%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item



\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/esa.html}{E.S.S.A. 2017} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{ESA 2017.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		Concours 2017 d'admission dans les écoles du service de santé des armées .
		
		Catégorie baccalauréat - Sections: Médecine - Pharmacie.
		
	\end{center}
	
	Avertissement:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.
		\item Les candidats traiteront les trois exercices.
		\item Les réponses des exercices $1$ et $2$ (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.
		\item L'exercice $3$ sera traité sur une copie à part.
		\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
		\item La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte dans l'évaluation.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1. \hfill 8 points}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.}
	
	\emph{On demande au candidat d'indiquer \underline{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte \underline{en cochant la case sur la grille  prévue à cet effet}.}
	
	\emph{Toute réponse juste est comptée $+1$ point, toute réponse fausse est comptée $-0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ points. Si le total est négatif, le note est ramenée à $0$.}
		
\end{sujet}

\subsubsection{QCM 1.}

\begin{sujet}
	
	La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{-x} -x+1$.
	
	L'image de $\ln 2$ par la fonction $f$ est :
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\displaystyle \frac{1}{2} - \ln 3$,
		\item $\displaystyle -1 - \ln 2$,
		\item $\displaystyle \frac{3}{2} -\ln 2$,
		\item $\displaystyle 3 - \ln 2$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $f(\ln 2)$.}
	
	\begin{align*}
		f(\ln 2) &= \mathrm{e}^{-\ln 2}- \ln(2)+1\\
		&= \mathrm{e}^{\ln \left( \frac{1}{2} \right)} - \ln (2)+1\\
		&= \frac{1}{2} - \ln (2) +1\\
		&= \frac{3}{2} - \ln(2)
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 2.}

\begin{sujet}
	
	Sur $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mathrm{e}^x-x \leqslant 1$ admet pour ensemble de solutions:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\emptyset$,
		\item $\{ 0 \}$,
		\item $[0 ; + \infty[$,
		\item $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Nous pourrions résoudre la question en usant d'arguments de convexité pour établir que la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$.}
	
	\medskip
	\objectif{Étudions les variations sur $\mathbb{R}$ de $f: x \mapsto \mathrm{e}^x -x$.}
	
	$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel \[ f'(x) = \mathrm{e}^{x}-1. \] Or \[ \mathrm{e}^x-1 >0 \Leftrightarrow x >0 \] et \[ \mathrm{e}^x-1 =0 \Leftrightarrow x =0 \] donc
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
			{$-\infty$ ,$0$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {+/ $+\infty$, - / $1$ / , + / $+\infty$ / }
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Nous en déduisons que $\mathrm{e}^x-x \leqslant 1$ si et seulement si $x=0$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: B.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 3.}

\begin{sujet}
	
	On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=x\mathrm{e}^x$.
	
	Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est définie sur $\mathbb{R}$ par:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\displaystyle F(x)=  -\frac{1}{2} x^2\mathrm{e}^{-x}$,
		\item $\displaystyle F(x)=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}$,
		\item $\displaystyle F(x)=-x \mathrm{e}^{-x}$,
		\item $\displaystyle F(x) =(1-x) \mathrm{e}^{-x}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}La méthode la plus simple consiste à dériver les fonctions $F$ proposées jusqu'à obtenir $f$. Nous allons procéder différemment, en usant d'un outil actuellement hors programme: l'intégration par parties.}
	
	\medskip
	Soient $a$ et $x$ des réels.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $\int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$.}
	
	$f$ est dérivable et sa dérivée est continue sur $\mathbb{R}$. Nous pouvons donc procéder à une intégration par parties.
	
	Notons $u(t)=t$ et $v'(t)=\mathrm{e}^{-t}$.
	
	Alors: $u'(t)=1$ et $v(t)=-\mathrm{e}^{-t}$.
	
