%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écritur décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}


\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=formname,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!15, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques ]{\small Mathématiques }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small Puissance 11 2014 - \thepage]{\small Puissance 11 2014 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicesdumanuel}
\exclure{exercicecorrection}
\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Puissance 11 2014.}

\subsection{\color{purple}Instructions aux candidats.}

L'usage de la calculatrice est interdit ainsi que tout document ou formulaire.

\medskip
L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage, \textbf{seuls les 12 premiers} seront corrigés.

\medskip
Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

\medskip
Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse).

\medskip
Toute réponse exacte rapporte un point.

\medskip
Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point.

\medskip
L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.

\medskip
Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).

\medskip
L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis.

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 1 : Bases en Analyse.}
 
Les questions sont indépendantes.
 
\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item Soit $x \in \mathbb{R}$, la dérivée de $x \longmapsto \dfrac{x}{\text{e}^x}$ est $x \longmapsto \dfrac{x - 1}{\text{e}^x}$. 
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = \dfrac{x}{\text{e}^x} = + \infty$. 
	\end{enumerate}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ telle que, pour tout $x > 0 : \: \dfrac{1}{x} \leqslant  f(x) \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x}$. 

\medskip
	
	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{2}
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
	\end{enumerate}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_{n} = \ln \left(\dfrac{1}{n}\right)$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $0$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 2: Bases en Géométrie.}

Les questions sont indépendantes. 

Soit $(P)$ et $(Q)$ les plans d'équations respectives 

\[(P) :\: 2x + y + z = 2 \quad \text{et} \quad  (Q) :\: x + y - z = 0.\]

	\begin{enumerate}[a)]
	\item L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ a pour équation $x + 2z = 2$.
	\end{enumerate}

\medskip

Soit $(D)$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t+3\\
y&=& - t - 1\\   
z&=&2 
\end{array}\right. \text{avec}\: t \in \mathbb{R}.$

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{1}
	\item $(D)$ est perpendiculaire au plan $(R)$ d'équation $x - y + 2z = 0$.
	\item Sur le graphique ci-dessous, nous avons tracé les courbes représentatives des fonctions $f$ :\: $x \longmapsto x$ et $g$ :\: $x \longmapsto (x - 2)^2$. 
	
	L'aire $A$ du domaine hachuré est égale à $A = \dfrac{9}{2}$ unités d'aire. 
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\draw[step=1cm, gray] (0,0) grid (5,5);
	\draw[ ->,very thick] (0,0) -- (5, 0);
	\draw[ ->,very thick] (0,0) -- (0, 5);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm)node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {1, 2, 3, 4,5}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y)node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
		\draw[blue, thick][samples=20,domain=0:4.236067977] plot(\x,{(\x -2)*(\x-2)});
		\draw[gray][samples=20,domain=0:5] plot(\x,{\x});
		\filldraw[draw=black,fill=gray!20]
		plot [smooth,domain=1:4] (\x,\x)
		-- plot [smooth,domain=4:1] (\x,{(\x -2)*(\x-2)})
		-- cycle;
\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]1~;~+ \infty[$  par $f(x) = \ln \left(\dfrac{2x^2 - x + 3}{x - 1}\right)$  admet une asymptote horizontale d'équation $y = \ln 2$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 3: Lecture graphique.} 
 
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $[-3~;~5]$ de courbe représentative $(C)$. On donne ci-dessous la courbe $(\Gamma)$ représentative de sa fonction dérivée $f'$. 

