%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill \small {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \small \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/sup\_1ieme\_cpge\_lettres\_et\_sciences\_sociales.html}{Travail préparatoire de pré-rentrée. B/L Levav'.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}\exclure{preuve}\exclure{exemples}%papi
%\exclure{remarques}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\renewcommand*\contentsname{Les travaux.}

\begin{document}

\section*{Travail préparatoire de pré-rentrée. B/L Levav'.}

{\color{red}Ce document est en cours d'élaboration. Actualisez la page dans votre navigateur régulièrement.}

\medskip
Vous trouverez ici des méthodes, des outils, des résultats qu'il est bon de connaître pour aborder la prépa B/L. Il s'agit, pour les quatre premières parties, de résultats vus en classe de seconde. Nous reverrons certains d'entre-eux en classe.

\medskip
La calculatrice n'est pas autorisée en prépa B/L: il faut donc faire ces exercices en faisant du calcul mental ou posé à la main.

\medskip
Les réponses aux exercices sont proposées en fin de document et des liens permettent de les atteindre rapidement.

\medskip
Si vous constatez des erreurs ou avez des questions contactez-moi: 

\begin{center}
	\href{mailto:aubry.levavasseur@gmail.com}{aubry.levavasseur@gmail.com}
\end{center}

\tableofcontents

\newpage
\subsection{Calculer à la main.}

\begin{lecon}
	
	Les calculatrices ne sont pas autorisées en prépa B/L il faut donc réactiver les méthodes de calcul mental et manuel.
	
	Le résultat d'une addition est appelé une somme, celui d'une multiplication un produit, celui d'une division un quotient.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Opérations posées.}

\begin{lecon}
	
	Vous devez pouvoir faire des opérations posées si nécessaire.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\opadd[voperation=center]{45}{172}
	\qquad
	\opsub[voperation=center]{234}{172}
	\qquad
	\opmul[voperation=center]{45}{172}
	\qquad
	\opdiv[displayintermediary=all,maxdivstep=3,voperation=center]{172}{7}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_01}{}
\begin{exercice}{Opérations posées.}
	
	Calculez en posant les opérations suivantes jusqu'au dixième.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $123\div 12$.
		
		\task $\np{2345}+\np{234,1}$.
		
		\task $8234 \times 56$.
		
		\task $\np{3456}-\np{234,9}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_01_correction}{Réponses de l'exercice 1.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Forme irréductible d'un rationnel.}

\begin{lecon}
	
	Les \emph{\color{purple}rationnels} désignent des nombres qui peuvent s'écrire comme des \emph{\color{purple}fractions} c'est-à-dire le quotient d'un entier par un autre entier.
	
	Les rationnels admettent une écriture simplifiée au maximum appelée la forme irréductible de la fraction. Une fraction est sous forme irréductible lorsqu'il n'y a plus de diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
	
	{\color{orange}Méthode. Travailler avec des fractions irréductibles permet de calculer avec des nombres plus petits.}
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle \frac{36}{60}= \frac{36\div 2}{60\div 2}= \frac{18}{30}= \frac{18 \div 2} {30\div 2}=\frac{9}{15}=\frac{9\div 3}{15 \div 3}= \frac{3}{5}$.
		
		
		$\frac{3}{5}$ est la forme irréductible de $\frac{36}{60}$.
		
		\item En utilisant la décomposition en facteurs premiers: $36=2 \times 2 \times 3 \times 3$ et $60=2 \times 2 \times 3 \times 5$.
		
		Donc en simplifiant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur: \[ \frac{36}{60}=\frac{2 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 3 \times 5}=\frac{3}{5}. \]
		
		On retrouve que $\frac{3}{5}$ est la forme irréductible de $\frac{36}{60}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_02}{}
\begin{exercice}{Décomposition en facteurs premiers.}
	
	Les nombres premiers commencent par: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. 
	
	{\color{orange}Méthode. Pour trouver la décomposition en facteurs premiers on essaie de diviser au maximum par les nombres premiers pris dans l'ordre croissant: $60\div 2=18$, $30 \div 2=15$, $15$ n'est pas divisible par $2$ mais $15\div 3=5$ et $5$ est un nombre premier donc: $60=2 \times 2 \times 3 \times 5$. On écrit au brouillon: $\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\1 & \end{array}$ et on traduit par: $60= 2 \times 2 \times 3 \times 5$.}
	
	\smallskip
	Donnez la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants.
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $A=12$.
		
