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\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

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\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

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\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

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%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
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\end{Form}
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#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques ]{\small Mathématiques }% l left, c center, r right
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\cfoot[\small Puissance 11 2015  - \thepage]{\small Puissance 11 2015 - \thepage}
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%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
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%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Puissance 11 2015.}

\subsection*{\color{purple}Instructions aux candidats.}

L'usage de la calculatrice est interdit ainsi que tout document ou formulaire.

\medskip
L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage, \textbf{seuls les 12 premiers} seront corrigés.

\medskip
Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

\medskip
Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse).

\medskip
Toute réponse exacte rapporte un point.

\medskip
Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point.

\medskip
L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.

\medskip
Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).

\medskip
L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis.
\newpage
\subsection*{\color{purple}Exercice 1: étude de fonction.}

\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de courbe
représentative $(\Gamma)$ dont la fonction dérivée $f'$ a pour
représentation graphique la courbe ci-contre.


On admet que 

$f'(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
2x 				&\text{si} &x \leqslant 1\\ 
\dfrac{1}{x} + 1& \text{si}&x > 1
\end{array}\right.$

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item La courbe $(\Gamma)$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$.
	\item Pour tout $x \in ]- \infty~;~1]$, $f(x) = x^2$.
	\end{enumerate}

\medskip

	On suppose dans le c) et d) que $(\Gamma)$ passe par $\Omega(1~;~1)$.

\medskip
	
	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{2}
	\item Pour tout $x \in  \mathbb{R}$, $f(x) \geqslant 0$.
	\item $f( 2) = \ln 2 + 2$.
	\end{enumerate} }\hfill\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{tikzpicture}
	\draw[ ->,very thick] (-1.5, -0) -- (4.5, 0) node[above left]{$y$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.2) -- (0, 2.5) node[below right]{$x$};
	\draw node[below left](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-1,1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.2:1] plot(\x,{2*\x});
		\draw[dashed](0,1)--(4.5,1);
		\draw[blue,thick][samples=100,domain=1:4.5] plot(\x,{1+(1/\x});
\end{tikzpicture}}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2: Fonction définie par deux paramètres.}

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs fixés et $f$ la fonction définie sur $I = [- a~;~a]$ par
$f(x) = \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ de courbe représentative $(\Gamma)$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Pour tout $x \in I$, $f'(x) = \dfrac{b}{2 \times \sqrt{a^2 - x^2}}$.
	\item Si $a = 6$ et $b = 3$ alors pour tout $x \in I$, $f(x) \geqslant 3$.
	\item Si $a = b = 1$, alors l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ admet deux solutions sur $I$.
	\item Si $a = b$ alors $(\Gamma)$ admet deux tangentes parallèles à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 5$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3: Bases de la géométrie.}

Les questions suivantes sont indépendantes.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.
	
	Si la droite $(D)$ a pour équation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
	x&=&t\\
	y&=&1 + t\\
	z&=&2 + t
	\end{array}\right.$ avec $t$ réel, alors le vecteur $\vec i+\vec j +\vec k$ est un vecteur directeur de $(D)$.
	\item Soit $a > 0$. Si $ABC$ est un triangle équilatéral direct de côté $a$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = \dfrac{a^2}{2}$.
	\end{enumerate}

\medskip

Pour le c) et d), on suppose que le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec u, \vec v)$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{2}
	\item Le nombre $(1 + i)^4$ est un nombre réel négatif.
	\item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z + 4 - 3i| = 5$ est un cercle passant par l'origine du repère.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 4: Questions de logique.}


Agnan, Clotaire, Eudes, Geoffroy et Rufus ne s'entendent pas tous très bien. Pour la fête d'anniversaire qu'organisait le petit Nicolas, ils avaient prévenu :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Clotaire refuserait de venir si Rufus était présent.
	\item Eudes ne viendrait que s'il était accompagné d'Agnan ou de Rufus.
	\item Quant à Geoffroy et Agnan, ils n'iraient nulle part l'un sans l'autre.
	\end{enumerate}

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Si Clotaire n'est pas venu à la fête, alors Rufus était présent.
	\item Si Rufus était absent, alors Clotaire est venu à la fête.
	\item Si Agnan est venu, alors Geoffroy et Eudes aussi.
	\item Si Eudes et Clotaire sont venus, alors Geoffroy était lui aussi présent.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 5: Petite démonstration.}


