%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=Violet,urlcolor=Violet]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!7} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \hfill\rule{0.25\linewidth}{0.1pt} {Correction exercice \theExercicecorrection} \rule{0.25\linewidth}{0.1pt}\hfill}{\noindent \hfill\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}Fin de la correction\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}\hfill \medskip}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{MidnightBlue}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{MidnightBlue!10}}m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{Purple}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{Purple!5}}m{12cm}|}\hline \\}{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{Plum}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{Plum!5}}m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{RedViolet}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{RedViolet!5}}m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent \color{CadetBlue} \hfill \rule{0.25\linewidth}{0.1pt} {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \rule{0.25\linewidth}{0.1pt} \hfill \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{\noindent \hfill\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}Fin de la démonstration\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}\hfill}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/esa.html}{E.S.A. 2018} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{ESA 2018.}

\begin{sujet}
	
		\begin{center}
		
		Épreuves d'admissibilité du concours 2018 d'admission à l'école de santé des armées .
		
		\medskip
		Catégorie baccalauréat - Sections: Médecine - Pharmacie.
		
		\medskip
		Mercredi 13 avril 2018.
		
		\medskip
		\textbf{Épreuve de mathématiques.}
		
		\medskip
		Durée: $1\ \text{heure} \ 30\ \text{minutes}$
		
		\medskip
		Coefficient $3$.
		
	\end{center}

	\begin{center}
		
		Avertissements:
		
		
	\end{center}

		\medskip
		L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Les candidats traiteront les trois exercices.
			\item Les réponses des exercices $1$ et $2$ seront données sur la grille prévue à cet effet.
			\item L'exercice $3$ sera traité sur une copie à part.
			\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
			\item La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte dans l'évaluation.
			\item Vérifiez que ce fascicule comporte $4$ pages numérotées de $1$ à $4$, page de garde comprise.
		\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 1. \hfill (6 points)}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations, A, B, C ou D est exacte.}
	
	\emph{On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case prévue à cet effet.}
	
	\emph{Toute réponse juste est comptée $+1$ point. Toute réponse fausse est comptée $-0,25$ points. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{QCM 1.}

\begin{sujet}
	
	La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \mathrm{e}^x+ \mathrm{e}^{-x}$ est:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item croissante sur $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $[0;+\infty[$,
		\item croissante sur $\mathbb{R}$,
		\item décroissante sur $]-\infty ;0[$ et croissante sur $[0;+\infty[$,
		\item décroissante sur $]-\infty ;-2[$ et croissante sur $[-2;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Nous pourrions remarquer $f=2\cosh$.}
	
	\medskip
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	$f$ est paire donc ses variations sur $\mathbb{R}_-$ et $\mathbb{R}_+$ sont contraires ce qui exclu B et comme sa courbe représentative présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées la réponse D est également à exclure.
	
	De plus:  $\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x} \underset{x \to +\infty}{\rightarrow} +\infty$ donc nécessairement $f$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$.
	
	\begin{conclusion}
		
		La réponse est C.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous pourrions déterminer le sens de variation de $f$.}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5 \mathrm{e}^{0,2x^2+0,5x}$.
	
	La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item a pour équation $y=2,5x+5$,
		\item a pour équation $y=5x$,
		\item a pour équation $y=5x+10$,
		\item est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	La tangente au point d'abscisse $0$ passe par le point de coordonnées $(0;f(0))$. Or $f(0)=5$ donc les coordonnées $(0;5)$ doivent satisfaire l'équation de la tangente ce qui laisse A et D.
	
	Comme $f'(x)=(2x+2,5)\mathrm{e}^{0,2x^2+0,5x}$, $f'(0)=2,5$ la tangente n'est donc pas horizontale.
	
	\begin{conclusion}
		
		La réponse est A.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Plus classiquement il est possible de retrouver l'équation de la tangente.}
	
	\medskip
	\objectif{Déterminons l'équation de la tangente.}
	
	L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$ est \[ y=f'(a) (x-a) + f(a). \]
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $a=0$.
		\item $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car composée d'exponentielle et de fonction polynomiale et pour tout $x$ réel:
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= 5 \times (2 \times 0,2 x+0,5) \mathrm{e}^{0,2x^2 +0,5x}\\
			&= 5(0,4x+0,5)\mathrm{e}^{0,2x^2+0,5x}\\
			\intertext{Donc:}
			f'(0) &= 2,5
		\end{align*}
		
		\item $f(0)=5$.
		
