
		
		\task 
		
		\begin{align*}
			H_n &= n \sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{\pi} \right)^n\\
			&= n\frac{\left( \frac{1}{\pi} \right)^{n+1}-1}{\frac{1}{\pi}-1}
		\end{align*}
		
		Or $-1<\frac{1}{\pi}<1$ donc $\left( \frac{1}{\pi} \right)^n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$H_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{tasks}
	
\end{correction}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{notabene}
	
	Exercice super bateau sur les suites.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Soit la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $1$, \[ v_{n}=v_{n-1}+ \frac{n}{2^n}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $1$, \[ v_n =2-\frac{n+2}{2^n}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Première étape choix de la phrase (qui dépend de $n$) à démontrer.}
		
		Notons $P(n)$ la phrase $v_n =2-\frac{n+2}{2^n}$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur à $1$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tous les entiers naturels $n$ supérieurs à $1$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Initialisation: il faut vérifier que la phrase $P(1)$ est vraie. Autrement dit il faut établir que $v_1=2-\frac{1+2}{2^1}$ est vraie.}
			
			D'une part $v_1=v_0+\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$ et d'autre part  $2-\frac{1+2}{2^1}=\frac{1}{2}$ donc $v_1= 2 - \frac{1+2}{2^1}$.
			
			Ainsi $P(1)$ est vraie.
			
			\item {\color{orange}Hérédité. Il faut établir que pour un rang particulier si $P(n)$ est vraie alors la phrase suivante $P(n+1)$ l'est aussi.}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			Supposons $P(n)$ vraie. 
			
			Démontrons qu'alors $P(n+1)$ est vraie.
			
			\begin{align*}
				\intertext{D'après la formule de récurrence définissant la suite $(v_n)$:}
				v_{n+1} &= v_n+\frac{n+1}{2^{n+1}}\\
				\intertext{Or, d'après la formule de récurrence, $v_n=2-\frac{n+2}{2^n}$ donc}
				v_{n+1} &= 2- \frac{n+2}{2^n}+ \frac{n+1}{2^{n+1}}\\
				\intertext{En mettant au même dénominateur:}
				v_{n+1} &= 2 - \frac{2(n+2)}{2^{n+1}} + \frac{n+1}{2^{n+1}}\\
				&= 2-\frac{n+1+2}{2^{n+1}}
			\end{align*}
			
			Nous obtenons bien $P(n+1)$.
			
			\item Nous avons démontré par récurrence que
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N}^*,\ v_n =2-\frac{n+2}{2^n}$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduisez-en que la suite $(v_n)$ est majorée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $(v_n)$ est majorée.}
		
		Soit $n \geqslant 1$.
		
		$\frac{n+2}{2^n}\geqslant 0$ donc $v_n =2 -\frac{n+2}{2^n} \geqslant 2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ est majorée par $2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $2$, $n+2\leqslant 2^n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n\geqslant 2$ que $n+2\leqslant 2^n$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $2+2 \leqslant 2^2$.
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					2^n &\geqslant n+2\\
					2^n \times 2 &\geqslant (n+2)\times 2\\
					2^{n+1} &\geqslant 2n+4\\
					&\geqslant n+1+2+(n+1)\\
					&\geqslant n+1+2
				\end{align*}
				
				\item On a démontré par récurrence que
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n\in \mathbb{N},\ n\geqslant 2 \Rightarrow n+2\leqslant 2^n$.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La suite $(v_n)$ est-elle minorée?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{démontrons que $(v_n)$ est minorée par $0$.}
			
			Soit $n \geqslant 2$.
			
			D'après la question précédente
			
			\begin{align*}
				n+2 &\leqslant 2^n\\
				\frac{n+2}{2^n} &\leqslant 1\\
				-\frac{n+2}{2^n} &\geqslant -1\\
				2 -\frac{n+2}{2^n} &\geqslant 2-1\\
				v_n &\geqslant 1
			\end{align*}
			
			De plus $v_0=0$ et $v_1=\frac{1}{2}$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n)$ est minorée par $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La suite $(v_n)$ est-elle convergente?
		
