%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\Roman{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup_1ieme_cpge_lettres_et_sciences_sociales.html}{Devoir surveillé CPGE B/L. 2022/09/08.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Devoir surveillé CPGE B/L. 2022/09/08.}

\subsection{Exercice 1: calcul numérique.}

\begin{notabene}
	Calcul numérique.
\end{notabene}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez le résultat sous forme d'une fraction irréductible. \emph{Aucune justification n'est exigée.}
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\displaystyle \frac{12}{3}-\frac{37}{3}$.
				
			\task $\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{2}{5}$.
			
			\task $\displaystyle \frac{6}{5} \times \frac{7}{8}$.
			
			\task $\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}}$.			
		\end{tasks}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $-\frac{25}{3}$.
			\task $\frac{16}{15}$.
			\task $\frac{21}{20}$.
			\task $\frac{1}{4}$.
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $\sqrt{4} \times \sqrt{9}$ et $\sqrt{36}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'une part: 
			
			\begin{align*}
				\sqrt{4} \times \sqrt{9} &=\sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2}\\
				&= 2 \times 3\\
				&= 6
			\end{align*}
			
			d'autre part:
			
			\begin{align*}
				\sqrt{36} &= \sqrt{6^2}\\
				&= 6
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle règle générale sur les racines carrées le précédent résultat illustre-t-il?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $a$ et $b$ sont des nombres positifs alors: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				\sqrt{2} \times \sqrt{8} &= \sqrt{2\times 8}\\
				&= \sqrt{16}\\
				&= \sqrt{4^2}\\
				&= 4
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrivez les expressions suivantes sous la forme $a^n$ où $a$ et $n$ sont des nombres entiers. \emph{Aucune justification n'est exigée.}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $\displaystyle A=3^2 \times 3^4 \times 3^2$.			
			\task $\displaystyle B=\frac{7^{12} \times 7^{28}}{7^{30}}$			
			\task $\displaystyle C= 13^2 \times 13^{-15}$.			
			\task $\displaystyle D= \frac{17^2 \times 17^{-15}}{\left(17^{-6} \right)^2 \times 17^{-2}}$.			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task 
			
			\begin{align*}
				A &= 3^2 \times 3^4 \times 3^2\\
				&= 3^{2+4+2}\\
				&= 3^8
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				B &= \frac{7^{12} \times 7^{28}}{7^{30}}\\
				&= \frac{7^{12 +28}} {7^{30}}\\
				&= \frac{7^{40}}{7^{30}}\\
				&= 7^{10}
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				C &= 13^2 \times 13^{-15}\\
				&= 13^{2-15}\\
				&= 13^{-13}
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				D &= \frac{17^2 \times 17^{-15}}{\left(17^{-6} \right)^2 \times 17^{-2}}\\
				&= \frac{17^{2-15}}{17^{-6 \times 2} \times 17^{-2}}\\
				&= \frac{17^{-13}}{17^{-12} \times 17^{-2}}\\
				&= \frac{17^{-13}}{17^{-12-2}}\\
				&= 17^{-13} \times 17^{14}\\
				&= 17^{-13+14}\\
				&= 17^{1}\\
				&= 17
			\end{align*}
			
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2: calcul littéral.}

\begin{notabene}
	Algèbre: développement, factorisation d'expressions littérales.
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cet exercice aucune justification n'est exigée.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développez les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $M(x)=2(x+3)$.
			\task $N(x)=3(3x-1)$.
			\task $P(x)=(-2x+3)(7x-4)$.	
			\task $Q(x)=(3x-7)^2$.			
			\task $R(x)= -2(x-3)(2x-5)$.		
			\task $S(x)= -(x-2)(x+1)^2$.		
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}
			\task 
			
			\begin{align*}
				M(x) &= 2 \times x+ 2 \times 3\\
				&= 2x+6
			\end{align*}
			\task
			
