%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=Violet,urlcolor=Violet]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!7} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \hfill\rule{0.25\linewidth}{0.1pt} {Correction exercice \theExercicecorrection} \rule{0.25\linewidth}{0.1pt}\hfill}{\noindent \hfill\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}Fin de la correction\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}\hfill \medskip}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{MidnightBlue}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{MidnightBlue!10}}m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{Purple}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{Purple!5}}m{12cm}|}\hline \\}{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{Plum}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{Plum!5}}m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{RedViolet}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|>{\columncolor{RedViolet!5}}m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent \color{CadetBlue} \hfill \rule{0.25\linewidth}{0.1pt} {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \rule{0.25\linewidth}{0.1pt} \hfill \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{\noindent \hfill\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}Fin de la démonstration\rule{0.2\linewidth}{0.1pt}\hfill}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{E.S.A. 2016} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{ESA 2016.}

\begin{sujet}
	
		\begin{center}
		
		Épreuves d'admissibilité du concours 2016 d'admission à l'école de santé des armées .
		
		\medskip
		Catégorie baccalauréat - Sections: Médecine - Pharmacie.
		
		\medskip
		Mercredi 13 avril 2016.
		
		\medskip
		\textbf{Épreuve de mathématiques.}
		
		\medskip
		Durée: $1\ \text{heure} \ 30\ \text{minutes}$
		
		\medskip
		Coefficient $3$.
		
	\end{center}

	\begin{center}
		
		Avertissements:
		
		\medskip
		\begin{itemize}
			\item L'utilisation de calculatrices, règles à calculs, formulaires, papier millimétré, téléphones portables est interdite.
			
			\item Vérifiez que ce fascicule comporte $6$ pages numérotées de $1$ à $6$, page de garde comprise.
			
			\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
			
			\item Les candidats traiteront les trois exercices.
			
			\item Les réponses des exercices $n^{\circ}1$ et $n^{\circ}2$ (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.
			
			\item Toutes les réponses aux questions sous forme de QCM doivent être faites sur la grille de réponse jointe. Si le candidat répond aux questions QCM sur sa feuille et non sur la grille, ses réponses ne seront pas prises en compte par le correcteur.
			
			\item L'exercice $n^{\circ}3$ sera traité sur une copie à part.
		
		\end{itemize}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 1. \hfill (7 points)}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations, A, B, C ou D est exacte.}
	
	\medskip
	\emph{On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case prévue à cet effet.}
	
	\medskip
	\emph{Toute réponse juste est comptée $+1$ point. Toute réponse fausse est comptée $-0,25$ points. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{QCM 1.}

\begin{sujet}
	
	Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item La suite $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}$.
		
		\item La suite $(u_n)$ est majorée par $1,5$.
		
		\item La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$.
		
		\item La suite $(u_n)$ est majorée par $2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Pour conjecturer nous pouvons faire un schéma. 
	
	Notons $f:x \mapsto \sqrt{x+2}$. Nous avons donc $f(u_{n})=u_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Et si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge ce ne peut être que vers l'un de ses points fixes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-2.5};
			\def\yY{-2.5};
			\def\xZ{5.5};
			\def\yZ{5.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{sqrt(\x+2)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-2:5] plot(\x,{\x});
			\draw[blue] (3,4) node[fill=white] {$\mathscr{C}_f$};
			\draw [very thick,red] (0,0)
			--(0,{sqrt(2)})
			--({sqrt(2)},{sqrt(2)})
			--({sqrt(2)},{sqrt(sqrt(2)+2)})
			--({sqrt(sqrt(2)+2)},{sqrt(sqrt(2)+2)});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	{\color{orange}La courbe représentative de la fonction $f$ se déduit facilement de la courbe représentative de la fonction racine carrée par une translation de vecteur $-2\vec i$. Et la droite tracée est la première bissectrice.}
	
	\medskip
	Le graphique permet de rapidement conjecturer que la suite converge vers $2$ en étant strictement croissante.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: D. La suite est majorée par $2$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 2.}

\begin{sujet}
	
	Soit la suite $(u_n)$ pour laquelle on suppose que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n^2=+\infty$.
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n= + \infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{u_n}= + \infty$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{u_n}= 0$.
		
