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% Packages #
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\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

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% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{}
\newenvironment{sujet}{}{}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

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\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

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\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
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\newcounter{Proposition}
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\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

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\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

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\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
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%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
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#2
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%en tête puis pied de page
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\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques - \thepage]{\small Mathématiques - \thepage}% l left, c center, r right
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%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
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\begin{document}

\section{ESSA 2011.}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1. \hfill 6 points}

\begin{sujet}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
 
On demande au candidat de signaler sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet (Voir annexe). 

Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,5$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point. 

Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$. 

\bigskip

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[\text{QCM }1] 
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $z$ un nombre complexe. Si $\theta = \text{arg}\:(z)$ alors un argument de $\dfrac{\text{i}}{\overline{z}}$ est :
	
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $\dfrac{\pi}{2} + \theta$.
		\item $\theta$.
		\item $\dfrac{\pi}{2} - \theta$.
		\item $\dfrac{3\pi}{2} + \theta$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse A.
	
	On a: 
	\begin{eqnarray*} 
	\arg\left(\frac{\mathrm{i}}{\overline{z}}\right) &=&\arg(\mathrm{i})-\arg(\overline{z})\mod{2\pi}\\ 
	&=& \frac{\pi}{2}+\arg(z)\mod{2\pi} \\ 
	&=& \frac{\pi}{2}+\theta 
	\end{eqnarray*}.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer la limite $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{2x^3 }$.
	
	\medskip
	
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $0$.
		\item $+ \infty$.
		\item $1$ .
		\item $\dfrac{1}{2}$.
		\end{enumerate}

	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	Soit $x\in\mathbb{R}$. 
	
	\begin{eqnarray*} 
	\frac{\mathrm{e}^x}{2x^3} &=& \frac{\left( \mathrm{e} ^{\frac{x}{3}}\right)^3}{2x^3}\\
	&=& \frac{1}{2\times 3^3}.\frac{\left( \mathrm{e} ^{\frac{x}{3}}\right)^3}{\left(\frac{x}{3}\right)^3} \\
	&=& \frac{1}{2\times 3^3}.\left( \frac{\mathrm{e} ^{\frac{x}{3}}}{\frac{x}{3}}\right)^3 
	\end{eqnarray*} 
	
	Or $\frac{\mathrm{e} ^X}{X} \underset{X\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$, donc, par compositions par des applications continues, on en déduit: $\frac{1}{2\times 3^3}.\left( \frac{\mathrm{e} ^{\frac{x}{3}}}{\frac{x}{3}}\right)^3 \underset{X\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.

	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ deux suites réelles. 
	
	\medskip
	
		\begin{enumerate}[A.]
		\item Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ converge. 
		\item Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_{n} + v_{n}\right) =  0$. 
		\item Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul, si $\left(v_{n}\right)$ est une suite positive et convergente vers $0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right)$ converge. 
		\item Si $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel non nul et si la suite $\left(v_{n}\right)$ diverge vers $+ \infty$ alors la suite $\left(u_{n} \times v_{n}\right)$ diverge.
		\end{enumerate}

	\end{sujet}
			
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse D.
	
	C'est un résultat de cours. Les propositions A et B sont des cas d'indéterminées et C est faux.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	L'ensemble des points $M(x,\:y,\:z)$ de l'espace tel que $\left\{\begin{array}{l c l}
	x &=& 1 + 3k\\
	y &=& -1 + 2k\\ 
	z &=& -3-k
	\end{array}\right.$ où $k$ est un réel, est : 
	
	\medskip
	
		\begin{enumerate}[A.]
		\item Un point.
		\item Une droite.
		\item Un plan.
		\item Une sphère.
		\end{enumerate}

	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse B.
	
	La aussi c'est du cours. Il s'agit de la droite passant par $(1,-1,-3)$ et ayant un vecteur directeur de coordonnées $(3,2,-1)$.
	