		\task $B= 63$.
		
		\task $C= 70$ 
		
		\task $D=66$.
		
		\task $E=100$.
		
		\task $F= 143$.
		
		\task $G=81$.
		
		\task $H=105$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_02_correction}{Réponses de l'exercice 2.}
	
\end{exercice}

\hypertarget{exercice_03}{}
\begin{exercice}{Forme irréductible de fractions.}
	
	Déterminez la forme irréductible des fractions suivantes:
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=\frac{6}{9}$.
		
		\task $\displaystyle B= \frac{35}{14}$.
		
		\task $\displaystyle C= \frac{72}{36}$.
		
		\task $\displaystyle D= \frac{64}{18}$.
		
		\task $\displaystyle E= \frac{34}{51}$.
		
		\task $\displaystyle F= \frac{16}{33}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_03_correction}{Réponses de l'exercice 3.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Addition de fractions.}

\begin{lecon}
	
	L'addition de fractions est possible uniquement lorsque leur dénominateur est le même: \[ \frac{a}{b}+ \frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}.\]
	
	Pour additionner deux fractions il faut les mettre au même dénominateur: \[ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} + \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{{\color{blue}a} \times {\color{ForestGreen}y}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} + \frac{ {\color{BurntOrange}b} \times {\color{Mulberry}x}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} = \frac{{\color{blue}a} {\color{ForestGreen}y} + {{\color{BurntOrange}b} \color{Mulberry}x} }{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}}.\]
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{3}{15}+\frac{2}{15}= \frac{3+2}{15}= \frac{5}{15}= \frac{1}{3}$.
		
		\item $\frac{2}{3} + \frac{1}{5}= \frac{2 \times 5+ 3 \times1}{3 \times 5}= \frac{13}{15}$.
		
		\item Il est préférable de travailler avec les formes irréductibles pour simplifier les calculs: $\frac{10}{25} - \frac{14}{21}= \frac{2}{5}-\frac{2}{3}= \frac{2 \times 3-5 \times 2}{5 \times 3}=-\frac{4}{15}$.
		
		\item Il est parfois possible de choisir un dénominateur commun plus petit que le produit des deux dénominateurs: $\frac{3}{14}+ \frac{5}{21} = \frac{3 \times 3}{14 \times 3} + \frac{5 \times 2}{21 \times 2}=\frac{9}{42} + \frac{10}{42} = \frac{19}{42}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_04}{}
\begin{exercice}{Addition et soustraction de fraction.}
	
	Donnez les sommes ou différences suivantes sous forme d'une fraction irréductible.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=\frac{18}{20}-\frac{15}{20}+\frac{2}{20}$.
		
		\task $\displaystyle B=\frac{3}{2} + \frac{5}{3}$.
		
		\task $\displaystyle C=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}-\frac{-1}{3}$.
			
		\task $\displaystyle  D=\frac{7}{15}+\frac{9}{25}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_04_correction}{Réponses de l'exercice 4.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Produit et quotient de fractions.}

\begin{lecon}
	
	\[  \frac{\color{blue}a}{\color{BurntOrange}b}\times \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}=\frac{{\color{blue}a} \times  {\color{Mulberry}x}}{{\color{BurntOrange}b} \times {\color{ForestGreen}y}} \]
	
	De plus diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse et  l'inverse de $\frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}$ est $\frac{\color{ForestGreen}y}{\color{Mulberry}x}$ donc \[ \frac{\frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b}}{ \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \times \frac{\color{ForestGreen}y}{\color{Mulberry}x}. \]
	
\end{lecon}

\hypertarget{exercice_05}{}
\begin{exercice}{Produit et quotient de fractions.}
	
	
	Donnez les expressions irréductibles des nombres rationnels suivants.
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=\frac{2}{7} \times \frac{9}{4}$.
		
		\task $\displaystyle B=5 \times \frac{7}{15}$.
		
		\task $\displaystyle C=\frac{36}{35} \times \frac{21}{12}$.
		
		\task $\displaystyle D=\left( \frac{4}{5} - \frac{1}{15} \right) \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right)$.
		