	\end{enumerate}
	
	Nous déduisons des points précédents \[ y =2,5 \times (x-0) + 5. \]
	
	\begin{conclusion}
		
		L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est: $y=2,5x+5$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 3.}

\begin{sujet}
	
	Les solutions de l'inéquation $\ln( -x+5) < \ln(x+1)$ sont:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $]2;+\infty[$,
		\item $]-\infty;5[$,
		\item $]-1;5[$,
		\item $]2;5[$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	Il est possible de retrouver l'allure des courbes représentatives de $f:x \mapsto \ln(x+1)$ et $g:x \mapsto \ln(-x+5)$ à partir de celle de $\ln$ par translation et symétrie:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=1.5]
		\def\xY{-1.5};
		\def\yY{-1.9};
		\def\xZ{5.5};
		\def\yZ{3};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.8:5] plot(\x,{ln(\x+1)});
		\draw[blue] (4.5,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};
		\draw[red] (5,\yZ)--(5,\yY);
		\draw[red] (-1,\yZ)--(-1,\yY);
		\draw[green, thick][samples=100,domain=-1:4.8] plot(\x,{ln(-\x+5)});
		\draw[green] (0,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_g$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Le schéma permet de voir que l'inéquation n'a de sens que sur $]-1,5[$.
	
	D'autre part lecture graphique les solutions sont les réels strictement plus grands que la solution de l'équation $f(x)=g(x)$ d'inconnue $x$.
		
	\begin{conclusion}
		
		La réponse est D.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Plus classiquement il est possible de résoudre l'inéquation par analyse-synthèse.}
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons l'inéquation $\ln(-x+5) < \ln(x+1)$.}
	
	La fonction $\ln$ étant définie sur $\mathbb{R}_+^*$ l'expression $\ln(-x+5)$ n'a de sens que si $-x+5>0$, autrement dit si et seulement si $x \in ]-\infty ,5[$.
	
	De même $\ln (x+1)$  n'a de sens que si $x \in ]-1 ,+\infty[$.
	
	Ainsi l'inéquation n'a de sens que si: $ x \in ]\infty,5[ \cap ]-1,+\infty[ = ]-1,5[$.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Supposons qu'il existe $x \in ]-1,5[$ vérifiant $\ln(-x+5)< \ln(x+1)$.
		
		La fonction exponentielle étant strictement croissante elle conserve l'ordre donc
		
		\begin{align*}
			\exp\left[ \ln(-x+5) \right] &> \exp\left[ \ln(x+1) \right]\\
			\intertext{$\exp$ et $\ln$ étant des fonctions réciproques l'une de l'autre ({\color{orange}il est également possible d'arguer ici de la stricte croissance le $\ln$}):}
			-x+5 &>x+1\\
			\intertext{Enfin:}
			x &>2\\
			\intertext{Et donc:}
			&x \in ]2,5[ 
		\end{align*}
		
		\item Du fait de la stricte croissance de $\ln$ il est aisé de vérifier que si $x\in ]2,5[$ alors $x$ est bien une solution de l'inéquation.
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Nous avons démontré par analyse-synthèse que $]2,5[$ est l'ensemble des solutions de l'inéquation.
		