		\item $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n^3= + \infty$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Le contre-exemple fourni par la suite $\left( (-1)^{n}n \right)_{n\in\mathbb{N}}$ permet d'exclure les réponses A, B et D.
	
	\medskip
	\objectif{Démontrons néanmoins que la réponse C convient bien.}
	
	Puisque $\lim_{n \to + \infty} u_n^2=+\infty$, il existe un rang $N$ à partir duquel les termes de $(u_n^2)_{n\in \mathbb{N}}$ sont tous non nuls.
	
	Soit $n \geqslant N$ un entier naturel.
	
	\begin{align*}
		\left| \frac{1}{u_n} \right| &= \sqrt{ \left( \frac{1}{u_n} \right)^2}\\
		&= \sqrt{ \frac{1}{u_n^2}}
	\end{align*}
	
	Puisque $\lim_{n \to + \infty} u_n^2=+\infty$, $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{u_n^2}=0$.
	
	Puisque $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue en $0$: $\lim_{n \to + \infty} \sqrt{\frac{1}{u_n^2}}=0$.
	
	Donc $\lim_{n \to + \infty} \left| \frac{1}{u_n} \right|=0$.
	
	Finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{u_n}=0$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 3.}

\begin{sujet}
	
	La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP.
	
	Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves: $10\ \%$ des élèves ont lu le $7^{\text{ème}}$ épisode, $38\ \%$ des élèves ont vu le $7^{\text{ème}}$ épisode au cinéma et $40\ \%$ de ceux qui ne l'ont pas lu, ont vu le $7^{\text{ème}}$ épisode au cinéma.
	
	\medskip
	La documentaliste tire au hasard une réponse d'un des élèves interrogés.
	
	Quelle est la probabilité que l'élève soit allé voir le $7^{\text{ème}}$ épisode au cinéma sachant qu'il a lu le roman?
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $0,3$.
		
		\item $0,2$.
		
		\item $0,038$.
		
		\item $0,04$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $C$ l'événement  \og l'élève a vu le film au cinéma\fg{} et $R$ l'événement \og l'élève a lu le roman \fg{}.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $\mathbb{P}_R(C)$.}
	
	Nous pouvons schématiser la situation avec l'arbre probabiliste suivant:
	
	\begin{center}		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		 \coordinate (A1) at (4,3);
		 \coordinate (A2) at (4,1);
		 \coordinate (A3) at (4,-1);
		 \coordinate (A4) at (4,-3);
		 \coordinate (B1) at (2,2);
		 \coordinate (B2) at (2,-2);
		 \coordinate (C1) at (0,0);
		 \node (A1) at (A1) {$C$};
		 \node (A2) at (A2) {$\overline{C}$};
		 \node (A3) at (A3) {$C$};
		 \node (A4) at (A4) {$\overline{C}$};
		 \node (B1) at (B1) {$R$};
		 \node (B2) at (B2) {$\overline{R}$};
		 \draw (B1)--(A1);
		 \draw (B1)--(A2);
		 \draw (B2)--(A3)node[midway,above,sloped]{\small $0,4$};
		 \draw (B2)--(A4);
		 \draw (C1)--(B1)node[midway,above,sloped]{\small $0,1$};
		 \draw (C1)--(B2)node[midway,below,sloped]{\small $0,9$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Et nous savons également que $\mathbb{P}(C)=0,38$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous sommes tenté d'utiliser la définition de la probabilité conditionnelle mais il nous manque $\mathbb{P}(R \cap C)$. Commençons donc par calculer cette dernière probabilité.}
	
	\medskip
	Puisque $\{ R, \overline{R} \}$ constitue un système complet d'événements nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales: 
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(C) &= \mathbb{P}(C \cap R) + \mathbb{P}(C \cap \overline{R})\\
		\intertext{Nous en déduisons:}
		\mathbb{P}(C \cap R) &= \mathbb{P}(C)- \mathbb{P}(C \cap \overline{R})\\
		&= 0,38-\mathbb{P}(\overline{R}) \times \mathbb{P}_{\overline{R}}(C)\\
		&= 0,38 -0,9 \times 0,4\\
		&= 0,02
	\end{align*}
	
	Par définition de la probabilité conditionnelle:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}_R(C) &= \frac{\mathbb{P}(R \cap C)}{\mathbb{P}(R)} \\
		&= \frac{0,02}{0,1}
	\end{align*}
	
	Finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		$\mathbb{P}_R(C)= 0,2 $.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 4.}

\begin{sujet}
	
	Un groupe de coureurs participe à une course cycliste et ils subissent de façon aléatoire un contrôle antidopage.
	
