%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{sectsty}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\sectionfont{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsection}{}
\subsectionfont{\color{BlueViolet}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}
\subsubsectionfont{\color{MidnightBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/programmes_de_mathematique.html}{Programme de mathématiques en première 2019} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
\begin{center}
	
	\Large \textbf{Programme de mathématiques de première en 2019} (avec menu).
	
\end{center}

\tableofcontents

\section{Préambule}

\subsection{Intentions majeures}

La classe de première générale est conçue pour préparer au baccalauréat général, et au-delà à une poursuite d’études réussie et à l’insertion professionnelle.

L’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première générale est conçu à partir des intentions suivantes:

\begin{itemize}
	\item permettre à chaque élève de consolider les acquis de la seconde, de développer son goût des mathématiques, d’en apprécier les démarches et les objets afin qu’il puisse faire l’expérience personnelle de l’efficacité des concepts mathématiques et de la simplification et la généralisation que permet la maîtrise de l’abstraction;
	\item développer des interactions avec d’autres enseignements de spécialité;
	\item préparer au choix des enseignements de la classe de terminale: notamment choix de l’enseignement de spécialité de mathématiques, éventuellement accompagné de l’enseignement optionnel de mathématiques expertes, ou choix de l’enseignement optionnel de mathématiques complémentaires.
\end{itemize}

Le programme de mathématiques définit un ensemble de connaissances et de compétences, réaliste et ambitieux, qui s’appuie sur le programme de seconde dans un souci de cohérence, en réactivant les notions déjà étudiées et y ajoutant un nombre raisonnable de nouvelles notions, à étudier de manière suffisamment approfondie.

\subsubsection{Compétences mathématiques}

Dans le prolongement des cycles précédents, six grandes compétences sont travaillées :

\begin{itemize}
	\item chercher, expérimenter – en particulier à l’aide d’outils logiciels;
	
	\item modéliser, faire une simulation, valider ou invalider un modèle;
	
	\item représenter, choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique...), changer de registre;
	
	\item raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective;
	
	\item calculer, appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes;
	
	\item communiquer un résultat par oral ou par écrit, expliquer une démarche.
	
\end{itemize}

La résolution de problèmes est un cadre privilégié pour développer, mobiliser et combiner plusieurs de ces compétences. Cependant, pour prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer, l’élève doit disposer d’automatismes. Ceux-ci facilitent en effet le travail intellectuel en libérant l’esprit des soucis de mise en œuvre technique et élargissent le champ des démarches susceptibles d’être engagées. L’acquisition de ces réflexes est favorisée par la mise en place d’activités rituelles, notamment de calcul (mental ou réfléchi, numérique ou littéral). Elle est menée conjointement avec la résolution de problèmes motivants et substantiels, afin de stabiliser connaissances, méthodes et stratégies.

\subsubsection{Diversité de l’activité de l’élève}

La diversité des activités mathématiques proposées doit permettre aux élèves de prendre
conscience de la richesse et de la variété de la démarche mathématique et de la situer au
sein de l’activité scientifique. Cette prise de conscience est un élément essentiel dans la
définition de leur orientation.

Il importe donc que cette diversité se retrouve dans les travaux proposés à la classe. Parmi ceux-ci, les travaux écrits faits hors du temps scolaire permettent, à travers l’autonomie laissée à chacun, le développement des qualités d’initiative, tout en assurant la stabilisation des connaissances et des compétences. Ils doivent être conçus de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des élèves.

Le calcul est un outil essentiel pour la résolution de problèmes. Il importe de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul numérique et du calcul littéral, sous ses diverses formes : mentale, écrite, instrumentée.

\subsubsection{Utilisation de logiciels}

L’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement le dialogue entre l’observation et la démonstration et change profondément la nature de l’enseignement.

L’utilisation régulière de ces outils peut intervenir selon trois modalités :

\begin{itemize}
	
	\item par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective adapté;
	
	\item par les élèves, en classe, à l'occasion de la résolution d'exercices ou de problèmes;
	
	\item dans le cadre du travail personnel des élèves hors du temps de classe (par exemple au CDI ou à un autre point d’accès au réseau local).
	
\end{itemize}
	
\subsubsection{Évaluation des élèves}

Les élèves sont évalués en fonction des capacités attendues et selon des modes variés: devoirs surveillés avec ou sans calculatrice, devoirs en temps libre, rédaction de travaux de recherche individuels ou collectifs, travaux pratiques pouvant s’appuyer sur des logiciels, exposé oral d’une solution.