	Par conséquent:
	
	\begin{align*}
		\int_a^x f(t) \ \mathrm{d}t &= \int_a^x u(t) \cdot v'(t)\ \mathrm{d}t\\
		&= \left[ u(t) \cdot v(t) \right]_a^x - \int_a^x u'(t) v(t)\ \mathrm{d}t \\
		&= \left[ t\mathrm{e}^t \right]_a^x - \int_a^x \mathrm{e}^{-t} \ \mathrm{d}t\\
		&= -x\mathrm{e}^{-x} + a\mathrm{e}^{-a} - \left[ -\mathrm{e}^{-t} \right]_a^x\\
		&= -x\mathrm{e}^{-x} - a\mathrm{e}^{-a} - \left( -\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-a} \right)\\
		&= -(x+1)\mathrm{e}^{-x} -(a+1) \mathrm{e}^{-a}
	\end{align*}
	
	En particulier pour $a=-1$ nous obtenons que $x \mapsto -(x+1)\mathrm{e}^{-x}$ est une primitive de $f$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: B.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 4.}

\begin{sujet}
	
	Pour tout réel $x$, l'expression $\displaystyle A(x) = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-3x}}{\mathrm{e}^{2x}} - \frac{ 1- \mathrm{e}^{-2x}}{\mathrm{e}^x}$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{3x}}$,
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{3x}(\mathrm{e}^{-2x}+1)$,
		\item $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{5x}}$,
		\item $\displaystyle \mathrm{e}^{-5x} - \mathrm{e}^{-3x}$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Exprimons différemment $A$.}
	
	\begin{align*}
		A(x) &= \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-3x}}{\mathrm{e}^{2x}} - \frac{ 1- \mathrm{e}^{-2x}}{\mathrm{e}^x}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-3x}}{\mathrm{e}^{2x}} - \frac{\mathrm{e}^x ( 1- \mathrm{e}^{-2x})}{\mathrm{e}^x \mathrm{e}^x}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-3x} - \mathrm{e}^x ( 1- \mathrm{e}^{-2x})}{\mathrm{e}^{2x}}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{-3x} + \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{2x}}\\
		&= \frac{\mathrm{e}^{3x} (\mathrm{e}^{-3x} + \mathrm{e}^{-x})}{\mathrm{e}^{3x}\mathrm{e}^{2x}}\\
		&= \frac{ 1 + \mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{5x}}\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C.
		
	\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{QCM 5.}

\begin{sujet}
	
	La limite  $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3 }{x-3}$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $0$,
		\item $+\infty$,
		\item $1$,
		\item $\displaystyle \frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{align*}
		\frac{\sqrt{x+6}-3 }{x-3} &= \frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3) }{(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}\\
		&= \frac{\sqrt{x+6}^2-3^2}{(x-3)( \sqrt{x+6}+3)}\\
		&= \frac{x+6-9}{(x-3)( \sqrt{x+6}+3)}\\
		&= \frac{x-3}{(x-3)( \sqrt{x+6}+3)}\\
		&= \frac{1}{ \sqrt{x+6}+3}
	\end{align*}
	
	Or \[ \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+6}+3 } = \frac{1}{\sqrt{9}+3}, \] donc \[ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3 }{x-3}= \frac{1}{6}. \]
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: D.
		
	\end{conclusion}
		
\end{correction}

\subsubsection{QCM 6.}

\begin{sujet}
	
	La fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(x-3) \ln x$ est:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item positive sur $]0;+ \infty[$,
		\item négative sur $]0 ; + \infty[$,
		\item négative sur $]0;1]$,
		\item positive sur $[3 ; + \infty[$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Étudions le signe de $f$.}
	
	Nous connaissons le signe des fonctions $x \mapsto x-3$ et $x \mapsto \ln x$ donc
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $x-3$ /0.8, $\ln x$ /0.8, $f(x)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$1$, $3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Nous en déduisons la réponse par lecture du tableau.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: D.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 7.}

\begin{sujet}
	
	Soit la fonction $f$ définie sur $]0; + \infty[$ par $f(x)= (x-3) \ln (2x)$.
	