		\task $\displaystyle E=\frac{\frac{4}{3}}{ \frac{3}{8}}$.
		
		\task $\displaystyle F= \frac{\frac{-9}{4}}{\frac{7}{12} }$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_05_correction}{Réponses de l'exercice 5.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Calculer avec des nombres irrationnels.}

\begin{lecon}
	
	Les nombres irrationnels sont des nombres qu'il est impossible d'écrire: pas d'écriture fractionnaire et une écriture décimale infinie non répétitive. C'est pourquoi chacun d'entre-eux est représenté par une lettre ou un dessin: $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{7}$,...
	
	Du coup nous le manipulerons comme nous le ferions pour une inconnue ou une variable $x$.
	
	Parfois des propriétés de ces nombres permettent de simplifier les écritures: $\sqrt{2} \times \sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $5\sqrt{2}+7\sqrt{2}= (5+7)\sqrt{2}=12 \sqrt{2}$.
		
		\item $2\sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}=2 \times 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}=6 \times \sqrt{2}^2=6 \times 2=12$.
		
		\item $\sqrt{2}(2-3\sqrt{2})=\sqrt{2} \times 2 - \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}=2\sqrt{2} -3 \sqrt{2}^2= 2\sqrt{2}-3 \times 6=2\sqrt{2}-12$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_06}{}
\begin{exercice}{Calculer avec une racine carrée.}
	
	Exprimez les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{2}$ ou $a+b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ des nombres entiers. \emph{Pour les trois derniers il faut utiliser la distributivité de l'addition sur la multiplication.}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=-5\sqrt{2}+4\sqrt{2}-12\sqrt{2}$.
		
		\task $B=8 \sqrt{2} \times (-6)\sqrt{2}$.
		
		\task $C=\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}$.
		
		\task $D=\sqrt{2} \times (-13-\sqrt{2})$.
		
		\task $E= (1+\sqrt{2}) \times 3\sqrt{2}$.
		
		\task $F= (2-3\sqrt{2}) (-3+\sqrt{2} )$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_06_correction}{Réponses de l'exercice 6.}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	Pour simplifier les calculs avec des racines carrées nous utiliserons la propriété suivante, où $a$ et $b$ sont des nombres positifs: \[ \sqrt{a \times b}= \sqrt{a} \times \sqrt{b}. \]
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
				
		\item $\sqrt{75}= \sqrt{3 \times 25}= \sqrt{3} \sqrt{25}= \sqrt{3} \times 5=5\sqrt{3}$.
		
		\item $\sqrt{50} \times \sqrt{8} = \sqrt{50 \times 8}= \sqrt{400}= 20$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_07}{}
\begin{exercice}{Racine carrée et produit.}
	
	Écrivez les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ est le plus petit possible. \emph{La décomposition en facteurs premiers permet de voir des simplifications.}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=\sqrt{8}$.
		
		\task $B=\sqrt{128}$.
		
		\task $C=\sqrt{3} \times \sqrt{18}$.
		
		\task $D=\left( 3 \sqrt{2} \right)^2$.
		
		\task $E=\sqrt{237^2}$.
		
		\task $F= 3 \sqrt{8} \times 5\sqrt{10}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_07_correction}{Réponses de l'exercice 7.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Calculer avec des puissances.}

\begin{lecon}
	
	Par définition le nombre $x$ élevé à la puissance $n \in \mathbb{N}$ est le nombre \[ x^n=\underset{n\ \text{facteurs} }{\underbrace{x\times \dots \times x}} \] avec, par convention: $x^01$ et $x^1=x$.
	
	Grâce à cela on obtient aisément pour $a$ et $b$ des nombres, $n$ et $p$ des entiers naturels:
	
	\[ a^n\times a^p=a^{n+p},\quad \left( a^n \right) ^p= a^{n\times p},\quad (a\times b)^n=a^n \times b^n \] et si $b$ est non nul: \[ \left( \frac{a}{b} \right) ^n =\frac{a^n}{b^n} \]
	
	Ces formules restent valables pour $n$ et $p$ des entiers négatifs avec la notation: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.
		
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $5^4 \times 5^{-2}= 5^{4+(-2)}=5^2$.
		
		\item $\left( 3^3 \right)^{-2}= 3^{3 \times (-2)}= 3^{-6}$.
		
