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% Packages #
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\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

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\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
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% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{}
\newenvironment{sujet}{}{}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
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\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
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\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
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\newcounter{Proposition}
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\newcounter{Corollaire}
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\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}}

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\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
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\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
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%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
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#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques - \thepage]{\small Mathématiques. - \thepage}% l left, c center, r right
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\cfoot[\small ESSA 2014 - \thepage]{\small ESSA 2014 - \thepage}
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%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
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\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{ESA 2014.}

\begin{center}

Concours 2014 d'admission dans les écoles du service de santé des armées .

Catégorie baccalauréat - Sections: Médecine - Pharmacie.

\end{center}

Avertissement:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.
	\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
	\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
	\item Les candidats traiteront les trois exercices.
	\item Les réponses des exercices $n^{\circ }1$ et $n^{\circ }2$ (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.
	\item L'exercice $n^{\circ }3$ sera traité sur une copie à part.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1. \hfill 7 points.}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} 

Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point.

Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
\bigskip

	\begin{enumerate}[\text{QCM }1]
	\item Soit la fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x)=\mathrm{e}^{-x}-x+4$.
	
	Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $h'(x)=e^{-x}-1$.
	\item $h$ admet un maximum.
	\item $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.
	\item l'équation $h(x)=5$ a une solution unique dans l'ensemble des réels.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse D.
	
	$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$:
	\begin{align*}
	h'(x) &= -\mathrm{e}^{-x}-1\\
	\intertext{Donc:}
	h'(x) >0 &\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-x}< -1
	\end{align*}
	L'exponentielle étant toujours positive on en déduit le tableau de variation de $h$:
	
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTab[lgt=1.8,espcl=3]{ $t$ / 1, $h’(t)$ / 1, $h$ / 2}
		{ $-\infty$ ,$+\infty$}
		{ ,-,}
		{ +/$+\infty$ , -/ $-\infty$}%
		\end{tikzpicture}
	
	Seule la réponse D est cohérente avec ce tableau de variation.
	
	\end{correction}
	
	\item Dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation $-2 x \mathrm{e}^{-x+1}\geqslant 0$ a pour ensemble de solutions:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
	\item $\emptyset$.
	\item $\{0\}$.
	\item $]-\infty;0]$.
	\item $[0;+\infty[$ .
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	$\forall x\in\mathbb{R},\ \mathrm{e}^{-x+1}>0$
	
	donc: $$-2 x \mathrm{e}^{-x+1}\geqslant 0 \Leftrightarrow x\le 0$$
	
	\end{correction}
	
	\item On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_1^\mathrm{e}{t^2\ln(t)}\text{d}t$.
	
	On pourra, pour calculer $I$, utiliser la dérivée de la fonction $h$ définie sur $[1;\mathrm{e}]$ par $h(t)=t^3[3\ln(t)-1]$. 
	
	La valeur exacte de $I$ est:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $(2e^3+1)/9$.
	\item $2e^3+1$.
	\item $(e^2-2e)/9$.
	\item $(e^2+2e)/9$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	réponse A.
	
	$h$ est définie et dérivable sur $[1\ ;\ \mathrm{e} ]$ et pour tout $x$ dans cet intervalle:
	\begin{align*}
	h'(x) &= (3x^2)[3\ln (x) -1]+x^3\left[\frac{3}{x} \right]\\
	&= 9x^2 \ln(x)-3x^2+3x^2\\
	&= 9x^2\ln(x)\\
	\intertext{D'où:}
	x^2\ln(x)&=\frac{1}{9}h'(x)\\
	\intertext{On en déduit:}
	I &=\frac{1}{9}\left[h'(x) \right]_1^{\mathrm{e}}\\
	&= \frac{1}{9}\left[h(\mathrm{e})- h(1)\right]
	\end{align*}
	Or $h(\mathrm{e})=2\mathrm{e}^3$ et $h(1)=-1$, donc:
	\begin{align*}
	I &=\frac{1}{9}\left[ 2\mathrm{e}^3+1\right]\\
	&= \frac{2\mathrm{e}^3+1}{9}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x$.
	