	\end{sujet}	
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $(v_n)$ est convergente.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $n\geqslant 1$.
			
			$v_n-v_{n-1}=\frac{n}{2^n} \geqslant 0$ donc $(v_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante.
			
			\item Comme de plus $(v_n)_{n\geqslant1}$ est majorée finalement 
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(v_n)$ est convergente.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{notabene}
	
	Travaux vectoriels.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère les ensembles \[ F= \left\{ Z \in \mathbb{R}^2\ | \ 6z_1+3z_2=0 \right\} \] et \[ G= \left\{ Z \in \mathbb{R}^2\ | \ 6z_1+3z_2+1=0 \right\} \] en notant $Z=\begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $G$ n'est pas un sous -espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.}
		
		Raisonnons par l'absurde: supposons $G$ sous-ev. Alors $0\in G$.
		
		Or $6 \times 0 +3 \times 1 \ne 0$ donc $0 \notin G$ ce qui est impossible.
		
		\begin{conclusion}
			
			$G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.}
		
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $F \subset \mathbb{R}^2$.
			
			\item $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in F$ car $6 \times 0+3 \times 0=0$.
			
			\item Soient $a \in \mathbb{R}$, $x,y \in F$.
			
			On a donc: $\left\{ \begin{array}{l} 6x_1+3y_1 =0 \\ 6x_2+3y_2=0 \end{array} \right.$.
			
			\begin{align*}
				a\cdot x +y &= \begin{pmatrix} ax_1+y_2 \\ ax_2+y_2 \end{pmatrix}
			\end{align*}
			
			Vérifions que $a\cdot x +y \in F$.
			
			\begin{align*}
				6 \times (ax_1+y_1) + 3 (ax_2+y_2) &= a6x_1+a3x_2+ 6y_1+3y_2\\
				&= a \underset{=0}{\underbrace{(6x_1+3x_2)}} + \underset{=0}{\underbrace{6y_1+3y_2}}\\
				&= 0
			\end{align*}
			
			donc $a\cdot x +y \in F$.
		\end{enumerate}
		
		D'après les trois points précédents
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $X= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2$.
		
		Montrez que $X \in F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$X \in \mathbb{R}^2$ et $6 \times 1 +3 \times (-2)=0$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$X\in F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $Y= \begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que $Y \notin F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$Y \in \mathbb{R}^2$ mais $6 \times 3 +3 \times 1= 21 \ne 0$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$Y\notin F$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez le vecteur $2X-3Y$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$2X-3Y= \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \end{pmatrix}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que trouver des réels $a$ et $b$ tels que $aX+bY=0$ équivaut à résoudre le système d'inconnues $a$ et $b$ suivant \[ (E):\ \left\{ \begin{array}{rcrl} a&+&3b&=0\\ -2a&+&b&=0 \end{array} \right. . \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$a\cdot X + b \cdot Y=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\times 1+ b \times 3 \\ a \times (-2) + b \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcrl} a&+&3b&=0\\ -2a&+&b&=0 \end{array} \right.$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez le système $(E)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons $(E)$.}
			
			\[ \left\{ \begin{array}{rcrl} a&+&3b&=0\\ -2a&+&b&=0 \end{array} \right. .\] équivaut successivement à \[ \left\{ \begin{array}{rcrll} a&+&3b&=0 & \\ && 5b &=0 & L_2 \leftarrow L_2+2L_1\end{array} \right. .\]
			\[ \left\{ \begin{array}{rcrll} a&+&3b&=0 & \\ && b &=0 & L_2 \leftarrow \frac{1}{5}L_2\end{array} \right.  \]
			\[ \left\{ \begin{array}{rcrll} a&&&=0 & L_1 \leftarrow L_1-3L_2 \\ && b &=0 & \end{array} \right.  \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Le système admet une unique solution $(0,0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$X$ et $Y$ sont-ils colinéaires?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $X$ et $Y$ ne sont pas colinéaires.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Première méthode: la seule combinaison linéaire nulle est celle dont les coefficients sont nuls.}
				
				Nous avons démontré à la question précédente que pour $a \cdot X + b \cdot Y=0$ il faut que $a=b=0$.
				
