%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/olympiades_mathematiques_de_premiere.html}{Olympiades mathématiques de première 2019. Sujet national.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Olympiades mathématiques de première 2019. Sujet national.}

\subsection{Exercice pour tous les candidats.}

\begin{sujet}
	
	On dit qu'un triangle est un triangle entier si les longueurs de ses $3$ côtés sont des entiers naturels non nuls.
	
	On rappelle la propriété dite de l'\og inégalité triangulaire\fg{}, caractéristique de tout triangle non aplati: la longueur de chacun des côtés est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Parmi les triplets $(x,y,z)$ suivants, indiquer lequel représente les longueurs des côtés d'un triangle entier non aplati, puis comment tracer ce triangle et avec quels outils: \[ (4,4,5); \quad (3,6,9); \quad (2,2,6). \]
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les valeurs possibles de l'entier $z$ si $15,19,z)$ désigne les trois côtés d'un triangle non aplati rangés dans l'ordre croissant (soit: $z \geqslant 19$)?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Étant donné trois entiers naturels non nuls $x$, $y$ et $z$ tels que $x \leqslant y \leqslant z$, pourquoi suffit-il d'ajouter une seule condition (à préciser) pour que le triplet $(x,y,z)$ désigne les longueurs des côtés d'un triangle non aplati?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $p$ un entier naturel non nul. On note $E_p$ l'ensemble des triplets d'entiers naturels \emph{rangés par ordre croissant} $x \leqslant y \leqslant z$ et désignant les côtés d'un triangle entier non aplati dont le périmètre est égale à $p$.
		
		Ainsi obtiendrait-on $E_9= \left\{ (1,4,4),(2,3,4),(3,3,3) \right\}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si le triplet $(x,y,z)$ appartient à $E_{18}$, quelles sont les valeurs maximale et minimale	 pour $z$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la composition de $E_{18}$ et représenter dans un repère orthonormé l'ensemble des points de coordonnées $(x,y)$ pour lesquels il existe un entier naturel $z$ tel que $(x,y,z)\in E_{18}$. Vérifier que ces points se situent à l'intérieur ou sur les bords d'un triangle dont les sommets ont des coordonnées entières.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que si $(x,y,z)\in E_p$ alors $(x+1,y+1,z+1) \in E_{p+3}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $(x,y,z) \in E_{p+3}$. Déterminer une condition sur $x$, $y$ et $z$ pour que $(x-1,y-1,z-1) \in E_p$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que si $p$ est impair alors $E_p$ et $E_{p+3}$ ont le même nombre d'éléments.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étude de $E_{\np{2019}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$E_{\np{2019}}$ contient-il un triplet $(x,y,z)$ correspondant à un triangle équilatéral?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			$E_{\np{2019}}$ contient-il un triplet $(x,y,z)$ correspondant à des triangles isocèles non équilatéraux? Si oui combien?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si $E_{\np{2019}}$ contient un triplet $(x,y,z)$ correspondant à un triangle rectangle alors $\np{2019}^2 = \np{4038} (x+y)-2xy$.
			
			En déduire que $E_{\np{2019}}$ ne contient pas de triangle rectangle.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question on se propose de dénombrer $E_{\np{2019}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $x \in E_{\np{2022}}$. On rappelle que $x \leqslant y \leqslant z$. Établir que $x+y \geqslant \np{1012}$ et $x+2y \leqslant \np{2022}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Réciproquement, montrer que si $x \leqslant y$, $x+y \geqslant  \np{1012}$ et $x+2y \leqslant \np{2022}$ alors $(x,y, \np{2022}-x-y) \in E_{\np{2022}}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Pourquoi, dans un repère orthonormé, l'ensemble des points à coordonnées entières positives $(x,y)$ telles que $x \leqslant y$, $x+y \geqslant \np{1012}$ et $x+2y \leqslant \np{2022}$ constitue-t-il l'ensemble des points à coordonnées entières d'un triangle  qui es rectangle? En déterminer l'aire $\mathscr{A}$ ainsi que le nombre de points à coordonnées entières situés sur ses côtés.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On admet le théorème de Pick: \og Si polygone $\mathbf{P}$ est tel que tous ses sommets sont à coordonnées entières dans un repère orthonormé alors son aire $\mathscr{A}$ est donné par la formule $\mathscr{A}= i+\frac{j}{2}-1$ où $i$ désigne le nombre de points à coordonnées entières situés à l'intérieur de $\mathbb{P}$ et $j$ est le nombre de ceux situés sur les côtés de $\mathbf{P}$. \fg{}
			
			En déduire le nombre de triplets de $E_{\np{2022}}$ puis celui de $E_{\np{2019}}$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une solution algorithmique.
		