	\end{conclusion}
		
\end{correction}

\subsubsection{QCM 4.}

\begin{sujet}
	
	$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $+\infty$,
		\item $1$,
		\item $0$,
		\item $2$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	On utilise ici l'astuce des quantités conjuguées:
	
	\begin{align*}
		\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} &= \frac{\left( \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \right) {\color{orange} \left( \sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1} \right)}}{ \color{orange} \sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}} \\
		&=  \frac{ \sqrt{x^2+1}^2 - \sqrt{x^2-1}^2}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}} \\
		&= \frac{2}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}\\
		&\underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{2}{\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2}}\\
		&\underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{2}{2x}\\
		&\underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x}
	\end{align*}
	
	{\color{orange} la notation $\underset{x \to +\infty}{\sim}$ qui indique une équivalence asymptotique peut se traduire ici comme \og a la même limite que \fg{}.}
		
	Et comme $\frac{1}{x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$, finalement $\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
	
	\begin{conclusion}
		
		La réponse est C.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 5.}

\begin{sujet}
	
	On choisit un réel au hasard entre $0$ et $5$ et l'on note $Y$ la variable aléatoire égale au réel choisi. Alors:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $P(Y=2,5)=0,5$,
		\item $P(Y\leqslant 2)=0,5$,
		\item $P_{Y\geqslant 2} (Y \leqslant 3)=\frac{1}{3}$,
		\item $P_{Y\geqslant 2} (Y \leqslant 3)=\frac{1}{5}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Le fait de choisir un réel dans un segment correspond à une loi uniforme.
	
	\medskip
	Pour les lois continues la probabilité que la variable aléatoire égale un nombre est nulle: $\mathbb{P}(Y=2,5)=0$. Donc la réponse A est exclue.
	
	\medskip
	Le calcul de $\mathbb{P}_{Y \geqslant 2}(Y \leqslant 3)$ permettra donc de décider de la bonne réponse.
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}_{Y \geqslant 2}(Y \leqslant 3) &= \mathbb{P}(2 \leqslant Y \leqslant 3)\\
		\intertext{Et puisque $Y$ suit une loi uniforme sur $[0,5]$:}
		\mathbb{P}_{Y \geqslant 2}(Y \leqslant 3) &= \frac{3-2}{5-0}\\
		&= \frac{1}{5}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		La bonne réponse est D.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 6.}

\begin{sujet}
	
	Pour tout nombre réel $x$ non nul, $\displaystyle 2- \frac{\mathrm{e}^{-x}-2}{\mathrm{e}^{-x}-1}$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $\displaystyle \frac{3 \mathrm{e}^{-x}-4}{\mathrm{e}^{-x}-1}$,
		\item $\displaystyle \frac{1}{1-\mathrm{e}^{x}}$,
		\item $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-x}-4}{\mathrm{e}^{-x}-1}$,
		\item $\displaystyle \frac{3 \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}-1}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	Pour $x= \ln \left( \frac{1}{3} \right)$ la quantité proposée égale 
	
	\begin{align*}
		2 -\frac{ \mathrm{e}^{-\ln \left( \frac{1}{3} \right)} -2}{\mathrm{e}^{-\ln \left( \frac{1}{3} \right)} -1} &= 2 -\frac{ \mathrm{e}^{\ln(3)} -2}{\mathrm{e}^{\ln \left( 3 \right)} -1} \\
		&= 2 - \frac{3-2}{3-1}\\
		&= \frac{3}{2}
	\end{align*}
	
	En évaluant le différentes propositions pour $x = \ln \left( \frac{1}{2} \right)$ nous obtenons une seule expression qui convienne.
	
	\begin{conclusion}
		
		La réponse est B.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}La réponse se trouve aussi rapidement en travaillant directement avec l'expression proposée.}
	
	Soit $x \in \mathbb{R}^*$.
	
	\begin{align*}
		2- \frac{\mathrm{e}^{-x}-2}{\mathrm{e}^{-x}-1} &= \frac{2(\mathrm{e}^{-x}-1)}{\mathrm{e}^{-x}-1}- \frac{\mathrm{e}^{-x}-2}{\mathrm{e}^{-x}-1}\\
		&= \frac{2 \mathrm{e}^{-x}-2-\left( \mathrm{e}^{-x}-1 \right)}{\mathrm{e}^{-x}-2}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}-1}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}\left( 1-\mathrm{e}^x\right)}\\
		&= \frac{1}{ 1-\mathrm{e}^x}\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\forall x \in \mathbb{R}_+^*,\ 2- \frac{\mathrm{e}^{-x}-2}{\mathrm{e}^{-x}-1} = \frac{1}{ 1-\mathrm{e}^x}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Exercice 2. \hfill (6 points)}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations, A, B, C ou D est exacte.}
	