	Sa fonction dérivée est définie sur $]0;+\infty[$ par:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\displaystyle \ln(2x)-\frac{x-3}{2x}$,
		\item $\displaystyle \ln(2x)+ \frac{x-3}{x}$,
		\item $\displaystyle \frac{1}{x}$,
		\item $\displaystyle \frac{1}{2x}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons la dérivée de $f$.}
	
	$f$ est un produit de fonctions dérivables sur $]0 ; + \infty[$: $f=uv$ avec $u(x)=x-3$ et $v(x)= \ln (2x)$. Donc: $u'(x)=1$ et $v'(x)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$.
	
	\begin{align*}
		f' &= u'v+uv'\\
		\intertext{Donc, pour tout $x\in ]0;+\infty[$}
		f'(x) &= 1 \times \ln(2x) + (x-3) \times \frac{1}{x}\\
		&= \ln (2x) + \frac{x-3}{x}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: B.
		
	\end{conclusion}
		
\end{correction}

\subsubsection{QCM 8.}

\begin{sujet}
	
	Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\displaystyle \left] \frac{5}{2} ; + \infty \right[ $ par $f(x)=(-2x+5)^{-4}$.
	
	Une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle  $\displaystyle \left] \frac{5}{2} ; + \infty \right[$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\displaystyle F(x)= \frac{1}{5} (-2x+5) ^{-5}$,
		\item $\displaystyle F(x)= \frac{1}{10} (-2x+5)^{-5}$,
		\item $\displaystyle F(x)= \frac{1}{6} (-2x+5)^{-3}$,
		\item $\displaystyle F(x)= -\frac{1}{3} (-2x+5)^{-3}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}La méthode la plus simple consiste à dériver les fonctions $F$ proposées jusqu'à obtenir $f$. Nous allons procéder différemment en exhibant une dérivée.}
	
	\medskip
	Soient $a$ et $x$ deux réels de $\displaystyle \left] \frac{5}{2} ; + \infty \right[$.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $\int_a^x f(t)\ \mathrm{d}t$.}
	
	$f$ est continue donc intégrable par conséquent:
	
	\begin{align*}
		\int_a^x f(t) \ \mathrm{d}t &= \int_a^x \frac{1}{(-2t+5)^4}\ \mathrm{d}t\\
		&= \int_a^x \frac{1}{-2} \cdot \frac{-2}{(-2t+5)^4}\ \mathrm{d}t\\
		&= -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{-3} \cdot \frac{1}{(-2t+5)^3} \right]_a^x\\
		&= \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{(-2x+5)^3} -\frac{1}{(-2a+5)^3} \right]
	\end{align*}
	
	En particulier $x \mapsto \frac{1}{6} \frac{1}{(-2x+5)^3}$ est une primitive de $f$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C.
		
	\end{conclusion}
		
\end{correction}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.}
	
	\emph{On demande au candidat d'indiquer \underline{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte \underline{en cochant la case sur la grille  prévue à cet effet}.}
	
	\emph{Toute réponse juste est comptée $+1$ point, toute réponse fausse est comptée $-0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ points. Si le total est négatif, le note est ramenée à $0$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{QCM 9.}

\begin{sujet}
	
	La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP.
	
	Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves et relève que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $10\ \%$ des élèves ont lu le $7^{\text{ème}}$ épisode,
		\item $38\ \%$ des élèves ont vu le $7^{\text{ème}}$ épisode au cinéma,
		\item $40\ \%$ de ceux qui ne l'ont pas lu, ont vu le $7 ^{\text{ème}}$ épisode au cinéma.
	\end{enumerate}
	
	La documentaliste prend une réponse au hasard parmi celles des élèves interrogés.
	
	La probabilité que l'élève soit aller voir le $7^{\text{ème}}$ épisode au cinéma sachant qu'il l'a lu est:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $0,3$,
		\item $0,2$,
		\item $0,038$,
		\item $0,04$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $L$: \og l'élève a lu \fg{} et $C$: \og l'élève est allé au cinéma \fg{}.
	