	La dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f'(x)=$:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $-\sin x$.
	\item $\cos x$.
	\item $\cos x+x \sin x$.
	\item $\cos x-x \sin x$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse D.
	\end{correction}
	
	\item Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\cos x.$
	
	La primitive  $F$ de $f$ telle que $F(0)=1$ est définie pour tout réel $x$ par $F(x)=$:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $\frac{x^2}{2}\sin x+1$.
	\item $-\frac{x^2}{2}\sin x+1$.
	\item $\cos x+x \sin x$.
	\item $\cos x-x \sin x$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	La condition $F(0)=1$ est vraie pour tous.
	
	On peut dériver toutes les propositions pour retrouver $f$.
	
	Il est également possible (hors programme) de procéder à une intégration par parties:
	\begin{align*}
	\int_0^x t\cos t\ \mathrm{d} t +1 &= \left[ t\sin t \right] _0^x - \int_0^x \sin t \ \mathrm{d} t +1\\
	&=x\sin x-\left[ -\cos t\right]_0^x+1\\
	&= x\sin (x) +\cos (x) -\cos (0) +1\\
	&= \cos x +x\sin x
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item L'intégrale $I=\displaystyle\int_2^4{\frac{3x}{x^2-1}}\text{d}x$ est égale à :

	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $3\ln(12)$.
	\item $1,5\ln(5)$.
	\item $1,5\ln(12)$.
	\item autre.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	La forme de la fonction à intégrer autant que la forme des propositions incitent à penser à une dérivée logarithmique.
	
	Notons: $f(x)=\frac{3}{2}\ln (x^2-1)$.
	
	On remarque que $f'(x)=\frac{3x}{x^2-1}$.
	
	On en déduit:
	\begin{align*}
	I &= \left[ f(x) \right] _2^4\\
	&= f(4)-f(2)\\
	&= \frac{3}{2}\ln (4^2-1) -\frac{3}{2}\ln (2^2-1)\\
	&=\frac{3}{2} [ \ln (15) -\ln (3) ]\\
	&= \frac{3}{2}\ln\left( \frac{15}{3}\right)\\
	&= 1,5\ln (5)
	\end{align*}
	\end{correction}

	\item On considère la fonction $f$ dérivable sur $]0;+\infty[ $ et définie par $f(x)=\dfrac{-x^2-2\ln x}{x}$.

La limite de $f$ en $+\infty$ est égale à:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $0$.
	\item $-\infty$.
	\item $+\infty$.
	\item 1.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	\begin{align*}
	f(x) &= -x-2\frac{\ln x}{x}
	\end{align*}
	
	Or: $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0$, donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
	\end{correction} 
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2 \hfill 7 points}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} 

Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,5$ point.

Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

\bigskip

	\begin{enumerate}[\text{QCM }1]
	
	\item Une solution de l'équation $2z+\overline{z}=9+ \text{i}$ est :
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $18- \text{i}$.
	\item $1$.
	\item $3+ \text{i}$.
	\item $9- \mathbf{i}$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	Notons $y$ la partie imaginaire de $z$. D'après l'équation on a l'égalité sur les parties imaginaires: $2y-y=1$. Donc: $y=1$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence: $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2$:

	\medskip
	\begin{enumerate}[A.]
	\item la suite $u$ est géométrique.
	\item la suite $u$ est arithmétique.
	\item la suite $u$ est majorée par 3.
	\item la suite $u$ est convergente vers 2.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique.
	
	Notons: $\forall n\in \mathbb{N},\ w_n=u_{n+1}-u_n$. 
	
	Nous remarquons: $\forall n\in\mathbb{N},\ w_{n+1}=\frac{1}{3}w_n$. Autrement dit $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$. 
	