			\begin{align*}
				N(x) &= 3 \times 3x-3 \times 1\\
				&= 9x-3
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				P(x)
				&= -2x \times 7x+(-2x) \times (-4)+3 \times 7x + 3 \times (-4)\\
				&= -14x^2+8x+21x-12\\
				&= -14x^2+29x-12
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				Q(x) &= (3x)^2 -2 \times (3x) \times 7 +7^2\\
				&= 3^2 \times x^2-2 \times 3 \times 7 \times x +49\\
				&= 9x^2-42x+49
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				R(x) &= -2 \left[ x \times 2x+ x \times (-5)+(-3) \times 2x+(-3) \times (-5) \right]\\
				&= -2 \left[ 2x^2-5x-6x+15 \right]\\
				&= -2 \left[ 2x^2-11x+15 \right]\\
				&= -2 \times 2 x^2 + (-2) \times (-11x) +(-2) \times 15\\
				&= -4x^2+22x-30
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				S(x) &= -(x-2)\left( x^2+2 \times x \times 1+1^2 \right)\\
				&= -(x-2)(x^2+2x+1)\\
				&= - \left[ x \times x^2+x \times 2x+x \times 1 +(-2) \times x^2+(-2) \times 2x+(-2) \times 1 \right]\\
				&= -\left[ x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2 \right]\\
				&= -\left[ x^3-3x-2\right]\\
				&= -x^3+3x+	2
			\end{align*}
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Factorisez les expressions suivantes.
		
		\begin{tasks}(2)
			\task $T(x)= x^3+2x^2+3x$.
			\task $U(x)=9x^2-6x+1$.
			\task $V(x)=x^2-7$.
			\task $W(x)= (x+2)(x^2-4)-x-2$.
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}
			\task 
			
			\begin{align*}
				T(x) &=x \times x^2+x \times 2x+x \times 3\\
				&= x \times (x^2+2x+3)
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				U(x) &= (3x)^2-2 \times 3x \times 1^2\\
				&= (3x-1)^2 
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				V(x) &= (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})
			\end{align*}
			\task 
			
			\begin{align*}
				W(x) &= (x+2) \times (x^2-4)-(x+2)\times 1\\
				&= (x+2) \times \left[ (x^2-4)-2 \right]\\
				&= (x+2)(x^2-4x+1)
			\end{align*}
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3: fonction de référence.}

\begin{notabene}
	Fonctions de références. Donnez tous les élémetns comme en khôlle. Avec tracé soigné autant que possible.
	
	Comparer des images.
	 
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Complétez la "fiche d'identité" de la fonction inverse donnée en Annexe 1.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4: formule explicite par récurrence.}

\begin{sujet}
	
	On définit la suite $(u_n)$ par \[ u_0=1 \text{ et } \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n+1. \]
	
	\medskip
	Démontrez que la suite $(u_n)$ peut s'exprimez à l'aide de la formule explicite \[ u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2} \] pour tout entier naturel $n$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$ \fg{} pour tout $n \in \mathbb{N}$.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ en raisonnant par récurrence.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Initialisation. Il s'agit de démontrer que $\mathscr{P}(0)$ est vraie. Autrement dit il faut établir l'égalité $u_0=\frac{1}{2} \times 3^{0+1}-\frac{1}{2}$.}
		
		D'une part: $u_0=1$,
		
		d'autre part: $\frac{1}{2} \times 3^{0+1}-\frac{1}{2}=1$,
		
		donc $\mathscr{P}(0)$ st vraie.
		
		\item {\color{orange}Hérédité.}
		
		{\color{Green}Soit $n\in\mathbb{N}$.}
		
		{\color{blue}Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie} et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
		
		{\color{orange}Nous devons démontrer l'égalité $u_{n+1}= \frac{1}{2} \times 3^{(n+1)+1}-\frac{1}{2}$ \emph{i.e.} $u_{n+1}= \frac{1}{2} \times 3^{n+2}-\frac{1}{2}$. Pour démontrer cette égalité nous partons du membre de gauche.} 
		
		D'après la formule de récurrence définissant $(u_n)$:
		
		\begin{align*}
			u_{n+1} &= 3u_n+1\\
			\intertext{Or d'après l'hypothèse de récurrence $u_n= \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$ donc}
			u_{n+1} &= 3 \times \left( \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2} \right) +1\\
			&= 3 \times \frac{1}{2} \times 3^{n+1}-3 \times \frac{1}{2}+1\\
			&= \frac{1}{2} \times 3 \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}\\
			&= \frac{1}{2} \times 3^{n+2}-\frac{1}{2}
		\end{align*}
		
		Donc {\color{red}$\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.}
		
	\end{enumerate}
	
	Nous avons démontré en raisonnant par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que
	
	\begin{conclusion}
		
		le terme général de la suite $(u_n)$ est donné par $u_n=\frac{1}{2} \times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Exercice 5: étude d'une suite.}

\begin{notabene}
	Exercice type bac sur les suites avec étude de fonction, démonstration par récurrence, étude de la limite. Voir somme des termes.
	