	La situation peut être représentée par l'arbre suivant:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (2,3);
			\coordinate (A2) at (2,1);
			\coordinate (A3) at (2,-1);
			\coordinate (A4) at (2,-3);
			\coordinate (B1) at (0,2);
			\coordinate (B2) at (0,-2);
			\coordinate (C1) at (-2,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$C$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{C}$};
			\draw node (A3) at (A3) {$C$};
			\draw node (A4) at (A4) {$\overline{C}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$L$};
			\draw node (B2) at (B2) {$\overline{L}$};
			\draw (C1)--(B1)node[midway,above]{$0,1$};
			\draw (C1)--(B2)node[midway,below]{$0,9$};
			\draw (B1)--(A1);
			\draw (B1)--(A2);
			\draw (B2)--(A3)node[midway,above]{$0,4$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway,below]{$0,6$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$\{ L; \overline{L} \}$ est un système complet d'évènements donc
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(C) &= \mathbb{P}(C \cap L) +\mathbb{P}(C \cap \overline{L} )\\
		\intertext{Donc:}
		0,38 &= \mathbb{P}(L) \cdot \mathbb{P}(C|L) + \mathbb{P}(\overline{L}) \cdot \mathbb{P}(C|\overline{L})\\
		0,38 &= 0,1 \mathbb{P}(C|L)+0,9 \times 0,4\\
		\intertext{D'où:}
		\mathbb{P}(C|L) &= 0,2
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: B.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 10.}

\begin{sujet}
	
	Un élève se présente à deux concours $C$ et $C'$ qui sont indépendants.
	
	Il a une chance sur trois de réussir le concours $C$ et une chance sur trois de réussir le concours $C'$.
	
	En pensant augmenter ses chances de réussite, l'élève décide de passer les deux concours. 
	
	La probabilité qu'il réussisse au moins un concours est:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $\displaystyle \frac{2}{3}$,
		\item $\displaystyle \frac{1}{9}$,
		\item $\displaystyle \frac{4}{9}$,
		\item $\displaystyle \frac{5}{9}$,
	\end{enumerate}
		
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Qu'il réussisse au moins un concours est un événement qui peut être noté $C \cup C'$.
	
	$C$ et $C'$ étant indépendants l'expérience peut être représentée par l'arbre:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (2,3);
			\coordinate (A2) at (2,1);
			\coordinate (A3) at (2,-1);
			\coordinate (A4) at (2,-3);
			\coordinate (B1) at (0,2);
			\coordinate (B2) at (0,-2);
			\coordinate (C1) at (-2,0);
			\draw node (A1) at (A1) {$C'$};
			\draw node (A2) at (A2) {$\overline{C'}$};
			\draw node (A3) at (A3) {$C'$};
			\draw node (A4) at (A4) {$\overline{C'}$};
			\draw node (B1) at (B1) {$C$};
			\draw node (B2) at (B2) {$\overline{C}$};
			\draw (C1)--(B1) node[midway,above]{$\frac{1}{3}$};
			\draw (C1)--(B2) node[midway,below]{$\frac{2}{3}$};
			\draw (B1)--(A1) node[midway,above]{$\frac{1}{3}$};
			\draw (B1)--(A2) node[midway,below]{$\frac{2}{3}$};
			\draw (B2)--(A3) node[midway,above]{$\frac{1}{3}$};
			\draw (B2)--(A4) node[midway,below]{$\frac{2}{3}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Donc
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(C \cup C') &= 1- \mathbb{P}(\overline{C} \cap \overline{C'})\\
		&= 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\\
		&= \frac{5}{9}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: D.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 11.}

\begin{sujet}
	
	Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathscr{N}(0; \sigma^2)$. Alors on a:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item $P(-2\sigma \leqslant X \leqslant 2 \sigma) \approx 0,99$,
		\item $P(X \geqslant 3 \sigma) \approx 0,005$,
		\item $P(X \leqslant - \sigma )\approx 0,6$,
		\item $P(X \geqslant 2\sigma) \approx 0,0025$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Le programme impose de savoir par cœur que, si $X \hookrightarrow \mathscr{N}(\mu ; \sigma ^2)$ alors \[ \begin{array}{l} \mathbb{P}(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,68 \\ \mathbb{P}(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95 \\ \mathbb{P}(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0,997 \end{array} \] }
	
	\medskip
	\begin{enumerate}[*]
		\item $\mathbb{P}(-2\sigma \leqslant X \leqslant 2 \sigma) \approx 0,95$.
	\end{enumerate}
	
	 Soit $\lambda \in \llbracket 1;3 \rrbracket$.
	
