%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/olympiades_mathematiques_de_premiere.html}{Olympiades mathématiques de première 2017. Sujet national de métropole, Europe, Afrique, Orient et Inde.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Olympiades mathématiques de première 2017. Sujet national de métropole, Europe, Afrique, Orient et Inde.}

\subsection{Exercice national: somme des carrés en abyme.}

\begin{sujet}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble des entiers naturels non nuls, qui à tout entier naturel non nul associe la somme des carrés des chiffres de son écriture décimale.
	
	Ainsi, par exemple, $f(5) = 5^2 = 25$, $f(29) = 2^2 + 9^2 = 85$ et $f(132) = 1^2 +3^2+2^2=14$.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Introduction.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $f(1)$, $f(11)$, $f(111)$. Démontrer que tout entier naturel non nul admet au moins un antécédent	par $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					f(1) &= 1^2\\
					&=1\\
					f(11) &= 1^2+1^2\\
					&=2\\
					f(111) &= 1^2+1^2+1^2\\
					&= 3
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$f(1)=1$.
					
					$f(11)=2$.
					
					$f(111)=3$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
				
				En itérant les calculs précédents nous remarquons que l'entier naturel non nul $p= \underset{\text{répété $n$ fois}}{\underbrace{111\dots 1}}$ est bien un antécédent de $n$.
				
				\begin{conclusion}
					
					
					Tout entier naturel non nul admet au moins un antécédent par $f$.
					
				\end{conclusion}
								
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $f(23)$, $f(32)$ et $f(320)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					f(23) &= 2^2+3^2\\
					&= 13
				\end{align*}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					f(32) &= 3^2+2^2\\
					&= 13
				\end{align*}
								
				\item 
				
				\begin{align*}
				f(320) &= 3^2+2^2+0^2\\
				&= 13
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(23) = f(32) = f(320)=13$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que tout entier naturel non nul admet une infinité d’antécédents par $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
			
			D'après la question 1.(a) il existe un antécédent $p\in\mathbb{N}^*$ de $n$.
			
			Considérons la suite géométrique $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de terme initial $u_0=p$ et de raison $10$.
			
			Puisque la raison de la suite géométrique est positive et différente de $0$ et $1$ les termes de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont tous distincts deux à deux.
			
			De plus, en raisonnant comme à la question précédente, nous obtenons que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$: $f(u_n)=f(p)=n$.
			
			Ainsi $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est formée de termes deux à deux distincts qui sont tous des antécédents de $n$ par $f$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Tout entier naturel admet une infinité d'antécédents par $f$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{La suite des images successives d’un entier.}

\begin{sujet}
	
	Étant donné un entier naturel non nul $u_0$, on considère la suite de nombres définie par $u_0$ et par ses images successives par $f$ notées $u_1= f(u_0 )$, $u_2 = f(u_1 )$, ..., $u_{n+1} = f(u_n)$, etc.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer les cinq premiers nombres de cette liste pour $u_0 = 301$, puis pour $u_0 = 23$ et pour $u_0 = 1030$.
		
		Que peut-on en déduire pour les termes suivants de chacune de ces trois listes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				u_1 &=f(u_0) \\
				&= f(301)\\
				&= 3^2+0^2+1^2\\
				&= 10\\
				\intertext{De même:}
				u_2 &= f(u_1) \\
				&= f(10)\\
				&= 1\\
				u_3 &= 1\\
				u_4 &= 1
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Ainsi: si $u_0=301$ alors $u_1=10$, $u_2=u_3=u_4=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $u_0=23$ alors $u_1=13$, $u_2=10$, $u_3=u_4=1$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item 
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $u_0=1030$ alors $u_1=10$, $u_2=u_3=u_4=1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer les nombres $u_0$, $u_1$, $u_2$, ..., $u_8$ pour $u_0 = 4$.
		
		Quels sont les nombres suivants de la liste dans ce cas?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{align*}
			u_1 &= 16\\
			u_2 &= 37\\
			u_3 &= 58\\
			u_4 &= 89\\
			u_5 &= 145\\
			u_6 &= 42\\
			u_7 &= 20\\
			u_8 &= 4
		\end{align*}
		
		Les valeurs de $u_0$ jusqu'à $u_7$ se répète indéfiniment.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Étude d’une propriété.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite démontrer la propriété suivante, notée $\mathcal{P}$ dans la suite du problème:
	
	Si $u_0$ est un entier non nul:
	
	\begin{itemize}
		\item soit, il existe un rang $N$ tel que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $N$, $u_n = 1$.
		