	2017 exo 4 septembre polynésie
	
	exo 4 Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna
	75
	28 novembre 2017
	
	2000 asie juin exo 1
	
	Finalement complètemetn autre chose suite définie par une relation de récurrence homographique.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	Soit $f: x \mapsto \dfrac{x+2}{x+1}$ une fonction.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Rappelez les formules de dérivation pour les fonctions $x\mapsto x^2$, $x \mapsto \sqrt{x}$, $u \times v$ et $\frac{u}{v}$ où $u$ et $v$ désignent des fonctions.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La dérivée de $x \mapsto x^2$ est $x \mapsto 2x$.
		
		La dérivée de $x \mapsto \sqrt{x}$ est $x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
		
		$(u\times v)' = u' \times v + u \times v'$.
		
		$\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donnez, en justifiant, le domaine de définition de $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ hormis la valeur qui annule son dénominateur à savoir $-1$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{D}_f=\mathbb{R} \setminus \{ -1 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $f'$, la dérivée de $f$, en précisant son domaine de dérivabilité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f'$.}
			
			$f=\frac{u}{v}$ où $u(x)=x+2$ et $v(x)=x+1$.
			
			Puisque $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et puisque $v$ s'annule en $-1$, $f$ est dérivable sur 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{D}_{f'}= \mathbb{R}\setminus \{ -1 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De plus: \[ f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
			
			Or $u'(x)= 1$ et $v'(x)=1$ donc, pour tout $x \in \mathscr{D}_{f'}$ on a
			
			\begin{align*}
				f'(x) &= \frac{1 \times (x+1)-(x+2) \times 1}{(x+1)^2}\\
				&= \frac{x+1-x-2}{(x+1)^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall x \in \mathscr{D}_{f'},\ f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudiez, si vous l'avez déjà appris au lycée, les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{x+1}= \lim_{x \to +\infty}\frac{x}{x}=1$.
				
				\item De même: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x+2}{x+1}=1$.
				
				\item $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to 1 \\ x>1 \end{subarray}} x+1=0^+$ et $\lim_{x \to 1} x+2=3$ donc 
				 $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to 1 \\ x>1 \end{subarray}} \frac{x+2}{x+1}=+\infty$.
				 
				 \item De même $\lim_{\begin{subarray}{c}x \to 1 \\ x<1 \end{subarray}} \frac{x+2}{x+1}=-\infty$.
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étudiez le signe de $f'$ et déduisez-en le tableau de variation de $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$' est un quotient: son dénominateur est positif et son numérateur strictement positif. Donc
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$-1$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,d,-,}%
				\tkzTabVar {+/ $1$, -D+ / $-\infty$ / $+\infty$, - / $1$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}			
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty[$.
		
		\medskip
		Notons $(R_n)$ la suite définie par récurrence par \[ R_{n+1} = \frac{R_n+2}{R_n+1}, \] où $n\in \mathbb{N}$ et $R_0=2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez l'encadrement valable pour tout entier naturel $n$: \[ 1 \leqslant R_n \leqslant 2. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Procédons par récurrence. Notons $\mathscr{Q}(n)$: \og $1 \leqslant R_n \leqslant 2$ \fg{}.
			
			L'initialisation est évidente passons à l'hérédité.
			
			\medskip
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			Supposons $\mathscr{Q}(n)$ vraie. et démontrons que $\mathscr{Q}(n+1)$  l'est aussi.
			
			Par hypothèse de récurrence: $1																																																																																																																																																																																																																h \leqslant R_n \leqslant 2$.
			
			Or $f$ est décroissante sur $[1;2]$ donc \[ f(1) \geqslant f(R_n) \geqslant f(2). \]
			
			Comme $f(1)=\frac{3}{2} \leqslant 2$ et $f(2)=\frac{4}{3} \geqslant 1$ nous avons \[ 2 \geqslant f(R_n) \geqslant 1.\]
			
			Enfin de $f(R_n)=R_{n+1}$ nous déduisons \[ 1 \leqslant R_{n+1} \leqslant 2. \]
			
			Autrement dit $\mathscr{Q}(n+1)$ est vraie.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que si $(R_n)$ admet une limite $\ell \in\mathbb{R}$ alors forcément $\ell$ vérifie: \[ \ell(\ell+1)=\ell+2. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous savons que la formule de récurrence est vraie: $R_{n+1}=\frac{R_n+2}{R_n+1}$.
			