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5.5,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray] (A) grid (B);
	\draw[ ->,very thick] (-4,0) -- (5.5, 0);
	\draw[ ->,very thick] (0, -2.5) -- (0, 2.5);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1, 2, 3, 4, 5}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\draw(-3,-1) node{\Large $\times$};
		\draw(-1.5,1) node{\Large $\times$};
		\draw(2,1) node{\Large $\times$};
		\draw(3,0) node{\Large $\times$};
		\draw(4,-1.5) node{\Large $\times$};	
		\draw(2.5,1.5) node{$(\Gamma)$};
\end{tikzpicture}

\end{center}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item $(C)$ admet une tangente horizontale en $x = 0$.
	\item $f$ admet un minimum relatif en $x = - 2$.
	\item La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~5]$.
	\item Les tangentes à $(C)$ aux points d'abscisses $- \dfrac{3}{2}$ et $2$ sont parallèles.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 4: Suite définie par un algorithme.} 

\noindent \parbox{0.3\linewidth}{Soit $n \in \mathbb{N}$, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ est le réel affiché par l'algorithme ci-contre lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item  $u_{3} = 11$.
	\item Pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = u_{n} + 2n + 1$.
	\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
	\item Pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = n^2 + 2.$
	\end{enumerate}

} \parbox{0.56\linewidth}{\noindent \begin{tabular}{|l l|}\hline 
1 &VARIABLES\\ 
2 &\hspace{0.2cm} $u$ EST DU TYPE NOMBRE \\
3 &\hspace{0.2cm} $n$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
4 &\hspace{0.2cm} $k$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
5 &DÉBUT ALGORITHME \\
6 &\hspace{0.2cm} LIRE $n$\\ 
7 &\hspace{0.2cm} $u$ PREND LA VALEUR 2\\ 
8 &\hspace{0.2cm} $k$ PREND LA VALEUR 0\\ 
9 &TANT OUE $(k < n)$ FAIRE\\ 
10 &\hspace{0.4cm} DEBUT TANT OUE\\ 
11 &\hspace{0.4cm} $k$ PREND LA VALEUR $k+1$\\ 
12 &\hspace{0.4cm} $u$ PREND LA VALEUR $u + 2 \star (k - 1) + 1$\\ 
13 &\hspace{0.4cm} FIN TANT OUE\\ 
14 &AFFICHER $u$\\ 
15 &FIN ALGORITHME\\ \hline
\end{tabular}} 

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 5: Bases sur les complexes.} 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O,\vec u,\vec v)$.

On considère les nombres complexes $z_{1} = \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right) + i\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right)$ et $z_{2} =  \dfrac{1 + i}{\sqrt{3} + i}$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item $z_{1}^2 = 8\sqrt{3} + 8i$.
	\item $\left|z_{2}\right| = \sqrt{2}$.
	\item $\text{arg}\left(z_{1}^2\right) = \dfrac{5\pi} {6} \quad [2\pi]$.
	\item $z_{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \text{e}^{i\frac{\pi}{2}}$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 6: Bases de logique.} 

Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct $(O,\vec u, \vec v)$. $x$ et $y$ sont deux nombres réels et $z$ est le nombre complexe $x + iy$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\item La négation de la proposition : \og $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ \fg{} est la proposition \og $x < 0$ et $y < 0$ \fg.
	\item Si $x = y$ alors arg$(z) = \frac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$
	\item La réciproque de la proposition précédente est vraie. 
	\item On suppose $z \neq 0$. Si $z = \dfrac{1}{z}$, alors $x = 0$ ou $y = 0$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 7: Calculs de limites.} 

	\begin{enumerate}[a)]
	\item La fonction $x \longmapsto  x \times \sin (x)$ n'a pas de limite lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\cos (x) + 2}{\cos (x) + x}= 1$. 
	\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\text{e}^x + 3x}{x + 1} = 0$.
	\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1 + x)}{x^2} = 1$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 8: Calculs d'intégrales.}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item $\displaystyle\int_{2}^4 \dfrac{3}{x^2}\:\text{d}x = \dfrac{5}{4}$.
	\end{enumerate}
	
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 2x}$.

