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% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
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\newenvironment{correction}{\color{brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{cyan}\noindent \underline{Commentaires:}}{~\newline}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{green}\noindent \underline{Exercices du manuel correspondant à cette partie:}}{~\newline}

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\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \color{blue}\small}{\medskip}

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}{~\newline}

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\newcounter{Definition}
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\newenvironment{théorème}{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme} \addtocounter{Theoreme}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline  \hline \\ }{\\ \hline \hline \end{tabular}}

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%environnement bareme: tableau deux colonnes
\newenvironment{bareme}{\color{orange}

\medskip \noindent  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{2cm}|}\hline }{\\ \hline \end{tabular}

\medskip}

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%Test conditionnel pour l'affichage    #
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%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
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#2
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%en tête puis pied de page
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\cfoot[\small ESA 2009 - \thepage]{\small ESA 2009 - \thepage}
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%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%les environnements qu'on affiche ou pas
\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
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\begin{document}

\section{Essa 2009.}

\subsection*{\color{purple}Exercice 1\hfill 8 points.}

\begin{sujet}

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\vec i,\vec j)$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Pour tout $x\in\mathbb{R}$, donner une expression de $f'(x)$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
	\underline{Déterminons $f'$.}
	
	\medskip
	$f$ est un produit de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $x\in\mathbb{R}$: 
	\begin{align*} 
	f'(x) &= \mathrm{e} ^{-x} -x\mathrm{e} ^{-x} \\
	&= (1-x)\mathrm{e} ^{-x} 
	\end{align*}
	On a montré: \framebox{$\forall x\in \mathbb{R},\ f'(x)=(1-x)\mathrm{e} ^{-x}$}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Étudier le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Sens de variation de $f$.}
	
	\medskip
	$\forall x\in\mathbb{R},\ \mathrm{e} ^{-x}>0$, et pour $x\in\mathbb{R}$: $1-x>0 \Leftrightarrow x<1$.
	
	On en déduit que pour $x\in\mathbb{R}$: $f'(x)>0 \Leftrightarrow x\in ]-\infty ; 1[$. 
	
	Et donc que: \framebox{$f$ est strictement croissante sur $]-\infty; 1[$.}
	
	En résolvant de même l'équation $x-1=0$ et l'inéquation $x-1<0$ on obtient:
	
	 \framebox{$f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$}, et\newline \framebox{$f$ admet une tangente horizontale en $x=1$.}
	 
	 \end{correction}

	\item \begin{sujet}
	
	Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Étude de $f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.}
	
	\medskip
	On remarque que: $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)= \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ et, d'après le cours: $\frac{x}{\mathrm{e}^{x}} \underset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow } 0$.
	
	D'autre part: $\left\{\begin{array}{l} x\underset{x\rightarrow -\infty}{\longrightarrow } -\infty \\ \mathrm{e}^{-x} x\underset{x\rightarrow -\infty}{\longrightarrow } +\infty \\ \end{array} \right. \Rightarrow x\mathrm{e}^{-x}\underset{x\rightarrow -\infty}{\longrightarrow } -\infty$, par produit.
	
	En conclusion on a montré: \framebox{ $\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\ f(x)= 0$ et $\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}\ f(x)= -\infty$.}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Cherchons une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.}
	
	\medskip
	Si $f$ est dérivable au voisinage de $a$ alors la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ à pour équation réduite: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
	
	On en déduit une équation de la tangente recherchée: 
	\begin{align*}
	T&: \ y=f'(0)(x-0)+f(0)\\ 
	T &: \ y=1x+0 \\ 
	T&: \ y=x 
	\end{align*} 
	Ainsi une tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est la première bissectrice du repère dont l'équation réduite est: \framebox{$T:\ y=x$}.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $m\in\mathbb{N}^*$. Prouver que l'aire, en unité d'aires, de la portion de plan comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=m$ est égale à $\frac{2}{\mathrm{e}}-(m+1)\mathrm{e}^{-m}$.
	