\subsubsection{Place de l’oral}

Les étapes de verbalisation et de reformulation jouent un rôle majeur dans l’appropriation des notions mathématiques et la résolution des problèmes. Comme toutes les disciplines, les mathématiques contribuent au développement des compétences orales, notamment à travers la pratique de l’argumentation. Celle-ci conduit à préciser sa pensée et à expliciter son raisonnement de manière à convaincre. Elle permet à chacun de faire évoluer sa pensée, jusqu’à la remettre en cause si nécessaire, pour accéder progressivement à la vérité par la preuve. Des situations variées se prêtent à la pratique de l’oral en mathématiques : la reformulation par l’élève d’un énoncé ou d’une démarche, les échanges interactifs lors de la construction du cours, les mises en commun après un temps de recherche, les corrections d’exercices, les travaux de groupe, les exposés individuels ou à plusieurs... L’oral mathématique mobilise à la fois le langage naturel et le langage symbolique dans ses différents registres (graphiques, formules, calcul).

Si ces considérations sont valables pour tous les élèves, elles prennent un relief particulier pour ceux qui choisiront les mathématiques comme enseignement de spécialité en terminale et qui ont à préparer l’épreuve orale terminale du baccalauréat. Il convient que les travaux proposés aux élèves y contribuent dès la classe de première.

\subsubsection{Trace écrite}

Disposer d’une trace de cours claire, explicite et structurée est une aide essentielle à l’apprentissage des mathématiques. Faisant suite aux étapes importantes de recherche, d’appropriation individuelle ou collective, de présentation commentée, la trace écrite récapitule de façon organisée les connaissances, les méthodes et les stratégies étudiées en classe. Explicitant les liens entre les différentes notions ainsi que leurs objectifs, éventuellement enrichie par des exemples ou des schémas, elle constitue pour l’élève une véritable référence vers laquelle il peut se tourner autant que de besoin, tout au long du cycle terminal. Sa consultation régulière (notamment au moment de la recherche d’exercices et de problèmes, sous la conduite du professeur ou en autonomie) favorise à la fois la mémorisation et le développement de compétences. Le professeur doit avoir le souci de la bonne qualité (mathématique et rédactionnelle) des traces écrites figurant au tableau et dans les cahiers d’élèves. En particulier, il est essentiel de bien distinguer le statut des énoncés (conjecture, définition, propriété - admise ou démontrée -, démonstration, théorème).

\subsubsection{Travail personnel des élèves}

Si la classe est le lieu privilégié pour la mise en activité mathématique des élèves, les travaux hors du temps scolaire sont indispensables pour consolider les apprentissages. Fréquents, de longueur raisonnable et de nature variée, ces travaux sont essentiels à la formation des élèves. Individuels ou en groupe, évalués à l’écrit ou à l’oral, ces travaux sont conçus de façon à prendre en compte la diversité des élèves et permettent le développement des qualités d’initiative tout en assurant la stabilisation des connaissances et des compétences.

\subsection{Quelques lignes directrices pour l’enseignement}

Le professeur veille à créer, dans la classe de mathématiques, une atmosphère de travail favorable aux apprentissages, combinant bienveillance et exigence. Il est important de développer chez chaque élève des attitudes positives à l’égard des mathématiques et sa capacité à résoudre des problèmes stimulants.

L’élève doit être incité à s’engager dans une recherche mathématique, individuellement ou en équipe, et à développer sa confiance en lui. Il cherche, essaie des pistes, prend le risque de se tromper. Il ne doit pas craindre l’erreur, mais en tirer profit grâce au professeur, qui
l’aide à l’identifier, à l’analyser et la comprendre. Ce travail sur l’erreur participe à la construction de ses apprentissages.

Les problèmes proposés aux élèves peuvent être internes aux mathématiques, provenir de l’histoire des mathématiques, être issus des autres disciplines ou du monde réel, en prenant
garde que la simple inclusion de références au monde réel ne suffit pas toujours à transformer un exercice de routine en un bon problème. Dans tous les cas, ils doivent être bien conçus et motivants, afin de développer les connaissances et compétences mathématiques du programme.

Le professeur veille à établir un équilibre entre divers temps de l’apprentissage:

\begin{itemize}
	
	\item les temps de recherche, d’activité, de manipulation;
	
	\item les temps de dialogue et d’échange, de verbalisation;
	
	\item les temps de cours, où le professeur expose avec précision, présente certaines démonstrations et permet aux élèves d’accéder à l’abstraction;
	
	\item les temps où sont présentés et discutés des exemples, pour vérifier la bonne compréhension de tous les élèves;
	
	\item les exercices et problèmes, allant progressivement de l’application la plus directe au thème d’étude;
	
	\item les rituels, afin de consolider les connaissances et les méthodes.
	