	\emph{On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case prévue à cet effet.}
	
	\emph{Toute réponse juste est comptée $+1$ point. Toute réponse fausse est comptée $-0,25$ points. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{QCM 7.}

\begin{sujet}
	
	Dans un laboratoire, il y a $50$ tubes avec du sang contaminé et $75$ tubes avec du sang non contaminé. Un préparateur tire un tube au hasard, regarde si le sang contenu est contaminé et il replace le tube. Il recommence $5$ fois l'expérience. On note $X$ le nombre de tubes avec du sang contaminé (sur les $5$ tirés).
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $P(X=5)= \left( \frac{3}{5} \right)^5$,
		\item $E(X)=\frac{2}{5}$,
		\item $P(X=0)= \left( \frac{3}{5} \right)^5$,
		\item $P(X=0)>P(X=2)$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Justifions que $X$ suit une loi binomiale.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Épreuve de Bernoulli.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Expérience: tirer au hasard un tube.
			\item Succès: \og Le sang est contaminé \fg{}.
			\item Probabilité de succès: $p=\frac{50}{50+75}= \frac{2}{5}$.
		\end{enumerate}
		
		\item Schéma de Bernoulli.
		
		L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=5$ fois.
		
		\item Loi binomiale.
		
		$X$ compte le nombre de tube contaminé parmi les $5$, donc compte le nombre de succès donc
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		$X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 5, \frac{2}{5} \right)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Nous en déduisons:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(X=k) &= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\
		\mathbb{P}(X=5) &= \binom{5}{5} \left( \frac{2}{5} \right)^5 \left( 1- \frac{2}{5} \right)^{5-5}\\
		&= \left( \frac{2}{5} \right)^5
	\end{align*}
	
	puis:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{E}(X) &= np\\
		&= 5 \times \frac{2}{5}\\
		&= 2
	\end{align*}
	
	et enfin
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(X=0) &= \binom{5}{0} \left( \frac{2}{5} \right)^0 \left( 1- \frac{2}{5} \right)^{5-0}\\
		&= \left( \frac{3}{5} \right)^5
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		La réponse est C.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 8.}


\begin{sujet}
	
	Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln\left( \mathrm{e}^{-x}-2 \right)$ est:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $]0;+\infty[$,
		\item $] \ln(2); +\infty[$,
		\item $]-\infty ; -\ln(2) [$,
		\item $]0;2[$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le domaine de définition de $f$.}
	
	La difficulté vient de ce que $\ln$ n'est définie que sur $\mathbb{R}_+^*$.
	
	Il faut donc, successivement, que
	
	\begin{align*}
		\mathrm{e}^{-x}-2 &> 0\\
		\mathrm{e}^{-x} &> 2\\
		\ln \left( \mathrm{e}^{-x} \right) & > \ln (2) \quad \text{car $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$}\\
		-x &> \ln(2)\\
		x &< -\ln(2)
	\end{align*}
	
	Nécessairement $x \in ]-\infty , -\ln(2) [$.
	
	On vérifie de même que $f$ est bien définie sur $]-\infty, - \ln(2) [$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Le domaine de définition de $f$ est $]-\infty, - \ln(2) [$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\begin{conclusion}
		
		La bonne réponse est C.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 9.}

\begin{sujet}
	
	Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(3-2x) \mathrm{e}^{-x}$. Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $G(x)= (3x-x^2) \mathrm{e}^{-x}$,
		\item $G(x)= (-3x+x^2) \mathrm{e}^{-x}$,
		\item $G(x)= (2x-1) \mathrm{e}^{-x}$,
		\item $G(x)= (5-2x) \mathrm{e}^{-x}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	En dérivant une fonction avec un terme en $x^2\mathrm{e}^{-x}$ nous obtenons une fonction avec un terme en $-x^2\mathrm{e}{-x}$, ce qui ne convient pas. Les réponses A et B sont exclues.
	
