%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
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% Packages #
%########

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\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

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%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection. \color{green}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

%environnement exercice
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\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}} }{\\ \end{tabular}}


%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \noindent \underline{\color{purple}Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}{\medskip \noindent {\color{violet}Proposition \theProposition} \addtocounter{Proposition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}{\medskip \noindent {\color{violet}Corollaire \theCorollaire} \addtocounter{Corollaire}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{violet}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
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\newif\ifs
\strue%affiche la boite à trous
%\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
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#2
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%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small Mathématiques - \thepage]{\small Mathématiques - \thepage}% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small ESSA 2010 - \thepage]{\small ESSA 2010 - \thepage}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
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\begin{document}

\section{ESSA 2010.}

Avertissement : L'utilisation de calculatrice, de règle de calcul, de formulaire et de papier millimétré n'est pas autorisée.

Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.

Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.
Les candidats traiteront les trois exercices.

Les réponses de l'exercice \no 1 (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet.

Les exercices \no 2 et \no 3 seront traités sur une copie à part.


\subsection{\color{purple}Exercice 1.   \hfill 7 points}

\begin{sujet}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
On demande au candidat de signaler \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet (Voir annexe). 

Toute réponse juste est comptée $+1$ point. Toute réponse fausse est comptée $-0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}[\text{QCM }1]
	\item \begin{sujet}
	
	La solution de l'équation différentielle (E) : $y' = - \dfrac{1}{4}y$  vérifiant la condition initiale $y(0) = \text{e}$ est:
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $y = \text{e}^{- \frac{1}{4}x + 1}$.
		\item $y = \text{e}^{- \frac{1}{4}x}$.
		\item $y = \text{e}^{- 4x + 1}$.
		\item $y = \text{e}^{\frac{1}{4}x + 1}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse A.
	
	\medskip
	Les réponses A et B sont solutions de l'équation différentielle, mais seule la A vérifie la condition initiale $y(0)=\mathrm{e}$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Les suites de termes généraux donnés ci-dessous sont divergentes
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $\cos \dfrac{1}{n+1}$.
		\item $\dfrac{\sin n}{\ln (n + 2}$.
		\item $\dfrac{\text{e}^n}{n + 1}$.
		\item $\dfrac{\ln (n + 1)}{n + 1}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse C.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty &\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^n}{n}=+\infty \\
	&\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{n+1}}{n+1}=+\infty \\
	&\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^n}{n+1}=+\infty 
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3^x + \sin [\pi x]$.
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $f^{\prime}(1) = 3 \ln 3 - \pi$.
		\item $f^{\prime}(1) = 0$.
		\item $f^{\prime}(1) = - \pi$.
		\item $f^{\prime}(1) = 3 \ln 3 -1$.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse a.
	
	\medskip
	$f(x)= \mathrm{e}^{x\ln(3)}+\sin\left( \pi x\right)$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ car somme de fonctions qui le sont.
	
	De plus pour tout $x\in\mathbb{R}$
	\begin{align*}
	f'(x) &= \ln(3) \mathrm{e}^{x\ln(3)}+\pi\cos\left( \pi x \right) \\
	\intertext{En particulier:}
	f'(1) &= \ln(3) \mathrm{e}^{\ln(3)}+\pi \cos \left( \pi \right) \\
	&= \ln(3)\times 3 -\pi
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère les intégrales $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \cos ^2 t\:\text{d}t$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin ^2 t\:\text{d}t$.
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $I + J = \pi$.
		\item $I + J = \dfrac{\pi^2}{4}$.
		\item $I + J = \dfrac{\Pi}{2}$.
		\item $I + J = \dfrac{\Pi^2}{8}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse
	
	\medskip
	\begin{align*}
	I+J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\cos^2 t\ \mathrm{d}t+\int_0^{\frac{\pi}{2}} t\sin^2 t\ \mathrm{d}t \\
	\intertext{Linéarité de l'intégrale}
	I+J&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\cos^2 t + t\sin^2 t \ \mathrm{d}t \\
	\intertext{Relation de Chasles}
	I+J&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} t\cos^2 t + t\sin^2 t \ \mathrm{d}t \\
	&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} t \left( \cos^2 t + \sin^2 t \right) \ \mathrm{d}t \\
	&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} t \times 1\ \mathrm{d}t \\
	&= \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_0^{\frac{\pi}{2}}
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet} 
	
	On pose pour tout $x \in \mathrm{R},\:g(x) = x \text{e}^x$, alors :
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = 2\text{e}-1$.
		\item $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = \text{e}$.
		\item $\displaystyle\int_{-1}^1 g(x)\:\text{d}x = 0$.
		\item $\displaystyle\int_{-1}^1 g(x)\:\text{d}x = 2\text{e}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse ?
	