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	Une solution de l'équation différentielle (E) : $y^{\prime} - 3y = 5$ est:
	
	\medskip
	
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $y(x) = 5\text{e}^{3x} + \dfrac{5}{3}$.
		\item $y(x) = 3\text{e}^{5x} - \dfrac{5}{3}$.
		\item $y(x) = 5\text{e}^{3x} - \dfrac{5}{3}$.
		\item $y(x) = 3\text{e}^{5x} + \dfrac{5}{3}$.
		\end{enumerate}

	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse C.
	
	L'équation $(E)$ est une équation différentielle normale (le coefficient de $y'$ égale 1).
	
	L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée, $(E')$: $y'-3y=0$, est: 
	
	$\left\{\begin{array}{lcl} \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x& \mapsto & \lambda \mathrm{e} ^{3x}\\ \end{array}, \lambda\in\mathbb{R} \right\}$.
	
	 La fonction constante égale à $-\frac{5}{3}$ est une solution particulière. 
	 
	 L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc: $\left\{\begin{array}{lcl} \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x& \mapsto & \lambda \mathrm{e} ^{3x}-\frac{5}{3}\\ \end{array}, \lambda\in\mathbb{R} \right\}$.
	 
	\end{correction}
	
	\medskip
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère l'intégrale suivante : $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x$.
	
	\medskip
	
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $I = 1$.
		\item $I = [x \ln x]_{1}^{\text{e}} + \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \text{d}x$.
		\item $I = \text{e} - 1$.
		\item $I = \text{e}$.
		\end{enumerate}

	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
	
	\medskip
	Réponse A.
	
	Procédons à une intégration par parties:
	\begin{eqnarray*} 
	I &=& \int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x\\
	&=& \left[ x\ln x \right]_1^{\mathrm{e}} -\int_1^{\mathrm{e}} x.\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\
	&=& \mathrm{e} -\left[ x\right]_1^{\mathrm{e}} \\
	&=& \mathrm{e}-\mathrm{e} +1\\
	&=& 1 
	\end{eqnarray*}

	\end{correction}

	\end{enumerate}


\subsection*{\color{purple}Exercice 2.   \hfill 8 points}

\begin{sujet}

Soit la fonction $f$ définie par 

\[f(x)= \dfrac{1}{4}x + \ln \left(\dfrac{x + 1}{x - 1} \right)\] 

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\underline{Déterminons l'ensemble de définition de $f$.}\newline Soit $x\in\mathbb{R}$. La fonction $f$ est défini si et seulement si: $\frac{x+1}{x-1}>0$.\newline Dressons le tableau de signe de $x\mapsto \frac{x+1}{x-1}$.
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[espcl=1.5]
	{$x$ / 1 ,$x+1$ /1, $x-1$ /1, $\frac{x+1}{x-1}$ /2  }%
	{$-\infty$ , $-1$ , $1$, $+\infty$ }%
	\tkzTabLine{ ,- , z ,+ ,t,+ }
	\tkzTabLine{ ,- , t ,- ,z,+ }
	\tkzTabLine{ ,+ , z ,- ,d,+ }
	\end{tikzpicture} \newline On en déduit: \begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1}>0 &\Leftrightarrow & x\in]-\infty ; -1[ \cup ]1; +\infty [ 				\end{eqnarray*}
 	Autrement dit: \framebox{l'ensemble de définition de $f$ est $]-\infty ; -1[ \cup ]1; +\infty [$.}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que la fonction $f$ est impaire. Qu'en déduire pour sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ ? 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	 \underline{Étude de la parité de $f$.}
	 
	 \medskip
	 Remarquons tout d'abord que, d'après la question précédente, l'ensemble de définition, $\mathcal{D}_f$, de $f$ est symétrique par rapport à 0.
	 
	 Soit $x\in\mathcal{D}_f$. On a les égalités successives: 
	 \begin{eqnarray*} 
	 f(-x) &=& \frac{1}{4}.(-x)+\ln\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) \\ 
	 &=& -\frac{1}{4}x+\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \\ 
	 &=& -\frac{1}{4}x-\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\\ 
	 &=& -f(x)\end{eqnarray*} 
	 On donc démontré que \framebox{$f$ est impaire}; ce que l'on peut interpréter géométriquement en disant que la courbe représentative de $f$,
	 
	 \framebox{$\mathcal{C}_f$, admet l'origine du repère comme centre de symétrie.}
	 
	 \end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y= \dfrac{1}{4}x$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et $\Delta$. 
	