\end{itemize}

\subsection{Organisation du programme}

Le programme s’organise en cinq grandes parties : \og Nombres et calculs \fg{}, \og Géométrie \fg{}, \og Fonctions \fg{}, \og Statistiques et probabilités \fg{} et \og Algorithmique et programmation \fg{}. Ce découpage n’est pas un plan de cours et il est essentiel d’exploiter les possibilités d’interaction entre ces parties. Les connaissances du collège sont systématiquement réactivées à travers des problèmes.

Démontrer est une composante fondamentale de l’activité mathématique. Le programme identifie quelques démonstrations exemplaires, que les élèves découvrent selon des modalités variées : présentation par le professeur, élaboration par les élèves sous la direction du professeur, devoirs à la maison, etc.

Le programme propose un certain nombre d’approfondissements possibles, mais en aucun
cas obligatoires. Ils peuvent permettre une différenciation pédagogique. 

Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme une
source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions. Les items\og Histoire des
mathématiques \fg{} identifient quelques possibilités en ce sens. Pour les étayer, le professeur peut s’appuyer sur l’étude de documents historiques.

\section{Programme}

\subsection{Algèbre}

\subsubsection{Objectifs}

En classe de première, les suites sont présentées d’un point de vue principalement algébrique. L’objectif est que l’élève soit confronté à des systèmes discrets pour lesquels les suites numériques apparaissent comme modélisation adaptée. C’est aussi l’occasion d’aborder le concept de définition par récurrence. L’élève rencontre différents modes de génération de suites:

\begin{itemize}
	\item par une formule explicite $u_n = f(n)$;
	\item par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$;
	\item par des motifs géométriques ou combinatoires, par exemple suite de nombres figurés, suite décrivant le nombre d’éléments dans une configuration dépendant d’un entier naturel.
\end{itemize}

Les suites arithmétiques et géométriques sont formalisées. D’autres types simples peuvent être abordés, mais aucune connaissance spécifique à leur sujet n’est au programme.

Dans tous les cas, on peut s’intéresser au passage d’un mode de génération à un autre, et notamment à la recherche d’une formule explicite pour une suite définie d’une autre façon.

Les suites interviennent comme modélisations d’évolutions à temps discret rencontrées dans les autres disciplines: évolution ou actualisation d’un capital, évolution d’une population, décroissance radioactive. C’est l’occasion de réactiver le travail sur l’information chiffrée fait en classe de seconde, notamment sur le taux d’évolution. L’élève doit automatiser le fait qu’une évolution à taux fixe est modélisée par une suite géométrique et percevoir l’intérêt de considérer le rapport de deux termes consécutifs. Lors de l’étude ultérieure de la fonction exponentielle, on réactive le travail sur les suites géométriques en mettant en parallèle évolution géométrique à temps discret et évolution exponentielle à temps continu.

L’étude des suites est l’occasion d’une sensibilisation à l’idée de limite. Toute formalisation est exclue, mais sur des exemples, on s’attachera à en développer une intuition en s'appuyant sur des calculs numériques, des algorithmes de recherche de seuil.

L’étude des fonctions polynômes du second degré réactive les connaissances acquises en seconde (fonction carré, identités remarquables) qu’elle permet de consolider. Il est important de diversifier les registres (algébrique, graphique) et de mettre en valeur les interactions avec l’ensemble du programme : problèmes variés, notamment d’origine géométrique, se ramenant à une équation du second degré ou à l’étude d’une fonction polynôme du second degré (optimisation, variations).

On illustre avec les fonctions polynômes du second degré des notions générales sur les fonctions (taux de variation, calcul de la fonction dérivée, position du graphe de $x \mapsto f(x - m)$ et on fait le lien avec la variance en probabilités et statistique.

Les élèves doivent savoir qu’une fonction polynôme du second degré admet une forme canonique, et être capables de la déterminer dans des cas simples à l’aide de l’identité $x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$ (méthode de complétion du carré). Le calcul effectif de la forme canonique dans le cas général n’est pas un attendu du programme.

Les élèves sont entraînés à reconnaître et pratiquer la factorisation directe dans les cas qui s’y prêtent: racines apparentes, coefficient de $x$ nul, racines entières détectées par calcul mental à partir de leur somme et de leur produit.