			Donc:
			\begin{align*}
				R_{n+1} \times (Rn+1) &= \frac{R_n+2}{R_n+1} \times (R_n+1)\\
				R_{n+1} \times (R_n+1) &= R_n+2
			\end{align*}
			
			Puisque $(R_n)$ est supposée converger vers $\ell$ et puisque $x \mapsto x(x+1)$ et $x \mapsto x+2$ sont continues, en passant à la limite dans la précédente égalité:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\ell (\ell+1)=\ell+2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que si $(R_n)$ admet une limite ce ne peut être que $\sqrt{2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente $\ell$ devrait être solution de \[ x(x+1)=x+2.\]
			
			Or cette équation équivaut successivement à
			
			\begin{align*}
				x\times x + x \times 1 &= x+2\\
				x^2 + x &= x+2\\
				x^2+x-x-2 &= x+2-x-2\\
				x^2-2 &= 0\\
				x^2-\sqrt{2}^2 &= 0\\
				(x-\sqrt{2} ) ( x+\sqrt{2}) &= 0\\
				x=\sqrt{2}\quad &\text{ou} \quad x=-\sqrt{2}
			\end{align*}
			
			Or d'après la question précédente $R_n \in [1;2]$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				la seule limite possible est $\sqrt{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Introduisons une suite auxiliaire $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ a_n=\frac{R_n-\sqrt{2}}{R_n+\sqrt{2}}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			\emph{Ne faites pas cette question avant d'avoir fini d'explorer \underline{tout} le sujet. Vous admettrez la conclusion pour pouvoir faire les questions suivantes.}
			
			Démontrez que $(a_n)$ est une suite géométrique de terme initial $a_0= \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ et de raison $q=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					a_0 & =\frac{R_0-\sqrt{2}}{R_0+\sqrt{2}}\\
					&= \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\\
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					a_{n+1} &= \frac{R_{n+1}-\sqrt{2}}{R_{n+1}+\sqrt{2}}\\
					&= \frac{\frac{R_n+2}{R_n+1}-\sqrt{2}}{\frac{R_n+2}{R_n+1}+\sqrt{2}}\\
					&= \frac{R_n+2-\sqrt{2}(R_n+1)}{R_n+2+\sqrt{2}(R_n+1)}\\
					&= \frac{(1-\sqrt{2})R_n+2-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})R_n+2+\sqrt{2}}\\
					&= \frac{(1-\sqrt{2})R_n+\sqrt{2} \times \sqrt{2}-\sqrt{2}\times 1}{(1+\sqrt{2})R_n+\sqrt{2} \times \sqrt{2}+\sqrt{2}\times 1}\\
					&= \frac{(1-\sqrt{2})R_n-\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}+ 1)}{(1+\sqrt{2})R_n+\sqrt{2} \times (\sqrt{2}+1)}\\
					&= \frac{(1-\sqrt{2}) (R_n-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(R_n+\sqrt{2})}\\
					&= \frac{1-\sqrt{2} }{(1+\sqrt{2}} \times \frac{R_n-\sqrt{2}}{R_n+\sqrt{2}}\\
					&= \frac{1-\sqrt{2} }{(1+\sqrt{2}} \times a_n\\
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$(a_n)$ est géométrique de terme initial $a_0= \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ et de raison $q=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En admettant que la raison $q=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ vérifie $-1<q<0$ déterminez la limite de $(a_n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque la raison $q$ de la suite géométrique $(a_n)$ vérifie $-1<q<1$ 
			
			\begin{conclusion}
				
				$(a_n)$ converge vers $0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Concluez quant à la convergence de $(R_n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $a_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et que $R_n\geqslant 0$ nécessairement $R_n-\sqrt{2} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
			
			Autrement dit 
			
			\begin{conclusion}
				
				$R_n\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}  \sqrt{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Problème: suite de Fibonacci.}

\begin{notabene}
	
	Problème avec Fibonacci.
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	
	On s'intéresse dans cet exercice à la suite dite de Fibonacci qui est définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et pour tout entier naturel $n$ \[F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad (\star).\]
	
\end{sujet}

\subsubsection{Premiers pas avec $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculez $F_2$, $F_3$, $F_4$, $F_5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			F_2 &= F_1+F_0\\
			&= 1+0\\
			&=1\\
			F_3 &= F_2+F_1\\
			&= 1+1\\
			&= 2
		\end{align*}
		
		et de même ensuite.
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$ et $F_5=5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrez, par une récurrence double, que les termes de la suite de Fibonacci sont tous positifs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
			
		Notons $\mathscr{R}(n)$: \og $F_n \geqslant 0$ \fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons par une récurrence double que $\mathscr{R}(n)$ est vraie.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $F_0 =0 \geqslant 0$ et $F_1=1\geqslant 0$.
			
