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\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

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\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

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% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{}
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\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

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\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


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\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

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\newcounter{Definition}
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\newcounter{Theoreme}
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\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

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\newcounter{Corollaire}
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\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
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\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

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%Test conditionnel pour l'affichage    #
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%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
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#2
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%en tête puis pied de page
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\cfoot[\small ESSA 2013 - \thepage]{\small ESSA 2013 - \thepage}
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%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
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\begin{document}

\section{ESA 2013.}

\begin{center}

Concours 2013 d'admission dans les écoles du service de santé des armées .

Catégorie baccalauréat - Sections: Médecine - Pharmacie.

\end{center}

\begin{sujet}

Avertissement:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.
	\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
	\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
	\item Les candidats traiteront les trois exercices.
	\item Les réponses des exercices $n^{\circ }1$ et $n^{\circ }2$ (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.
	\item L'exercice $n^{\circ }3$ sera traité sur une copie à part.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1. \hfill 7 points.}

\begin{sujet}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} 

Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point.

Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
\bigskip

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[\text{QCM }1]
	
	\item \begin{sujet} 
	
	$\displaystyle\lim_{x\to - \infty}{\dfrac{2x+3}{\mathrm{e}^x}}$ est égale à:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $2$.
	\item $+\infty$.
	\item $-\infty$.
	\item $0$.
	\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	$\displaystyle \dfrac{2x+3}{\mathrm{e}^x}= (-2y+3)\mathrm{e}^{y}$, avec $y=-x$. On en déduit la limité lorsque $y \to +\infty$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère une fonction $u$ définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. On note $u'$ sa fonction dérivée. On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à $I$ par $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$.
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item on ne peut pas déterminer le sens de variation de $f$ .
	\item la fonction $f$ est décroissante sur $I$.
	\item la fonction $f$ est croissante sur $I$.
	\item la fonction $f$ est croissante puis décroissante sur $I$.
	\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse A.
	
	Si $u(x)=x$ et $I=[1\ ;\ 2]$, alors $f(x)=\ln x$ est strictement croissante sur $I$.
	
	Si $u(x)=\frac{1}{x}$ et $I=[1\ ;\ 2]$, alors $f'(x)=\frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}=-\frac{1}{x}$ et donc $f$ est strictement décroissante.
	 
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	Dans $\mathbb{R}$ l'équation $\mathrm{e}^{2x}+ 2\mathrm{e}^x - 3 = 0$
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item admet une unique solution.
	\item admet exactement deux solutions.
	\item admet une infinité de solutions.
	\item n'admet aucune solution.
	\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse A.
	
	Changement de variable: $Y=\mathrm{e}^x$ avec $Y\in\mathbb{R}_+^*$. L'équation s'écrit alors: $Y^2+2Y-3=0$. 
	
	$\Delta= b^2-4ac=16$. Donc deux solutions possibles: 
	
	\medskip
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
	$\begin{aligned} 
	Y_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
	&=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\times 1}\
	&= -3
	\end{aligned}$ 
	&
	$\begin{aligned}
	Y_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
	&=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\times 1}\
	&= 1
	\end{aligned}$
	\end{tabular}
	
	Mais comme $Y>0$ une seule solution est possible:
	\begin{align*}
	Y &= 1\\
	\mathrm{e}^x &= 1\\
	\ln \left[ \mathrm{e}^x \right] &= \ln 1\\
	x &= 0
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	Dans une bibliothèque, on trouve $150$ romans et $50$ biographies. $40\,\%$ des écrivains de romans sont français et $70\,\%$ des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les deux cents ouvrages. 
	
	La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $0,9$.
	\item $0,475$.
	\item $0,7$.
	\item $0,3$.
	\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	Il est possible d'utiliser la formule des probabilités totales. Il est également possible de calculer directement le nombre d'ouvrages en français:
	$$\frac{40}{100}\times 150 +\frac{70}{100}\times 50= \frac{6000}{100}+\frac{3500}{100}=\frac{9500}{100}=95$$
	La probabilité de choisir un livre écrit par un Français est:
	$$\frac{95}{200}=\frac{47,5}{100}=0,475$$
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives: $a = - 1 + \text{i}$ ; $b = 2\text{i}$ ; $c = 2 - 2\text{i}$. Le triangle $ABC$ est:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item quelconque.
	\item isocèle en $A$.
	\item rectangle en $A$.
	\item rectangle en $C$.
	\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse A.
	