		\item soit, il existe un rang $M$ tel que $u_M = 4$, et les termes suivants sont alors $16$, $37$, $58$, $89$, $145$, $42$, $20$, $4$, ...	On dit dans ce cas que la suite est périodique, de période $8$, à partir du rang $M$.
		
	\end{itemize}
	
	On dispose de l’algorithme ci-dessous.
	
	\begin{center}	
		\begin{tabular}{|m{6cm}|}
			\hline
			\textbf{Variable}: \emph{$u$ entier naturel non nul}.
			\\
			\\
			\textbf{Entrer} $u$.
			\\
			\textbf{Tant que} $(u\ne 1\ \text{et} \ u\ne 4)$.
			\\
			\quad $u\shortleftarrow f(u)$.
			\\
			\quad \textbf{Afficher} $u$.
			\\
			\textbf{Fin tant que}.
			\\
			\textbf{Afficher} \og propriété vérifiée\fg{}.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Qu’affiche cet algorithme lorsque l’on saisit en entrée la valeur $u = 42$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'algorithme calcul les termes successifs de la suite avec $u_0$ valant la valeur initiale de $u$ jusqu'à obtenir un terme égale à $1$ ou à $4$.
			
			Or si $u_0=42$ alors
			
			\begin{align*}
				u_1 &= 20\\
				u_2 &= 4
			\end{align*}
			
			et donc l'algorithme s'arrête et 
			
			\begin{conclusion}
				
				il affiche \og propriété vérifiée\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que si l’algorithme affiche \og propriété vérifiée \fg{}  pour une valeur $u$ donnée alors $u$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si l'algorithme affiche \og propriété vérifiée \fg{} alors c'est que l'un des termes de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vaut soit $1$ soit $4$.
			
			S'il vaut $1$ alors, d'après termes suivants valent forcément tous $1$.
			
			S'il vaut $4$, alors d'après la question $3$ la suite est périodique de période $8$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'algorithme affiche \og propriété vérifiée \fg{} alors $u$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment le programme se comporterait-il si un nombre $u$ ne vérifiait pas la propriété $\mathcal{P}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $u$ ne vérifie pas la propriété $\mathcal{P}$ alors aucun des termes de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne vaut $1$ ou $4$ et donc la boucle while ne prend jamais fin (infinite loop). 
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $u$ ne vérifie pas la propriété $\mathcal{P}$ alors le programme bug.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tous les entiers naturels compris entre $1$ et $99$ vérifient la propriété $\mathcal{P}$. Expliquer comment cet algorithme peut permettre de le prouver.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En lançant le programme en donnant à $u$ toutes les valeurs entières de $1$ à $99$ nous devrions obtenir à chaque fois l'affichage \og propriété vérifiée\fg{}.
			
			Une manière élégante de le faire serait de placer l'algorithme précédent dans une boucle donnant successivement à $u$ toutes les valeurs entières de $1$ à $99$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
\end{enumerate}

\subsubsection{Extension aux écritures à trois chiffres.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite montrer que la propriété $\mathcal{P}$ s’étend aux entiers naturels non nul $u_0$ s’écrivant avec trois chiffres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers naturels inférieurs ou égaux à $9$ tels que $a\ne 0$ et soit $x = 100a + 10b + c$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $x-f(x) \geqslant 99 + c-c^2 > 0$ et en déduire que $f(x) \leqslant x-1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
			 x-f(x) &=  100a+10b+c-(a^2+b^2+c^2)\\
			 &= a(100-a)+b(10-b)+c-c^2			 
			\end{align*}
			
			\objectif{Démontrons que $x-f(x)\geqslant 99+c-c^2$.}
			
			Démontrons que $a(100-a) +b(10-b)\geqslant 99$.
			
			{\color{orange}Il n'y a que $90$ couples de valeurs possibles pour $(a,b)$. Un petit programme informatique, avec deux boucles imbriquées, serait donc adapté.}
						
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Si $2\leqslant a \leqslant 9$ alors nous avons successivement:
				
				\begin{align*}
					a &\leqslant 9\\
					-a &\geqslant -9\\
					100-a &\geqslant 100-9\\
					a(100-a) &\geqslant 91a \quad \text{car } a>0\\
					a(100-a) &\geqslant 91\times 2 \quad \text{car } a\geqslant 2\\
					a(100-a) &\geqslant 182\\
					a(100-a) &\geqslant 99
				\end{align*}
				
				\item Si $a=1$ alors $a(100-a)=99\geqslant 99$.
				