		De manière générale, concevoir un programme (à retranscrire sur la copie) permettant d'énumérer et de dénombrer $E_p$. Le tester sur $E_{18}$ et sur $E_{\np{2019}}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice pour la série S.}
	
\begin{sujet}
	
	On note $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement $2$ diviseurs entiers naturels distincts: $1$ et lui-même. Par exemple: $2$, $3$ et $5$ sont premiers alors que $0$, $1$ et $6$ ne le sont pas. On rappelle le théorème de décomposition \emph{en produit de facteurs premiers}:
	
	pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, il existe un unique entier naturel $k$, une unique liste de nombres premiers distincts rangés dans l'ordre croissant $(p_1,p_2,p_3, \dots ,p_k)$ et une liste d'entiers naturels non nuls $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots , \alpha_k)$ tels que: \[ n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}. \]
	
	On écrit, par exemple, $72=2^3 \times 3^3$ (ici $k=2$), ou $32=2^5$ (dans ce dernier exemple $k=1$). La décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre premier $p$ s'écrit simplement $p=p^1$.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Une fonction agissant sur l'ensemble des nombres entiers naturels.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite si possible déterminer une fonction $\Delta: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ possédant les propriétés suivantes:
	
	\begin{enumerate}[\text{Propriété }(1): ]
		\item $\Delta (0)= \Delta(1)=1$;
		\item Pour tout nombre premier $p$, $\Delta(p)=1$;
		\item Pour tous entiers $a$ et $b$: $\Delta(a \times b)=\Delta(a)\times b +a \times \Delta(b)$.
	\end{enumerate}
	
	\medskip
	On suppose en questions 1, 2 et 3 qu'une telle fonction $\Delta$ existe.
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
			
			Soit $p$ un nombre premier. Les propriétés précédentes permettent-elles d'exprimer $\Delta(p^2)$? $\Delta(p^3)$? Un entier naturel $n$ étant donné, quelle est l'image par $\Delta$ de $p^n$?
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				\Delta(p^2) &= \Delta(p \times p)\\
				\intertext{D'après (3):}
				\Delta(p^2) &= \Delta(p) \times p+ p \times \Delta(p)\\
				\intertext{D'après (2):}
				\Delta(p^2) &= 1 \times p + p \times 1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\Delta(p^2)=2p$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\Delta(p^3) &= \Delta(p^2 \times p)\\
				&= \Delta(p^2) \times p + p^2 \times \Delta(p)\\
				\intertext{De ce qui précède nous déduisons et de (2):}
				\Delta(p^3) &= 2p \times p + p^2 \times 1\\
				&= 2p^2+p^2
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\Delta(p^3) =3p^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			Soit $p$ un nombre premier.
			
			Notons $\mathscr{P}(n)$: \og $\Delta(p^n)= np^{n-1}$\fg{} pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence que $\mathscr{P}(n)$ est vraie pour tout $n$ entier naturel non nul.}
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item {\color{orange}Initialisation.}
				
				$\Delta(p^1)= \Delta(p)=1=1 \times p^0$. $\mathscr{P}(0)$ est vraie.
				
				\item Soit n$\in \mathbb{N}^*$. Supposons que $\mathscr{P}(n)$ est vraie et démontrons que $\mathscr{P}(n+1)$ est alors nécessairement vraie.
				
				\begin{align*}
					\Delta(p^{n+1}) &= \Delta(p^n \times p)\\
					\intertext{Daprès (3):}
					\Delta(p^{n+1}) &= \Delta(p^n) \times p + p^n \times \Delta(p)\\
					\intertext{D'après l'hypothèse de récurrence et (2):}
					\Delta(p^{n+1}) &= np^{n-1} \times p + p^n \times 1\\
					&= np^n+p^n\\
					&= (n+1)p^n
				\end{align*}
				
				Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vraie.
				