	Si
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(\mu -\lambda \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \lambda \sigma) &= \eta\\
		\intertext{alors, en consédérant les contraires:}
		\mathbb{P}\left[ (\mu - \lambda \sigma > X)\ \mathrm{ou}\ (X > \mu +\lambda \sigma ) \right] &= 1- \eta \\
		\intertext{La loi normale étant continue:}
		\mathbb{P}\left[ (\mu - \lambda \sigma \geqslant X) \ \mathrm{ou}\ (X \geqslant \mu +\lambda \sigma ) \right] &= 1- \eta \\
		\intertext{Par symétrie par rapport à la droite $x=\mu$:}
		\mathbb{P}(X \geqslant \mu-\lambda \sigma) &= \frac{1-\eta}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $\mathbb{P}(X \geqslant 3 \sigma ) \approx \frac{1- 0,997}{2} \approx 0,0015$.
		 
		 \item $\mathbb{P}(X \leqslant -\sigma ) \approx \frac{1- 0,68}{2} \approx 0,16$.
		 
		 \item $\mathbb{P}(X \geqslant 2 \sigma ) \approx \frac{1- 0,95}{2} \approx 0,025$.
		 
	\end{enumerate}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 12.}

\begin{sujet}
	
	Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé directe d'origine $O$.
	
	Les points $A$ et $B$ ont pour affixe respective $i$ et $-1$.
	
	L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z-i|= |z+1|$ est:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item la droite $(AB)$,
		\item le cercle de diamètre $[AB]$,
		\item la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $O$,
		\item le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le lieu géométrique, $\mathscr{L}$, des points $M$.}
	
	Remarquons que
	
	\begin{align*}
		AM &= |z - z_A|\\
		&= |z-i|\\
		\intertext{et}
		BM &= |z-z_B| \\
		&= |z+1|
	\end{align*}
	
	Par conséquent $\mathscr{L}$ est l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$. Autrement dit $\mathscr{L}$ est la médiatrice de $[AB]$.
	
	Nous vérifions aisément que: $|0-i|=|0+1|$ donc $O \in \mathscr{L}$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 13.}

\begin{sujet}
	
	Sur l'intervalle $[0;2\pi[$, l'équation $2 \sin ^2 x -\sin x -1 =0$:
	
	\begin{enumerate}[\hspace{2cm}A. ]
		\item n'admet pas de solution,
		\item admet deux solutions,
		\item admet trois solutions,
		\item admet une infinité de solutions.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Résolvons l'équation.}
	
	Notons $y=\sin x$ et $(E_1)$ l'équation proposée par l'énoncé.
	
	$x$ est solution si et seulement si $y$ vérifie \[ 2y^2-y-1=0 \quad (E_2). \]
	
	Il s'agit d'une équation polynomiale de degré deux.
	
	\begin{align*}
		\Delta &= b^2-4ac\\
		&= (-1)^2 -4\times 2 \times(-1)\\
		&= 9
	\end{align*}
	
	$\Delta >0$ donc $(E_2)$ admet deux solutions réelles distinctes:
	
	\noindent 
	\begin{tabular}{m{5.5cm}|m{5.5cm}}
		$\begin{aligned}
			y_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			&= \frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2 \times 2}\\
			&= -\frac{1}{2}
		\end{aligned}$
		&
		$\begin{aligned}
			y_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			&= \frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2 \times 2}\\
			&= 1
		\end{aligned}$
	\end{tabular}
	
	Ainsi $x$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si \[ \sin x = 1 \quad \text{ou} \quad \sin x=-\frac{1}{2} . \]
	
	Nous en déduisons l'ensemble des solutions de $(E_1)$: $\mathscr{S}_1 = \left\{ \frac{\pi}{2} ; -\frac{\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4} \right\}$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C.
		
	\end{conclusion}
		
\end{correction}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3. \hfill 7 points}

\begin{sujet}
	
	La durée d'attente, exprimée en heures, au service des urgences d'un hôpital peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif.
	
	On sait alors que pour tout réel $t$ strictement positif: $\displaystyle P(T \leqslant t) = \int_0^t \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\ \mathrm{d}x$.
	