				Autrement dit il est impossible de trouver $\lambda \in \mathbb{R}$ non nul et tel que $\lambda \cdot X=Y$ ou $X = \lambda Y$.
								
				\begin{conclusion}
					
					$X$ et $Y$ ne sont pas colinéaires.
					
				\end{conclusion}
				
				\item {\color{orange}Deuxième méthode: calcul du déterminant de deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$.}
				
				\begin{align*}
					\det(X,Y) &= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}\\
					&=1 \times 1 -(-2) \times 3\\
					&= 7
				\end{align*}
				
				$\det(X,Y) \ne 0$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$X$ et $Y$ ne sont pas colinéaires.
					
				\end{conclusion}
				
				\item {\color{orange}Troisième méthode: s'assurer qu'il n'y a pas de proportionnalité entre les coordonnées de $X$ et $Y$.}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $F$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $F$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.}
		
		{\color{orange}Au moins deux procédés:
		
		\begin{itemize}
			\item Montrer qu'il existe un vecteur non nul qui engendre $F$. Et puisque $X \in F \setminus \{ 0 \}$ il faudrait montrer que tous les éléments de $F$ peuvent s'écrire $t \cdot X$ pour $t \in \mathbb{R}$.
			
			\item En utilisant le fait les seuls sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ sont $\{ 0 \}$, $\mathbb{R}^2$ et les droites vectorielles.
			
		\end{itemize}
		}
		
		D'après les questions précédentes, $F$ est un sous-espace vectoriel qui n'est pas $\{ 0 \}$ (puisqu'il contient le vecteur non nul $X$) ni $\mathbb{R}^2$ (puisqu'il ne contient pas le vecteur $Y$) donc, forcément,
		
		\begin{conclusion}
			
			$F$ est une droite vectorielle de $\mathbb{R}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez une représentation paramétrique de $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une représentation paramétrique de $F$.}
		
		D'après ce qui précède $F\{ t \cdot X \ | \ t \in\mathbb{R} \}$ et $X= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$F: \left\{ \begin{array}{lcr}
				m_1 =& t\\
				m_2 =& -2t
			\end{array}, t\in\mathbb{R} \right.$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 7.}

\begin{notabene}
	
	nathan sujet non corrigé terminale ce 1991 page 30 et 31
	
\end{notabene}

\subsubsection{Partie A: une équation.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par \[ f(x)=1+\ln(1+x).\]
	
	On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez $f(0)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(0)=1+\ln(1+0)$
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(0)=1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudiez les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Calcul de la dérivée.}
			
			$\ln$ étant dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$, $f$ l'est sur $[0;+\infty[$ en tant que fonction composée.
			
			Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= \frac{1}{1+x}
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Étude du signe de la dérivée et variations de la fonction.}
			
			Clairement $f'(x)>0$ sur $\mathbb{R}_+$ et donc $f$ est strictement croissante.
			