	\medskip
	Une primitive de $g$ est $x\mapsto (x-1)\mathrm{e}^{x}$.
	
	\medskip
	Nous pouvons retrouver cette primitive en procédant à une intégration par parties.
	
	Notons $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$.
	
	\begin{align*}
	\int_{\alpha}^1 u(x)v'(x)\ \mathrm{d}x &= \left[ u(x)v(x) \right]_{\alpha}^1 -\int_{\alpha}^1 u'(x)v(x)\ \mathrm{d}x\\
	\int_{\alpha}^1 x\mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x &= \left[ x\mathrm{e}^x \right]_{\alpha}^1 -\int_{\alpha}^1 \mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x\\
	&=  \mathrm{e}-\alpha \mathrm{e}^{\alpha}-\left[ \mathrm{e}^x \right]_{\alpha}^1\\
	&= \mathrm{e}-\alpha \mathrm{e}^{\alpha} - \mathrm{e}+\mathrm{e}^{\alpha}\\
	&= \mathrm{e}^{\alpha}(1-\alpha )
	\end{align*}
	
	Si $\alpha =0$ alors $\int_{\alpha}^1 x\mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x = 1$ et si $\alpha =-1$ alors $\int_{\alpha}^1 x\mathrm{e}^x \ \mathrm{d}x = 2\mathrm{e}^{-1}$.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Une urne contient $8$ boules dont $3$ rouges et $5$ noires, et $6$ cubes dont $2$ rouges et $4$ noirs. 
	
	On effectue un tirage de deux objets simultanément, en supposant les tirages équiprobables. 
	
	Alors la probabilité de tirer un cube et une boule de couleurs différentes est:
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $\dfrac{22}{91}$.
		\item $\dfrac{69}{91}$.
		\item $\dfrac{1}{182}$.
		\item $\dfrac{2}{91}$.
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse A.
	
	\medskip
	Représentons la situation par un tableau double entrée:
	
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline
	&Rouge & Noir \\ \hline
	Boule & 3 & 5 \\ \hline
	Cube & 2 & 4 \\ \hline
	\end{tabular}
	
	Le tirage étant simultané il faut raisonner en termes de combinaisons. L'événement tirer un cube et une boule de couleurs différentes est réaliser lorsque sont tirées une boule noire et un cube rouge ou lorsque sont tirés une boule rouge et un cube noir. Le nombre de combinaison réalisant cet événement est: $3\times 4 +5\times 2=22$. Le nombre total de combinaisons de 2 éléments parmi 14 est $\binom{14}{2}$. Nous en déduisons la probabilité recherchée \[ \frac{22}{\binom{14}{2}}=\frac{22}{\frac{14!}{(14-2)!2!}}=\frac{22}{91} \]
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $z = \sin \theta + \text{i}\cos \theta$ alors:
		\begin{enumerate}[A.]
		\item $\text{arg}\:(z) = \theta$.
		\item $\text{arg}\:(z) = \pi - \theta$.
		\item $\text{arg}\:(z) = \dfrac{\pi}{2} - \theta$.
		\item $\text{arg}\:(z) = \theta + \dfrac{\pi}{2}$.
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Réponse C.
	
	\medskip
	$\sin \theta +i\cos \theta=i (\cos \theta -i\sin \theta )=i(\cos (-\theta) +i\sin(-\theta))=\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}}\mathrm{e}^{-\theta}=\mathrm{e}^{i\left( \frac{\pi}{2}-\theta\right)}$
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2.   \hfill 6 points}

\begin{sujet}

On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[~\cup~]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^{\frac{x + 1}{x - 1}}\]

 et on appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Justifier que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote horizontale et une asymptote verticale dont on précisera les équations.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $\frac{x+1}{x-1}=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$ et $\lim_{x\to \pm\infty}\frac{1}{x}=0$ donc $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1+x}{1-x}=1$.
		