\subsubsection{Histoire des mathématiques}

Bien avant de faire l’objet d'une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations:

\begin{itemize}
	\item approximation de nombres réels (encadrement de $\pi$ par Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d'Alexandrie);
	\item problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci...).
\end{itemize}

Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIVe siècle.

On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolutions d’équations du second degré. Le travail novateur d’Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l'état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l’absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis.

\subsubsection{Suites numériques, modèles discrets}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Exemples de modes de génération d’une suite: explicite $u_n = f(n)$, par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n )$, par un algorithme, par des motifs géométriques.
		
		Notations: $u(n)$, $u_n$, $(u(n))$, $(u_n)$.
		
		\item Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude
		d’évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines.
		
		Calcul de $1 + 2 + \dots + n$.
		
		\item Suites géométriques: exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle. 
		
		Calcul de $1 + q + \dots + q^n$.
		
		\item Sens de variation d’une suite.
		
		\item Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite.
		
	\end{itemize}
	
	\item[\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l’un à l’autre.
		
		\item Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
		
		\item Calculer des termes d’une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme. Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.
		
		\item Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
		
		\item Conjecturer, dans des cas simples, la limite éventuelle d’une suite.
		
	\end{itemize}
	
	\item[\textbf{Démonstrations}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique.
		
		\item Calcul de $1 + 2 + \dots + n$.
		
		\item Calcul de $1 + q + \dots + q^n$.
		
	\end{itemize}
	
	\item[\textbf{Exemple d'algorithme}]
	
	~
	\begin{itemize}
	
		\item Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.
		
		\item Calcul de factorielle.
		
		\item Liste des premiers termes d’une suite : suites de Syracuse, suite de Fibonacci.
	
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Approfondissements possibles}]
	
	~
	\begin{itemize}
		\item Tour de Hanoï.
		
		\item Somme des $n$ premiers carrés, des $n$ premiers cubes.
		
		\item Remboursement d’un emprunt par annuités constantes.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}

\subsubsection{Équations, fonctions polynômes du second degré}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.
		
		\item Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe.
		
	\end{itemize}
	
	\item[\textbf{Capacités attendues}]

	~
	\begin{itemize}
		
		\item Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.
		
		\item Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.
		
		\item Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies: racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.
		
		\item Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Démonstrations}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Résolution de l’équation du second degré.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Approfondissements possibles}]
		
	~
	\begin{itemize}
		\item Factorisation d’un polynôme du troisième degré admettant une racine et résolution de 		l’équation associée.
		
		\item Factorisation de $x^n - 1$ par $x - 1$, de $x^n - a^n$ par $x - a$.
		
		\item Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme $s$ et leur produit $p$ comme racines de la fonction polynôme $x \mapsto x^2 - sx + p$.
		
	\end{itemize}
		
\end{description}


\subsection{Analyse}

\subsubsection{Objectifs}

Deux points fondamentaux du programme de première sont ici étudiés: le concept de dérivée, avec ses applications à l’étude des fonctions, et la fonction exponentielle.

L’étude de la dérivation distingue le point de vue local (nombre dérivé) et le point de vue global (fonction dérivée). Les fonctions étudiées sont toutes régulières et le nombre dérivé est introduit à partir de la perception intuitive de la limite du taux de variation. On n’en donne
pas de définition formelle, mais on s’appuie sur:

\begin{itemize}
	\item des représentations graphiques fournies par les outils logiciels (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie dynamique);
	
	\item le calcul algébrique du taux de variation dans des cas qui s’y prêtent: fonctions du second degré, fonction inverse;
	
	\item le calcul numérique d’expressions $f(a + h) - f(a)$, où $h$ prend des valeurs proches de $0$, faisant apparaître une approximation linéaire, par exemple avec $a = 1$ et $f$ étant une des fonctions carré, inverse, racine carrée.
	
\end{itemize}

Il est intéressant d’exploiter ces divers registres dans l’étude d’un même nombre dérivé. Taux de variation et nombre dérivé gagnent à être illustrés dans des contextes variés:

\begin{itemize}
	\item en géométrie, ils représentent la pente d’une sécante et la pente d’une tangente;
	
	\item en cinématique, on peut interpréter un taux de variation comme une vitesse moyenne et un nombre dérivé comme une vitesse instantanée;
	
	\item dans un cadre économique, le nombre dérivé est relié au coût marginal.
	