			\item {\color{orange}Limites aux bornes du domaine de définition.}
			
			Clairement, par composition, $\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
			
		\end{enumerate}		
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$0$, $+\infty$}
				\tkzTabVar {-/ $1$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En admettant que la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ peut être déduite de celle de la fonction $\ln$ par deux translations, l'une de vecteur $-\vec{i}$ puis l'autre de vecteur $\vec{j}$ dessinez à main levée l'allure de la courbe représentative de la fonction $\ln$ puis celle de $\mathscr{C}$ sur l'\textbf{annexe 1}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-2.1};
				\def\yY{-5};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{$O$};
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vec{i}$};
				\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vec{j}$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain={exp(-5)}:5] plot(\x,{ln(\x)});
				\draw[blue] (3.5,0.25) node {$\mathscr{C}_{\ln}$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain={exp(-5)}:5] plot(\x,{1+ln(\x+1)});
				\draw[red] (3.5,3.25) node {$\mathscr{C}_{f}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
	
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dessinez sur l'\textbf{annexe 1} la droite d'équation $y=x$ également appelée première bissectrice.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-2.1};
				\def\yY{-5};
				\def\xZ{5};
				\def\yZ{5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{$O$};
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vec{i}$};
				\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vec{j}$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain={exp(-5)}:5] plot(\x,{ln(\x)});
				\draw[blue] (3.5,0.25) node {$\mathscr{C}_{\ln}$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain={exp(-5)}:5] plot(\x,{1+ln(\x+1)});
				\draw[red] (4.5,3.25) node {$\mathscr{C}_{f}$};
				\draw[black] (3.5,4.25) node {$y=x$};
				\draw[black, thick][samples=100,domain={-2}:5] plot(\x,{\x});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			D'après le graphique combien de solutions l'équation $f(x)=x$ semble-t-elle admettre dans $[0,+\infty[$.
			
			\medskip
			\textbf{Nous admettons que l'équation $f(x)=x$ admet au moins une solution notée $\alpha$ et que $\alpha \in [1;3]$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			d'après le graphique il semble que 
			
			\begin{conclusion}
				
				l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution dans $[0;+\infty[$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: approcher $\alpha$.}

\begin{sujet}
	
	On définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par: $u_0=1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f(x)=1+\ln(1+x)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite justifier que la suite $(u_n)$ est bien définie. Pour cela il faut établir que $[0,+\infty[$ est stable par $f$.
		
		Démontrez que si $x \in [0,+\infty[$ alors $f(x) \in [0,+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'implication: si $x \in [0,+\infty[$ alors $f(x) \in [0,+\infty[$.}
		
		Soit $x \geqslant 0$.
		
		Puisque $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$
		
		\begin{align*}
			f(x) &\geqslant f(0)
		\end{align*}
		
		Or $f(0)=1$ donc \[ f(x) \geqslant 1 \geqslant 0. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons démontré que $[0,+\infty[$ est stable par $f$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez par récurrence, que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons par récurrence que $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $u_0 = 1$ et $f(u_0)=f(1)=1 + \ln(2)\geqslant 1$ car $\ln(2) >0$.
			
			\item Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $u_{n+1}\geqslant u_n$.
			
			$f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ (et, pour tout $k \in \mathbb{N},\ u_k\geqslant 0$) donc
			
			\begin{align*}
				f(u_{n+1}) &\geqslant f(u_n)\\
				u_{n+2} &\geqslant u_{n+1}
			\end{align*}
			
			\item On a démontré par récurrence que
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ est croissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Par une récurrence immédiate $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante donc minorée par $u_0=1$:
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée par $1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que, pour tout $x \in [1,+\infty[$, $0\leqslant f'(x) \leqslant \frac{1}{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'encadrement proposé.}
		
		{\color{orange}Pour démontrer cet encadrement nous allons établir chaque inégalité séparément.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Nous avions déjà remarqué que $f'>0$ donc a fortiori $f'\geqslant 0$.
			
			\item Soit $x \geqslant 1$.
			
			Donc 
			
			\begin{align*}
				1+x &\geqslant 2\\
				\intertext{Et puisque $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$:}
				\frac{1}{1+x} &\leqslant \frac{1}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in [1,+\infty[,\ 0 \leqslant f'(x) \leqslant \frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		D'après l'inégalité des accroissements finis (que nous n'avons pas encore étudiée et que nous admettrons) le résultat précédent permet d'affirmer que: \[ \left| f(x)-f(\alpha) \right| \leqslant \frac{1}{2} \left| x-\alpha \right| \] pour tout $x \in [1,+\infty[$.
		