				\item Si $0\leqslant b \leqslant 9$ alors nous avons successivement:
				
				\begin{align*}
					b &\leqslant 9\\
					-b &\geqslant -9\\
					10-b &\geqslant 10-9\\
					b(10-b) &\geqslant b \times 1 \quad \text{car } b\geqslant 0\\
					b(10-b) &\geqslant 0
				\end{align*}
								
			\end{enumerate}
			
			De \[ \left\{ \begin{array}{l} a(100-a) \geqslant 99\\ b(10-b) \geqslant 0\end{array} \right. \] nous déduisons en sommant terme à terme: \[ a(100-a)+b(10-b) \geqslant 99. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x)-x \geqslant 99+c-c^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que $99+c(1-c)>0$.}
			
			{\color{orange}Il n'y a que $9$ valeurs à tester un tableau de valeurs à la calculatrice ferait aussi bien l'affaire.}
			
			\medskip
			Puisque $c \leqslant 9$
			
			\begin{align*}
				-c &\geqslant -9\\
				1-c &\geqslant -8\\
				c(1-c) &\geqslant -8c \quad \text{car } c\geqslant 0
			\end{align*}
			
			De même
			
			\begin{align*}
				-c &\geqslant -9\\
				-8c &\geqslant -72 \quad \text{car } 8\geqslant 0
			\end{align*}
			
			Ainsi \[ \left\{ \begin{array}{l} c(1-c) \geqslant -8c \\ -8c \geqslant -72 \end{array} \right. \] et donc par transitivité 
			
			\begin{align*}
				c(1-c) &\geqslant -72\\
				\intertext{Enfin}
				99+c(1-c) &\geqslant 99-72
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$99+c-c^2>0$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Puisque $99+c-c^2$ est un entier strictement supérieur à $0$: $x-f(x) \geqslant 1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x) \leqslant x-1$.
			
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si $u_0$ s’écrit avec trois chiffres, montrer qu’il existe un rang $J$ tel que $u_J \leqslant 99$. Conclure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde qu'il existe un rang $J$ tel que $u_J\leqslant 99$.}
			
			Supposons que: $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\geqslant 100$. Et démontrons que cela conduit à une contradiction.
			
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Si $x=100a+10b+c$ avec $a$, $b$ et $c$ des entiers naturels inférieurs à $9$ alors: $f(x)=a^2+b^2+c^2\leqslant 9^2+9^2+9^2 = 243$.
				
				Comme de plus $u_n$ comporte au moins trois chiffres, par une récurrence immédiate nous obtenons que tous les termes de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ aurons $3$ chiffres. Et même: $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ 100 \leqslant u_n \leqslant 243$.
				
				\item Puisque tous les termes de $(u_n)$ ont trois chiffres, d'après la question précédente, pour tout $n \in \mathbb{N}$: \[ f(u_n) \leqslant u_n-1.\]
				
				Autrement dit: \[ u_{n+1}-u_n \leqslant -1. \]
				
				Ainsi $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite d'entiers strictement décroissante.
				
				En particulier il existera un rang$J$ tel que $u_J\leqslant 99$. Ceci contredit notre hypothèse de départ.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré par l'absurde que, nécessairement, si $u_0 \in \llbracket 100; 999 \rrbracket$ alors, il existe un rang $J$ tel que $u_J \leqslant 99$.
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{Généralisation.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite montrer que la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul $u_0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{5}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que, pour tout entier naturel $p$ supérieur ou égal à $4$, on a: $81p < 10^{p-1}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $P(n)$: \og $81p < 10^{p-1}$ \fg{} pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 4$.
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons par récurrence sur $n$  que $P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant 4$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $81 \times 4 =324$ et $10^{4-1}=1000$ donc: $81 \times 4 < 10^{4-1}$.
				
				Autrement dit $P(4)$ est vraie.
				
				\item Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 4$.
				
				Supposons que $P(n)$ est vraie est démontrons qu'alors nécessairement $P(n+1)$ est vraie.
				
				Par hypothèse de récurrence: \[ 81n < 10^{n-1}. \] 
				
				Donc \[ 81n+81 < 10^{n-1} + 81. \]
				
				Autrement dit \[ 81(n+1) < 10^{n} \left( 10^{-1} + \frac{8,1}{10^n} \right). \]
				
				Or $10^{-1}+\frac{8,1}{10^p} \leqslant 0,1+ \frac{10}{10^4} \leqslant 0,1001 < 1$ donc \[ 81(n+1) < 10^{n}. \]
				
				Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 4$, $P(n)$ est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que, si un terme $u_n$ de la suite s’écrit avec $p$ chiffres ($p \geqslant 4$), alors $u_{n+1} = f(u_n)$ s’écrit avec au plus $p-1$ chiffres.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $u_n$ s'écrit avec $p\geqslant 4$ chiffres $f(u_n)\leqslant p9^2=81p<10^{p-1}$ donc $f(u_n)$ s'écrit avec strictement moins que $p$ chiffres.
			