\end{itemize}

Compte tenu de son importance en mathématiques et dans de nombreux champs disciplinaires, et de ses interactions avec le concept de dérivée, le programme prévoit l’étude de la fonction exponentielle. On donnera des exemples d’utilisation dans les autres disciplines (calculs d’intérêts, dilution d’une solution, décroissance radioactive). En liaison avec les suites géométriques, c’est aussi l’occasion de proposer des modélisations discrètes ou continues de phénomènes d’évolution.

Les fonctions trigonométriques font l’objet d’une première approche, d’un point de vue principalement graphique, en lien avec les autres disciplines scientifiques. C’est aussi
l’occasion de rencontrer la notion de fonction périodique, également utile dans les sciences sociales (variations saisonnières).

\medskip
En liaison avec les autres disciplines, on peut signaler et utiliser la notation $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$ pour un taux de variation et $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ pour une dérivée; si $y = f(x)$, on peut ainsi écrire $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)$ , en adaptant selon le contexte: $x = f(t)$, $q = f(t)$...

\subsubsection{Histoire des mathématiques}

Le calcul différentiel s’est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d’origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation).

Le développement d’un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des
petites variations. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d’infiniment petit. Ce n’est que très progressivement que les notions de limites et de différentielles, qui en fondent l’exposé actuel, ont été clarifiées au XIXe siècle.

La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVIIe siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l'équation différentielle $y'= y$ et la condition initiale $y(0) = 1$.

La trigonométrie a été utilisée chez les Anciens dans des problèmes de natures diverses (géométrie, géographie, astronomie). Elle est à l'époque fondée sur la fonction corde, d'un maniement bien moins facile que les fonctions sinus et cosinus de la présentation actuelle.

\subsubsection{Dérivation}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	
	\emph{Point de vue local}
	\begin{itemize}
		
		\item Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
		
		\item Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation.
		
		Notation $f'(a)$.
		
		\item Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme \og limite des sécantes \fg{}. Pente. Équation: la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ est la droite d’équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
		
	\end{itemize}

	
	\emph{Point de vue global}
	\begin{itemize}
		
		\item Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.
		
		\item Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.
		
		\item Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, inverse, quotient, fonction
		dérivée de $x \mapsto g(ax + b)$.
		
		\item Pour $n$ dans $\mathbb{Z}$, fonction dérivée de la fonction $x \mapsto x ^n$.
		
		\item Fonction valeur absolue: courbe représentative, étude de la dérivabilité en $0$.
		
	\end{itemize}

	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante.
		
		\item Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal...
		
		\item Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé.
		
		\item Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.
		
		\item À partir de la définition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée
		de la fonction carré, de la fonction inverse.
		
		\item Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Démonstrations}]
	
	~
	\begin{itemize}
		\item Équation de la tangente en un point à une courbe représentative.
		
		\item La fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$.
		
		\item Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse.
		
		\item Fonction dérivée d’un produit.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Exemple d'algorithme}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}

\subsubsection{Variations et courbes représentatives des fonctions}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée; caractérisation des fonctions constantes.
		
		\item Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums.
		
		\item Résoudre un problème d’optimisation.
		
		\item Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité. Étudier la position relative de deux courbes représentatives.
		
		\item Étudier, en lien avec la dérivation, une fonction polynôme du second degré: variations, extremum, allure selon le signe du coefficient de $x^2$.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Exemple d'algorithme}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}

\subsubsection{Fonction exponentielle}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$. L’existence et l’unicité sont admises. Notation $\exp(x)$.
		
		\item Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$ et $\exp(x) \exp(-x) = 1$. Nombre $\mathrm{e}$.
		
		Notation $\mathrm{e}^{x}$.
		
		\item Pour tout réel $a$, la suite $(\mathrm{e}^{na})$ est une suite géométrique.
		
		\item Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
		
		\item Pour une valeur numérique strictement positive de $k$, représenter graphiquement les fonctions $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ et $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$.
		
		\item Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d’un capital à taux fixe, décroissance radioactive).
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Exemple d’algorithme}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée de $\mathrm{e}$ à l’aide de la suite $\left( \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n \right)$.
		
	\end{itemize}
		
	\item [\textbf{Approfondissements possibles}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Unicité d’une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f’ = f$ et $f(0) = 1$.
		
		\item Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$.
		
		\item La fonction exponentielle est strictement positive et croissante.
		
	\end{itemize}

\end{description}

\subsubsection{Fonctions trigonométriques}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Cercle trigonométrique. Longueur d’arc. Radian.
		
		\item Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
		
		\item Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.
		
		\item Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Courbes représentatives.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Placer un point sur le cercle trigonométrique.
		