			Donc $\mathscr{R}(0)$ et $\mathscr{R}(1)$ sont vraies.
			
			\item Soit $n\in \mathbb{N}$.
			
			Supposons que $\mathscr{R}(n)$ et $\mathscr{R}(n+1)$ sont vraies.
			
			Démontrons qu'alors $\mathscr{R}(n+2)$ est vraie.
			
			D'après notre hypothèse de récurrence: \[ \left\{ \begin{array}{l}F_n\geqslant 0 \\ F_{n+1}\geqslant 0 \end{array} \right. \] donc, en sommant terme à terme les inégalités: \[ {\color{blue}F_n+ F_{n+1}} \geqslant 0+0. \]
			
			Or la formule de récurrence définissant la suite $(F_n)$ est $F_{n+2} =F_{n+1}+F_n$ donc \[ {\color{blue}F_{n+2}} \geqslant 0. \]
			
			Ainsi $\mathscr{R}(n+1)$ est vraie.
			
			\item Nous avons démontré par récurrence sur $n$ que:
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\forall n\in \mathbb{N},\ F_n\geqslant 0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En remarquant que, pour $n\geqslant 1$, la relation $(\star)$ peut s'écrire \[ F_{n+1}=F_n+F_{n-1},\] déduisez de la question précédente le sens de variation de la suite $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions la monotonie de $(F_n)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Soit $n\geqslant 1$ un entier.
			
			De \[ F_{n+1}=F_n+F_{n-1}, \] nous déduisons \[ F_{n+1}-F_n =F_{n-1}. \]
			
			Or d'après la question précédente $F_{n-1}\geqslant 0$ donc \[ F_{n+1}-F_n \geqslant 0.\]
			
			\item $F_0=0$ et $F_1=1$ donc $F_0\leqslant F_1$.
			 
		\end{enumerate}
		
		Nous avons démontré que \[ \forall n\in \mathbb{N},\ F_{n+1}-F_n\geqslant 0. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$(F_n)$ est croissante.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Le nombre d'or $\varphi$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite dans cette question chercher des suites géométriques qui vérifient la relation de récurrence $(\star)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $q \in \mathbb{R}_+^*$.
			
			Montrez que, si la suite $(q^n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie la relation de récurrence $(\star)$ alors $q$ est solution de l'équation $q^2-q-1=0$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $(q^n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite vérifiant la relation de récurrence $(\star)$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $q$ est solution de $x^2-x-1=0$.}
			
			Puisque la suite vérifie la relation $\star$ nous avons: \[ q^{n+2}=q^{n+1}+q^{n}. \]
			
			Ce qui équivaut successivement à: 
			
			\begin{align*}
				q^{n+2} {\color{orange}-q^{n+1}-q^n} &= q^{n+1}+q^n {\color{orange}-q^{n+1}-q^n}\\
				{\color{Green}q^n \times } q^2 -{\color{Green}q^n \times }q -{\color{Green}q^n \times }1 &= 0\\
				{\color{Green}q^n \times } \left( q^2-q-1 \right) &= 0\\
				\intertext{Puisque $q >0$:}
				\frac{q^n(q^2-q-1)}{\color{orange}q^n} &= \frac{0}{\color{orange}q^n}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				On a bien: $
				q^2-q-1 = 0$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résolvez l'équation $x^2-x-1=0$.
			
			\emph{Vous noterez $\varphi$ la plus grande solution et $\alpha$ la plus petite.}
				
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons les racines du trinôme: $X^2-X-1$.}
			
			{\color{orange}Pas de racine évidente nous calculons donc le discriminant.}
			
			\begin{align*}
				\Delta &= b^2-4ac\\
				&= (-1)^2-4 \times 1 \times (-1)\\
				&= 5
			\end{align*}
			
			$\Delta >0$ donc $X^2-X-1$ admets deux racines réelles distinctes:
			
			\begin{align*}
			 	\alpha &= \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		 		&= \frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2 \times 1}\\
		 		&= \frac{1-\sqrt{5}}{2}
		 		\intertext{et}
		 		\varphi &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
		 		&= \frac{1+\sqrt{5}}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de l'équation $x^2-x-1=0$ est $\left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on  étudie les nombres $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ obtenus à la question précédente.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez que $1<\varphi<5$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ nous avons \[ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}.\] \emph{i.e.} \[ 2 < \sqrt{5} < 3. \]
			
			Nous en déduisons \[ 1+2 < 1+\sqrt{5} <1+3.\]
			
			Et puisque $2>0$: \[ \frac{3}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} < \frac{4}{2}. \]
			