		\item $2^3 \times 5^3= \left( 2 \times 5 \right)^3=10^3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_08}{}
\begin{exercice}{Différentes puissances d'un même nombre.}
	
	Écrivez sous la forme d'une puissance de $2$ les nombres suivants.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=4^3\times 4^8 \times4^{-4}$.
		
		\task $B=2^4 \times 4^2 \times 32 \times 8^3$.
		
		\task $C=\dfrac{1}{16}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_08_correction}{Réponses de l'exercice 8.}
	
\end{exercice}

\hypertarget{exercice_09}{}
\begin{exercice}{Différentes puissances d'un même nombre.}
	
	Écrivez les nombres suivants sous la forme $3^n \times 5^m \times 7^p$ avec $m$, $n$ et $p$ des nombres entiers relatifs.
	\begin{tasks}(1)
		\task $A= 3 \times 5 \times 49 \times 15 \times 3 \times 9 \times 7 \times 21 \times 125$.
		
		\task $\displaystyle B= \frac{15 \times 35 \times 63 \times 27 \times 21 \times 625}{5 \times 7 \times 105 \times 189 \times 45 \times 9}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_09_correction}{Réponses de l'exercice 9.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsection{Fonctions de référence.}

\subsubsection{Définir, décrire une fonction.}

\begin{lecon}
	
	Une fonction $f$ indique des liens entre des nombres. Par exemple pour indiquer que $f$ relie le nombre $\color{blue}2$ au nombre $\color{green}3$ nous écrirons: \[ f({\color{blue}2})={\color{green}3} \ \text{ou} \ f:{\color{blue}2} \mapsto {\color{green}3}. \] 
	
	Nous dirons alors que $\color{blue}2$ est \emph{\color{purple}un antécédent} de $\color{green}3$ par $f$.
	
	Nous dirons aussi que $\color{green}3$ est \emph{\color{purple}l'image} de $\color{blue}2$ par $f$.
	
	Nous appellerons \emph{\color{purple}domaine de définition} de $f$ et nous noterons $\color{purple}\mathscr{D}_f$ l'ensemble des nombres $x$ reliés à des $y$ par la relation $f:x \mapsto y$.
	
	\medskip
	Il existe différentes façon de préciser les liens correspondant à une fonction.
	
	La première consiste à exprimer l'image $f(x)$ par une formule de calcul en fonction de $x$.
	
	La seconde est de donner une représentation graphique de tous les points dont les coordonnées sont $(x;f(x))$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item En notant $f:x \mapsto 2x-1$ on définie $f$ par une expression algébrique. 
		
		Il est possible d'en donner une représentation graphique notée $\mathscr{C}_f$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\xY{-2.5};
				\def\yY{-2.5};
				\def\xZ{2.5};
				\def\yZ{2.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y=f(x)$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.75:1.75] plot(\x,{2*\x-1});
				\draw (0.5,-1.75) node {$\mathscr{C}_f$};
				\draw [red] ({1.5},{2}) node {$\bullet$};
				\draw [red] ({1.5},{2}) node [above left] {$A$};
				\draw [red] [dashed] (1.5,0) -- (1.5,2) -- (0,2);
				\draw (1.5,-0.5) node {$1,5$};
				\draw (-0.5,1.75) node {$2$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Chaque point de la courbe représente un lien entre deux nombres. Ainsi le point $A$ signifie que $1,5$ est lié à $2$ par la fonction $f$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_10}{}
\begin{exercice}{}
		
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-5};
		\def\yY{-2.5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (2.5,1.25) node {$\mathscr{C}_f$};
		\draw[red, thick] plot[smooth] coordinates {(-4,-1)(-3,2)(-2,-1)(-1,0)(0,-1)(1,-2)(2,-1)(3,1)(4,2)};
		\draw (-4,-1) node {$\bullet$};
		\draw (4,2) node {$\bullet$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On a dessiné ci-dessus la courbe représentative de la fonction $f$ sur son domaine de définition $\mathscr{D}_f=[-4;4]$.
	
	Répondez au questions suivantes par lecture graphique.
	
	\begin{enumerate}
		\item Donnez l'image de $-2$ par $f$.
		
		\item Lisez $f(1)$, $f(2)$, $f(-1)$.
		