	En dérivant une fonction avec un terme en $-2x\mathrm{e}^{-x}$ nous obtenons une fonction avec un terme en $2x\mathrm{e}{-x}$, ce qui ne convient pas. La réponse D est exclue.
	
	\begin{conclusion}
		
		La bonne réponse est C.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	{\color{orange}Plus prosaïquement il est possible de dériver les fonctions proposées (qui sont des produits de fonctions dérivables) une à une jusqu'à obtenir $g$.}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 10.}

\begin{sujet}
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation $(3-x) \ln (x) \geqslant 0$ est:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $[1;3]$,
		\item $]0;3]$,
		\item $]-\infty; 3]$,
		\item $[1;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	Un tableau de signe fera  l'affaire.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\ln$ /0.8, $3-x$ /0.8, $(3-x)\ln$ /0.8}
		{$0$ ,$1$, $3$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{d,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}%
		\tkzTabLine{d,-,z,+,z,-,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{conclusion}
		
		La bonne réponse est A.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 11.}

\begin{sujet}
	
	L'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}\ \mathrm{d}x$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $1$,
		\item $\frac{1}{2}$,
		\item $\frac{\mathrm{e}}{2(1+\mathrm{e})}$,
		\item $\ln \left( \frac{1+\mathrm{e}}{2} \right)$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $I= \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}\ \mathrm{d}t$.}
	
	On notant $u(x)= 1+ \mathrm{e}^x$ nous remarquons que:
	
	\begin{align*}
		I &= \int_0^1 \frac{u'(t)}{u(t)}\ \mathrm{d}t\\
		&= \left[ \ln \left( |u(t) | \right) \right]_0^1\\
		&= \ln \left( 1+\mathrm{e}^1 \right)- \ln \left( 1+\mathrm{e}^0 \right)\\
		&= \ln \left( 1+\mathrm{e} \right)- \ln (2)
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$I=\ln \left( \frac{1+\mathrm{e}}{2} \right)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\begin{conclusion}
		
		La bonne réponse est D.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 12.}

\begin{sujet}
	
	Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N(30, \sigma^2)$ avec $P(X>35)=0,4$.
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $P(X<30)=0,4$,
		\item $P(30<X<35)=0,1$,
		\item $P(25<X<35)=0,3$,
		\item $P(X>40)=0,5$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Méthode pour trouver rapidement la réponse.}
	
	La situation peut être schématisée par:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=1]
		\def\xY{-1};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{61};
		\def\yZ{5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {5, 10,...,60}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y*0.01 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:60] plot(\x,{100*exp(-0.5*((\x-30)/10 )*((\x-30)/10 ))/(10*sqrt(2*3.1415))});
		\fill[color=RoyalBlue , opacity=0.5]
			(60,0)
			-- (35,0)
			-- plot [samples=100,domain=35:60] (\x,{100*exp(-0.5*((\x-30)/10 )*((\x-30)/10 ))/(10*sqrt(2*3.1415))})
			-- cycle;
		\draw (40,0.5) node[fill=white] {$0,4$};
		\fill[color=purple , opacity=0.75]
			plot [samples=100,domain=0:30] (\x,{100*exp(-0.5*((\x-30)/10 )*((\x-30)/10 ))/(10*sqrt(2*3.1415))})
			-- (30,0)
			-- (0,0)
			-- cycle;
		\draw (20,0.5) node[fill=white] {$0,5$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	La probabilité de l'univers tout entier valant $1$ nous concluons.
	
	\begin{conclusion}
		
		La bonne réponse est B.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}
	
	
\subsection{Exercice 3. \hfill 8 points}

\begin{sujet}
	
	On veut dépister une maladie $m$ dont la fréquence (ou prévalence) dans la population $P$ est notée $p$ avec $0<p<1$. On met en place un test diagnostique qui est indépendant de la valeur de $p$.
	
	On prélève au hasard dans la population $P$ un individu ayant été soumis au test diagnostique.
	
	On définit les événements suivants:
	
	\begin{center}
		
		$T$: \og le test est positif\fg{} et $M$: \og l'individu est malade\fg{}.
		