Soit $f$ la fonction définie sur $D_f = \mathbb{R} \backslash \left\{\frac{1}{2}\right\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{2x - 1}$ de courbe représentative $(\Gamma)$ et $I = \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Pour tout réel $x \in  D_f,$  $f'(x) = \dfrac{2x(1 - x)}{(1 - 2x)^2}$.
	\item $(\Gamma)$ admet deux tangentes parallèles à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = - x + 5$.
	\item Si $x \in I$, la fonction $k \::\: x \longmapsto \ln (f(x))$ admet comme dérivée la fonction $k': \:x \longmapsto  \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{2x - 1}$.
	\item Pour tout $n \in  \mathbb{N}$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $\left\{\begin{array}{l c l}
	u_0&=&3\\
	u_{n+1}&=&\dfrac{u_n^2}{2u_n - 1}
	\end{array}\right.$.
	
	Afin d'étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ on effectue le raisonnement suivant :
	
	\og Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on souhaite démontrer la relation \og $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ \fg.
	
	Si $x \in I$,  alors $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
	
	Supposons que la relation soit vraie à un certain rang $k \in  \mathbb{N}$, c'est-à-dire $u_{k+1} - u_k > 0$.
	
	Par définition de la suite $\left(u_n\right)$ nous avons $u_{k+2} = f\left(u_{k+1}\right)$ et $u_{k+1} = f\left(u_k\right)$ avec $f$ strictement croissante sur $I$ ; donc si $u_{k+1} > u_k$ alors nous pouvons en déduire que $u_{k+2} = f\left(u_{k+1}\right) > u_{k+1} = f\left(u_k\right)$ soit $u_{k+2} > u_{k+1}$ ce qui nous permet de conclure que la relation est vraie au rang $k+ 1$.
	
	Conclusion : la relation est héréditaire et, comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$, nous pouvons en déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ est strictement croissante \fg.
	
	Ce raisonnement est correct.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 6: Calculs de limites.}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{\frac{1}{x}} = 0$.
	\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \text{e}^{- x}}{x} = 1$.
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)  = \dfrac{\text{e}^{x} + 1}{\text{e}^{x} - x  - 1}$. La courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.
	\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n =  \dfrac{\sin (n) - 2n}{n+1}$ converge vers $0$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 7: Calcul intégral.}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item $J = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{2x + 1}{x^2}\:\text{d}x = 3 + \dfrac{1}{\text{e}}$.
	\item $K = \displaystyle\int_1^{2} \dfrac{x}{\left(x^2 +  1\right)^2}\: \text{d}x = \dfrac{3}{20}$.
	\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif, $\displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{x}{1 + x}\:\text{d}x =  \alpha  - \ln (1 + \alpha)$.
	\item Soit $L = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} - x \ln (x)\:\text{d}x$. On a : $\text{e}^2\left(1 - \text{e}^2\right) \leqslant L \leqslant  \dfrac{\text{e}^2}{2}\left(1 - \text{e}^2\right)$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 8: Fonction exponentielle.}

Soit $F_1$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ respectivement par 

\[F_1(x) = \text{e}^{- x} - 2x \quad  \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}( x + 1)}{\text{e}^{- x} + 2}.\]

On désigne par $(C)$ la courbe représentative de la fonction $F_1$ et
par $\left(x_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in  \mathbb{N}$, par $x_0 = 1$ et $x_{n+1} = g\left(x_n\right)$.

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{
	\begin{enumerate}[a)]
	\item L'équation $F_1(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $0 < a < 1$.
	\end{enumerate}

\medskip
	
Dans les questions b), c) et d), on admet la convergence de la suite $\left(x_n\right)$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{1}
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x_n = \alpha$.
	\item Si $a \in  \mathbb{R}$, alors la tangente à $(C)$ en $x = a$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $g(a)$.
	\end{enumerate}

\medskip
On donne le programme Prog ci-contre :