\medskip

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{1}
	\item La fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = 1 + \dfrac{\ln \left(x^2 + 2x\right)}{2}$	est une primitive de $f$. 
	\item $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{1 + t}{t^2}\:\text{d}t = 2 - \dfrac{1}{\text{e}}$.
	\item $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\text{e}^x - x \text{e}^x}{\text{e}^{2x}} = \dfrac{1}{\text{e}}$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 9: Transformation complexe.} 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O,\vec u, \vec v)$. Soit $f$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe \[z' = (1 + i)z + 1.\]

	\begin{enumerate}[a)]
	\item L'image, par $f$, du point $B$ d'affixe 2 est le point $C$ d'affixe $3 + 2i$.
	\item Le point $A$ d'affixe $i$ est le seul point invariant par $f$.
	\item L'image, par $f$, de l'axe des réels est la droite $(BC)$.
	\item Soit $D$ le point d'affixe 1. Pour tout point $M$ distinct de $A$ et de $D$, le triangle $DMM'$ est isocèle en $M$.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 10: Loi normale.}

\begin{sujet}

Dans tout l'exercice, on suppose $T$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$ avec $\mu$ et $\sigma$ deux entiers naturels.
 
La densité de probabilité de cette loi, notée $f$, est représentée ci-dessous par la courbe $(\mathcal{C})$.
 
On suppose que $(\mathcal{C})$ admet la droite $x = 5$ comme axe de symétrie et que l'aire du domaine $A_{1}$ (représenté en gris) est environ égale à $0,68$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\coordinate (A) at (-2,-0.5);
	\coordinate (B) at (12,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray] (A) grid (B);
	\draw[ ->,very thick] (-2, -0) -- (12, 0);
	\draw[ ->,very thick] (0, -0.5) -- (0, 2.5);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-2,-1,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in { 1, 2}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $0,\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:12] plot(\x,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(\x -5)*(\x -5)/(2*2))});
	\draw[blue] (9,1.5) node[fill=white](A) {$(\mathcal{C})$};
	\coordinate (C) at (3,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(3 -5)*(3 -5)/(2*2))});
	\coordinate (D) at (7,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(7 -5)*(7 -5)/(2*2))});
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (C)
			-- plot [domain=3:7] (\x,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(\x -5)*(\x -5)/(2*2))})
			-- (D)
			-- (7,0) 
			--(3,0)
			-- cycle;
	\draw[very thick] (5,0)--(5,2.5);
	\draw(6,1)node[fill=white]{$A_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	$\mu = 5$ et $\sigma = 4$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse: faux.
	
	\medskip
	Si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(\mu , \sigma ^2)$ alors $P(X\in [\mu -\sigma , \mu +\sigma ])\approx 0,683$. Ainsi $\sigma= 5-3=7-5$.
	
	Nous pouvions également utiliser le fait que les points d'inflexion de la fonction de distribution pour la loi normale sont obtenus en $\mu+\sigma$ et $\mu -\sigma$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	L'aire du domaine $A_{2}$, représenté ci-dessous, est environ égale à $0,8$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\coordinate (A) at (-2,-0.5);
	\coordinate (B) at (12,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray] (A) grid (B);
	\draw[ ->,very thick] (-2, -0) -- (12, 0);
	\draw[ ->,very thick] (0, -0.5) -- (0, 2.5);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-2,-1,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in { 1, 2}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $0,\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:12] plot(\x,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(\x -5)*(\x -5)/(2*2))});
	\draw[blue] (9,1.5) node[fill=white](A) {$(\mathcal{C})$};
	\coordinate (C) at (1,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(1 -5)*(1 -5)/(2*2))});
	\coordinate (D) at (9,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(9 -5)*(9 -5)/(2*2))});
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (C)
			-- plot [domain=1:9] (\x,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(\x -5)*(\x -5)/(2*2))})
			-- (D)
			-- (9,0) 
			--(1,0)
			-- cycle;
	\draw[very thick] (5,0)--(5,2.5);
	\draw(6,1)node[fill=white]{$A_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse: faux.
	
	\medskip
	Si $X\hookrightarrow \mathcal{N}(\mu , \sigma ^2)$ alors $P(X\in [\mu -2\sigma , \mu +2\sigma ])\approx 0,954$.
		