	Qu'il soit isocèle ou rectangle il faudra calculer les longueurs des côtés.
	
	\begin{align*}
	AB &= |a-b|\\
	&= |-1+i-(2i)|\\
	&= |-1-i|\\
	&= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\\
	&=\sqrt{2}
	\end{align*}
	
	\begin{align*}
	AC &= |a-c|\\
	&= |-1+i-(2-2i)|\\
	&= |-3 -i|\\
	&= \sqrt{(-3)^2+(-1)^2}\\
	&= \sqrt{10}
	\end{align*}
	
	\begin{align*}
	BC &= |b-c|\\
	&= |2i-(2-2i)|\\
	&= |-2+4i|\\
	&= \sqrt{(-2)^2+4^2}\\
	&= \sqrt{20}
	\end{align*}
	
	Si $ABC$ est rectangle alors ce ne peut être qu'en $A$ (car l'hypoténuse serait alors le plus long côté à savoir $[BC]$). Or l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc $ABC$ n'est pas rectangle.
	
	Il n'est clairement pas non plus isocèle.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère trois suite $(u_n),~~(v_n),~~(w_n)$ qui vérifient la propriété suivante:
	
	Pour tout entier naturel $n$ strictement positif: $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$.
	
	Si $u_n = \dfrac{2n^2 - 1}{n^2}$ et $w_n=\dfrac{2n^2 + 3}{n^2}$ alors:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle\lim_{}{w_n}=0$.
	\item $\displaystyle\lim{v_n}=2$.
	\item $\displaystyle\lim{u_n}=-1$.
	\item la suite $(v_n)$ n'a pas de limite.
	\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	$\left\{ \begin{array}{l}
	u_n \underset{n\to +\infty }{\rightarrow} 2\\
	u_n \underset{n\to +\infty }{\rightarrow} 2\\
	\forall n\in \mathbb{N},\ u_n\le v_n \le w_n
	\end{array} \right. \Rightarrow \lim_{n\to +\infty}v_n=2$
	
	d'après le théorème d'encadrement des limites.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2. \hfill 8 points}

\begin{sujet}

On considère la fonction  $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = \dfrac{3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}.\]
 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ et par $F$ la primitive de $f$ qui vérifie $F(0) = 0$.

Dans le repère orthonormé d'unité $2\ \mathrm{cm}$ ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ tracée représente la fonction $f$ et la droite $D$ est sa tangente au point $A\left(0,\dfrac{3}{2}\right)$.

\end{sujet}

\subsubsection*{Première partie.}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{f(x)}$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{f(x)}$. Que peut-on en déduire ?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item \underline{Étudions $\lim_{x\to -\infty}f(x)$}.
		
		\medskip
		\[ \left\{ \begin{array}{l} \lim_{x\to -\infty}3\mathrm{e}^x=0\\
		\lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^x+1 = 1 \end{array} \right.
		\Rightarrow \lim_{x\to -\infty } \frac{3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x +1}=0 \]
		
		Donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ et la courbe représentative de $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $-\infty$.
		
		\item \underline{Étudions $\lim_{x\to +\infty}f(x)$}.
		
		\medskip
		Nous modifions la présentation de $f$ en, pour tout $x\in \mathbb{R}$ 
		\[ f(x)=\frac{3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x +1}
		= \frac{3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x\left( 1 +\frac{1}{\mathrm{e}^x}\right)}
		= \frac{3}{ 1+\frac{1}{\mathrm{e}^x} } \]

		Puis \[ \left( \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\mathrm{e}^x}=0 \right) \Rightarrow \left( \lim_{x\to+\infty} \frac{3}{1+\frac{1}{\mathrm{e}^x}}=3 \right) \]
		
		Donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$ et la courbe représentative de $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=3$ en $+\infty$.
		\end{enumerate}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $x$ réel,$\displaystyle f'(x)=\frac{3\mathrm{e}^x}{\left( \mathrm{e}^x+1 \right)^2}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\underline{Déterminons l'expression de $f'$.}
		
		\medskip
		Notons $u(x)=3\mathrm{e}^x$ et $v(x)=\mathrm{e}^x+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
		
		Comme $f=\frac{u}{v}$, que $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et que $v$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		
		De plus pour tout $x\in\mathbb{R}$
		\begin{align*}
		f'(x) &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left( v(x)\right) ^2}\\
		&= \frac{3\mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^x+1\right) -3\mathrm{e}^x\mathrm{e}^x}{\left(\mathrm{e}^x+1\right)^2}\\
		&= \frac{3\mathrm{e}^{2x} +3 \mathrm{e}^x -3\mathrm{e}^{2x}}{\left(\mathrm{e}^x+1\right)^2}\\
		&= \frac{3\mathrm{e}^x }{\left(\mathrm{e}^x+1\right)^2}
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Étudier le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variation complété des limites.
		