			Finalement:
			
			\begin{conclusion}
				
				$1< \varphi<5$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que $\alpha = 1-\varphi$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}On doit démontrer une égalité: on part d'un côté pour arriver à l'autre. Je pars du calcul.}
			
			\begin{align*}
				1-\varphi &= 1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
				&= \frac{2}{2} -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
				&= \frac{2-\left( 1+\sqrt{5} \right)}{2}\\
				&= \frac{2-\sqrt{5} }{2}\\
				&= \alpha
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$1-\varphi = \alpha$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifiez, grâce à la question 4, que $\varphi^2=\varphi+1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $\varphi$ est solution de $x^2-x-1=0$ nous avons 
			
			\begin{align*}
				\varphi^2-\varphi-1 &= 0\\
				\varphi^2-\varphi -1 {\color{orange}+\varphi +1} &= 0  {\color{orange}+\varphi +1}
			\end{align*}			
			
			\begin{conclusion}
				
				$\varphi^2 = \varphi+1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que: $\varphi-1 = \frac{1}{\varphi}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente
			
			\begin{align*}
				\varphi^2 {\color{orange}-\varphi} &= \varphi+1 {\color{orange}-\varphi}\\
				\varphi^2 -\varphi &= 1\\
				\intertext{Puisque $\varphi >1>0$:}
				\frac{\varphi^2-\varphi}{\color{orange}\varphi} &= \frac{1}{\color{orange}\varphi}\\
				\frac{\varphi^2}{\varphi} - \frac{\varphi}{\varphi} &= \frac{1}{\varphi}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\varphi -1 = \frac{1}{\varphi}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que $\alpha = -\frac{1}{\varphi}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Se déduit immédiatement des (b) et (d)
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{notabene}
		
		Travaille sur l'anneau $\mathbb{R}[\varphi]$.
		
	\end{notabene}
	
	\begin{sujet}
		
		On s'intéresse dans cette question aux puissances de $\varphi$.
		
		Rappelons que nous avons établi que $\varphi^2=\varphi+1$. Autrement dit $\varphi^2$ est de la forme $a+b\varphi$, avec $a$ et $b$ des entiers, puisque  $\varphi^2= 1+ 1 \times \varphi$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrivez $\varphi^3$, $\varphi^4$, $\varphi^5$ sous la forme $a+b\varphi$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
						
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					\varphi^3 &= \varphi \times {\color{violet}\varphi^2}\\
					&= \varphi {\color{violet}(1+ \varphi )}\\
					&= \varphi\times \varphi +\varphi \times 1\\
					&= {\color{blue}\varphi^2}+\varphi\\
					&= {\color{blue}(1+\varphi)} +\varphi
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi^3=1+2 \varphi$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					\varphi^4 &= \varphi( 1+2 \varphi )\\
					&= \varphi+2 \varphi^2\\
					&= \varphi +2(1+\varphi)\\
					&= \varphi+2+2 \varphi
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi^4=2+3 \varphi$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					\varphi^5 &= \varphi(2+3\varphi)\\
					&= 2\varphi+3 \varphi^2\\
					&= 2 \varphi +3(1+\varphi)\\
					&= 2\varphi+3+3\varphi
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\varphi^5=3+5\varphi$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que pour tout entier $n\geqslant 2$ \[ \varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi.\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Démonstration par récurrence.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $\varphi^2=1+ \varphi$ or $F_1=1$ et $F_2=1$ donc $\varphi^2+F_1+F_2\varphi$.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}$.
				
				Supposons que $\varphi^n=F_{n-1} + F_n \varphi$.
				
				\begin{align*}
					\varphi^{n+1} &= \varphi \times \varphi^n\\
					\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence:}
					\varphi^{n+1} &= \varphi (F_{n-1}+ F_n \varphi)\\
					&= F_{n-1}\varphi+ F_n\varphi^2\\
					&= F_{n-1}\varphi+F_n(1+\varphi)\\
					&= F_{n-1}\varphi+F_n+\varphi F_n \\
					&= (F_{n-1}+F_n)\varphi+F_n\\
					\intertext{D'après la formule de récurrence définissant $(F_n)$:}
					\varphi^{n+1} &= F_{n+1}\varphi+F_n
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Une formule explicite.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on souhaite donner une expression explicite du terme général de la suite de Fibonacci. Pour cela on part d'une suite inspirée des questions précédentes: \[ v_n=\lambda \varphi^n + \mu \alpha^n,\] définie, pour tout $n \in\mathbb{N}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres réels que nous déterminerons ci-après.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que la suite $(v_n)$  vérifie la relation de récurrence $(\star)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				v_{n+1}+v_n &= \lambda \varphi^{n+1}+\mu\alpha^{n+1} + \lambda \varphi^n+ \mu \alpha^n\\
				&= \lambda (\varphi^{n+1}+\varphi^n) + \mu (\alpha^{n+1}+\alpha^n)\\
				&= \lambda\varphi^{n+2}+ \mu \alpha^{n+2}\\
				&= v_{n+2}
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez que si $(v_n)$ est la suite de Fibonacci alors nécessairement $\lambda = - \mu$.
			
