%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}


\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser comment et l'affichage conditionnel

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{}
\newenvironment{sujet}{}{}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=formname,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!15, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small  Mathématiques - \thepage]{\small  Mathématiques - \thepage}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small ESSA 2012 - \thepage]{\small ESSA 2012 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicesdumanuel}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{ESA 2012.}

\begin{center}

Concours 2013 d'admission dans les écoles du service de santé des armées .

Catégorie baccalauréat - Sections: Médecine - Pharmacie.

\end{center}

Avertissement:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.
	\item Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
	\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
	\item Les candidats traiteront les trois exercices.
	\item Les réponses des exercices $n^{\circ }1$ et $n^{\circ }2$ (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.
	\item L'exercice $n^{\circ }3$ sera traité sur une copie à part.
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1. \hfill 6 points.}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant sur la grille prévue à cet effet.} 

Toute réponse juste est comptée $+1$point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point.

Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

\bigskip

	\begin{enumerate}[\text{QCM }1]
	
	\item On considère, dans le plan complexe, les points $M$ et $N$ d'affixes respectives: 
	
	\[z_{\text{M}} =  \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et}\quad  z_{\text{N}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}.\]
	
	Le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour image, par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, le point $J$. L'affixe de $J$ est: 
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $z_{\text{J}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
	\item $z_{\text{J}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
	\item $z_{\text{J}} = \sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$.
	\item $z_{\text{J}} = \sqrt{2} \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	     
	Affixe de $I$ milieu de $[MN]$: $z_I=\frac{z_M+z_N}{2}=1+\mathrm{i}$.
	
	Puisque $J$ est l'image de $I$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$:
	$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}= \frac{z_J-z_O}{z_I-z_O}$
	
	Donc: $z_J = z_I \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$.
	
	Or: $z_I=1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\mathrm{e}^{ \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$, donc: $z_J =\sqrt{2}\mathrm{\mathrm{i}\left( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} \right)}=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$.
		
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Un élève se présente à deux concours $C_{1}$ et $C_{2}$. Ces deux concours sont indépendants. Il  a une chance sur trois de réussir au concours $C_{1}$ et une chance sur trois de réussir au concours $C_{2}$. 
	
	La probabilité $P$ pour que l'élève réussisse au moins un concours est: 
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $\dfrac{5}{9}$.
	\item $\dfrac{2}{3}$.
	\item $\dfrac{1}{9}$.
	\item $\dfrac{2}{9}$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse A.
	
	La probabilité qu'il réussisse au moins l'un des concours est: $P(C_1\cup C_2)$.
	
	Or: $P(C_1\cup C_2)=P(C_1)+p(C_2)-P(C_1\cap C_2)$ et comme les probabilités sont indépendantes: $P(C_1\cap C_2)= P(C_1)P(C_2)$, donc $P(C_1\cup C_2)=\frac{1}{3 }+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{5}{9}$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item On considère l'intégrale : $I = \displaystyle\int_{0}^1  \dfrac{2}{x^2 + 2x + 1}\:\text{d}x$. 
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $I = - 1$.
	\item $I = 0$.
	\item $I = 1$.
	\item $I = 2$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	$\frac{2}{x^2+2x+1}=\frac{2}{(x+1)^2}$
	
	Et une primitive de cette fonction est: $x\mapsto \frac{-2}{x+1}$, donc:
	
	\begin{align*}
	I &= \displaystyle\int_{0}^1  \dfrac{2}{x^2 + 2x + 1}\:\text{d}x\\
	&= \left[ \frac{-2}{x+1} \right]_0^1\\
	&= 1
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x - 1}{\ln (x -1)}$	est:
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $]0\ ;\ + \infty[$.
	\item $]1\ ;\ 2[\: \cup\: ]2\ ;\ +\infty[$.
	\item $]1\ ;\ + \infty[$.
	\item $]0\ ;\ 1[\: \cup\: ]1\ ;\ + \infty[$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	Il faut que $\ln (x-1)$ soit définie donc: $x-1>0$ c'est-à-dire $x>1$. Et de plus il faut que le dénominateur $\ln (x-1)$ soit non nul et donc $x\ne 2$.
	