		\item Lier la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonométrique.
		
		\item Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.
		
		\item Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de $x$, les cosinus et sinus d’angles associés à $x$.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Démonstration}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Calcul de $\displaystyle \sin \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3}$
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Exemple d’algorithme}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Approximation de $\pi$ par la méthode d’Archimède.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}

\subsection{Géométrie}

\subsubsection{Objectifs}

L’étude de la géométrie plane menée au collège et en seconde a familiarisé les élèves à la géométrie de configuration, au calcul vectoriel et à la géométrie repérée.

En première, on poursuit l’étude de la géométrie plane en introduisant de nouveaux outils. L’enseignement est organisé autour des objectifs suivants:

\begin{itemize}
	
	\item donner de nouveaux outils efficaces en vue de la résolution de problèmes géométriques, du point de vue métrique (produit scalaire);
	
	\item enrichir la géométrie repérée de manière à pouvoir traiter des problèmes faisant intervenir l’orthogonalité.
	
\end{itemize}

Les élèves doivent conserver une pratique du calcul vectoriel en géométrie non repérée.

\subsubsection{Histoire des mathématiques}

La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée mais a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie en étudiant la façon dont la notion de vecteur apparaît chez Leibniz au cours de ses recherches sur l’élaboration d’un calcul des variations. Le XIXe siècle voit l’élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique.

Le calcul vectoriel et le produit scalaire permettent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, sans doute puissante, avec l’avantage de combiner vision géométrique et calcul.

Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre $AB$ comme ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ semble remonter à Thalès. Mais ce n'est qu'au XVIIe siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l'équation d’un cercle en repère orthonormé.

\subsubsection{Calcul vectoriel et produit scalaire}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
		
		\item Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.
		
		\item Développement de $\| \vec u + \vec v\|^2$. Formule d’Al-Kashi.
		
		\item Transformation de l’expression $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		\item Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle,
		une longueur dans le plan ou dans l’espace.
		
		\item En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).
		
		\item Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Démonstrations}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).
		
		\item Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}= 0$ (démonstration avec le produit scalaire).
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Approfondissements possibles}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Loi des sinus.
		
		\item Droite d’Euler d’un triangle.
		
		\item Les médianes d’un triangle concourent au centre de gravité.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}

\subsubsection{Géométrie repérée}

\emph{Dans cette section, le plan est rapporté à un repère orthonormé.}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Vecteur normal à une droite. Le vecteur de coordonnées $(a,b)$ est normal à la droite d’équation $ax + by + c =0$. Le vecteur $(-b,a)$ en est un vecteur directeur.
		
		\item Équation de cercle.
		
		\item Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie,
		sommet.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant un point et un vecteur normal.
		
		\item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite.
		
		\item Déterminer et utiliser l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon.
		
		\item Reconnaître une équation de cercle, déterminer centre et rayon.
		
		\item Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$.
		
		\item Utiliser un repère pour étudier une configuration.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Approfondissements possibles}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Recherche de l’ensemble des points équidistants de l’axe des abscisses et d’un point donné.
		
		\item Déterminer l’intersection d’un cercle ou d’une parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$ avec une droite parallèle à un axe.
		
	\end{itemize}
		
\end{description}

\subsection{Probabilités et statistiques}

\subsubsection{Objectifs}

L’enseignement dispensé en classe de seconde a abordé le modèle probabiliste, dans le cas d’un univers fini. En première, on développe l’étude de ce modèle. L’enseignement s’organise autour des buts suivants:

\begin{itemize}
	\item introduire la notion de probabilité conditionnelle, sous-jacente dans toute modélisation probabiliste, et mettre en évidence la problématique de l’inversion des conditionnements;
	
	\item formaliser la notion d’indépendance;
	
	\item introduire la notion de variable aléatoire, en lien étroit avec les applications des probabilités;
	
	\item introduire les notions d’espérance, de variance et d’écart type d’une variable aléatoire.
	
\end{itemize}

Comme en seconde, on distingue nettement modèle et réalité. Ainsi, une hypothèse d’indépendance fait partie d’un modèle : elle peut être un point de départ théorique ou être la conséquence d’autres hypothèses théoriques. Lorsque le modèle est appliqué à une situation réelle (par exemple, lancer de deux dés physiques), l’indépendance fait partie de la modélisation et résulte de l’analyse de la situation physique.