	\medskip
	On appelle $T$ l'événement \og le contrôle est positif \fg{} et on admet que $p(T)=0,05$.
	
	On appelle $D$ l'événement \og le coureur est dopé\fg{}.
	
	Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à $100\ \%$, on sait que:
	
	\begin{enumerate}
		
		\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans $97\ \%$ des cas;
		
		\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans $1\ \%$ des cas.
		
	\end{enumerate}
	
	la probabilité que le coureur soit dopé est:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $\displaystyle \frac{95}{100}$.
		
		\item $\displaystyle \frac{98}{100}$.
	
		\item $\displaystyle \frac{29}{500}$.
		
		\item $\displaystyle \frac{1}{24}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
	
	Nous pouvons schématiser la situation avec l'arbre probabiliste suivant:
	
	\begin{center}		
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\node (A1) at (A1) {$T$};
		\node (A2) at (A2) {$\overline{T}$};
		\node (A3) at (A3) {$T$};
		\node (A4) at (A4) {$\overline{T}$};
		\node (B1) at (B1) {$D$};
		\node (B2) at (B2) {$\overline{D}$};
		\draw (B1)--(A1)node[midway,above,sloped]{\small $0,97$};
		\draw (B1)--(A2)node[midway,below,sloped]{\small $0,03$};
		\draw (B2)--(A3)node[midway,above,sloped]{\small $0,01$};
		\draw (B2)--(A4)node[midway,below,sloped]{\small $0,99$};
		\draw (C1)--(B1);
		\draw (C1)--(B2);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Et nous savons que $\mathbb{P}(T)=0,05$.
	
	\medskip
	Puisque $\{ D, \overline{D} \}$ constitue un système complet d'événements nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales: 
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(T) &= \mathbb{P}(T \cap D) + \mathbb{P}(T \cap \overline{D})\\
		\intertext{En utilisant la définition des probabilités conditionnelles (ou la formule des probabilités composées):}
		\mathbb{P}(T) &= \mathbb{P}(D)\mathbb{P}_D(T) + \mathbb{P}(\overline{D})\mathbb{P}_{\overline{D}}(T)\\
		\mathbb{P}(T) &= \mathbb{P}(D)\mathbb{P}_D(T) + \left[ 1-\mathbb{P}(D) \right]\mathbb{P}_{\overline{D}}(T)\\
		0,05 &=\mathbb{P}(D) \times 0,97 + \left[ 1- \mathbb{P}(D) \right] 0,01\\
		\intertext{D'où}
		0,05 - 0,01 &= (0,97-0,01) \mathbb{P}(D)\\
		\frac{1}{24} &= \mathbb{P}(D)
	\end{align*}
		
	Finalement
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: D. $\mathbb{P}(D)= \frac{1}{24}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 5.}

\begin{sujet}
	
	L'ensemble des solutions, dans $\mathbb{R}$, de l'équation: $\ln(x+3)+\ln(x-2)=\ln 14$ et:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $\{ -5;4\}$.
		
		\item $\{ -5 \}$.
		
		\item $\{ 4 \}$.
		
		\item $\emptyset$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Résolvons l'équation proposée en procédant par analyse et synthèse.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Analyse.}
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		Supposons que 
		
		\begin{align*}
			\ln (x+3) + \ln(x-2) &= \ln 14\\
			\intertext{On en déduit:}
			\ln\left[ (x+3)(x-2) \right] &= \ln 14\\
			\intertext{Et puisque $\ln$ est une bijection:}
			(x+3)(x-2) &= 14\\
			\intertext{En développant:}
			x^2+x-20 &= 0
		\end{align*}
		
		Il s'agit d'une équation polynomiale de degré deux que nous allons résoudre.
		
		\begin{align*}
			\Delta &= b^2-4ac\\
			&= 1^2-4 \times 1 \times (-20)\\
			&= 81
		\end{align*}
		
		$\Delta >0$ donc l'équation admet deux racines distinctes:
		
		\noindent
		\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
			$\begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-1-\sqrt{81}}{2 \times 1}\\
				&= -5
			\end{aligned}$
			