			\end{enumerate}
			
			Nous avons démontré que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \Delta(p^{n})= np^{n-1}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $p$ et $q$ des nombres premiers distincts, $m$ et $n$ des entiers naturels supérieurs ou égaux à $1$. Les propriétés précédentes permettent-elles d'exprimer $\Delta(p^m \times q^n)$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				\intertext{Daprès (3):}
				\Delta(p^m \times q^n) &= \Delta(p^m) \times q^n + p^m \times \Delta(q^n)\\
				\intertext{D'après la question précédnte:}
				\Delta(p^m \times q^n) &= mp^{m-1} \times q^n + p^m \times nq^{n-1}\\
				&= m {\color{orange}p^{m-1} \times q^{n-1}} \times q + n  p \times {\color{orange}p^{m-1} \times q^{n-1}}\\
				&= {\color{orange}p^{m-1} \times q^{n-1}} \left( mq + np \right)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\Delta(p^m \times p^n) = p^{m-1}q^{n-1} \left( mq + np \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le nombre $\Delta(10^n)$ est-il un multiple de $7$ pour $n \geqslant 1$?
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			\begin{align*}
				\Delta(10^n) &= \Delta(2^n \times 5^n)
				\intertext{D'après la question précédente:}
				\Delta(10^n) &= 2^{n-1} \times 5^{n-1} \left( n \times 5 + n \times 2\right)\\
				&= n10^{n-1}(2+5)\\
				&=n10^{n-1} \times 7
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(10^n)$ est un multiple de $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À tout nombre entier $n \geqslant 2$, dont la décomposition en produit de facteurs premiers s'écrit: \[ n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}, \] on associe les quotients $q_1$ de $n$ par $p_1$, $q_2$ de $n$ par $p_2$, $\dots$, $q_k$ quotient de $n$ par $p_k$. Montrer qu'alors: \[ \Delta(n)= \alpha_1 \times q_1 + \alpha_2 \times q_2+ \alpha_3 \times q_3 + \dots +\alpha_k \times q_k. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			&\Delta \left( p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)\\
			&= \Delta(p_1^{\alpha_1}) \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} + p_1^{\alpha_1} \times \Delta \left( p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)\\
			&= \alpha_1 p_1^{\alpha_1-1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} + p_1^{\alpha_1} \times \Delta \left( p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)\\
			&= \alpha_1q_1 + p_1^{\alpha_1} \times \Delta \left( p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)
		\end{align*}
		
		De même, en réitérant:		
		\begin{align*}
			&p_1^{\alpha_1} \times \Delta \left( p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)\\
			&= p_1^{\alpha_1} \times  \left[ \Delta( p_2^{\alpha_2}) \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} + p_2^{\alpha_2} \times \Delta \left( p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right) \right]\\
			&=\alpha_2 p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2-1} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} +p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\times \Delta \left( p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right) 
		\end{align*}
		
		Donc:
		\begin{align*}
			&\Delta \left( p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)\\
			&= \alpha_1 q_1 + \alpha_2 q_2 + p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\times \Delta \left( p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \right)
		\end{align*}
		
		En réitérant, de proche en proche, nous obtiendrions bien
		
		\begin{conclusion}
			
			$\Delta(n)= \alpha_1 \times q_1 + \alpha_2 \times q_2+ \alpha_3 \times q_3 + \dots +\alpha_k \times q_k$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que l'expression ainsi obtenue satisfait les propriétés (2) et (3) ci-dessus. Cette expression, alliée à la convention portée par la propriété (1), définit donc une unique fonction $\Delta$ convenable.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\varphi(n)$ l'expression trouvée à la question précédente.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Si $n=p$ un nombre premier alors avec la formule précédente donne $\varphi(n)= \alpha_1 q_1 = 1 \times \frac{n}{p} = 1$. Donc (2) est vérifiée par $\varphi$.
			
			\item Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$ et $p_1,p_2, \dots,p_k$ les facteurs premiers de $a$ ou de $b$ et $a=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times p_3^{\alpha_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}$ et $b=p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2} \times p_3^{\beta_3} \times \dots \times p_k^{\beta_k}$.
			