		Donc, par continuité de la fonction exponentielle: $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\mathrm{e}$.
		
		Autrement dit $\mathcal{C}_f$ admet la droite $y=\mathrm{e}$ pour asymptote horizontale en $-\infty$ et en $+\infty$.
		\item $\lim_{x\to 1^{-}}x-1=0^{-}$ donc $\lim_{x\to 1^{-}} \frac{x+1}{x-1}=-\infty$. Enfin, comme $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$, $\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0$. Il n'y a pas d'asymtote à $\mathcal{C}_f$.
		\item $\lim_{x\to 1^{+}}x-1=0^{+}$ donc $\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x+1}{x-1}=+\infty$.  Comme $\lim_{x\to +\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$ nous en déduisons $\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=+\infty$. Ainsi $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x=1$ pour asymptote verticale.
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Justifier rigoureusement que la fonction $f$ est dérivable sur $]- \infty~;~1[~\cup~]1~;~+ \infty[$ et calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]- \infty~;~1[~\cup~]1~;~+ \infty[$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\begin{enumerate}[(i)]
		\item $x\mapsto \frac{x+1}{x-1}$ est un quotient de fonctions polynomiales (donc dérivables) dot la fonction au dénominateur s'annule en $1$.
		\item La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$.
		\end{enumerate}
	
	Nous déduisons de (i) et (ii), par composition des fonctions, que la fonction $f$ et dérivable sur $]-\infty ,1[\cup ],+\infty [$ et que pour tout nombre $x$ dans cet ensemble:
	\begin{align*}
	f'(x)&= \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} \mathrm{e}^{\frac{x+1}{x-1}}\\
	&=\frac{-2}{(x-1)^2}\mathrm{e}^{\frac{x+1}{x-1}}\\
	=\frac{-2}{(x-1)^2}f(x)
	\end{align*}
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Dresser alors le tableau de variations complet de la fonction $f$ en précisant les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	D'après la question précédente $f'$ est strictement négative sur $]-\infty ,1[\cup ]1,+\infty [$. Nous en déduisons le tableau de signe.
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-,d,-,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3.  \hfill 7 points}

\begin{sujet}

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O,\vec u,\vec v)$ on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A} = 4$, $z_{B} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{C} = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	Quelle est la nature du quadrilatère $OABC$? Justifier.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Montrons que $OABC$ est un parallélogramme.
	
		\begin{enumerate}[\text{Méthode }1]
		\item $OABC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$, \emph{i.e.} si et seulement si  $z_A-z_O=z_B-z_C$.
		
		Or, d'une part \[ z_A-Z_O=z_A=4 \]
		et d'autre part: \[ z_B-z_C=2+2\sqrt{3}I-(-2+2\sqrt{3}i)=4 \]
		donc $OABC$ est un parallélogramme.
		
		\item $OABC$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
		
		Or l'affixe du milieu $E_1$ de $[AC]$ est \[ z_{E_1} =\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{4+-2+2\sqrt{3}i}{2}= 1+\sqrt{3}i \]
		et l'affixe du milieu $E_2$ de $[BO]$ est \[ z_{E_2} = \frac{z_0+z_B}{2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{2}=1+\sqrt{3}i \]
		donc $E_1$ et $2$ sont confondus et $OABC$ est un parallélogramme.
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $E$ le point d'intersection des diagonales $(OB)$ et $(AC)$. Démontrer que l'affixe du point $E$ est donnée par $z_{E} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, puis mettre cette affixe sous forme exponentielle.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	D'après la seconde méthode de résolution de la question précédente: $z_E=1+\sqrt{3}i$.
	
	\medskip
	Donnons l'affixe de $E$ sous forme exponentielle.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Calcul du module.
		\[ |z_E| = \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}= 2 \]
		\item Calcul d'un argument $\theta$.
		
		D'après le cours \[ \left\{ \begin{array}{l}
		\cos \theta =\frac{1}{2}\\
		\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}
		\end{array}\right. \]
		
		On en déduit que $\theta =\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$.
				