		Déduisez-en que, pour tout entier naturel $n$, on a \[ |u_{n+1}-\alpha | \leqslant \frac{1}{2} | u_n -\alpha|.\]
		
		\emph{Rappelons que $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=x$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En choisissant $x=u_n$ dans l'inégalité proposée: \[ \left| f(u_n)-f(\alpha) \right| \leqslant \frac{1}{2} \left| u_n-\alpha \right| \]
		
		Or $f(u_{n})= u_{n+1}$ et $f(\alpha)=\alpha$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\left| u_{n+1}-\alpha \right| \leqslant \frac{1}{2} \left| x-\alpha \right|$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ \[ |u_n-\alpha | \leqslant \left( \frac{1}{2} \right)^n |u_0-\alpha|. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $|u_0-\alpha |\leqslant \left( \frac{1}{2} \right)^0 |u_0-\alpha|$.
			
			\item D'après la question précédente:
			
			\begin{align*}
				| u_{n+1}-\alpha | &\leqslant \frac{1}{2} | u_n- \alpha |\\
				\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
				|u_{n+1} - \alpha | &\leqslant \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^n |u_0-\alpha|\\
				&= \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} |u_0-\alpha|
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ |u_n-\alpha | \leqslant \left( \frac{1}{2} \right)^n |u_0-\alpha|$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que la suite $(u_n-\alpha)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et précisez sa limite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$0 \leqslant |u_n-\alpha | \leqslant \left( \frac{1}{2} \right)^n |u_0-\alpha|$.
		
		Or $-1 < \frac{1}{2} <1$ donc $\left( \frac{1}{2} \right)^n |u_0-\alpha| \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		On en déduit, d'après le théorème des gendarmes que $(|u_n-\alpha|)$ converge vers $0$.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n-\alpha)$ converge vers $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduisez-en la limite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} \alpha$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquez en quoi l'on peut dire que $(u_n)$ est une suite de valeurs approchées de $\alpha$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} \alpha$ signifie que la valeur de $u_n$ se rapproche de celle de $\alpha$ lorsque $n$ grandi.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ \[ |u_n-\alpha | \leqslant \frac{1}{2^{n-1}} . \]
		
		Puis expliquez comment choisir $n$ pour que $u_n$ soit une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha$.
		
		\emph{Rappelons que $\alpha \in [1;3]$.}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que: $\forall n \in \mathbb{N},\ |u_n-\alpha | \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}$.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item D'une part:
			D'après la question 6: \[ |u_n-\alpha | \leqslant \left( \frac{1}{2} \right)^n |u_0-\alpha| \]
			
			\item D'autre part 
			
			\begin{align*}
				1 &\leqslant \alpha \leqslant 3\\
				1-u_0 &\leqslant \alpha-u_0 \leqslant 3- u_0\\
				0 & \leqslant \alpha -u_0 \leqslant 2
				\intertext{Donc}
				&|u_0-\alpha | \leqslant 2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons \[ |u_n-\alpha | \leqslant \left( \frac{1}{2} \right)^n \times 2. \]
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n \in \mathbb{N},\ |u_n-\alpha | \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $n$.}
		
		Pour que $|u_n-\alpha| \leqslant 10^{-3}$ il suffit que $\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant 10^{-3}$.
		