	\end{center}
	
	Pour ce test diagnostique le fabriquant a indiqué: 
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item la probabilité $P_M(T)$ qu'un individu ait un test positif sachant qu'il est malade, est appelée sensibilité du test et est notée $S_e$.
		\item la probabilité $P_{\overline{M}}(\overline{T})$ qu'un individu ait un test négatif sachant qu'il n'est pas malade est appelée spécificité du test et est notée $S_p$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Illustrer la situation par un arbre pondéré en complétant toutes les branches à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\coordinate (A1) at (6,1.5);
				\coordinate (A2) at (6,0.5);
				\coordinate (A3) at (6,-0.5);
				\coordinate (A4) at (6,-1.5);
				\node (A1) at (A1) {$T$};
				\node (A2) at (A2) {$\overline{T}$};
				\node (A3) at (A3) {$T$};
				\node (A4) at (A4) {$\overline{T}$};
				\coordinate (B1) at (4,1);
				\coordinate (B2) at (4,-1);
				\node (B1) at (B1) {$M$};
				\node (B2) at (B2) {$\overline{M}$};
				\draw (B1)--(A1) node[midway,above,sloped]{$S_e$};
				\draw (B1)--(A2) node[midway,below,sloped]{$1-S_e$};
				\draw (B2)--(A3) node[midway,above,sloped]{$1-S_p$};
				\draw (B2)--(A4) node[midway,below,sloped]{$S_p$};
				\draw (2,0)--(B1) node[midway,above,sloped]{$p$};
				\draw (2,0)--(B2) node[midway,below,sloped]{$1-p$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $P(M\cap T)$, $P(M \cap \overline{T})$, $P(\overline{M}\cap T)$, $P(\overline{M} \cap \overline{T})$ à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons les probabilités en fonction de $p$, $S_e$ et $S_p$.}
			
			Puisque $\mathbb{P}(M)>0$ nous pouvons utiliser la formule des probabilité composées:
				
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(M\cap T) &= \mathbb{P}(M) \cdot \mathbb{P}_M(T)\\
				&= p\cdot S_e
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Concrètement il suffit de regarder le chemin $MT$ sur l'arbre pondéré et d'utiliser le principe multiplicatif.}
			
			\medskip
			En procédant de même pour les autres cas:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M\cap T)= p\cdot S_e$,
				
				$\mathbb{P}(M \cap \overline{T}) = p(1-S_e)$,
				
				$\mathbb{P}(\overline{M} \cap T) = (1-p)(1-S_p)$,
				
				$\mathbb{P}(\overline{M}\cap \overline{T}) = (1-p)S_p$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité que le test délivre une juste conclusion est: $p(S_e-S_p)+S_p$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$ l'événement \og le test délivre une juste conclusion \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Dire que la conclusion du test est juste signifie soit que le test est positif et l'individu est malade ($M\cap T$), soit le test est négatif est l'individu n'est pas malade ($\overline{M} \cap \overline{T}$). Autrement dit \[ A = \left(M\cap T \right) \cup \left( \overline{M} \cap \overline{T} \right). \]
			
			Puisque $M$ et $\overline{M}$ sont incompatibles, les événements $M\cap T$ et $\overline{M} \cap \overline{T}$ le sont aussi et donc 
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}\left[ \left(M\cap T \right) \cup \left( \overline{M} \cap \overline{T} \right) \right]\\
				&= \mathbb{P}\left(M\cap T \right)  +\mathbb{P} \left( \overline{M} \cap \overline{T} \right) \\
				\intertext{Et d'après la question précédente:}
				\mathbb{P}(A) &= p\cdot S_e +(1-p)S_p\\
				&= p\cdot S_e +S_p-p\cdot S_p\\
				&= p(S_e-S_p)+S_p
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=p(S_e-S_p)+S_p$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle 
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item valeur prédictive positive du test (VPP), la probabilité $P_T(M)$ d'être malade, sachant que le test est positif.
			\item valeur prédictive négative du test (VPN), la probabilité $P_{\overline{T}}\left(\overline{M} \right)$ d'être non malade, sachant que le test est négatif.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer $P(T)$ à l'aide de $p$, $S_e$ et $S_p$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}En regardant l'arbre nous voyons que $T$ correspond à deux chemins dont nous additionnerons les probabilités.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(T)$.}
			