	D'où l'ensemble de définition: $]1\ ;\ 2[\cup ]2\ ;\ +\infty [$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Toute suite $\left(u_{n}\right)$ avec $n > 0$ telle que : $\dfrac{2}{n^2}\leqslant u_{n} \leqslant 1 + \dfrac{1}{n}$ est: 
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item croissante.
	\item bornée.
	\item convergente.
	\item divergente.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	$\left( \frac{2}{n^2} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ décroît vers 0. 
	
	$\left( \frac{1}{n}+1 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ décroît et pour $n=1$ elle vaut $2$.
	
	Donc: $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ 0\le u_n \le 2$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item Une solution de l'équation différentielle $y' =  -3y + 4\text{e}^{- 2x}$	est: 
	
	\medskip
	
	\begin{enumerate}[A.]
	\item $\text{e}^{-3x} + \dfrac{4}{3}\text{e}^{-2x}$.
	\item $4\text{e}^{-3x} - 1$.
	\item $4\text{e}^{-3x} - \dfrac{1}{3}$.
	\item $4\text{e}^{-2x}$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse D.
	
	L'approche la plus simple consiste à tester toutes les réponses proposées.
		
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
\subsection*{\color{purple}Exercice 2. \hfill 6 points}

\begin{sujet}
 
On considère le nombre complexe $z = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$.

\medskip

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Écrire $z^2$ sous forme algébrique. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Recherchons l'expression algébrique de $z^2$.}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	z^2 &= \left[ (1-\sqrt{3})+i (1+\sqrt{3}) \right]^2\\
	&= (1-\sqrt{3})^2+2i(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})+i^2(1+\sqrt{3})^2\\
	&=(1-2\sqrt{3}+3)+2i(1^2-\sqrt{3}^2)-1(1+2\sqrt{3}+3)\\
	&=-4\sqrt{3}-4i
	\end{align*}
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer le module et un argument de $z^2$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item \underline{Calcul du module de $z^2$.}
		
		\medskip
		\[ |z^2|=\sqrt{(-4\sqrt{3})^2+(-4)^2}=\sqrt{64}=8 \]
		
		\item \underline{Déterminons un argument de $z^2$.}
		
		\medskip
		
		Notons $\theta_1$ un argument de $z^2$.
		
		\[ \left\{ \begin{array}{lr}
		\cos \theta_1 =\frac{-4\sqrt{3}}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2} & (1) \\
		\sin \theta_1 =\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}& (2)
		\end{array} \right. \]
		
		De $(1)$ nous déduisons qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que \[ \theta_1=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \text{ ou } \theta_1=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \]
		
		et en tenant compte de $(2)$ nécessairement  \[ \theta_1=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \]
		
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	En utilisant les propriétés du module et de l'argument d'un produit déterminer la forme trigonométrique de $z$.
	
	\end{sujet}
	 
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\mathrm{Arg}(z^2)=2\mathrm{Arg(z)} \mod 2\pi$ 
		
		donc 
		\begin{align*}
		\mathrm{Arg}(z) &= \frac{1}{2}\times\frac{7\pi}{6} \mod \pi\\
		&=\frac{7\pi}{12}\mod \pi
		\end{align*}
		
		\item $|z^2|=|z|^2$ et comme $|z|\ge 0$: $|z|=\sqrt{|z^2|}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
		
		\item La forme trigonométrique de $z$ est donc \[ z=2\sqrt{2}\left(\cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) +i\sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) \right] \]
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	 
	 \item  \begin{sujet}
	 
	 En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\frac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{7\pi}{12}\right)$
	 
	 \end{sujet}
	 
	 \begin{correction}
	 
	 Par identification des parties réelles et imaginaires des expressions algébrique et trigonométrique de $z$
	 \[\left\{\begin{array}{l}
	 1-\sqrt{3} = 2\sqrt{2}\cos \left( \frac{7\pi}{6}\right)\\
	 1+\sqrt{3} = 2\sqrt{2} \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right)
	 \end{array} \right. \]
	 D'où
	 \[\left\{\begin{array}{l}
	 \cos \left( \frac{7\pi}{6}\right) =\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{3})}{4}\\
	 \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) =\frac{ 1+\sqrt{3} }{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}
	 \end{array} \right. \]
	 
	 \end{correction}
	 
	 \end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3. \hfill 8 points}

\begin{sujet}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : 

\[f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right)\text{e}^{-x}.\]


 
 On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(0,I,J)$. (Unité graphique : 2~cm). Vous justifierez chacune de vos réponses.