	La fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)= \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}$ est la fonction de densité de la variable aléatoire $T$ et l'on note $\mathscr{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Interpréter graphiquement la probabilité $P(T \leqslant 1)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Interprétons géométriquement $\mathbb{P}(T \leqslant 1)$.}
		
		Puisque $x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}$ est positive, 
		
		\begin{conclusion}
			
			$P(T \leqslant 1) = \int_0^1 \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\ \mathrm{d}x$ représente l'aire située entre l'axe des abscisses, $\mathscr{C}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer où peut être lu graphiquement le paramètre $\lambda$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(0)=\lambda$ or $f$ est la dérivée de $t \mapsto \mathbb{P}(T \leqslant t)$ donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\lambda$ est l'ordonnée du point de $\mathscr{C}$ d'abscisse $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans la suite de l'exercice on suppose que $P(T\leqslant 1)=0,92$ et l'on admet que $\mathrm{e}^{-2,5}=0,08$ à $10^{-2}$ près.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la valeur exacte de $\lambda$. \emph{Dans la suite de l'exercice on prendra $\lambda =2,5$.}
		
	\end{sujet}

	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\lambda$.}
		
		\begin{align*}
			0,92 &= \mathbb{P}(T\leqslant 1) \\
			\intertext{équivaut successivement à}
			0,92 &= \int_0^1 \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\ \mathrm{d}x\\
			0,92 &= \left[ -\mathrm{e}^{-\lambda x} \right]_0^1\\
			0,92 &= -\mathrm{e}^{-\lambda} +1\\
			0,08 &= \mathrm{e}^{-\lambda}\\
			-\ln \left( 0,08 \right) &= \lambda
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\lambda =-\ln (0,08)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $P(1 \leqslant T \leqslant 2)$ à $10^{-2}$ près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(1 \leqslant T \leqslant 2)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(1 \leqslant T \leqslant 2) &= \int_1^2 \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\ \mathrm{d}x\\
			&= \left[ -\mathrm{e}^{-\lambda x} \right]_1^2\\
			&= -\mathrm{e}^{-2 \lambda} + \mathrm{e}^{-\lambda}\\
			&= \mathrm{e}^{-\lambda} \left( 1-\mathrm{e}^{-\lambda} \right)\\
		\end{align*}
		
		Or 
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^{-\lambda} &= \mathrm{e}^{\ln(0,08)}\\
			&= 0,08
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(1 \leqslant T \leqslant 2) &= 0,08(1-0,08)\\
			&= 0,0736
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(1 \leqslant T \leqslant 2) \approx 0,07$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $P(T>2)$ à $10^{-2}$ près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(T>2)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(T>2) &= 1- \mathbb{P} \left( \overline{T>2} \right) \\
			&= 1- \mathbb{P}( T \leqslant 2)\\
			&= 1 - \left[ \mathbb{P}(T < 1) + \mathbb{P} (1 \leqslant T \leqslant 2) \right]\\
			&= 1 - \left[ \mathbb{P}(T \leqslant 1) + \mathbb{P} (1 \leqslant T \leqslant 2) \right]\\
			&\approx 1-0,92-0,07\\
			&\approx 0,01
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(T>2)\approx 0,01$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Dans cet hôpital, un questionnaire est distribué aux patients:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item si la durée d'attente est inférieure ou égale à $1$ heure, les patients cochent la case "attente satisfaisante";
		\item si la durée d'attente est comprise strictement entre $1$ heure et $2$ heures, alors $80\ \%$ des patients cochent la case "attente satisfaisante" et $20\ \%$ des patients cochent la case "attente non satisfaisante";
		\item si la durée d'attente  est supérieure ou égale à $2$ heures, les patients cochent la case "attente non satisfaisante". 
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On prélève de façon aléatoire un questionnaire.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, de lire "attente satisfaisante".
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $S$: \og la personne indique que l'attente est satisfaisante \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(S)$.}
			
			La famille d'événements $\left\{  \ \{ T\leqslant 1 \};\ \{ 1 \leqslant T \leqslant 1 \};\ \{ 2 \leqslant T \} \ \right\}$ est un système complet d'événements donc \[ \mathbb{P}(S) = \mathbb{P}(S \cap \{ T \leqslant 1 \}) + \mathbb{P}(S \cap \{ 1 \leqslant T \leqslant 2 \}) + \mathbb{P}(S \cap \{ 2 \leqslant T \}).  \]
			