			&
			
			$\begin{aligned}
				x_1 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
				&= \frac{-1+\sqrt{81}}{2 \times 1}\\
				&= 4
			\end{aligned}$
			
		\end{tabular}
		
		\medskip
		L'ensemble des solutions de l'équation est donc $\mathscr{S}=\{4;-5\}$.
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Des solutions précédemment obtenues une seule convient, $4$, puisque $\ln$ n'est définie que sur $\mathbb{R}_+^*$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C. $\{ 4 \}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 6.}

\begin{sujet}
	
	Pour tout réel $x$ strictement positif, $\mathrm{e}^{-3\ln x}$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $x^3$.
		
		\item $\frac{1}{x^3}$.
		
		\item $-3x$.
		
		\item $-x^3$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Exprimons $\mathrm{e}^{-3 \ln x}$.}
	
	Soit $x\in \mathbb{R}_+^*$.
	
	\begin{align*}
		\mathrm{e}^{-3 \ln x} &= \mathrm{e}^{\ln \left( x^{-3} \right)}\\
		&= \exp \circ \ln \left( x^{-3} \right)\\
		&= x^{-3}\\
		&= \frac{1}{x^3}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: B.
		
	\end{conclusion}
\end{correction}
\subsubsection{QCM 7.}

\begin{sujet}
	
	L'ensemble des solutions, dans $\mathbb{R}$, de l'inéquation: $\left( \mathrm{e}^x-3 \right) \left( \mathrm{e}^{x} +1 \right) \geqslant 0$ est:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $\displaystyle ]-\infty , -1] \cup [ 3, +\infty[$.
		
		\item $]-\infty , \ln 3 ]$.
		
		\item $[\ln3, + \infty[$.
		
		\item $\mathbb{R}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{résolvons l'inéquation par analyse-synthèse.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item {\color{orange}Analyse.}
		
		{\color{orange}Procédons à un changement de variable pour simplifier l'inéquation.}
		
		Pour $x \in \mathbb{R}$, notons $X= \mathrm{e}^x$.
		
		{\color{orange}$X$ ne peut prendre que des valeurs strictement positives, mais nous y reviendrons dans la phase de synthèse.}
		
		Notre inéquation s'écrit maintenant: $(X-3)(X+1) \geqslant0$.
		
		En utilisant un tableau de signe:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3.2 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$X$ /0.8, $X-3$ /0.8, $X+1$ /0.8, $(X-3)(X+1)$ /0.8}
			{$-\infty$ ,$-1$, $3$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}%
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}%
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Ainsi nécessairement: $X \geqslant 3$. Ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^{x} &\geqslant 3\\
			\ln \left( \mathrm{e}^{x} \right) &\geqslant \ln 3, \quad \text{car $\ln$ est strictement coirssante.}\\
			x &\geqslant \ln 3
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Si $x \in [\ln 3; +\infty[$, alors $\mathrm{e}^x \geqslant 3$ et donc $x$ est bien solution de l'inéquation.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C. $[\ln 3, +\infty[$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Exercice 2. \hfill (7 points)}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations, A, B, C ou D est exacte.}
	
	\medskip
	\emph{On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case prévue à cet effet.}
	
	\medskip
	\emph{Toute réponse juste est comptée $+1$ point. Toute réponse fausse est comptée $-0,25$ points. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{QCM 8.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle I=\int_0^1 \left( \mathrm{e}^{2x}-x \right)\ \mathrm{d}x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle I= \mathrm{e}^2-2$.
		
		\item $\displaystyle I= 2\mathrm{e}^2-2$.
		
		\item $\displaystyle I= \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^2-1 \right)$.
		
		\item $\displaystyle I= \frac{1}{2}\mathrm{e}^2-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $I$.}
	
	\begin{align*}
		I &= \left[ \frac{1}{2} \mathrm{e}^{2x} -\frac{1}{2}x^2 \right]_0^1\\
		&= \frac{1}{2} \mathrm{e}^{2} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\
		&= \frac{1}{2} \mathrm{e}^{2} -1
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse D. $I=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2} -1$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 9.}

\begin{sujet}
	
	Soit le nombre complexe $\displaystyle z=\frac{1+i}{1-i}$.
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		
		\item L'écriture algébrique de $z$ est $-i$.
		