\medskip

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Donner le domaine de définition de la fonction $f$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$f(x)=\frac{2x^3-4x^2}{\mathrm{e}^x}$ or $\mathrm{e}^x>0$ donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Calculer $f'(x)$ en fonction de $x$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$f$ est un produit d'une fonction polynomiale et de l'inverse de la fonction exponentielle toutes deux dérivables sur $\mathbb{R}$, donc est dérivable sur $\mathbb{R}$.
	
	\medskip
	De plus pour tout $x\in\mathbb{R}$:
	\begin{align*}
	f'(x) &= (2\times 3x^2-4\times 2x)\mathrm{e}^{-x}+(2x^3-4x^2)(-\mathrm{e}^{-x})\\
	&= (6x^2-8x)\mathrm{e}^{-x}-(2x^3-4x2)\mathrm{e}^{-x}\\
	&=[6x^2-8x-(2x^3-4x^2)]\mathrm{e}^{-x}\\
	&= (-2x^3+10x^2-8x)\mathrm{e}^{-x}\\
	&=2x(-x^2+5x-4)\mathrm{e}^{-x}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Donner le signe de la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = - x^2 + 5x - 4$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Recherchons les racines de $g$.}
	
	\medskip
	$\Delta =b^2-4ac=5^2-4\times(-1)\times(-4)=9$
	
	$\Delta >0$ donc $g$ admet deux zéros distincts:
	
	\noindent \begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
	$\begin{aligned}
	x_1 &= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
	&=\frac{-5-\sqrt{9}}{2\times(-1)}\\
	&= 4
	\end{aligned}$
	&
	$\begin{aligned}
	x_2 &= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
	&=\frac{-5+\sqrt{9}}{2\times(-1)}\\
	&= 1
	\end{aligned}$
	\\ \end{tabular}
	
	\medskip
	\underline{Tableau de signe de $g$.}
	
	\medskip
	Le coefficient dominant de $g$ est $-1<0$:
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /1, $g'(x)$ /0.8}
	{$-\infty$, $1$, $4$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}%
	\end{tikzpicture}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	En déduire le signe de la fonction $f'$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Tableau de signe de $f'$.}
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /1, $2x$/0.8, $g(x)$/0.8, $\mathrm{e}^{-x}$/0.8, $f'(x)$ /0.8}
	{$-\infty$, $0$,  $1$, $4$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,z,-,}%
	\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,t,+,}%
	\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}%
	\end{tikzpicture}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ en justifiant soigneusement .
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item \underline{Limite en $+\infty$.}
		
		\medskip
		Par comparaison de fonction polynomiale et fonction exponentielle: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-4x^2}{\mathrm{e}^x}=0. \]
		
		\item \underline{Limite en $-\infty$.}
		
		\medskip
		$\lim_{x\to-\infty}2x^3-4x^2=\lim_{x\to+\infty}2x^3=-\infty$ 

		et $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$ 
		
		donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer les variations de $f$ et dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Tableau de variation de $f$.}
	
	\medskip
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /1, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$, $0$, $1$, $4$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}%
	\tkzTabVar {-/ $-\infty$, +/ $0$, -/ $-2\mathrm{e}^{-1}$, +/ $64\mathrm{e}^{-4}$, -/ $0$ }
	\end{tikzpicture}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on pose  $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1  x^n\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. 