	Exprimons $u_n$ avec $w_n$ en remarquant le télescopage des termes:
	\begin{align*}
	\sum_{k=0}^{n-1} w_k &= u_n -u_0\\
	\intertext{La somme des premiers termes d'une suite géométrique nous permet d'écrire:}
	w_0 \frac{1-\left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1}}{1-\frac{1}{3}} &= u_n-1
	\end{align*}
	
	Or $w_0=u_1-u_0=\frac{1}{3}u_0+2-u_0=\frac{4}{3}$, donc:
	\begin{align*}
	\frac{4}{3}\times \frac{1-\left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1}}{\frac{2}{3}}+1 &= u_n\\
	\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \right]+1 &= u_n\\
	2 \left[ 1-\left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \right]+1 &= u_n
	\end{align*}
	
	Nous remarquons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite croissante, convergente vers 3. Par conséquent: $\forall n\in \mathbb{N},\ u_n\le 3$.
	
	\bigskip
	Correction courte.
	
	$u$ n'est ni arithmétique ni géométrique et si elle converge vers une limite $l$ alors nécessairement $l=\frac{1}{3}l+2 \Leftrightarrow l=3$. Les réponses A, B et D sont donc exclues.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item On considère trois suites $u$, $v$, et $w$ qui vérifient la propriété suivante:
	
	Pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n<v_n<w_n.$
	
	Si $\displaystyle\lim _{n\to +\infty}(u_n)=2$ et $w_{n}=u_n+\frac{1}{n},$ alors:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item on ne peut pas dire que la suite $(v_n)$ converge.
	\item la suite $(v_n)$ n'a pas de limite.
	\item  $\displaystyle\lim _{n\to +\infty}(v_n)>2$.
	\item $\displaystyle\lim _{n\to +\infty}(v_n)=2$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	
	Réponse D.
	
	$\displaystyle
	\left\{\begin{array}{l}
	\displaystyle\lim_{n+\infty}u_n=2\\
	\displaystyle\lim_{n+\infty} u_n+\frac{1}{n}=2\\
	\forall n\in \mathbb{N},\ u_n<v_n<w_n
	\end{array}\right. 
	\Rightarrow \lim_{n+\infty} v_n=2$
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Un sac contient 4 boules noires et 3 boules rouges.On tire successivement et sans remise 2 boules du sac. Sachant que la première boule tirée est noire, la probabilité de la seconde soit noire est
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $\dfrac{2}{7}$.
	\item $\dfrac{4}{7}$.
	\item $\dfrac{1}{2}$.
	\item $\dfrac{2}{3}$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	Si la première boule est noire alors le tirage de la seconde boule se fait parmi 3 noires et 3 rouge. Les tirages étant, \emph{a priori}, équiprobables on en déduit la probabilté d'obtenir une boule noire: $P(N)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
		
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item On lance un dé cubique bien équilibré et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de dé.
	
	Soit les événements:
	
	$I$ : \og le numéro est inférieur ou égal à 3 \fg.
	
	$M$ : \og le numéro est un multiple de 3 \fg.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $P(I\cup M)= \frac{5}{6}$.
	\item $P(I\cap M)= \frac{1}{2}$.
	\item $I$ et $M$ sont incompatibles.
	\item $I$ et $M$ sont indépendants.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse D.
	
	$I=\{ \ 1\ ;\ 2 \ ;\ 3 \ \}$ et $M=\{ \ 3\ ;\ 6 \ \}$. Donc: $P(I\cup M)=\frac{4}{6}$, $P(I\cap M)=\frac{1}{6}$.
	
	$P(I)+P(M)=\frac{1}{2}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\ne \frac{4}{6}=P(I\cup M)$: $I$ et $M$ sont donc compatibles.
	
	$P(I)\times P(M)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{6}=\frac{1}{6}=P(I\cap M)$: $I$ et $M$ sont indépendants.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Une maladie frappe $2\,\%$ de la population d'un pays. Pour dépister cette maladie, on utilise un test. On sait que:
		\begin{itemize}
		\item la probabilité que le test soit positif, sachant que l'individu est malade, est  0,9 ;
		\item la probabilité que le test soit négatif, sachant que l'individu n'est pas malade, est  0,9.
		\end{itemize}
	
	\medskip
	
	On note les événements:
	
	$M+$: \og l'individu est malade \fg 
	
	$M-$: \og l'individu n'est pas malade \fg 
	
	$T+$: \og le test est positif \fg 
	
	$T-$: \og le test est négatif \fg 
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $P_{M+}(T+)$ vaut 0,1.
	\item $P(T+)$ vaut 0,278.
	\item $P(T+)$ vaut 0,22.
	\item $P_{T+}(M+)$ vaut 0,16.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse D.
	