		\end{sujet}
		 
		 \begin{correction}
		 
		 \underline{Étudions le signe de $f'$.}
		 
		 \medskip
		 \[ \forall x\mathbb{R},\  \left\{ \begin{array}{l}
		 \left( \mathrm{e}^x+1\right)^2 >0\\
		 3\mathrm{e}^x >0
		 \end{array} \right.
		 \Rightarrow \frac{3\mathrm{e}^x}{\left( \mathrm{e}^x+1\right)^2} >0 \]
		 Ainsi $\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x)>0$.
		 
		 \medskip
		 Nous en déduisons que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

		 \medskip
		 \underline{Tableau de variation de $f$.}
		 
		 \medskip
		 \begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=3]{$x$ /1, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,}%
		\tkzTabVar { - / $0$ ,+/ $3$  }
		\end{tikzpicture}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer une équation de la droite $D$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\underline{Déterminons l'équation de $D$.}
		
		La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A\left( 0,\frac{3}{2}\right)$ existe et admet une équation réduite puisque $f$ est dérivable en $0$.
		
		De plus cette équation réduite s'écrit successivement
		\begin{align*}
		y &= f'(0)(x-0)+f(0)\\
		y&= \frac{3\mathrm{e}^0}{\left(\mathrm{e}^0+1\right)^2}x+\frac{3\mathrm{e}^0}{\mathrm{e}^0+1} \\
		y &= \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}
		\end{align*}
		
		\medskip
		Une lecture graphique de cette équation était sans doute acceptable.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
		
\subsubsection*{Deuxième partie.}

	\begin{enumerate}
	\item  \begin{sujet}
	
	Pour tout réel $x$, exprimer $F(x)$ en fonction de $x$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Déterminons $F$.}
	
	\medskip
	$f$ étant continue sur $\mathbb{R}$ elle est intégrable sur tout segment $[a,b]\subset\mathbb{R}$.
	
	$F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en 0. Autrement dit pour tout $x\in\mathbb{R}$ \[ F(x)=\int_{0}^x f(t)\ \mathrm{d}t \]
	Nous remarquons dans l'expression de $f$ une dérivée logarithmique: $f(x)=3\frac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=\mathrm{e}^x+1$ et $u$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$. D'où
	\begin{align*}
	F(x) &= \left[ 3\ln\left(\mathrm{e}^t+1 \right)  \right]_0^x\\
	&= 3\ln\left(\mathrm{e}^x+1 \right)-3\ln\left(\mathrm{e}^0+1 \right)\\
	&=  3\ln\left(\mathrm{e}^x+1 \right)-3\ln 2
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Vérifier que $F(1) = 3\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}+1}{2}\right)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{align*}
	F(1) &=  3\ln\left(\mathrm{e}^1+1 \right)-3\ln 2\\
	&= 3[\ln(\mathrm{e}+1)-\ln(2) ]\\
	&= 3\ln\left( \frac{\mathrm{e}+1}{2}\right)
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Sur le graphe ci-dessous, le domaine grisé est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
	
	Calculer l'aire en unités d'aires de ce domaine.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Interprétons l'aire grisée.}
	
	\medskip
	L'aire grisée est délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
	La fonction $f$ est positive donc l'aire grisée est l'intégrale de $f$ sur $[0,1]$.
	
	\medskip
	\underline{Calcul de l'aire.}
	
	\medskip
	\[ \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t =F(1)-F(0) \]
	Or $F(0)=0$ par construction de $F$ et $F(1)=3\ln\left( \frac{\mathrm{e}+1}{2}\right)$ d'après la question précédente, donc \[ \int_0^1 f(t)\ \mathrm{d}t =3\ln\left( \frac{\mathrm{e}+1}{2}\right) \]
	Comme dans le repère orthomormé une unité correspond à $2\ \mathrm{cm}$ (et donc $1\ \mathrm{u.a.} \leftrightarrow 4\ \mathrm{cm}^2$) l'aire en unités d'aire du domaine grisé est $\displaystyle 12\ln\left( \frac{\mathrm{e}+1}{2}\right)$.
	
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-6, -2) grid (6,6);
	\draw[ ->,very thick] (-6, -0) -- (6, 0) node[above left,fill=white]{\footnotesize $x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, -2) -- (0, 6) node[below right,fill=white]{\footnotesize $y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-6,-4,-2,2, 4, 6}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in { 2, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\y /2}\pgfmathresult};
		\draw[blue, very thick][samples=100,domain=-6:6] plot(\x,{2*3*exp(\x /2)/ (exp(\x /2)+1)});
		\draw (5,4)  node[fill=white] {\color{blue} $\mathcal{C}_f$};
		\draw[purple, thick][samples=100,domain=-6:4] plot(\x,{2*(0.75*\x /2+1.5)});
		\draw (-4,-1)  node[fill=white] {\color{purple} $D$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (0,{2*3*exp(0 /2)/ (exp(0 /2)+1)})
			-- plot [domain=0:2] (\x,{2*3*exp(\x /2)/ (exp(\x /2)+1)})
			-- (2,{2*3*exp(2 /2)/ (exp(2 /2)+1)})
			-- (2,0) 
			--(0,0)
			-- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	\end{sujet}

\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3. \hfill 6 points}

\begin{sujet}

Une usine d'assemblage de pièces détachées possède $100$~robots. On considère que chacun de ces robots a une probabilité de $0,1$ d'être en panne. Le bon fonctionnement d'un robot est indépendant des autres robots. Soit $X$ le nombre de robots en panne dans cette usine.