		\item Déterminez les antécédents de $-1$ par $f$.
		
		\item Déterminez le nombre d'antécédents de $0$ par $f$.
		
		\item Donnez l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=2$.
		
	\end{enumerate}
		
	\hyperlink{exercice_10_correction}{Réponses de l'exercice 10.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Fonctions affines.}

\begin{lecon}
	
	Les fonctions affines sont des fonctions dont le domaine de définition est $\mathbb{R}$ est dont la formule algébrique est $ax+b$ avec $a$ et $b$ des nombres.
	
	$a$ est le \emph{\color{purple}coefficient directeur}. S'il est positif la droite qui représente la fonction monte, s'il est négatif, elle descend.
	
	$b$ est l'{\color{purple}ordonnée à l'origine}. 
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-2.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left]{\footnotesize $b={\color{violet}\y}$};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (2.5,1.25) node {$\mathscr{C}_f$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-2.5:2.5] plot(\x,{0.5*\x+1});
		\draw [orange, >=latex, ->, very thick] (-2,0) -- (0,0) node [midway, below] {$2$};
		\draw [>=latex, ->, very thick, Green] (0,0) -- (0,1) node [midway, right] {$1$};
		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	\qquad
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		La fonction $f:x \mapsto \frac{1}{2}x +1$	est une fonction affine. Son coefficient directeur est $a= \frac{\color{Green}1}{\color{orange}2} = \frac{1}{2}$ et son ordonnée à l'origine $b={\color{violet}1}$. 
	\end{minipage}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_11}{}
\begin{exercice}{Lecture graphique coefficient directeur et ordonnée à l'origine.}
	
	\hspace{1cm}
	\begin{minipage}{0.3\linewidth}
		Déterminez le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de chacune des fonctions affines dont les courbes représentatives sont ci-contre.
		
		\hyperlink{exercice_11_correction}{Réponses de l'exercice 11.}
		
	\end{minipage}
	\qquad
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-2.5};
		\def\yY{-2.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left]{\footnotesize \y};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (2.5,-1.75) node {$\mathscr{C}_f$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-2.5:2.5] plot(\x,{-0.5*\x-1});
		\draw[Green] (2.5,1.5) node {$\mathscr{C}_g$};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-2.5:2.5] plot(\x,{1/3*\x+1/3});
		\draw[PineGreen] (1.25,1.75) node {$\mathscr{C}_h$};
		\draw[PineGreen, thick][samples=100,domain=-1.25:1.25] plot(\x,{2*\x});
		\draw[orange] (0.75,-2.25) node {$\mathscr{C}_k$};
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.5:0.2] plot(\x,{-3*\x-2});
		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	
\end{exercice}

\hypertarget{exercice_12}{}
\begin{exercice}{Signe du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine.}
	
	\hspace{1cm}
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		Identifiez la courbe de chaque fonction affine.
		
		\begin{align*}
			&f: x \mapsto -\frac{1}{3}x+1\\
			&g: x \mapsto -x-2\\
			&h: x \mapsto -2x \\
			&k: x \mapsto -\frac{1}{2}x+2\\
			&\ell: x \mapsto \frac{1}{2}x-1
		\end{align*}
				
		\hyperlink{exercice_12_correction}{Réponses de l'exercice 12.}
			
	\end{minipage}
	\qquad
	\begin{minipage}{0.5\linewidth}	
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-2.5};
		\def\yY{-2.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[above left]{\footnotesize \y};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[red] (2,1.5) node {$\mathscr{C}_1$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.5:2.5] plot(\x,{-0.5*\x+2});
		\draw[Green] (0.75,-2.25) node {$\mathscr{C}_2$};
		\draw[Green, thick][samples=100,domain=-2.5:0.5] plot(\x,{-\x-2});
		\draw[PineGreen] (-2.25,-1.75) node {$\mathscr{C}_3$};
		\draw[PineGreen, thick][samples=100,domain=-2.5:2.5] plot(\x,{1/2*\x-1});
		\draw[orange] (-2,1.5) node {$\mathscr{C}_4$};
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-2.5:2.5] plot(\x,{-1/3*\x+1});
		\draw[violet] (-1.25,2) node {$\mathscr{C}_5$};
		\draw[violet, thick][samples=100,domain=-1.25:1.25] plot(\x,{-2*\x});
		\end{tikzpicture}
	\end{minipage}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Le signe d'une fonction est le signe (soit strictement positif, soit strictement négatif, soit nul) du nombre $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	
	Pour résumer l'étude du signe d'une fonction on la présente sous forme d'un tableau de signe: dans la première ligne on indique les valeurs possible de $x$ (donc le domaine de définition $\mathscr{D}_f$) et sur une seconde ligne le signe de $f(x)$ qui lui correspond.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudions le signe de $f: x \mapsto 6x+7$ dont le domaine de définition est $\mathscr{D}_f$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $f$ est une fonction affine avec $a=6$ et $b=7$.
			