	\end{sujet}

	\begin{correction}
	
	\medskip
	\underline{Montrons que $\Delta$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ aux voisinages de $+\infty$ et$-\infty$.}
	
	\medskip
	 Soit $x\in\mathcal{D}_f$. On a: $f(x)-\frac{1}{4}=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.
	 
	 Or$\frac{x+1}{x-1}\underset{x+\infty}{\longrightarrow} 1$, donc, puisque $\ln$ est continue, par composition on a: $\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\underset{x+\infty}{\longrightarrow} \ln (1)=0$.
	 
	 On a donc démontré que
	 
	 \framebox{$\Delta$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$.}
	 
	 \medskip
	 \underline{Étudions les positions relatives de $\Delta$ et $\mathcal{C}_f$.}
	 
	 \medskip
	 Pour cela il suffit d'étudier le signe de la fonction $g$ définie sur $\mathcal{D}_f$ par $g(x)=f(x)-\frac{1}{4}x=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.
	 
	 Soit $x\in ]1;+\infty[$. On a les inégalités successivement équivalentes: 
	 \begin{eqnarray*} 
	 -1 &<&1\\ 
	 x-1&<& x+1 \\ 
	 1&<& \frac{x+1}{x-1}\text{ car x-1>0.}\\ 
	 0&<& \ln\left( \frac{x+1}{x-1}\right) \text{ car la fonction }\ln\text{ est croissante sur } \mathbb{R}_+^*
	 \end{eqnarray*} 
	 Autrement dit 
	 
	 \framebox{$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ pour les valeurs positives de $x$} 
	 
	 et par symétrie par rapport à l'origine du repère 
	 
	 \framebox{$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\Delta$ pour les valeurs négatives de $x$.}
	 
	 \end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer les points de $\mathcal{C}_{f}$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation $5x+12y = 0$. 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\underline{Recherchons les points comme décrit.}
	
	\medskip
	D'une part le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a\in\mathcal{D}_f$ est le nombre $f'(a)$. D'autre part comme
	\begin{eqnarray*} 
	5x+12y=0 &\Leftrightarrow & y=-\frac{5}{12}x 
	\end{eqnarray*} 
	le coefficient directeur de la droite proposée est $-\frac{5}{12}$.
	
	On recherche donc les $a\in\mathcal{D}_f$ tels que $f'(a)=-\frac{5}{12}$.
	
	Déterminons la dérivée de $f$. $f$ est dérivable comme composée de fonctions dérivables sur $\mathcal{D}_f$ et pour tout $x$ dans cet ensemble on a: 
	\begin{eqnarray*} 
	f'(x) &=& \frac{1}{4}+\frac{\frac{x-1-(x+1)}{(x-1)^2}}{\frac{x+1}{x-1}} \\
	&=& \frac{1}{4}+  \frac{2x}{(x-1)^2}.\frac{x-1}{x+1}\\ 
	&=& \frac{1}{4}+\frac{2x}{x^2-1} 
	\end{eqnarray*} 
	Donc $a$ vérifie l'équation: $\frac{1}{4}+\frac{2a}{a^2-1}=-\frac{5}{12}$. Cette équation est successivement équivalente à: 
	\begin{eqnarray*}
	\frac{2a}{a^2-1}=-\frac{5}{12}-\frac{1}{4} \\ 
	\frac{2a}{a^2-1}=-\frac{9}{12} \\ 
	\frac{2a}{a^2-1}=-\frac{3}{4} \\ 
	\frac{8a}{a^2-1}=-3 \\ 
	3a^2+8a-3=0 
	\end{eqnarray*} 
	Ce dernier trinôme a pour discriminant: $\Delta =b^2-4ac=64 +36=100 $. Il admet donc deux racines réelles distinctes: $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=1$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=-9$. 
	