\medskip

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Justifier soigneusement. Donner l'expression de $P(X = k)$, pour tout $k\in \{0,\dots,\np{100}\}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Montrons que $X\hookrightarrow \mathcal{B}(100;0,1)$.}
	
	\medskip
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Vérifier le bon fonctionnement d'un robot constitue une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og le robot est en panne\fg{} a une probabilité de $p=0,1$.
		\item L'épreuve de Bernoulli est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=100$ fois. Il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli.
		\end{enumerate}
	$X$ qui compte e nombre de succès du schéma de Bernoulli suit donc une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,1$.
	
	\medskip
	\underline{Expression de $P(X=k)$.}
	
	\medskip
	Si $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$, alors pour tout $k\in\{ 0,\dots,100\}$ \[ P(X=k)=\binom{100}{k} 0,1^k(1-0,1)^{100-k} \]
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire $X$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	Si $X\hookrightarrow \mathcal{B}(100;0,1)$ alors son espérance est \[ E(X)=np=100\times 0,1=10 \]
	
	sa variance est \[ V(X)=np(1-p)=9 \]
	
	et son écart type est \[ \sigma =\sqrt{V(X)}=3\]
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	 
Pour la suite de l'exercice, on donne les valeurs des $P(X = k)$ et des $P(X\leqslant k)$ pour $k$ variant de 0 à 20 arrondi à $10^{-5}$ près. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline $k$ & $p(X=k)$ & $p(X \leqslant k)$ \\ 
\hline 0 & \np{0,00003} & \np{0,00003} \\ 
\hline 1 & \np{0,00030} & \np{0,00032} \\ 
\hline 2 & \np{0,00162} & \np{0,00194} \\ 
\hline 3 & \np{0,00589} & \np{0,00784} \\ 
\hline 4 & \np{0,01587} & \np{0,02371} \\ 
\hline 5 & \np{0,03387} & \np{0,05758} \\ 
\hline 6 & \np{0,05958} & \np{0,11716} \\ 
\hline 7 & \np{0,08890} & \np{0,20605} \\ 
\hline 8 & \np{0,11482} & \np{0,32087} \\ 
\hline 9 & \np{0,13042} & \np{0,45129} \\ 
\hline 10 & \np{0,13187} & \np{0,58316} \\ 
\hline 11 & \np{0,11988} & \np{0,70303} \\ 
\hline 12 & \np{0,09879} & \np{0,80182} \\ 
\hline 13 & \np{0,07430} & \np{0,87612} \\ 
\hline 14 & \np{0,05130} & \np{0,92743} \\ 
\hline 15 & \np{0,03268} & \np{0,96011} \\ 
\hline 16 & \np{0,01929}  & \np{0,97940} \\ 
\hline 17 & \np{0,01059} & \np{0,98999} \\ 
\hline 18 & \np{0,00543} & \np{0,99542} \\ 
\hline 19 & \np{0,00260} & \np{0,99802} \\ 
\hline 20 & \np{0,00117} & \np{0,99919} \\ 
\hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item \begin{sujet}
	
	Quelle est la probabilité que dans un lot de $100$~robots, il y ait au moins trois robots défectueux ?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	La probabilité que dans un lot de $100$~robots, il y ait au moins trois robots défectueux est
	\begin{align*}
	P(X\ge 3) &= 1-P(X<3)\\
	&= 1-P(X\le 2)\\
	&= \np{0,00194}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer au seuil de $95\ \%$ l'intervalle de fluctuation associé à la loi vérifiée par $X$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Nous lisons dans le tableau:
	\begin{align*}
	P(X\le 4) & \le 0,025\\
	P(X\le 5) & >0,025\\
	P(X\le 15 ) &< 0,975\\
	P(X\le 16 ) &\ge 0,975
	\end{align*}
	
	Donc l'intervalle de fluctuation, au seuil de $95\ \%$ associé à la loi vérifiée par $X$ est: $\left[ \frac{5}{100},\frac{16}{100} \right]$.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=3]{$x$ /1, $f'(x)$ /1.5, $f$ /1.5}
{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,}%
\tkzTabVar {D-/ / $-\infty$,+/ $+\infty$ / }
\end{tikzpicture}