			\item Comme $a>0$, $f$ est strictement croissante {\color{orange}(droite qui monte donc $f(x)$ est d'abord négatif puis positif)}.
			
			\item {\color{orange}De plus $f(x)=0$ lorsque $x=-\frac{b}{a}$ donc} $f$ s'annule en $-\frac{b}{a}= -\frac{7}{6}$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-\frac{7}{6}$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Étudions $g: x \mapsto -2x-4$ définie sur $\mathscr{D}_g=\mathbb{R}$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $g$ est une fonction affine avec $a=-2$ et $b=-4$.
			
			\item Comme $a<0$, $g$ est strictement décroissante.
				
			\item $g$ s'annule en $-\frac{b}{a}= -\frac{-4}{-2}=-2$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\hypertarget{exercice_13}{}
\begin{exercice}{Signe d'une fonction affine.}
	
	Donnez le tableau de signe des fonctions affines suivantes sur leur domaine de définition $\mathscr{D}_f$.
		
	\begin{tasks}(2)
		\task $f(x)=2x+4$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=5x-15$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-7x+14$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-13x-39$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=x+7$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=x-\pi$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-x+\sqrt{2}$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-x-2$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=3x+7$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=5x-4$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-4x+13$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=-3x-4$, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.
		\task $f(x)=5x+12$, $\mathscr{D}_f=]-\infty; -3[$.
		\task $f(x)=6x-8$, $\mathscr{D}_f=[-12; 10]$.
		\task $f(x)=-8x+12$, $\mathscr{D}_f=\left[ \frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
		\task $f(x)=-3x-24$, $\mathscr{D}_f=]-8 ;10[$.
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_13_correction}{Réponses de l'exercice 13.}
	
\end{exercice}

\newpage
\subsubsection{Fonctions de référence.}

\begin{lecon}
	
	Certaines fonctions sont considérées comme des fonctions incontournables. Notamment pour étudier d'autres fonctions, pour modéliser des évolutions, etc. Ces fonctions sont une sorte d'alphabet des fonctions.
	
	Les foncions affines sont des fonctions de référence mais il faut aussi connaître:
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}{>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|}}
		\hline
		Nom de la fonction & Expression algébriques & $\mathscr{D}_f$
		\\
		\hline
		&&\\
		\color{purple}Cube & $x \mapsto {\color{purple}x^3}$ & $\mathbb{R}$
		\\
		\hline
		&&\\
		\color{purple} Carré & $x \mapsto {\color{purple}x^2}$ & $\mathbb{R}$
		\\
		\hline
		&&\\
		\color{purple} Identité & $x \mapsto x$ & $\mathbb{R}$
		\\
		\hline
		&&\\
		\color{purple} Inverse & $x \mapsto {\color{purple}\dfrac{1}{x}=x^{-1}}$ & $\mathbb{R}^*$
		\\
		\hline
		&&\\
		\color{purple} Racine carré & $x \mapsto {\color{purple}\sqrt{x}}$ & $\mathbb{R}_+$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\hypertarget{exercice_14}{}
\begin{exercice}{Signe d'une fonction affine.}
	
	Associez chaque courbe représentative à sa fonction de référence.
	