Les notions de statistique descriptive vues en seconde sont articulées avec le cours de probabilités. Une population statistique peut être étudiée d’un point de vue probabiliste en considérant l’expérience aléatoire de tirage au sort avec équiprobabilité dans la population. Un lien est ainsi fait entre des notions statistiques (sous-population, proportion, moyenne, écart type) et les notions probabilistes analogues (événement, probabilité, espérance, écart type). La notion de fréquence conditionnelle ne fait pas l’objet d’une étude, mais on donne des situations de calcul de probabilité conditionnelle à partir d’un tableau croisé d’effectifs. Les arbres pondérés sont introduits à partir des arbres de dénombrements vus en seconde.

\subsubsection{Histoire des mathématiques}

Les probabilités conditionnelles peuvent être l’objet d’un travail historique en anglais; elles apparaissent en effet dans des travaux de Bayes et de Moivre, écrits en anglais au XVIIIe siècle, même si c’est Laplace qui en a élaboré la notion. Les questions traitées par ces auteurs peuvent parfois surprendre (exemple: quelle est la probabilité que le soleil se lève demain, sachant qu'il s'est levé depuis le commencement du monde ?); néanmoins, les probabilités conditionnelles sont omniprésentes dans la vie courante et leur utilisation inappropriée mène facilement à de fausses affirmations.

L’histoire des probabilités contribue à la réflexion sur la codification d'une théorie scientifique. On peut considérer que les origines du \og calcul des probabilités \fg{} remontent au XVIIe siècle. Pascal, Huygens, Moivre, Bernoulli, Euler, d'Alembert appliquent les notions de variable aléatoire et d'espérance à des problèmes issus de questions liées aux jeux, aux assurances et à l’astronomie.

Ce n’est que vers 1930 que la description actuelle, en termes d’univers, s’est imposée. Elle permet une formalisation souple dans laquelle l'univers joue le rôle de \og source d'aléas \fg{}.

La notion de variable aléatoire, présente sans définition précise depuis l'origine de la discipline, apparaît alors comme une fonction définie sur l'univers.

\subsubsection{Probabilités conditionnelles et indépendance}

\begin{description}
	\item[\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Probabilité conditionnelle d’un événement B sachant un événement $A$ de probabilité non nulle. Notation $P_A (B)$. Indépendance de deux événements.
		
		\item Arbres pondérés et calcul de probabilités: règle du produit, de la somme.
		
		\item Partition de l’univers (systèmes complets d’événements). Formule des probabilités totales.
		
		\item Succession de deux épreuves indépendantes. Représentation par un arbre ou un tableau.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Construire un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée. Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
		
		\item Utiliser un arbre pondéré ou un tableau pour calculer une probabilité.
		
		\item Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs (tirage au sort avec équiprobabilité d’un individu dans une population).
		
		\item Dans des cas simples, calculer une probabilité à l’aide de la formule des probabilités totales.
		
		\item Distinguer en situation $P_A (B)$ et $P_B (A)$, par exemple dans des situations de type \og faux positifs \fg{}.
		
		\item Représenter une répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Exemple d'algorithme}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Méthode de Monte-Carlo : estimation de l’aire sous la parabole, estimation du nombre $\pi$.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Approfondissement possible}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Exemples de succession de plusieurs épreuves indépendantes.
		
		\item Exemples de marches aléatoires.
		
	\end{itemize}

\end{description}

\subsubsection{Variables aléatoires réelles}

\emph{Le programme ne considère que des univers finis et des variables aléatoires réelles.}

L’objectif est simultanément de développer une intuition autour de l’idée de nombre dépendant du hasard et de formaliser la notion mathématique de variable aléatoire comme fonction numérique définie sur un univers, permettant d’affecter des probabilités aux valeurs possibles de la variable.

\begin{description}
	
	\item [\textbf{Contenus}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Variable aléatoire réelle: modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.
		
		\item Loi d’une variable aléatoire.
		
		\item Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire.
		
	\end{itemize}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Interpréter en situation et utiliser les notations $\{X = a\}$, $\{X \leqslant a\}$, $P(X = a)$, $P(X \leqslant a)$. Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
		
		\item Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
		
		\item Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
		
		\item Calculer une espérance, une variance, un écart type.
		
		\item Utiliser la notion d’espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable...).
		
	\end{itemize}

	\item [\textbf{Exemples d'algorithmes}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l‘écart type d’une variable aléatoire.
		
		\item Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais.
		
	\end{itemize}

	\item [\textbf{Approfondissements possibles}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Formule de König-Huygens.
		
		\item Pour $X$ variable aléatoire, étude de la fonction du second degré $x \mapsto E\left((X - x)^2 \right)$.
		