\medskip
	
	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Pour $n = 5$, Prog affiche \np{0,3125} et $0,375$, nous pouvons en déduire que $\np{0,3125} < \alpha < 0,375$.
	\end{enumerate}
} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\footnotesize\begin{tabular}{l l}
1&VARIABLES\\
2&\hspace{0.3cm}$A$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
3&\hspace{0.3cm}$B$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4&\hspace{0.3cm}$I$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
5&\hspace{0.3cm}$F_A$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
6&\hspace{0.3cm}$F_B$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
7&\hspace{0.3cm}$F_I$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
8&DÉBUT\_ALGORITHME\\
9&\hspace{0.3cm}$A$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\
10&\hspace{0.3cm}$B$ PREND\_LA\_VALEUR 1\\
11&\hspace{0.3cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR (A+B)/2\\
12&\hspace{0.3cm}$F_A$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(A)\\
13&\hspace{0.3cm}$F_B$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(B)\\
14&\hspace{0.3cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1$(I)\\
15&\hspace{0.3cm}TANT QUE (abs$(A-B) > 0,1$) FAIRE\\
16&\hspace{0.5cm}DÉBUT TANT QUE\\
17&\hspace{0.5cm}SI $(F_A*F_I > 0)$ ALORS\\
18&\hspace{0.5cm}DEBUT\_SI\\
19&\hspace{0.5cm}$A$ PREND\_LA\_VALEUR $I$\\
20&\hspace{0.5cm}$F_A$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(A)$\\
21&\hspace{0.5cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR $(A+B)/2$\\
22&\hspace{0.5cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(I)$\\
23&\hspace{0.5cm}FIN\_SI\\
24&\hspace{0.5cm}SINON\\
25&\hspace{0.8cm}DÉBUT\_SINON\\
26&\hspace{0.8cm}$B$ PREND\_LA\_VALEUR $I$\\
27&\hspace{0.8cm}$F_B$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(B)$\\
28&\hspace{0.8cm}$I$ PREND\_LA\_VALEUR $(A+B)/2$\\
29&\hspace{0.8cm}$F_I$ PREND\_LA\_VALEUR $F_1(I)$\\
30&\hspace{0.8cm}FIN\_SINON\\
31&\hspace{0.5cm}FIN\_TANT\_QUE\\
32&\hspace{0.3cm}AFFICHER $A$\\
33&\hspace{0.3cm}AFFICHER $B$\\
34&FIN\_ALGORITHME\\
\end{tabular}}

\subsection*{\color{purple}Exercice 9: Fonction exponentielle et logarithme.}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln \left(\text{e}^{2x} - 1 \right)}{\text{e}^x}$, $g$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par
$g(x) = 2x - (x - 1) \times  \ln (x - 1)$ et $\varphi$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 - 1\right)}{x}$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{1}{x - 1}\right).$
	\item $\varphi'(x) =  \dfrac{g\left(x^2\right)}{x^2}$.
	\item $g$ admet un minimum en $x = \text{e} + 1$.
	\end{enumerate}

\medskip

On admet qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$ sur $]\text{e} + 1~;~+ \infty[$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item $f\left(\ln \sqrt{\alpha}\right) = \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 10: Suite et trigonométrie.}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in N$, par $u_n = (- 1)^n + 2 \times \sin \left(\dfrac{\pi}{4}n\right)$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n + 8} > u_n$.
	\item Pour tout entier naturel $n$, on a : $- 3 \leqslant  u_n \leqslant  3$.
	\item La suite $\left(u_n\right)$ est monotone.
	\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 0$.
	\end{enumerate}
	
\subsection*{\color{purple}Exercice 11:  Suite de nombres complexes.}

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec u,\vec v)$ et on considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par : $\left\{\begin{array}{l c l}
z_0& =& 2\\
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + i}{2}z_n 
\end{array}\right.$
 
On pose $A_n$ le point d'affixe $z_n$ et on définit, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \left|z_n\right|$.

\medskip
	\begin{enumerate}[a)]
	\item La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.
	\item Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+1} - z_n}{z_{n+1}} = i$.
	\item À partir du rang $n = 4$, le point $A_n$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $R = \dfrac{1}{2}$.
	\item Pour tout entier naturel $n$, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est isocèle et rectangle.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 12: Géométrie et complexes.}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec u,\vec v)$.

On définit $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_{A} = 1$ et $z_{B} = 2i$ et $T$ la transformation complexe du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{z - 2i}{z}$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item L'image du point d'affixe $\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}$ par la transformation $T$ est le point d'affixe $1 + 2\text{e}^{- i\frac{\pi}{4}}$.
	\item L'ensemble des points $M$ du plan complexe tels que $OM' = 1$ représente la médiatrice du segment $[OB]$.
	\item $M'$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon 1 si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $R = 2$.
	\item $z'$ est un nombre complexe imaginaire pur si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[OB]$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 13: Variables aléatoires réelles : Cours - Calculs.}

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 1$.