	\end{correction}

	\item \begin{sujet}
	
	L'aire du domaine $A_{3}$ représenté ci-dessous, est environ égale à $0,135$. 
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\coordinate (A) at (-2,-0.5);
	\coordinate (B) at (12,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray] (A) grid (B);
	\draw[ ->,very thick] (-2, -0) -- (12, 0);
	\draw[ ->,very thick] (0, -0.5) -- (0, 2.5);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-2,-1,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in { 1, 2}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $0,\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:12] plot(\x,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(\x -5)*(\x -5)/(2*2))});
	\draw[blue] (9,1.5) node[fill=white](A) {$(\mathcal{C})$};
	\coordinate (C) at (7,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(7 -5)*(7 -5)/(2*2))});
	\coordinate (D) at (9,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(9 -5)*(9 -5)/(2*2))});
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (C)
			-- plot [domain=7:9] (\x,{10*(1/(2*sqrt(2*pi)))*exp(-0.5*(\x -5)*(\x -5)/(2*2))})
			-- (D)
			-- (9,0) 
			--(7,0)
			-- cycle;
	\draw[very thick] (5,0)--(5,2.5);
	\draw(7.5,0.4)node{$A_3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse:
		
	\end{correction}

	\end{enumerate}

\begin{sujet}

\medskip

On admet, dans cette question, que $P(T \in  [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]) \approx 0,95$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item \begin{sujet}
	
	$P(T \leqslant 9) \approx 0,975$. 
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 11: Nombres complexes et géométrie.}

\begin{sujet}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$.
 
À chaque point $M$ d'affixe $z \neq 0$, on associe l'unique point $M'$ d'affixe $z'$ tel que, \[z' = \left(\dfrac{\overline{z}}{|z|}\right)^2.\]

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	 En posant $z = x + iy$,avec $x \neq 0$ ou $ y \neq 0$, et $z'= x'+ iy'$, on a : $x'= \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ et $y' = \dfrac{2xy}{x^2 + y^2}$.
	 
	 \end{sujet}
	 
	 \item \begin{sujet}
	 
	 $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $M$ appartient à la droite d'équation $y = x$ privée de $O$.
	 
	 \end{sujet}
	 
	 \item \begin{sujet}
	 
	 $M'$ est un point du cercle trigonométrique.
	 
	 \end{sujet}
	 
	 \item \begin{sujet}
	 
	 $M'$ a pour affixe $- 1$ si et seulement si $z = i$ ou $z = - i$.
	 
	 \end{sujet}
	 
	 \end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 12: Étude d'une fonction logarithme.} 

\begin{sujet}
  
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)\] de courbe représentative $(\mathcal{C})$. 

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$(\mathcal{C})$ admet une unique asymptote verticale.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Pour tout $x \in  \mathbb{R},\: f(x) \geqslant \ln \left(\dfrac{3}{4}\right)$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Il existe deux points de $(\mathcal{C})$ ayant une tangente à $(\mathcal{C})$ parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - \ln 7$. 
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 13: Étude d'une fonction exponentielle.} 

\begin{sujet}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 2x$. 

On désigne par $\left(C_f\right)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	Pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 2\right)$. 
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	 Pour tout réel $x$, on a : $f( x) > \dfrac{3}{2}$. 
	 
	 \end{sujet}
	 
	 \item \begin{sujet}
	 
	 $\left(C_f\right)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+ \infty$.
	 
	 \end{sujet}
	 
	\item \begin{sujet}
	
	$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 14: Probabilités conditionnelles.}

\begin{sujet}
  
Un joueur effectue des parties successives d'un jeu vidéo. 