	\emph{Pensez aux domaines de définition, et à des images simples (de $0$, $1$ et $-1$) pour identifier la courbe.}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task 		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
		\def\xY{-2.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={-sqrt(5)}:{sqrt(5)}] plot(\x,{\x*\x});
		\end{tikzpicture}
		
		\task 		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={0}:5] plot(\x,{sqrt(\x)});
		\end{tikzpicture}
		
		\task 		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
		\def\xY{-1.5};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{1.5};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={-1.7}:{1.7}] plot(\x,{\x*\x*\x});
		\end{tikzpicture}
		
		\task 		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
		\def\xY{-2.5};
		\def\yY{-2.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={-2.5}:2.5] plot(\x,{\x});
		\end{tikzpicture}
		
		\task 		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.3]
		\def\xY{-2.5};
		\def\yY{-2.5};
		\def\xZ{2.5};
		\def\yZ{2.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={-2.5}:{-1/2.5}] plot(\x,{1/\x)});
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={1/2.5}:2.5] plot(\x,{1/\x)});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_14_correction}{Réponses de l'exercice 14.}
	
\end{exercice}

\hypertarget{exercice_14_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(1)
		\task $f(1)=f(-1)=1$ donc fonction carré.
		
		\task $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}_+$ donc fonction racine carrée.
		
		\task $f(-1)=-1$, $f(1)=1$, $f(0)=0$ mais pas une fonction affine donc fonction cube.
		
		\task $f(-1)=-1$, $f(1)=1$, $f(0)=0$ et fonction affine donc fonction identité.
		
		\task $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}^*$ donc fonction inverse.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_14}{Retourner à exercice 14.}
	
\end{exercicecorrection}

\newpage
\subsection{Équiprobabilité.}

\subsubsection{Équiprobabilité simple.}

\begin{lecon}
	
	Il paraît naturel, intuitivement, qu'obtenir le nombre $2$ en lançant un dé à $6$ faces se réalise à raison d'une chance sur $6$ car il y a $6$ faces possibles ($6$ \emph{\color{purple}issues}). Nous dirons que la \emph{\color{purple}probabilité} d'obtenir $2$ est $\frac{1}{6}$. Nous noterons \[ \mathbb{P}(2)=\frac{1}{6}.\]
	
	Nous chercherons le plus souvent la probabilité de plusieurs issues ce que nous appellerons \emph{\color{purple}un événement}. L'événement $N$: \og obtenir un nombre pair \fg{} est réalisé par $3$ issues (le $2$, le $4$ et le $6$) donc \[ \mathbb{P}(N)= \frac{3}{6}. \]
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité d'obtenir le pile en lançant une pièce est de $\frac{1}{2}$.
		
		\item La probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à $1$ en laçant un dé à $4$ faces (tétraèdre) est $\frac{3}{4}$.
		
		\item Si dans une population de $\np{13453}$ individus, $\np{469}$ ont des revenus inférieurs au seuil de pauvreté alors la probabilité, en choisissant au hasard un individu, que ses revenus soient inférieurs au seuil de pauvreté est $\frac{469}{\np{13453}}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}



\subsubsection{Équiprobabilité pour des situations plus complexes.}

\begin{lecon}
	
	Il arrive que l'on étudie  la succession de situations d'équiprobabilité que l'on appelle des \emph{\color{purple}épreuves}.
	
\end{lecon}

\subsubsection{Des arbres probabilistes pondérés.}


\newpage
\subsection{Calcul littéral.}

\newpage
\subsection{Polynômes de degré deux.}

\newpage
\subsection{Dérivation.}

\newpage
\subsection{Variable aléatoire.}


\newpage
\section{Réponses aux exercices.}

\setcounter{Exercicecorrection}{1}
\hypertarget{exercice_01_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task \opdiv[displayintermediary=all,maxdivstep=3,voperation=top]{123}{12}
		
		\task \opadd[voperation=top]{2345}{234,1}
		
		\task \opmul[voperation=top]{8234}{56}
		
		\task \opsub[voperation=top]{3456}{234,9}
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_01}{Retourner à exercice 1.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{2}
\hypertarget{exercice_02_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=2 \times 2 \times 3$.
		
		\task $B=3 \times 3 \times 7$.
		
		\task $C=2 \times 5  \times 7$.
		
		\task $D=2 \times 3 \times 11$.
		
		\task $E= 2 \times 5 \times 5$.
		
		\task $F= 11 \times 13$.
		
		\task $G=3 \times 3 \times 3 \times 3$.
		
		\task $H=3 \times 5 \times 7$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_02}{Retourner à exercice 2.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{3}
\hypertarget{exercice_03_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A = \frac{2}{3}$.
		