	\tikzstyle{racine}=[rounded corners=0pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=0cm]
\tikzstyle{noeud}=[rounded corners=3pt,fill=lightgray!35, text centered,text width=1cm]
\begin{tikzpicture}
	\node[noeud](A1)at(0,1.2){$T+$};
	\node[noeud](A2)at(0,0.4){$T-$};
	\node[noeud](A3)at(0,-0.4){$T+$};
	\node[noeud](A4)at(0,-1.2){$T-$};
	\node[noeud](B1)at(-2,0.8){$M+$};
	\node[noeud](B2)at(-2,-0.8){$M-$};
	\node[racine] (C1)at(-4,0){};
	\draw (B1)--(A1)node[midway, above]{$0,9$};
	\draw (B1)--(A2)node[midway, below]{$0,1$};
	\draw (B2)--(A3)node[midway, above]{$0,1$};
	\draw (B2)--(A4)node[midway, below]{$0,9$};
	\draw (C1)--(B1)node[midway, above]{$0,02$};
	\draw (C1)--(B2)node[midway, below]{$0,98$};
\end{tikzpicture}

	\medskip
	D'après l'arbre: $P_{M+}(T+)=0,9$.
	
	\begin{align*}
	\intertext{Formule des probabilités totales:}
	P(T+) &= P(M+\cap T+) +P(M-\cap T+)\\
	&= P(M+)\times P_{M+}(T+)+P(M+)\times P_{M-}(T+)\\
	&= 0,02\times 0,9 +0,98 \times 0,1\\
	&= 0,018+0,098\\
	&= 0,116
	\end{align*}
	
	\begin{align*}
	P_{T+}(M+) &=\frac{P(M+\cap T+)}{P(T+)}\\
	&= \frac{0,02\times 0,9}{0,116}\\
	&=\frac{0,018}{0,116}\\
	&= \frac{18}{116}\\
	&= \frac{9}{58}
	\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\medskip
		
	\item $X$ est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[2;20]$.
	
	La probabilité $P_{X>6}(5<X<10)$ est égale à :
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
	\item $\dfrac{5}{18}$.
	\item $\dfrac{5}{14}$.
	\item $\dfrac{2}{7}$.
	\item $\dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
		
	La densité de la loi uniforme sur $[2\ ;\ 20]$ est définie par: $$\forall t\in [2\ ;\ 20],\ f(t)=\frac{1}{20-2} \text{ et sinon } f(t)=0$$
	
	\begin{align*}
	P_{X>6}(5<X<10) &= \frac{P\left[ (5<X<10)\cap (6<X) \right]}{P(6<X)}\\
	&= \frac{P(5<X<10)}{P(6<X)}
	\end{align*}
	
	Or:
	\begin{align*}
	P(6<X<10) &= \int_6^{10} \frac{\mathrm{d} t}{18}\\
	&= \frac{1}{18}\left[ t \right]_6^{10}\\
	&= \frac{4}{18}\\
	&= \frac{2}{9}
	\end{align*}
	
	et:
	\begin{align*}
	P(6<X) &= \int_6^{20} \frac{\mathrm{d} t}{18}\\
	&= \frac{14}{18}
	&=\frac{7}{9}
	\end{align*}
	
	donc:
	\begin{align*}
	P_{X>6}(5<X<10) &= \frac{\frac{2}{9}}{\frac{7}{9}}\\
	&= \frac{2}{7}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3 \hfill 6 points}

Un essai thérapeutique est réalisé chez des patients atteints d'une maladie associée à une très forte mortalité. Les données de cet essai sont correctement ajustées par un modèle de survie exponentielle.