		Or
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant 10^{-3} &\Leftrightarrow \ln \left( \frac{1}{2^{n-1}} \right) \leqslant \ln\left( 10^{-3} \right)\\
			&\Leftrightarrow -(n-1)\ln(2) \leqslant -3\ln(10)\\
			n \geqslant 1+3 \frac{\ln(10)}{\ln(2)}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			pour avoir une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près l faut utiliser $u_n$ avec $n \geqslant 1+3 \frac{\ln(10)}{\ln(2)}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		{\Large \textbf{Fin du sujet A.}}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}


\subsection{Exercice 8.}

\begin{notabene}
	
	Étude d'une suite adjacentes.
	
	ellipse 24 jours pour préparer page 136
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}$ par: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_{n+1} = \dfrac{u_n+v_n}{2} \\ \\ v_{n+1}= \dfrac{u_n+2v_n}{3} \end{array} \right. \] avec $u_0=0$ et $v_0=12$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite  $(v_n-u_n)$ est une suite géométrique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$v_{n+1}-u_{n+1}= \frac{u_n+2v_n}{3} - \frac{u_n+v_n}{2} = \frac{v_n-u_n}{6}$
			
			\begin{conclusion}
				
				$(v_n-u_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{6}$ et de terme initial $v_0-u_0=12$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en sa limite.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$-1 < \frac{1}{6}<1$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_n-u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. 
		
		Que pouvez-vous en déduire?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Nous avons déjà démontré que $v_n-u_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			\item $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+v_n}{2}-u_n= \frac{1}{2}(v_n-u_n)$.
			
			Or $(v_n-u_n)$ est géométrique donc $u_{n+1}-u_n= \frac{1}{2} \times \frac{12}{6^{n+1}} \geqslant 0$.
			
			Donc $(u_n)$ est croissante.
			
			\item $v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{2}= -\frac{1}{2} (v_n-u_n)= -\frac{1}{2} \times \frac{12}{6^{n+1}}\leqslant 0$.
			
			Donc $(v_n)$ est décroissante.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite $(2u_n+3v_n)$ est constante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Si elle est constante alors tous les termes égalent le premier $2u_0+3v_0=2 \times 0 +3 \times 12= 36$.}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence que $2u_n+3v_n=36$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $2u_0+3v_0=2 \times 0 +3 \times 12= 36$.
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					2 u_{n+1}+3v_{n+1} &= 2\frac{u_n+v_n}{2}+3 \frac{u_n+2v_n}{3}\\
					&= 2u_n+3v_n\\
					&= 36
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en la limite des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Elles convergent vers la même limite $\ell$ qui doit vérifier $2 \ell +3 \ell =36$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\frac{36}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 9.}
	
\begin{notabene}

Exercice étude d'une fonction.

Étude d'une suite.

ellipse 24 jours pour préparer page 187

\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel non nul.
	
	\medskip
	À tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_n$ définie sur $]-1,+\infty[$ par: \[ f_n(x)=x^n\ln(1+x). \]
	
	Cet exercice est consacré à l'étude de la famille de fonctions $f_n$.
	
	On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal $\left( O; \vec{i}, \vec{j} \right)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $h_n$ la fonction définie sur $]-1,+\infty[$ par: \[ h_n(x)=n\ln(1+x) + \frac{x}{x+1}. \]
		
		Étudiez le sens de variation de $h_n$. En utilisant la valeur de $h_n(0)$, déterminez le signe de $h_n$ sur $]-1,+\infty[$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$h_n'(x)=\frac{nx +n+1}{(1+x)^2}$.
		
		$h_n'(x)>0 \Leftrightarrow x> -\frac{n+1}{n}$.
		
		Donc $h_n$ est strictement croissante.
		
		Comme $h_n(0)=0$ on en déduit
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h_n$ /0.8}
			{$-1$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{d,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour tout $x \in ]-1,+\infty[$ vérifiez que: \[ f_1'(x)=h_1(x) \] et que pour tout $n$ strictement supérieur à $1$, \[ f_n'(x)=x^{n-1} h_n(x). \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose $n$ impair. Pour tout $x \in ]-1,+\infty[$, justifiez que $f_n'(x)$ et $h_n$ sont de même signe.
			