	\end{itemize}

	\item [\textbf{Expérimentation}]
	
	~
	
	Le travail expérimental de simulation d’échantillons prolonge celui entrepris en seconde. L’objectif est de faire percevoir le principe de l’estimation de l’espérance d’une variable aléatoire, ou de la moyenne d’une variable statistique dans une population, par une
	moyenne observée sur un échantillon.
	
	\begin{itemize}
		
		\item Simuler une variable aléatoire avec Python.
		
		\item Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille $n$ d’une variable aléatoire.
		
		\item Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille $n$ d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.
		
		\item Simuler, avec Python ou un tableur, $N$ échantillons de taille $n$ d’une variable aléatoire, d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$. Si $m$ désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre $m$ et $\mu$ est inférieur ou égal à $2 \sigma / \sqrt{n}$.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}


\subsection{Algorithmique et programmation}

La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l’activité mathématique. Au collège, en mathématiques et en technologie, les élèves ont appris à écrire, mettre au point et exécuter un programme simple. La classe de seconde a permis de consolider les acquis du cycle 4 autour de deux idées essentielles:

\begin{itemize}
	\item la notion de fonction;
	
	\item la programmation comme production d’un texte dans un langage informatique.
	
\end{itemize}

L’enseignement de spécialité de mathématiques de classe de première vise la consolidation des notions de variable, d’instruction conditionnelle et de boucle ainsi que l’utilisation des fonctions. La seule notion nouvelle est celle de liste qui trouve naturellement sa place dans de nombreuses parties du programme et aide à la compréhension de notions mathématiques telles que les suites numériques, les tableaux de valeurs, les séries statistiques...

Comme en classe de seconde, les algorithmes peuvent être écrits en langage naturel ou utiliser le langage Python.

Les notions relatives aux types de variables et à l’affectation sont consolidées. Comme en classe de seconde, on utilise le symbole \og $\leftarrow$ \fg{} pour désigner l’affection dans un algorithme écrit en langage naturel.

L’accent est mis sur la programmation modulaire qui permet de découper une tâche complexe en tâches plus simples.

\subsubsection{Histoire des mathématiques}

De nombreux textes témoignent d’une préoccupation algorithmique au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique.

\subsubsection{Notion de liste}

La génération des listes en compréhension et en extension est mise en lien avec la notion d’ensemble. Les conditions apparaissant dans les listes définies en compréhension permettent de travailler la logique. Afin d’éviter des confusions, on se limite aux listes sans présenter d’autres types de collections.

\begin{description}
	
	\item [\textbf{Capacités attendues}]
	
	~
	\begin{itemize}
		
		\item Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).
		
		\item Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer...) et leurs indices.
		
		\item Parcourir une liste.
		
		\item Itérer sur les éléments d’une liste.
		
	\end{itemize}
	
\end{description}

\subsection{Vocabulaire ensembliste et logique}

L’apprentissage des notations mathématiques et de la logique est transversal à tous les chapitres du programme. Aussi, il importe d’y travailler d’abord dans des contextes où ils se présentent naturellement, puis de prévoir des temps où les concepts et types de raisonnement sont étudiés, après avoir été rencontrés plusieurs fois en situation.

Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondants : $\in$, $\subset$, $\cap$, $\cup$ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Ils rencontrent également la notion de couple et celle de produit cartésien de deux ensembles.

Pour le complémentaire d’un sous-ensemble $A$ de $E$, on utilise la notation $\overline{A}$ des probabilités, ou la notation $E \setminus A$.

Les élèves apprennent en situation à:

\begin{itemize}
	\item lire et écrire des propositions contenant les connecteurs logiques \og et \fg{}, \og ou \fg{};
	
	\item mobiliser un contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse;
	
	\item formuler une implication, une équivalence logique, et à les mobiliser dans un raisonnement simple;
	
	\item formuler la réciproque d'une implication;
	
	\item employer les expressions \og condition nécessaire \fg{}, \og condition suffisante \fg{};
	
	\item identifier le statut des égalités (identité, équation) et celui des lettres utilisées (variable, inconnue, paramètre);
	
	\item utiliser les quantificateurs (les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles) et repérer les quantifications implicites dans certaines propositions, particulièrement dans les propositions conditionnelles;
	
	\item formuler la négation de propositions quantifiées.
	
\end{itemize}

Par ailleurs, les élèves produisent des raisonnements par disjonction des cas, par l'absurde, par contraposée, et en découvrent la structure.

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}