			Représentons la situation par un arbre pondéré.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
					\coordinate (A1) at (2,4);
					\coordinate (A2) at (2,1);
					\coordinate (A3) at (2,-1);
					\coordinate (A4) at (2,-4);
					\coordinate (B1) at (0,4);
					\coordinate (B2) at (0,0);
					\coordinate (B3) at (0,-4);
					\coordinate (C1) at (-2,0);
					\draw node (A1) at (A1) {$S$};
					\draw node (A2) at (A2) {$S$};
					\draw node (A3) at (A3) {$\overline{S}$};
					\draw node (A4) at (A4) {$\overline{S}$};
					\draw node (B1) at (B1) {$\{ T \leqslant 1 \}$};
					\draw node (B2) at (B2) {$\{ 1 \leqslant T \leqslant 2 \}$};
					\draw node (B3) at (B3) {$\{ 2 \leqslant T \}$};
					\draw (B1)--(A1);
					\draw (B2)--(A2)node[midway,above]{$0,8$};
					\draw (B2)--(A3)node[midway,below]{$0,2$};
					\draw (B3)--(A4);
					\draw (C1)--(B1)node[midway,above]{$0,92$};
					\draw (C1)--(B2)node[midway,above]{$\approx 0,07$};
					\draw (C1)--(B3)node[midway,below]{$\approx 0,01$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			Donc \[ \mathbb{P}(S)\approx 0,92 + 0,07 \times 0,8 +0. \]
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(S)\approx 0,97$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant que la case cochée est "attente satisfaisante", calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'elle provienne d'un patient ayant attendu entre $1$ heure et $2$ heures strictement.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}( \{ 1 \leqslant T \leqslant 2 \} | S)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}( \{ 1 < T < 2 \} | S) &=	\mathbb{P}( \{ 1 \leqslant T \leqslant 2 \} | S)\\
				&= \frac{ \mathbb{P} \left( \{ 1 \leqslant T \leqslant 2 \} \cap S \right)}{\mathbb{P}(S)}\\
				&\approx \frac{0,07 \times 0,8}{0,97}\\
				&\approx \frac{56}{97}
			\end{align*}
			
			$\opdiv[maxdivstep=3,displayintermediary=all,voperation=top]{56}{97}$
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}( \{ 1 \leqslant T \leqslant 2 \} | S) \approx 0,57$.
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On prélève de façon aléatoire deux questionnaires.
		
		Calculer la probabilité à $10^{-2}$ près, qu'au moins un patient ait coché la case "attente non satisfaisante".
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de patient insatisfaits parmi les deux interrogés.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X\ge 1)$.}
		
		Nous admettrons que le nombre de questionnaires est suffisamment nombreux pour que l'on puisse considérer deux tirages comme indépendants.
		
		Clairement $X \hookrightarrow \mathscr{B}(2;0,97)$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (2,3);
				\coordinate (A2) at (2,1);
				\coordinate (A3) at (2,-1);
				\coordinate (A4) at (2,-3);
				\coordinate (B1) at (0,2);
				\coordinate (B2) at (0,-2);
				\coordinate (C1) at (-2,0);
				\draw node (A1) at (A1){$\overline{S}$};
				\draw node (A2) at (A2){$S$};
				\draw node (A3) at (A3){$\overline{S}$};
				\draw node (A4) at (A4){$S$};
				\draw node (B1) at (B1){$\overline{S}$};
				\draw node (B2) at (B2){$S$};
				\draw (B1)--(A1) node[midway,above]{$0,03$};
				\draw (B1)--(A2) node[midway,below]{$0,97$};
				\draw (B2)--(A3) node[midway,above]{$0,03$};
				\draw (B2)--(A4) node[midway,below]{$0,97$};
				\draw (C1)--(B1) node[midway,above]{$0,03$};
				\draw (C1)--(B2) node[midway,below]{$0,97$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(X\geqslant 1) &= 2 \times 0,03 \times 0,97 + 0,03 \times 0,03\\
			&\approx 0,0927
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}( X \geqslant 1) \approx 0,09$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$