\medskip
	
	\begin{enumerate}[a)]
	\item Pour tout entier naturel $n$, on a : $P(X > n) = \dfrac{1}{\text{e}^n}$.
	\item Pour tout entier naturel $n$, on a : $P_{X>n}(X > n + 1) = P(X < 1)$.
	\end{enumerate}

\medskip

Soit $\sigma > 0$,  $Y$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(9~;~\sigma^2\right)$ et $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - 9}{\sigma}$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{2}
	\item $Z$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$.
	\item $P(7 \leqslant Y \leqslant 11) = 2P\left(0 \leqslant Z \leqslant \dfrac{2}{\sigma}\right)$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 14: Probabilités conditionnelles.}

Un acteur est sujet à des trous de mémoire.

S'il relit son texte avant d'entrer en scène, la probabilité qu'il ait un trou de mémoire pendant la représentation vaut $\dfrac{1}{9}$, tandis que s'il ne relit pas son texte, cette probabilité vaut $\dfrac{1}{3}$.

S'il a eu un trou de mémoire au cours d'une représentation, il relit forcément son texte avant la représentation suivante ; mais s'il n'a pas eu de trou de mémoire, il ne relit son texte qu'avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$.

On suppose que l'acteur a relu son texte le soir de la première représentation.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item La probabilité qu'il ait eu un trou de mémoire lors de la première et de la deuxième représentation est de $\dfrac{1}{9}$.
	\item La probabilité qu'il ait eu un trou de mémoire à la deuxième représentation est de $\dfrac{25}{81}$.
	\item Sachant qu'il n'a pas eu de trou de mémoire le soir de la première, la probabilité qu'il n'en ait pas eu non plus à la deuxième représentation est de $\dfrac{7}{9}$.
	\end{enumerate}

\medskip

On note $p_n$ ($n$ étant un entier naturel non nul) la probabilité de l'événement \og l'acteur a eu un trou de mémoire lors de la $n$-ième représentation \fg.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, \: $p_{n+1} = \dfrac{2 - p_n}{9}$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 15: Logique et géométrie dans l'espace.}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(0; \vec i, \vec j, \vec k)$ et $m$ et $p$ sont deux réels.

On définit le plan $(P)$ ayant pour équation cartésienne $x - y + 2z - 3 = 0$ et $(\Delta)$ la droite passant par le point A de coordonnées $(2~;~p~;~1)$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}- 1\\m\\1\end{pmatrix}$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Il existe au moins un réel $m$ tel que $(\Delta)$ soit parallèle à $(P)$.
	\item Si $m = 1$, alors il existe au moins un réel $p$ tel que $(\Delta) \cap (P) = \emptyset$.
	\item Si $m \ne 1$, alors pour tout réel $p$, $(\Delta) \cap (P) \ne \emptyset$.
	\item Si $p = 1$, alors pour tout réel $m$,\: $(\Delta) \cap (P) = \{\text{A}\}$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 16: Orthogonalité dans l'espace.}

$SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée $ABCD$.

Le point $O$ est le centre du carré $ABCD$, $J$ est le milieu du segment $[SO]$, $F$ est le milieu du segment $[BC]$ et $K$ est le point défini par $\overrightarrow{SK} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{SD}$.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{
	\begin{enumerate}[a)]
	\item $\overrightarrow{BK} = - \overrightarrow{SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{SD}$ et $\overrightarrow{BJ} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{SB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{SD}$.
	\item $B$, $K$ et $J$ sont alignés.
	\item Les plans $(BJC)$ et $(SAD)$ sont sécants suivant une droite $(\Delta)$ orthogonale à la droite $(SF)$.
	\end{enumerate}

\medskip

Pour le d) on suppose que $BD = SO$ et on se place dans le repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OJ}\right)$.

\medskip
	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item La droite $(KJ)$ coupe le plan $(P)$ d'équation cartésienne $2x + 3y - z + 4 = 0$ au point $\Omega$ de coordonnées $(- 1~;~0~;~2)$.
	\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{0.54\linewidth}{
\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}}



\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
			-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
			-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
			-- (2,0) 
			--(-0.5,0)
			-- cycle;		
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