			$M$ et $\overline{M}$ constituent un système complet d'événements donc, d'après la formule des probabilité totales:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(T) &= \mathbb{P}(M \cap T) + \mathbb{P}(\overline{M}\cap T)\\
				\intertext{D'après la formule des probabilités composées (car $\mathbb{P}(M)>0$ et $\mathbb{P}(\overline{M})>0$):}
				\mathbb{P}(T) &= \mathbb{P}(M) \cdot \mathbb{P}_M(T) + \mathbb{P}(\overline{M}) \cdot \mathbb{P}_{\overline{M}}(T)
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(T)= p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer VPP et VPN en fonction de $p$, $S_e$ et $S_p$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons VPP.}
			
			\begin{align*}
				\mathrm{VPP} &= \mathbb{P}_T(M)\\
				\intertext{Puisque $\mathbb{P}(T)>0$:}
				\mathrm{VPP} &= \frac{\mathbb{P}(M \cap T)}{\mathbb{P}(T)}
			\end{align*}
			
			D'après les questions précédentes:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathrm{VPP}= \frac{p\cdot S_e}{ p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p)}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons VPN.}
			
			De même
			
			\begin{align*}
				\mathrm{VPN} &= \mathbb{P}_{\overline{T}} \left( \overline{M} \right)\\
				&= \frac{\mathbb{P} \left(\overline{M} \cap \overline{T} \right)}{\mathbb{P} \left( \overline{T} \right)}\\
				&= \frac{(1-p)S_p}{1-\mathbb{P}(T)}
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathrm{VPN}=\frac{(1-p)S_p}{1-\left[ p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p) \right]}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le test est considéré comme intéressant si $\mathrm{VPP}>p$. Montrer alors que: $S_e+S_p>1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Supposons que $\mathrm{VPP}>p$ et démontrons qu'alors $S_e+S_p>1$.}
			
			Nous déduisons successivement:
			
			\begin{align*}
				\mathrm{VPP} &> p\\
				 \frac{p\cdot S_e}{ p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p)} &> p \\
				 \intertext{Comme les nombres considérés sont tous positifs (ce sont des sommes de probabilités):}
				 p\cdot S_e &> p\left[ p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p) \right]\\
				 S_e &> p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p)\\
				 S_e -p\cdot S_e &> (1-p)(1-S_p)\\
				 (1-p)S_e &> (1-p)(1-S_p)\\
				 S_e &> 1-S_p\\
				 S_e+S_p &>1
			\end{align*}
			
			Nous avons démontré que
			
			\begin{conclusion}
				
				si $\mathrm{VPP}>1$, alors $S-e+S_p>1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La prévalence $p$ du paludisme est de $90\ \%$ en Tanzanie et de $0,001$ en France.
		
		Le test biologique utilisé a pour sensibilité $S_e=0,9$ et pour spécificité $S_p=0,8$. Cela est valable pour toute la question 4.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la VPP en Tanzanie arrondie à $10^{-2}$ près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question 3.(b)
			
			\begin{align*}
				\mathrm{VPP}_{Tanzanie} &= \frac{p\cdot S_e}{ p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p)}\\
				&= \frac{0,9 \times 0,9}{0,9 \times 0,9 + (1-0,9)(1-0,8)}\\
				&= \frac{0,81}{0,81 + 0,1\times 0,2}\\
				&= \frac{0,81}{0,83}\\
				&= \frac{81}{83}
			\end{align*}
			
			\opdiv[decimalsepsymbol={\, , },operandstyle.1=\color{Blue}, operandstyle.2=\color{Orange}, remainderstyle= \color{red}, resultstyle= \color{PineGreen}, displayintermediary=all, voperation=top,maxdivstep=4]{81}{83}
			
			Donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathrm{VPP} \approx 0,97$ en arrondissant au centième.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que $\mathrm{VPP}_{France}=0$; $\mathrm{VPN}_{Tanzanie}=0,47$; $\mathrm{VPN}_{France}=1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire ce que l'on peut dire en terme de probabilité à un patient de Tanzanie et à un patient français selon que le test est positif ou négatif.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item En Tanzanie.
				
				\begin{itemize}
					\item Si le test est positif et puisque $\mathrm{VPP}_{Tanzanie}\approx 0,97$ est très élevée, alors il faut dire au malade qu'il est vraisemblablement malade.
					