	La solution $x_1$ est à exclure car en dehors du domaine de définition de $f$. 
	
	\fbox{\parbox{9cm}{La tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite d'équation $5x+12y=0$ au point de coordonnées $(-9;f(-9))$.}}
	
	\end{correction}
		
	\end{enumerate} 

\subsection*{\color{purple}Exercice 3.   \hfill 6 points}

\begin{sujet}
 
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif sur $[0~;~+ \infty[$. On rappelle que la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0~;~+ \infty[$ a pour densité la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \lambda \text{e}^{- \lambda x}.\]

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Le mode de $X$ est le réel $x$ pour lequel la densité est maximale. Quel est le mode de $X$ ?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\underline{Recherche du mode de $X$.}
	
	\medskip
	Puisque $\lambda$ est strictement positif, $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$. Donc \framebox{le mode de $X$ est 0.}
	
	\end{correction}

	\item \begin{sujet}
	
	La médiane de $X$ est le réel $x$ pour lequel $p(\text{X} \leqslant x) = p(\text{X} \geqslant x)$. Quelle est la médiane de $X$ ? 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\medskip
	\underline{Recherche de la médiane $x\in\ [0;+\infty [$ de $X$.} 
	
	\begin{eqnarray*} 
	P(X\le x)=P(X\ge x) &\Leftrightarrow & P(X\le x)=1-P(X< x) \\
	&\Leftrightarrow & P(X\le x)=1-P(X\le x) \\
	&\Leftrightarrow &  P(X\le x)=\frac{1}{2} \\
	&\Leftrightarrow & \int_0^x \lambda \mathrm{e} ^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2} \\ 
	&\Leftrightarrow & \left[- \mathrm{e}^{-\lambda t} \right]_0^x= \frac{1}{2} \\ 
	&\Leftrightarrow & -\mathrm{e} ^{-\lambda x} +1 =\frac{1}{2} \\
	&\Leftrightarrow & -\lambda x=\ln \left(\frac{1}{2}\right)\text{, car $\ln$ est définie sur $\mathbb{R}_+^*$} \\
	&\Leftrightarrow & x=\frac{\ln 2}{\lambda}\text{, car $\lambda \ne 0$.}
	\end{eqnarray*} 
	
	\framebox{La médiane de $X$ est $\frac{\ln 2}{\lambda}$.}
	
	\end{correction}

	\item \begin{sujet}
	
	On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d'un composant électronique. On admet que cette durée de vie est une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{2}$.

Calculer la probabilité des événements suivants: 
	
	\end{sujet}
		
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		La durée de vie du composant est comprise entre $2$ et $3$ semaines. 
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\medskip
		\underline{Probabilité d'une durée de vie entre 2 et 3 semaines.}
		
		\medskip
		On a les égalités successives: 
		\begin{eqnarray*}
		P(2\le X \le 3)&=& \int_2^3 \frac{1}{2}\mathrm{e} ^{-\frac{1}{2} t} \mathrm{d}t \\
		&=& -\mathrm{e} ^{-\frac{3}{2}}+\mathrm{e}
		\end{eqnarray*} 
		
		La durée de vie du composante est compris entre 2 et 3 semaines avec une probabilité de $-\mathrm{e} ^{-\frac{3}{2}}+\mathrm{e}$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		La durée de vie du composant électronique est strictement inférieure à $7$ semaines. 
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\medskip
		\underline{Probabilité d'une durée de vie inférieure à 7 semaines.}
		
		\medskip
		On a les égalités successives: 
		\begin{eqnarray*}
		P( X \le 7)&=& \int_0^7 \frac{1}{2}\mathrm{e} ^{-\frac{1}{2} t} \mathrm{d}t \\
		&=& -\mathrm{e} ^{-\frac{7}{2}}+ 1 
		\end{eqnarray*} 
		