		\task $B= \frac{5}{2}$.
		
		\task $C= 2$.
		
		\task $D= \frac{32}{9}$.
		
		\task $E=\frac{2}{3}$.
		
		\task $F= \frac{128}{264}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_03}{Retourner à exercice 3.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{4}
\hypertarget{exercice_04_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $A=\frac{1}{4}$.
		
		\task $B= \frac{19}{6}$.
		
		\task $C= \frac{7}{18}$.
		
		\task $D= \frac{62}{75}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_04}{Retourner à exercice 4.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{5}
\hypertarget{exercice_05_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(4)
		\task $A=\frac{9}{14}$.
		
		\task $B= \frac{7}{3}$.
		
		\task $C= \frac{9}{5}$.
		
		\task $D= \frac{11}{36}$.
		
		\task $E= \frac{32}{9}$.
		
		\task $F= -\frac{54}{7}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_05}{Retourner à exercice 5.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{6}
\hypertarget{exercice_06_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=-13 \sqrt{2}$.
		
		\task $B= -96$.
		
		\task $C=4\sqrt{2}$.
		
		\task $D= -2 -13 \sqrt{2}$.
		
		\task $E= 12+3 \sqrt{2}$.
		
		\task $F= -12+11\sqrt{2}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_06}{Retourner à exercice 6.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{7}
\hypertarget{exercice_07_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=2 \sqrt{2}$.
		
		\task $B= 8\sqrt{2}$.
		
		\task $C= 3 \sqrt{6}$.
		
		\task $D= 18$.
		
		\task $E=237$.
		
		\task $F = 60\sqrt{5}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_07}{Retourner à exercice 7.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{8}
\hypertarget{exercice_08_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $A=2^{14}$.
		
		\task $B=2^{22}$.
		
		\task $C=2^{-4}$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_08}{Retourner à exercice 8.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{9}
\hypertarget{exercice_09_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $A=3^6 \times 5^5 \times 7^4$.
		
		\task $B=3 ^{-1} \times 5^3$.
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_09}{Retourner à exercice 9.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{10}
\hypertarget{exercice_10_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item $f(-2)=-1$.
		
		\item $f(1)=-2$, $f(2)=-1$, $f(-1)=0$.
		
		\item L'ensemble des antécédents de $-1$ par $f$ est $\{ -4;\ -2;\ 0;\ 2 \}$.
		\item $0$ admet $4$ antécédents.
		
	\end{enumerate}
	
	\hyperlink{exercice_10}{Retourner à exercice 10.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{11}
\hypertarget{exercice_11_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	$f:x \mapsto -\frac{1}{2}x-1$.
	
	$g:x \mapsto \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$.
	
	$h: x \mapsto 2x$.
	
	$k: x \mapsto -3x-2$.
	
	\hyperlink{exercice_11}{Retourner à exercice 11.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{12}
\hypertarget{exercice_12_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	$\mathscr{C}_f= \mathscr{C}_4$.
	
	$\mathscr{C}_g= \mathscr{C}_2$.
	
	$\mathscr{C}_h= \mathscr{C}_5$.
	
	$\mathscr{C}_k= \mathscr{C}_1$.
	
	$\mathscr{C}_{\ell}= \mathscr{C}_3$.
	
	\hyperlink{exercice_12}{Retourner à exercice 12.}
	
\end{exercicecorrection}

\setcounter{Exercicecorrection}{13}
\hypertarget{exercice_13_correction}{}
\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{tasks}(2)
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-7}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\pi$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\sqrt{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\np{-2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{7}{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{4}{5}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $\frac{13}{4}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-\frac{4}{3}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ , + , z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-\infty$ , $-3$,  $-\frac{12}{5}$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-12$ , $\frac{4}{3}$ , $10$ }%
			\tkzTabLine{ , - , z , + , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{ $\frac{3}{2}$ , $+\infty$ }%
			\tkzTabLine{ z , - , }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\task ~
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1.5]
			{$x$ / 1 ,$f(x)$ /1 }%
			{$-8$ , $10$ }%
			\tkzTabLine{ d , - ,d }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{tasks}
	
	\hyperlink{exercice_13}{Retourner à exercice 13.}
	
\end{exercicecorrection}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}