			\emph{Indication. Si $(v_n)$ est la suite Fibonacci alors en particulier on doit avoir $v_0=0$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $v_0=0$ alors
			
			\begin{align*}
				\lambda \varphi^0+\mu\alpha^0 &= 0\\
				\lambda + \mu &= 0\\
				\lambda &= -\mu
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en que si $(v_n)$ est la suite de Fibonacci alors nécessairement $\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
			
			\emph{Indication. Si $(v_n)$ est la suite Fibonacci alors en particulier on doit avoir $v_1=1$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				\lambda \varphi+\mu \alpha &= 1\\
				\intertext{Donc, d'après la question précédente:}
				\lambda \varphi-\lambda \alpha &= 0\\
				\intertext{Comme de plus $\alpha=1-\varphi$:}
				\lambda \varphi-\lambda (1-\varphi) &= 1\\
				\lambda (2\varphi-1) &= 1\\
				\lambda \left( 2 \times \frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 \right) &= 1\\
				\lambda \sqrt{5} &= 1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\lambda =\frac{1}{\sqrt{5}}$.
					
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		\bigskip
		Dorénavant on pose, pour tout entier naturel $n$: \[ v_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n. \]
		
		On pourra aussi l'écrire \[ v_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{3}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$ \[ F_n= v_n. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant à une récurrence double immédiate.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	 
\end{enumerate}

\subsubsection{Étude asymptotique de $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$.}

\begin{sujet}
	
	On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$ \[ F_n= \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n.\] et que $-1 < \alpha <0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{7}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudiez la convergence de  $(F_n)$.
		
		\emph{Vous pourrez utiliser le résultat de la question 5.(a)}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $-1<\alpha<1$: \[ \alpha^n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0. \]
		
		Puisque $\varphi>1$: \[ \varphi^n \underset{n \to +\infty}{ \longrightarrow} + \infty. \]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$F_n \underset{n \to + \infty}{\longrightarrow} +\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Somme des termes de la suite de Fibonacci.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{8}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on souhaite calculer la somme $S_n$ des termes de la suite de Fibonacci jusqu'au rang $n$: \[ S_n=\sum_{i=0}^n F_i. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrivez $\displaystyle \sum_{i=0}^5 F_i$ avec le symbole d'addition usuel $+$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \sum_{i=1}^5F_i = F_0 +F_1+F_2+F_3+F_4+F_5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Calculez $S_0$, $S_1$, $S_2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					S_0 &= F_0\\
					&=0
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					S_1 &= F_0+F_1\\
					&= 0+1\\
					&= 1
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					S_2 &= S_1+F_2\\
					&= 1+1\\
					&= 2
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant l'expression de $F_n$ trouvée à la question précédente (c'est-à-dire $v_n$), montrez que, pour tout entier naturel $n$ \[ S_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \varphi^i \right) -\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \alpha^i \right).\]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				S_n &= \sum_{i=0}^n \left[ \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n \right]\\
				&= \left[ \sum_{i=0}^n \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n \right] - \left[ \sum_{i=0}^n \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^i \right]\\
				&= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \varphi^i \right) - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \sum_{i=0}^n \alpha^n \right)
			\end{align*}
				
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduisez-en, pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ S_n= \frac{1}{\sqrt{5}} \left[  \frac{1-\varphi^{n+1}}{1-\varphi} - \frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \right]. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On reconnaît la somme des termes de deux suites géométriques: \[ \sum_{i=0}^n \varphi^i = \frac{1-\varphi^{n+1}}{1-\varphi} \text{ et } \sum_{i=0}^n \alpha^i = \frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha}. \]
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{notabene}

\subsubsection{Une suite qui converge vers $\varphi$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{5}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout $n$ 
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Suite de Fibonacci et coefficients binomiaux.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item 
		
		La somme des termes des diagonales ascendantes du triangle de pascal donne les termes de la suite de Fibonacci.
	