		\end{correction}
		
		\item 
				
		\begin{sujet}
			
			Montrer que pour tout entier $u_0$ il existe un rang $K$ tel que $u_K \leqslant 999$. Conclure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le problème ayant déjà été traité dans le cas de $u_0$ avec moins de $2$ chiffres et $3$ chiffres supposons que $u_0$ a $p$ chiffres avec $p\geqslant 4$.
			
			\medskip
			Raisonnons par l'absurde en supposant que tous les termes de  la suite sont supérieurs ou égaux $1000$.
			
			D'après la question précédente, $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est donc une suite strictement décroissante d'entiers et par conséquent il existe un rang $K$ tel que $u_K<1000$.
			
			Cette contradiction avec notre hypothèse permet de conclure que 
			
			\begin{conclusion}
				
				si $u_0\geqslant 4$ alors il existe un rang $K$ tel que $u_K\leqslant 999$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Nous avons établi que le cas des entiers naturels non nuls de plus de $3$ chiffres se ramène au cas des entiers naturels de chiffres. Comme ces derniers vérifient tous la propriété $\mathcal{P}$ nous pouvons conclure:
			
			\begin{conclusion}
				
				les entiers naturels non nuls vérifient tous la propriété $\mathcal{P}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice national: 1, 2, 3 ... dallez!}

\begin{sujet}
	
	Dans tout ce qui suit, $n$ désigne un entier naturel non nul.
	
	Une unité de longueur étant donnée, on considère un carré de côtés de longueur $n$. On note ce carré $K_n$, et on se propose de le paver à l’aide de carrés de côtés de longueur $1$, $2$ ou $3$, c’est-à-dire de le recouvrir sans débordement ni chevauchement.
	
	Par commodité, on dira qu’un carré de côtés de longueur $i$ ($i$ valant $1$, $2$ ou $3$) est de taille $i$.
	
	On montre ci-dessous un pavage du carré $K_6$ comportant cinq carrés de taille $1$, un de taille $2$ et trois de taille $3$.	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[step=1cm,dashed] (-0.5,-0.5) grid (12.5,6.5);
			\fill[gray!60, opacity=0.50] (0,0) -- (6,0) -- (6,6) -- (3,6) -- (3,3) -- (0,3) -- cycle;
			\fill[gray, opacity=0.50] (0,3) -- (3,3) -- (3,6) -- (0,6) -- cycle;
			\draw[very thick] (0,0) -- (6,0) -- (6,6) -- (0,6) -- cycle;
			\draw[very thick] (3,0) -- (3,6) -- cycle;
			\draw[very thick] (0,3) -- (6,3) -- cycle;
			\draw[very thick] (0,4) -- (3,4) -- cycle;
			\draw[very thick] (2,3) -- (2,6) -- cycle;
			\draw[very thick] (1,3) -- (1,4) -- cycle;
			\draw[very thick] (2,5) -- (3,5) -- cycle;
			\fill[gray!60, opacity=0.50] (8,0) -- (11,0) -- (11,3) -- (8,3) -- cycle;
			\draw[very thick] (8,0) -- (11,0) -- (11,3) -- (8,3) -- cycle;
			\fill[gray!60, opacity=0.50] (10,4) -- (12,4) -- (12,6) -- (10,6) -- cycle;
			\draw[very thick] (10,4) -- (12,4) -- (12,6) -- (10,6) -- cycle;
			\fill[gray!60, opacity=0.50] (8,5) -- (9,5) -- (9,6) -- (8,6) -- cycle;
			\draw[very thick] (8,5) -- (9,5) -- (9,6) -- (8,6) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Est-il possible de paver le carré $K_6$ en n’utilisant aucun carré de taille $1$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il suffit de recouvrir $K_6$ de $4$ carrés de taille $3$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu’il n’est pas possible de paver le carré $K_5$ sans utiliser de carré de taille $1$	.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner un pavage de $K_5$ comportant quatre carrés de taille $1$. On admettra dans la suite qu’il n’existe pas de pavage de $K_5$ avec des carrés de taille $1$, $2$ ou $3$ comportant strictement moins de quatre carrés de taille $1$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}