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{6}
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que $I_{1} = 1 - 2\text{e}^{-1}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Calculons $I_1$.}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	I_1 &= \int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x\\
	&=\left[ -(x+1)\mathrm{e}^{-x}\right]_0^1\\
	&=-2\mathrm{e}^1-(-1\mathrm{e}^0)\\
	&= 1-2\mathrm{e}
	\end{align*}
	
	\medskip
	\underline{Avec l'intégration par parties.}
	
	\medskip
	Notons \[ \begin{array}{lr}
	u(x)=x & u'(x)=1\\
	v'(x)=\mathrm{e}^{-x} & v(x)=-\mathrm{e}^{-x}
	\end{array} \]
	Donc:
	\begin{align*}
	I_1 &= \int_0^1 uv'\\
	&= \left[uv\right]_0^1-\int_0^1 u'v\\
	&= \left[x\mathrm{e}^{-x}\right]_0^1 -\int_0^1\mathrm{e}^{-x}\\
	&= \mathrm{e}-\left[ -\mathrm{e}^{-x} \right]_0^1\\
	&= \mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}-(-1)\\
	&= 1-2\mathrm{e}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
On admet que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, 
 
\[I_{n} = nI_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}.\]

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{7}
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer la valeur exacte de $I_{2}$ et $I_{3}$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	La suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est définie par récurrence. Donc
	\begin{align*}
	I_2 &= 2I_{2-1}-\frac{1}{\mathrm{e}}\\
	&= 2(1-2\mathrm{e}^{-1})-\frac{1}{\mathrm{e}}\\
	&= 2- \frac{4}{\mathrm{e}}-\frac{1}{\mathrm{e}}\\
	&= 2- \frac{5}{\mathrm{e}}
	\end{align*}
	
	\medskip
	De même
	\begin{align*}
	I_3 &= 3I_{3-1}-\frac{1}{\mathrm{e}}\\
	&= 3\left(2-\frac{5}{\mathrm{e}}\right)-\frac{1}{\mathrm{e}}\\
	&= 6- \frac{16}{\mathrm{e}}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Puisque $f$ est positive sur $[0;1]$, l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est l'intégrale \[\int_0^1 f(x)\ \mathrm{d}x\]
	
	\medskip
	\underline{Calcul de l'intégrale.}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\int_0^1 f(x)\ \mathrm{d}x &= \int_0^1 (2x^3-4x^2)\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x \\
	&= \int_0^1 2x^3\mathrm{e}^{-x}-4x^2\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x \\
	&=\int_0^1 2x^3\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x -\int_0^1 4x^2\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x \\
	&=2\int_0^1x^3\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x  -4\int_0^1 x^2\mathrm{e}^{-x}\ \mathrm{d}x \\
	&=2I_3-4I_2\\
	&= 2\left( 6-\frac{16}{\mathrm{e}}\right)-4\left( 2-\frac{5}{\mathrm{e}}\right)\\
	&= 4-\frac{12}{\mathrm{e}}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{aqaqaq}{rgb}{0.6274509803921569,0.6274509803921569,0.6274509803921569}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.75cm,y=0.75cm]
\draw [color=aqaqaq,, xstep=0.75cm,ystep=0.75cm] (-0.996,-3.954) grid (10.62,6.144);
\draw[->,thick,color=black] (-0.996,0.) -- (10.62,0.);
\foreach \x in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,thick,color=black] (0.,-3.954) -- (0.,6.144);
\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-0.996,-3.954) rectangle (10.62,6.144);
\draw [color=qqqqff](1.996,5.55) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_g$};
\draw [domain=1.01:10, samples=200,color=qqqqff] plot (\x,{ \x / ln(\x )});
\draw (1, 1) node[color=black]{$\times$};
\draw (0.5, 0.5) node[below]{$I$};
\draw (4,-1.545177444) node[color=black]{$\times$};
\draw (3.5,-2.045177444) node[below]{$M$};
\draw [domain=0.01:10, samples=200,color=purple] plot (\x,{ \x -4*ln(\x )});
\end{tikzpicture}

\section{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=3]{$x$ /1, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,}%
\tkzTabVar {D-/ / $-\infty$,+/ $+\infty$ / }
\end{tikzpicture}