\end{enumerate}

\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	\subsection{Exercice.}
	
	0ieme s hachette barbazo 2016 exo 73 page 24 polynômes de bernoulli mais téléscopage
	
\end{notabene}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	
\end{sujet}

\subsection{Annexe: fiche d'identité de la fonction inverse.}


\begin{sujet}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
		\hline
		&
		\\
		Expression algébrique: & La fonction inverse est dérivable sur ..... et pour tout $x$ pris dans cet ensemble 
		\\
		\[ f: \left\{ \begin{array}{ccl}
		..... & \rightarrow & \mathbb{R}\\
		x & \mapsto & .....
		\end{array} \right. \] & \[ f'(x)= ..... \] 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Complétez le tableau de valeurs suivant (avec des écritures décimales pas fractionnaires).
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{0.8cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				$x$ & $-2$ & $-1$ & $-0,5$ & $0,5$ & $1$ & $2$
				\\
				\hline
				&&&&&&
				\\
				$f(x)$ & &&&&&
				\\
				&&&&&&
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\begin{tabular}{|m{6cm}|}
			\hline
			Complétez le graphique suivant en plaçant les points de coordonnées $\left( x ,f(x) \right)$ obtenues dans le tableau de valeurs.
			\\
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.9]
			\def\xY{-3.1};
			\def\yY{-3.1};
			\def\xZ{3.1};
			\def\yZ{3.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\end{tikzpicture}
			\\
			Puis tracez l'allure de la courbe représentative de la fonction inverse.
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		&
		\begin{tabular}{m{6cm}}
			
			Tableau de variation:
			\\
			\noindent
			\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|m{0.8cm}|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				&\\
				$x$ & 
				\\
				&\\
				\hline
				&\\
				$f$&
				\\
				&\\
				&\\
				\hline
			\end{tabularx}
			\\
			Tableau de signe:
			\\			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
			\\
			\\
			\begin{tabular}{|m{5.5cm}|}
				\hline
				La courbe représentative de la fonction inverse est appelée 
				\\
				\\
				.....
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\\
			\\
			\begin{tabular}{|m{5.5cm}|}
				\hline
				Parité: la fonction inverse est 
				\\
				\\
				.....
				\\
				\hline	
			\end{tabular}
		\end{tabular}
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
		\hline
		&
		\\
		Expression algébrique: & La fonction inverse est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et pour tout $x$ pris dans cet ensemble 
		\\
		\[ f: \left\{ \begin{array}{ccl}
			\mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R}\\
			x & \mapsto & \frac{1}{x}
		\end{array} \right. \] & \[ f'(x)= -\frac{1}{x^2} \] 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Complétez le tableau de valeurs suivant (avec des écritures décimales pas fractionnaires).
		
		\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{0.8cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			$x$ & $-2$ & $-1$ & $-0,5$ & $0,5$ & $1$ & $2$
			\\
			\hline
			&&&&&&
			\\
			$f(x)$ & $-0,5$ & $-1$ & $-2$ & $2$ & $1$ & $0,5$
			\\
			&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\begin{tabular}{|m{6cm}|}
			\hline
			Complétez le graphique suivant en plaçant les points de coordonnées $\left( x ,f(x) \right)$ obtenus dans le tableau de valeurs.
			\\
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.9]
			\def\xY{-3.1};
			\def\yY{-3.1};
			\def\xZ{3.1};
			\def\yZ{3.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\foreach \x in {-2,-1,-0.5,0.5,1,2} \draw ({\x},{1/\x}) node {$\times$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-3.1:{-1/3}] plot(\x,{1/\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain={1/3}:3.1] plot(\x,{1/\x});
			\end{tikzpicture}
			\\
			Puis tracez l'allure de la courbe représentative de la fonction inverse.
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		&
		\begin{tabular}{m{6cm}}
			
			Tableau de variation:
			\\
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,d,-,}%
				\tkzTabVar {+/ $0$, -D+ / $-\infty$ / $+\infty$, - / $0$ / }	
			\end{tikzpicture}
			\\
			Tableau de signe:
			\\			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
				{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,d,+,}%
			\end{tikzpicture}
			\\
			\\
			\begin{tabular}{|m{5.5cm}|}
				\hline
				La courbe représentative de la fonction inverse est appelée une hyperbole.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\\
			\\
			\begin{tabular}{|m{5.5cm}|}
				\hline
				Parité: la fonction inverse est impaire.
				\\
				\hline	
			\end{tabular}
		\end{tabular}
	\end{tabular}
	
\end{correction}

\begin{sujet}
	~
	\newpage
	~
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}