		\item L'écriture algébrique de $z$ est $\sqrt{2}i$.
		
		\item Un argument de $z$ est égale à $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.
		
		\item Le module de $z$ est $\sqrt{2}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons l'écriture algébrique de $z$.}
	
	En utilisant les quantités conjuguées:
	
	\begin{align*}
		z &= \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\\
		&= \frac{1^2+2i+i^2}{1^2-i^2}\\
		&= \frac{2i}{2}\\
		&= i
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C. Un argument de $z$ est $\frac{pi}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 10.}

\begin{sujet}
	
	Soit $f(x)=4x\mathrm{e}^{-x}$ pour tout $x$ réel.
	
	La dérivée $f'(x)$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		
		\item $3\mathrm{e}^{-x}+4x$.
		
		\item $(4x-1)\mathrm{e}^{-x}$.
		
		\item $-4\mathrm{e}^{-x}$.
		
		\item $(4-4x)\mathrm{e}^{-x}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la dérivée de $f$.}
	
	$f=uv$ avec, pour tout $x$ réel, $u(x)=4x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$. $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ réel, $u'(x)=4$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^x$.
	
	$f$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et:
	
	\begin{align*}
		f' &= u'v+uv'\\
		\intertext{Pour tout $x$ réel:}
		f'(x) &= 4 \times \mathrm{e}^{-x} + 4x \times \left( -\mathrm{e}^{-x}\right)\\
		&= (4-4x) \mathrm{e}^{-x}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: D. $f'(x)= (4-4x) \mathrm{e}^{-x}$ quelque soit $x$ réel.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 11.}

\begin{sujet}
	
	Soit $x$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[-4,2]$ telle que $f(x)=a|x|$, $a\in\mathbb{R}$.
	
	Alors $a$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		\item $-0,2$.
		\item $0,2$.
		\item $0,25$.
		\item $0,1$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la densité $f$ par conditions nécessaire et suffisante.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item{\color{orange}Analyse.}
		
		Puisque $f$ est une densité de probabilité sur $[-4,2]$, nécessairement
		
		\begin{align*}
			\int_{-4}^2 f(t)\ \mathrm{d}t &=1 \\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
			\int_{-4}^2 a|t|\ \mathrm{d}t &= 1\\
			\int_{-4}^0 a(-t)\ \mathrm{d}t + \int_0^2at\ \mathrm{d}t &= 1\\
			\left[ -\frac{a}{2}t^2 \right]_{-4}^0 + \left[ \frac{a}{2}t^2 \right]_0^2 &= 1 \\
			8a+2a &= 1\\
			a &= \frac{1}{10}
		\end{align*}
		
		\item {\color{orange}Synthèse.}
		
		Il est clair, en reprenant les précédents calculs, que si $a=0,1$, $f$, qui est une fonction continue sur $[-4,2]$, est bien une densité de probabilité.
	
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse D. $a=0,1$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 12.}

\begin{sujet}
	
	On considère que la durée de vie, exprimée en années, d'un médicament est une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ telle que $P(X \leqslant 1) =0,18$, alors:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		
		\item $\displaystyle \lambda =\ln \left( \frac{50}{41} \right)$.
		
		\item $\displaystyle \lambda = -\ln \left( 18 \right)$.
		
		\item $\displaystyle \lambda = - \ln \left( 0,82 \right)$.
		
		\item $\displaystyle \lambda = \frac{\ln \left( 0,82 \right)}{ \ln (100)}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons $\lambda$.}
	
	Par définition de la loi exponentielle:
	
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(X \leqslant 1) &= \int_0^{1} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t} \ \mathrm{d}t \\
		&= \left[ -\mathrm{e}^{-\lambda t} \right]_0^1 \\
		&= - \mathrm{e}^{-\lambda} +1
	\end{align*}
	
	Or, d'après l'énoncé:
	
	\begin{align*}
		-\mathrm{e}^{-\lambda}+1 &= 0,18 \\
		\intertext{donc:}
		\mathrm{e}^{-\lambda} &= 0,82\\
		\ln \circ \exp\left( -\lambda \right) &= \ln (0,82)\\
		-\lambda &= \ln(0,82)
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: C. $\lambda =-\ln(0,82)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 13.}

\begin{sujet}
	
	Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $N(0,1)$.
	