		La durée de vie du composante est inférieure à 7 semaines avec une probabilité de $-\mathrm{e} ^{-\frac{7}{2}}+ 1 $.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Le composant électronique n'est pas défectueux après $5$ semaines de fonctionnement.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\medskip
		\underline{Probabilité d'une durée de vie supérieure à 5 semaines.}
		
		\medskip
		On a les égalités successives: 
		\begin{eqnarray*} 
		P( X \ge 5)&=& 1-P(X<5) \\
		&=& 1-P(X\le 5)\\
		&=& 1-\int_0^5 \frac{1}{2}\mathrm{e} ^{-\frac{1}{2} t} \mathrm{d}t \\
		&=& 1+\mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}}- 1\\
		&=& \mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}} 
		\end{eqnarray*}
		
		La durée de vie du composante est supérieure à 5 semaines avec une probabilité de $\mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}}$.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate} 
	
	\end{enumerate}

\begin{correction}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item 
	\item 
	\item 
		\begin{enumerate}

		\item 

		\item 
		\item  
		
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{correction}


\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE EXERCICE \no 1- À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{tabular}{|m{2cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|m{0.5cm}|}\hline 
\No  question& A &B &C &D \\ \hline
1&&&&\\ \hline 
2&&&&\\ \hline 
3 &&&&\\ \hline
4&&&&\\ \hline 
5&&&&\\ \hline 
6&&&&\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\end{document}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	\item On a: \begin{eqnarray*} \arg\left(\frac{\mathrm{i}}{\overline{z}}\right) &=&\arg(\mathrm{i})-\arg(\overline{z})\mod{2\pi}\\ &=& \frac{\pi}{2}+\arg(z)\mod{2\pi} \\ &=& \frac{\pi}{2}+\theta \end{eqnarray*} Réponse \textbf{A}.
	\item Soit $x\in\mathbb{R}$. \begin{eqnarray*} \frac{\e ^x}{2x^3} &=& \frac{\left( \e ^{\frac{x}{3}}\right)^3}{2x^3}\\ &=& \frac{1}{2\times 3^3}.\frac{\left( \e ^{\frac{x}{3}}\right)^3}{\left(\frac{x}{3}\right)^3} \\ &=& \frac{1}{2\times 3^3}.\left( \frac{\e ^{\frac{x}{3}}}{\frac{x}{3}}\right)^3 \end{eqnarray*} Or $\frac{\e ^X}{X} \underset{X\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$, donc, par compositions par des applications continues, on en déduit: $\frac{1}{2\times 3^3}.\left( \frac{\e ^{\frac{x}{3}}}{\frac{x}{3}}\right)^3 \underset{X\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.\newline Réponse \textbf{B}.
	\item C'est un résultat de cours.\newline Réponse \textbf{D}.
	\item La aussi c'est du cours. Il s'agit de la droite passant par $(1,-1,-3)$ et ayant un vecteur directeur de coordonnées $(3,2,-1)$.\newline Réponse \textbf{B}.
	\item L'équation $(E)$ est une équation différentielle normale. L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée, $(E')$: $y'-3y=0$, est: $\left\{\begin{array}{lcl} \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x& \mapsto & \lambda \e ^{3x}\\ \end{array}, \lambda\in\mathbb{R} \right\}$. La fonction constante égale à $-\frac{5}{3}$ est une solution particulière. L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc: $\left\{\begin{array}{lcl} \mathbb{R}&\rightarrow & \mathbb{R}\\ x& \mapsto & \lambda \e ^{3x}-\frac{5}{3}\\ \end{array}, \lambda\in\mathbb{R} \right\}$.\newline Réponse \textbf{C}.
	\item Procédons à une intégration par parties: \begin{eqnarray*} I &=& \int_1^{\e} \ln x\,\mathrm{d}x\\ &=& \left[ x\ln x \right]_1^{\e} -\int_1^{\e} x.\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=& \e -\left[ x\right]_1^{\e} \\&=& \e-\e +1\\ &=& 1 \end{eqnarray*} Réponse \textbf{A}.
	\end{enumerate}
	
\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