			On a donc:
			\begin{align*}
				ab &= p_1^{\alpha_1+\beta_1} \times p_2^{\alpha_2+\beta_2} \times p_3^{\alpha_3+\beta_3} \times \dots \times p_k^{\alpha_k+\beta_k}\\
				\intertext{Donc:}
				\varphi(ab) &= (\alpha_1+\beta_1) \times q_{ab,1} + (\alpha_2+\beta_2) \times q_{ab,2}+ (\alpha_3+\beta_3) \times q_{ab,3} + \dots \\
				&\quad + (\alpha_k+\beta_k) \times q_{ab,k} \\
				&= \alpha_1 \times q_{ab,1} + \alpha_2 \times q_{ab,2}+ \alpha_3 \times q_{ab,3} + \dots +\alpha_k \times q_{ab,k} \\
				&\quad + \beta_1 \times q_{ab,1} + \beta_2 \times q_{ab,2}+ \beta_3 \times q_{ab,3} + \dots +\beta_k \times q_{ab,k}\\
				\intertext{On remarque que $q_{ab,i}=q_{a,1}b$ et $q_{ab,i}=q_{b,i}a$ donc:}
				\varphi(ab) &= \alpha_1 \times q_{a,1}b + \alpha_2 \times q_{a,2}b+ \alpha_3 \times q_{a,3}b + \dots +\alpha_k \times q_{a,k}b \\
				&\quad + \beta_1 \times q_{b,1}a + \beta_2 \times q_{b,2}a+ \beta_3 \times q_{b,3}a + \dots +\beta_k \times q_{b,k}a\\
				&= \left[ \alpha_1 \times q_{a,1} + \alpha_2 \times q_{a,2}+ \alpha_3 \times q_{a,3} + \dots +\alpha_k \times q_{a,k}\right]b \\
				&\quad + \left[ \beta_1 \times q_{b,1} + \beta_2 \times q_{b,2}+ \beta_3 \times q_{b,3} + \dots +\beta_k \times q_{b,k} \right]a\\
				&= \varphi(a)b+a\varphi(b)
			\end{align*}
			
			Autrement dit $\varphi$ vérifie (3).
						
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\varphi$ vérifie bien (2) et (3).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Étude de quelques images d'entiers par la fonction $\Delta$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $\Delta(12)$, $\Delta(56)$, $\Delta( \np{1001})$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $12=2^2 \times 3$, donc
				
				\begin{align*}
					\Delta(12) &= 2 \times \frac{2^2 \times 3}{2} + 1 \times \frac{2^2 \times 3}{3}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta(12)=16$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item $56=2^3 \times 7$ donc
				
				\begin{align*}
					\Delta(56) &= 3 \times \frac{2^3 \times 7}{2} + 1 \times \frac{2^3 \times 7}{7}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta(58)=92$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item $1001= 7 \times 11 \times 13$ donc
				
				\begin{align*}
					\Delta(1001) &= 1 \times \frac{ 7 \times 11 \times 13}{7} + 1 \times \frac{7 \times 11 \times 13}{11} + 1 \times \frac{7 \times 11 \times 13}{13}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$\Delta(1001)=311$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les solutions de l'équation $\Delta(x)=0$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\Delta(0) \Delta(1)=1$ donc $0$ et $1$ ne sont pas des racines de l'équation.
			
			\medskip
			Soit $n\geqslant 2$ un entier naturel.
			
			$\Delta(n)=0 \Leftrightarrow \alpha_1 \times q_1 + \alpha_2 \times q_2+ \alpha_3 \times q_3 + \dots +\alpha_k \times q_k=0$.
			
			Autrement dit il faudrait que chacun des termes de cette somme de termes positifs soient nuls ce qui contredirait le fait que $n\geqslant 2$.
			
			Donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				l'ensemble des solutions de l'équation $\Delta(x)=0$ est vide.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les solutions de l'équation $\Delta(x)=1$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tout entier naturel $m$ a-t-il au moins un antécédent par $\Delta$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Est-il vrai que, pour tout entier naturel $n$, $\Delta(n) \leqslant n$?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si $p$ et $q$ sont des nombres premiers alors $\Delta (p \times q)= p+q$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Est-il vrai que pour tous entiers naturels $a$ et $b$: $\Delta(a \times b)= \Delta(a) + \Delta(b)$?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Est-il vrai que pour tous entiers naturels $a$ et $b$: $\Delta(a + b)= \Delta(a) + \Delta(b)$?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $\Delta (a+b) =\delta (a) + \Delta(b)$ et un entier naturel quelconque $k$.
			
			Montrer que: $\Delta(ka+kb)=\Delta(ka)+ \Delta(kb)$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Les points fixes de la fonction $\Delta$.}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{7}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $p$ un nombre premier. Soit $m$ un entier naturel. On suppose que $m$ est un multiple de $p^p$. Montrer que dans ce cas, $\Delta(m)$ est aussi un multiple de $p^p$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $n$ un entier naturel et $p$ un nombre premier. Soit $\alpha$ l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$. On suppose que $\alpha \geqslant 1$. Montrer que si $\alpha <p$, alors $\alpha-1$ est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $\Delta(n)$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre l'équation $\Delta(x)=x$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}