	$p(-1<X<1)$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		
		\item $1-2p(X>1)$.
		
		\item $2 \left[ p(X<1)-1 \right]$.
		
		\item $1-2p(X<1)$.
		
		\item $2p(X>1)-1$.
		
	\end{enumerate} 
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	$X$ est centrée donc $\mathbb{P}(-1 < X < 1)=2 \mathbb{P}(0 \leqslant X<1)$.
	
	De plus
	\begin{align*}
		\mathbb{P}(0\leqslant X <1) &= \mathbb{P}\left( X \in [0,+\infty[ \setminus [1,+\infty[ \right)\\
		&= \mathbb{P} \left( X\in [0,+\infty[ \right) -\mathbb{P} \left( X\in [1,+\infty[ \right) \\
		&= \frac{1}{2}-\mathbb{P}(X>1)
	\end{align*}
	
	Ainsi
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse: A. $\mathbb{P}(-1<X<1)=1-2\mathbb{P}(X>1)$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{QCM 14.}

\begin{sujet}
	
	Après avoir examiné $100$ personnes, on a constaté que $20\ \%$ d'entre elles étaient malades. L'intervalle de confiance, au niveau asymptotique $95\ \%$, de la probabilité qu'une personne examinée soit malade peut être estimée par:
	
	\begin{enumerate}[A. ]
		
		\item $[0,10;0,20]$.
		\item $[0,15;0,25]$.
		\item $[0,10;0,30]$.
		\item $[0,05;0,35]$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 3. \hfill (6 points)}

\begin{sujet}
	
	Après l'administration d'un médicament par voie orale chez un patient, sa concentration plasmatique dans le sang, en $\mathrm{g}/ \mathrm{L}$, en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $C$ définie sur $[0,+\infty[$ par: \[ C(t)= 3 \left( 	\mathrm{e}^{-t} - \mathrm{e}^{-2t} \right),\ \text{où $t$ est le temps exprimé en heures.} \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $C(0)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{calculons $C(0)$.}
		
		\begin{align*}
			C(0) &= 3\left( \mathrm{e}^0- \mathrm{e}^{-2 \times 0} \right)\\
			&= 3 (1-1)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$C(0)=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la limite de la fonction $C$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter ce résultat vis-à-vis du patient.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $\lim_{t \to + \infty}C(t)$.}
		
		{\color{orange}Il y a une forme indéterminée pour lever l'indétermination factorisons par $\mathrm{e}^{-t}$.}
		
		\medskip
		Soit $t \in \mathbb{R}_+$.
		
		\begin{align*}
			C(t) &= 3\mathrm{e}^{-t} \left( 1-\mathrm{e}^{-2t} \mathrm{e}^{t} \right)\\
			&= 3 \mathrm{e}^{-t} \left( 1 - \mathrm{e}^{-t} \right)
		\end{align*}
		
		Puisque $\mathrm{e}^{-t} \underset{t \to + \infty}{\longrightarrow} 0$, nous en déduisons $1-\mathrm{e}^{-t} \underset{t \to + \infty}{\longrightarrow} 1$.
		
		Enfin: $\mathrm{e}^{-t} \left( 1-\mathrm{e}^{-t} \right) \underset{t \to + \infty}{\longrightarrow} 0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \lim_{t \to + \infty} C(t)=0$. La concentration du médicament tend vers $0$, autrement dit le médicament disparaît peu à peu du sang.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la dérivée $C'(t)$ de $C(t)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
			
		\objectif{Calculons $C'$.}
		
		$C$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0,+\infty[$, donc est dérivable sur $\mathbb{R}_+$. 
		
		Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$:
		\begin{align*}
			C'(t) &= 3\left( -\mathrm{e}^{-t} - (-2)\mathrm{e}^{-2t} \right) \\
			&= -3\mathrm{e}^{-t} \left( 1-2\mathrm{e}^{-t} \right)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout $x\in [0,+\infty[$, $C'(x)=-3\mathrm{e}^{-t} \left( 1-2 \mathrm{e}^{-t} \right)$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dresser le tableau complet de variation de la fonction $C$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Dressons le tableau de signe de $C'$.}
		
		$\mathrm{e}^{-t} \geqslant 0$ quelque soit $t \in \mathbb{R}_+$.
		