					\item Si le test est négatif et puisque $\mathrm{VPN}_{Tanzanie}=0,47$ est plutôt faible, alors il faut dire au patient que nous n'avons pas pu vérifier s'il est malade (ce qui ne signifie pas qu'il ne l'est pas). 
					
				\end{itemize}
				
				\item En France.
				
				\begin{itemize}
					\item Si le test est positif et puisque $\mathrm{VPP}_{France}=0$ alors il faut dire au malade qu'il est vraisemblablement victime d'un faux positif.
					
					\item Si le test est négatif et puisque $\mathrm{VPN}_{France}=0,47$, alors il faut dire au patient qu'il n'est pas malade. 
										
				\end{itemize}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère la fonction $v$ définie par $v(p)=P_T(M)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donner l'expression de $v(p)$ en fonction de $p$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Déterminons l'expression de $v$ en fonction de $p$.}
				
				D'après la question 3.(b)
				
				\begin{align*}
					v(p) &= \mathbb{P}_T(M)\\
					&= \mathrm{VPP}\\
					&= \frac{p\cdot S_e}{ p\cdot S_e+(1-p)(1-S_p)}\\
					&= \frac{0,9p}{0,9p+(1-p)(1-0,8)}\\
					&= \frac{0,9p}{0,9p+0,2-0,2p}\\
					&= \frac{0,9p}{0,7p+0,2}
				\end{align*}
				
				Enfin
				
				\begin{conclusion}
					
					$\displaystyle v(p)= \frac{9p}{7p+2}$ quelque soit $p\in]0;1[$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donner le sens de variation de la fonction $v$.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\objectif{Étudions le variations de $v$ sur $]0;1[$.}
				
				Si nous notons $f(x)=9x$ et $g(x)=7x+2$, alors nous pouvons écrire $v$ comme un quotient de fonctions dérivables et ne s'annulant pas sur $]0;1[$: $v=\frac{f}{g}$.
				
				Par conséquent $v$ est dérivables sur $]0;1[$ et
				
				\begin{align*}
					v' &= \frac{f'g-fg'}{g^2}\\
					\intertext{Ainsi pour tout $x$ réel:}
					v'(x) &= \frac{9 \times (7x+2)-9x \times 7}{(7x+2)^2}\\
					&= \frac{18}{(7x+2)^2}
				\end{align*}
				
				Par conséquent $v'>0$ sur $]0;1[$ et 
				
				\begin{conclusion}
					
					$v$ est strictement croissante sur $]0;1[$.
					
				\end{conclusion}
								
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Lorsque $p$ est supérieur à $0,8$, en quoi la positivité du test est-elle un élément important du diagnostique?
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				Si $p\geqslant 0,8$ alors, puisque $v$ est strictement croissante sur $]0;1[$ \[ v(p)\geqslant v(0,8).\]
				
				On en déduit successivement
				
				\begin{align*}
					v(p) &\geqslant \frac{9 \times 0,8}{7 \times 0,8 +2}\\
					&\geqslant \frac{7,2}{7,6}
				\end{align*}
				
				\opdiv[decimalsepsymbol={\, , },operandstyle.1=\color{Blue}, operandstyle.2=\color{Orange}, remainderstyle= \color{red}, resultstyle= \color{PineGreen}, displayintermediary=all, voperation=top,maxdivstep=4]{72}{76}
				
				Et donc $v(p) \geqslant 0,94$.
				
				\begin{conclusion}
					
					Si $p\geqslant 0,8$, alors la positivité indique avec ne forte probabilité que la personne est effectivement malade.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}