			Dressez alors le tableau de variations de la fonction $f_n$ en précisant ses limites en $-1$ et $+\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $n$ est impair alors $n-1$ est pair: $\exists k \in \mathbb{N},\ n=2k$. Donc $x \mapsto \left( x^2 \right)^{k}$ est positive donc $f_n'$ est du signe de $h_n$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $h_n$ /0.8, $f_n$ /1.6}
				{$-1$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,-,z,+,}%
				\tkzTabVar {D+/ $+\infty$, - / $0$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose $n$ pair. Dressez de même le tableau de variation de $f_n$ en précisant ses limites en $-1$ et $+\infty$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x^{n-1}h_n$ /0.8, $f_n$ /1.6}
				{$-1$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,+,z,+,}%
				\tkzTabVar {D-/ $-\infty$, + / $0$, + / $+\infty$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudiez la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				f_1(x)-f_2(x) &= x\ln(1+x) -x^2\ln(1+x)\\
				&= x(1-x)\ln(1+x)
			\end{align*}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f_1(x)-f_2(x)$ /0.8}
				{$-1$ ,$0$, $1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,+,z,+,z,-,}%
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		
		\begin{sujet}
			
			Tracez ces deux courbes sur l'\textbf{annexe 2}.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 10.}

\begin{notabene}

	Exercice page 306. ellipse 24 jours pour préparer son entrée en prépa.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On considère la suite $(u_k)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par: \[ u_k=\frac{4}{k(k+1)(k+2)}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, \[ u_k=\frac{2}{k} -\frac{4}{k+1}+ \frac{2}{k+2}.\]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On met au même dénominateur.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $n \in\mathbb{N}^*$. On pose \[ S_n=\sum_{k=1}^n u_k. \]
		 
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que \[ S_n=2 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} -\frac{1}{k+1} \right)+ 2 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+2} -\frac{1}{k+1} \right). \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{2}{k} -\frac{4}{k+1}+ \frac{2}{k+2}\\
				&= \sum_{k=1}^n \frac{2}{k} -\frac{2}{k+1} -\frac{2}{k+1} + \frac{2}{k+2}\\
				&= \sum_{k=1}^n \left( \frac{2}{k} -\frac{2}{k+1} \right) + \sum_{k=1}^n \left( -\frac{2}{k+1} + \frac{2}{k+2} \right)\\
				&= 2\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} -\frac{1}{k+1}\right) + 2\sum_{k=1}^n \left( -\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} \right)\\
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en (avec un télescopage) que $\displaystyle S_n=1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				S_n &= 2\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} -\frac{1}{k+1}\right) + 2\sum_{k=1}^n \left( -\frac{2}{k+1} + \frac{2}{k+2} \right)\\
				&= 2\left( 1 -\frac{1}{n+1}\right) + 2 \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} \right)\\
				&= 1-\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}\\
				&= 1 -\frac{2}{(n+1)(n+2)}
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez la limite de la suite $(S_n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$S_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		{\Large \textbf{Fin du sujet B.}}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\subsection{Annexe 1: courbes représentatives de $\ln$ et $f$.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-2.1};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{$O$};
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vec{i}$};
		\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vec{j}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-2.1};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{$O$};
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vec{i}$};
		\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vec{j}$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain={exp(-5)-1}:3.2] plot(\x,{\x*ln(\x+1)});
		\draw [red] (-0.5,4.25) node {$\mathcal{C}_1$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={exp(-5)-1}:2] plot(\x,{\x*\x*ln(\x+1)});
		\draw [blue] (-0.5,-4.75) node {$\mathcal{C}_2$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{correction}

\newpage 

\subsection{Annexe 2: courbes représentatives de $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=3]
		\def\xY{-1.25};
		\def\yY{-1.1};
		\def\xZ{2.1};
		\def\yZ{1.25};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{$O$};
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vec{i}$};
		\draw [>=latex,->,very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vec{j}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}


\subsection{}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}