		\medskip
		Soit $f \in \mathbb{R}_+$.
		\begin{align*}
			1-2 \mathrm{e}^{-t} > 0 &\Leftrightarrow 1 > 2\mathrm{e}^{-t} \\
			&\Leftrightarrow \frac{1}{2} > \mathrm{e}^{-t}\\
			\intertext{Et puisque $\ln:]0,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ est une bijection strictement croissante:}
			1-2 \mathrm{e}^{-t} > 0 &\Leftrightarrow \ln \left( \frac{1}{2} \right) >-t\\
			&\Leftrightarrow -\ln \left( \frac{1}{2} \right) <t\\
			&\Leftrightarrow \ln 2 <t
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons le tableau de signe et de variation suivant.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $-3\mathrm{e}^{-t}$ /0.8, $1-2\mathrm{e}^{-t}$ /0.8, $C'(t)$ /0.8, $C$ /1.6}
			{$0$ ,$\ln 2$, $+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabLine{,-,z,+,}%
			\tkzTabVar {-/ $0$, + / $C(\ln 2)$, - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Et 
		
		\begin{align*}
			C(\ln 2) &= 3 \left( \mathrm{e}^{-\ln 2} -\mathrm{e}^{-2 \ln 2} \right) \\
			&= 3 \left( \mathrm{e}^{\ln \frac{1}{2}} -\mathrm{e}^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)^2 } \right) \\
			&= 3 \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{4} \right)\\
			&= \frac{3}{4}
		\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner la valeur maximale de la concentration sous sa forme la plus simplifiée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la question précédente:
		
		\begin{conclusion}
			
			La concentration maximale est de $0,75\ \mathrm{g}/\mathrm{L}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $\displaystyle C(t)=\frac{2}{3}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation $C(t) = \frac{2}{3}$ dans $\mathbb{R}_+$.}
		
		En procédant au changement de variable $X= \mathrm{-t}$ l'équation peut s'écrire:
		
		\begin{align*}
			3 \left( X- X^2 \right) &= \frac{2}{3}\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à}
			X- X^2 &= \frac{2}{9}\\
			-X^2 + X -\frac{2}{9} &= 0
		\end{align*}
		
		Nous reconnaissons une équation polynomiale de degré deux.
		
		\begin{align*}
			\Delta &= b^2-4ac\\
			&= 1^2-4 \times (-1) \times \left( -\frac{2}{9} \right)\\
			&= \frac{1}{9}
		\end{align*}
		
		$\Delta>0$ donc l'équation polynomiale de degré deux admet deux racines distinctes.
		
		\noindent
		\begin{tabular}{m{5cm}|m{5cm}}
			$\begin{aligned}
			x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			&= \frac{-1-\sqrt{\frac{1}{9}}}{2 \times (-1)}\\
			&= \frac{2}{3}
			\end{aligned}$
			
			&
			
			$\begin{aligned}
			x_1 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
			&= \frac{-1+\sqrt{\frac{1}{9}}}{2 \times (-1)}\\
			&= \frac{1}{3}
			\end{aligned}$
			
		\end{tabular}
		
		Ainsi nécessairement:
		
		\begin{align*}
			\mathrm{e}^{-t}=\frac{2}{3} &\quad \text{ou}\quad \mathrm{e}^{-t}= \frac{1}{3} \\
			-t=\ln \left( \frac{2}{3} \right) &\quad \text{ou} \quad -t=\ln \left( \frac{1}{3} \right)\\
			t= \ln\left( \frac{3}{2} \right) &\quad \text{ou} \quad t=\ln 3
		\end{align*}
		
		Il est aisé de vérifier que $\ln \left(\frac{3}{2} \right)$ et $\ln 3$ sont effectivement des solutions de l'équation $C(t)=\frac{2}{3}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$C(t)=\frac{2}{3}$ si et seulement si $t \in \left\{ \ln \left( \frac{3}{2} \right) , \ln 3 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire sur quelle période de temps la concentration du médicament est supérieure ou égale à $\displaystyle \frac{2}{3}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après la question précédente et le tableau de variation de $C$, nous pouvons affirmer que 
		
		\begin{conclusion}
			
			la concentration en médicament est supérieure à $\frac{2}{3}$ si et seulement si $t \in \left[ \ln \left( \frac{3}{2} \right) , \ln 3 \right]$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}