		\end{enumerate}
	Finalement \[ z_E=2\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \]
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	

\begin{sujet}

À partir du point $E$, on construit la suite de points suivants :  $M_{1}$ est défini par $OM_{1} = \dfrac{1}{2}OE$ et $\left(\overrightarrow{OE},~\overrightarrow{OM_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{3}\quad(2\pi)$. Chaque point est obtenu en fonction du précédent par les relations suivantes : $OM_{n+1} = \dfrac{1}{2}OM_{n}$ et $\left(\overrightarrow{OM_{n}},~\overrightarrow{OM_{n+1}} \right) = \dfrac{\pi}{3}\quad(2\pi)$.

Pour tout entier naturel $n$, on appelle $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer l'affixe $z_{1}$ du point $M_{1}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Déterminons le module de $z_1$ \[ |z_1|=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}|z_2|=1 \]
			\item Déterminons un argument de $z_1$
			\begin{align*}
			\mathrm{Arg}(z_1) &=	(\vec u ,\overrightarrow{OM_1})\ [2\pi]\\
			&= (\vec u ,\overrightarrow{OE}) +(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OM_1})\\
			&=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\ [2\pi] \\
			&= 2\frac{\pi}{3}\ [2\pi]
			\end{align*}
			\item L'expression algébrique de $z_1$ est donc \[ z_1=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{3} \]
			\end{enumerate}

		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
		
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Par construction de la suite $|z_{n+1}|=\frac{1}{2}|z_n|$.
			\item Déterminons un argument de $z_{n+1}$
			\begin{align*}
			\mathrm{Arg}(z_{n+1}) &= (\vec u,\overrightarrow{OM_{n+1}})\ [2\pi] \\
			&= (\vec u, \overrightarrow{OM_n})+(\overrightarrow{OM_{n+1}})\ [2\pi] \\
			&=  \mathrm{Arg}(z_{n}) +\frac{\pi}{3}\ [2\pi]
			\end{align*}
			\item Des deux points précédents nous déduisons 
			\begin{align*}
			z_{n+1}&=|z_{n+1}|\mathrm{e}^{i\mathrm{Arg}(z_{n+1})}\\
			&= \frac{1}{2}|z_n|\mathrm{e}^{i\left[ \mathrm{Arg}(z_{n})+\frac{\pi}{3} \right]}\\
			&= \frac{1}{2}|z_n|\mathrm{e}^{i \mathrm{Arg}(z_{n})}\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \\
			&= \frac{1}{2}\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}z_n
			\end{align*}
			Donc $z_{n+1} =\frac{1}{2}\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}z_n$.
			\end{enumerate}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire l'expression de $z_{n}$ en fonction de $n$, pour $n$ entier naturel non nul.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Démontrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ que la proposition $P_n$: \og $z_n=\frac{1}{2^{n-1}}\mathrm{e}^{i\frac{(n+1)\pi}{3}}$ \fg{} est vraie.
		
			\begin{enumerate}
			\item Initialisation: montrons que $P_1$ est vraie.
			
			D'après la question 3.a, \[z_1=\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{3}}=\frac{1}{2^{1-1}}\mathrm{e}^{i\frac{(1+1)\pi}{3}} \]
			
			\item Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Supposons que $P_n$ est vraie et démontrons qu'alors $P_{n+1}$ l'est aussi.
			
			D'après la question précédente \[ z_{n+1} =\frac{1}{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \]
			
			En tenant compte de l'hypothèse de récurrence \[ z_{n+1} = \frac{1}{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2^{n-1}}\mathrm{e}^{i\frac{(n+1)\pi}{3}}=\frac{1}{2^n}\mathrm{e}^{i\frac{(n+2)\pi}{3}} \]
			
			\item Conclusion. Nous avons établi par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ \[z_n = \frac{1}{2^{n-1}}\mathrm{e}^{i\frac{(n+1)\pi}{3}} \]
			
			\end{enumerate}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[step=1cm, gray] (-1, -3) grid (7.5,5);
	\draw[ ->,very thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[above left,fill=white]{Roses};
	\draw[ ->,very thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below right,fill=white]{Bénéfice};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[very thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x00$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[very thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y00$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(-0.005*100*100*\x*\x+3.2*(100*\x)-82)/100});
		\draw[blue] (5.75,-2) node[fill=white](A) {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
			-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
			-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
			-- (2,0) 
			--(-0.5,0)
			-- cycle;		
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /1, $f'(x)$ /0.8, $f$ /1.6}
{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,}%
\tkzTabVar {D-/ / $-\infty$,+/ $+\infty$ / }
\end{tikzpicture}