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item La probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,2$.
	\item S'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,7$.
	\item S'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,5$.
	\end{enumerate}

\medskip
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note : 
	\begin{enumerate}[a$\bullet$]
	\item $G_{n}$ l'événement : \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg ;
	\item $p_{n}$ la probabilité de l'événement $G_{n}$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	$p_{2} = 0,54$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le joueur gagne la deuxième partie. La probabilité qu'il ait perdu la première est $0,6$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{2}$.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}
 
Pour le d), on donne l'algorithme ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline 
1&Variables	\\
2&\hspace{0,5cm}$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\
3&\hspace{0,5cm}$p$ EST DU TYPE NOMBRE\\
4&\hspace{0,5cm}$i$ EST DU TYPE NOMBRE\\			
5&DÉBUT ALGORITHME\\			
6&\hspace{0,5cm}LIRE $n$\\
7&\hspace{0,5cm}$p$ PREND LA VALEUR 0,2\\ 
8&\hspace{0,5cm}POUR $i$ ALLANT DE $2$ À $n$\\
9&\hspace{1cm}DÉBUT POUR\\
10&\hspace{1cm}$p$ PREND LA VALEUR $0,2 \star p + 0,5$\\
11&\hspace{1cm}FIN POUR\\
12&\hspace{0,5cm}AFFICHER $p$\\
13&FIN ALGORITHME\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\setcounter{enumi}{3}
	\item \begin{sujet}
	
	Si on teste le programme pour $n = 5$ alors cet algorithme restitue la probabilité que le joueur gagne la cinquième partie.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 15: Différentes lois de probabilités.}

\begin{sujet}

Les quatre questions sont indépendantes.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $t > 0$. Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0~;~t]$ telle que $p(X < 5) = 0,4$ alors $t = 20$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
$n \in \mathbb{N}^*$. Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n~;~0,3)$ d'espérance $12$, alors $n = 40$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-3}$, alors $\text{E}(X) = \np{5000}$. 
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère $A$ et $B$ deux évènements d'une même expérience aléatoire tels que $p(A) \neq 0$ et $p(B) \neq 0$. Si $P_{B}(A) = P_{A}(B)$, alors $p(A)= p(B)$.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice \no 16: Repérage dans un cube.}

\begin{sujet}

Dans le cube $ABCDEFGH$, d'arête de longueur 1, on considère le repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right)$.

\parbox{0.4\linewidth}{

On rappelle que :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Le plan médiateur d'un segment est le plan passant par le milieu de ce segment tout en lui étant perpendiculaire.
	\item Si $M$ est un point de l'espace et $(P)$ un plan de l'espace, on appelle distance du point $M$ au plan $(P)$ la plus petite distance $d$ entre le point $M$ et un point $H$ du plan $(P)$.
	\end{enumerate}

}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (4,-1);
		\coordinate (C) at (6,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (E) at (0,4);
		\coordinate (F) at (4,3);
		\coordinate (G) at (6,5);
		\coordinate (H) at (2,6);
		\draw (3.3333,2.66666)node {$\bullet$};
		\draw (3.3333,2.66666)node[above]{$I$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above left]{$D$};
		\draw (E)node[above]{$E$};
		\draw (F)node[above]{$F$};
		\draw (G)node[above right]{$G$};
		\draw (H)node[above]{$H$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(G)--(H)--(E)--(F)--(G);
		\draw[blue, thick](A)--(E);
		\draw[blue, thick](B)--(F);
		\draw[blue, thick](E)--(B)--(G)--(E);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(F);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(H);
\end{tikzpicture}
}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[a)]
	\item \begin{sujet}
	
	$(GDF)$ est le plan médiateur du segment $[EB]$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Le plan $(BEG)$ a pour équation : $x - y + z = 1$.
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	$I\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$ est le point d'intersection de la droite $(DF)$ avec le plan $(BEG)$. 
	
	\end{sujet}
	
	\item \begin{sujet}
	
	La distance du point $D$ au plan $(BEG)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
	
	\end{sujet}
	
	\end{enumerate}


\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
			-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
			-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
			-- (2,0) 
			--(-0.5,0)
			-- cycle;		
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