Soit $X_A$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_A=0,22$.\\

C'est à dire $P(X_A\leqslant t)=\int_0^t{0,22 \mathrm{e}^{-0.22 x}}\text{d}x$.\\


Soit $X_B$ la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda_B=0,11$.\\

C'est à dire $P(X_B\leqslant t)=\int_0^t{0,11 \mathrm{e}^{-0.11 x}}\text{d}x$.\\


$t$ représente le temps en années avec $t\geqslant 0$.\\

Avec un traitement $A$, la probabilité de survie  à l'instant $t$ est égale à $S_A(t) = P(X_A>t)$.\\

Avec un traitement $B$, la probabilité de survie  à l'instant $t$ est égale à $S_B(t) = P(X_B>t)$.\\


Aide aux calculs $\mathrm{e}^{-2,2}\approx 0,111$ et $\sqrt{0,111}\approx 0,333$.

\medskip
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $P(X_A\leqslant 10)$.
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	P(X_A\le 10 ) &= \int_0^{10} 0,22 \mathrm{e}^{-0,22x}\ \mathrm{d}x\\
	&= \left[ -\mathrm{e}^{-0,22x} \right] _0^{10}\\
	&= 1-\mathrm{e}^{-0,22\times 10}\\
	&\approx 1-0,111\\
	&\approx 0,999
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Démontrer que pour tout réel $t$ positif, $S_A(t)= \mathrm{e}^{-0,22 t}$.
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	S_A(t) &= P(X_A>t)\\
	&= 1-P(X_A\le t)\\
	&=1- \int_0^{t} 0,22 \mathrm{e}^{-0,22x}\ \mathrm{d}x\\
	&=1- \left[ -\mathrm{e}^{-0,22x} \right] _0^{t}\\
	&=1- 1+\mathrm{e}^{-0,22\times t}\\
	&= \mathrm{e}^{-0,22t}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item Donner le tableau de variation complet de la fonction $S_A$. Justifier.
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	La fonction $S_A$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}_+$ et pour tout $t\ge 0$: $$S_A'(t)= -0,22\mathrm{e}^{-0,22t}$$
	Donc $S_A$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+$.
	
	De plus: $\displaystyle \lim_{t\to +\infty } \mathrm{e}^{-0,22t}=0$
	
	On en déduit le tableau de variation de $S_A$. 
	
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTab[lgt=1.8,espcl=3]{ $t$ / 1, $S_A’(t)$ / 1, $S_A(t)$ / 2}
		{ $0$ ,$+\infty$}
		{ ,-,}
		{ +/$1$ , -/ $0$}%
		\end{tikzpicture}	
	
	Car $S_A(0)=1$.
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Calculer la probabilité de survie à 10 ans dans le cas du traitement B.
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	En procédant de même que pour le traitement $A$ on obtient: $S_B(t)=\mathrm{e}^{-0,11t}$.
	
	La probabilité de survie à 10 ans dans le cas du traitement $B$ est donc: 
	\begin{align*}
	S_B(10) &=\mathrm{e}^{-0,11\times 10}\\
	&= \mathrm{e}^{-1,1}\\
	&= \left( \mathrm{e}^{-2,2}\right) ^{\frac{1}{2}}\\
	&= \sqrt{\mathrm{e}^{-2,2}}\\
	&\approx \sqrt{0,111}\\
	&\approx 0,333
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Calculer la probabilité de survie à 5 ans dans le cas du traitement A.
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	S_A(5) &= \mathrm{e}^{-0,22\times 5}\\
	&= \mathrm{e}^{-1,1}\\
	\intertext{Et comme à la question précédente:}
	&\approx 0,333
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Le rapport de survie des traitements A et B est-il constant au cours du temps?
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	le rapport de survie est:
	\begin{align*}
	\frac{S_A(t)}{S_B(t)} &= \frac{\mathrm{e}^{-0,22t}}{\mathrm{e}^{-0,11t}}\\
	&= \mathrm{(-0,22+0,11)t}\\
	&= \mathrm{-0,11t}
	\end{align*}
	
	Ce n'est donc pas une fonction constante du temps.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Pour $t$ fixé, établir la relation entre la survie dans le cas du traitement A et la survie dans le cas du traitement B.
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Comme: $\mathrm{e}^{-0,22t}=\mathrm{e}^{2\times (-0,11)t}=\left( \mathrm{e}^{-0,11t}\right)^2$ on en déduit: $S_A(t)=\left[ S_B(t)\right] ^2$.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}
\end{document}