	Quelle est la valeur limite de cette aire lorsque $m$ tend vers $+\infty$?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\underline{Déterminons l'aire proposée.}
	
	\medskip
	Puisque $m\ge 2$ l'aire, $\mathcal{A}(m)$, décrite dans l'énoncé est donnée par: 
	\begin{align*} 
	\mathcal{A} &= \int_1^m f(x) dx \\ 
	&=  \int_1^m x\mathrm{e} ^{-x} dx
	\end{align*} 
	En procédant à une intégration par parties:
	\begin{align*}  
	\mathcal{A}(m) &= \left[ -x\mathrm{e} ^{-x} \right]_1^m -\int_1^m -\mathrm{e} ^xdx \\
	&= -m\mathrm{e} ^{-m} +1\mathrm{e} ^{-1} +\left[ -\mathrm{e} ^{-x} \right]_1^m \\
	&= -m\mathrm{e} ^{-m} +\mathrm{e} ^{-1} - \mathrm{e} ^{-m} +\mathrm{e} ^{-1} \\ 
	&= 2\mathrm{e} ^{-2} -(m+1)\mathrm{e} ^{-m}
	\end{align*}
	 
	En conclusion: \framebox{ $\mathcal{A}(m)=\frac{2}{\mathrm{e}}-(m+1)\mathrm{e} ^{-m}$}.
	
	\medskip
	\underline{Recherchons une éventuelle limite de $\mathcal{A}(m)$.}
	
	\medskip
	On remarque que: $\frac{2}{\mathrm{e}}-(m+1)\mathrm{e}^{-m}=\frac{2}{\mathrm{e}}-m\mathrm{e} ^{-m}-\mathrm{e} ^{-m}$.
	
	Or: $\left\{\begin{array}{l}-\frac{m}{\mathrm{e} ^{m}} \underset{m\rightarrow +\infty}{\longrightarrow }0 \\ -\mathrm{e} ^{-m} \underset{m\rightarrow +\infty}{\longrightarrow }0 \\ \end{array} \right.$
	
	donc: $\mathcal{A}(m) \underset{m\rightarrow +\infty}{\longrightarrow } \frac{2}{e}$.
	
	En conclusion: \framebox{$\underset{m\rightarrow +\infty}{\lim }  \mathcal{A}(m)=0$}.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_1=\frac{1}{\mathrm{e}}$ et, quelque soit $n \in \mathbb{N}^*$, $u_{n+1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+\frac{1}{n}\right) u_n$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\underline{Calculons $u_2$.}
		
		\medskip
		D'après la formule de récurrence définissant $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$:
		\begin{align*} 
		u_2 &= \frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+\frac{1}{1} \right) u_1 \\
		&= \frac{2}{\mathrm{e} ^2}
		\end{align*} 
		
		\medskip
		\underline{Calculons $u_3$.}
		
		\medskip
		De même: 
		\begin{align*} 
		u_3 &= \frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+\frac{1}{2} \right) u_2 \\
		&= \frac{3}{\mathrm{e} ^3} 
		\end{align*} 
		
		\medskip
		\underline{Calculons $u_4$.}
		
		\medskip
		De même: 
		\begin{align*} 
		u_4 &= \frac{1}{\mathrm{e}}\left( 1+\frac{1}{3} \right) u_3 \\
		&= \frac{4}{\mathrm{e} ^4} 
		\end{align*}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer cette conjecture.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Il semble que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ on ait: $u_n= \frac{n}{\mathrm{e}^n}$.
		
		\underline{Démontrons: $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{n}{\mathrm{e}^n}$.}
		
		\medskip
		Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ notons $P(n):\ \og u_n=\frac{n}{\mathrm{e}x^n}\fg$. Démontrons par récurrence sur $n$ que $P(n)$ est vraie.
		
		$P(0)$ est vraie car, d'après l'énoncé, on a: $u_1=\frac{1}{\mathrm{e}^1}$. 
		
		Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Supposons que $P(n)$ est vraie et démontrons que $P(n+1)$ est alors vrai.
		\begin{align*}
		u_{n+1} &= \frac{1}{\mathrm{e}} \left( 1+\frac{1}{n}\right) u_n \text{, par définition de $(u_n)$}\\
		&=  \frac{1}{\mathrm{e}} \left( 1+\frac{1}{n}\right)\frac{n}{\mathrm{e}^{n}} \text{, par hypothèse de récurrence}\\
		&= \frac{n+1}{n}.\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}\\
		&= \frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}
		\end{align*} 
		Donc $p(n+1)$ est vraie.
		
		On a donc démontré par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ que: \framebox{$\forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n=\frac{n}{\mathrm{e}^n}$}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de $(u_n)$ puis sa limite.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\underline{Sens de variation de $(u_n)$.}
		
		\medskip
		On remarque que: $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ f(n)=u_n$. Or $f$ est décroissante sur $[1;+\infty [$, donc \framebox{$(u_n)$ est décroissante.}
		
		\medskip		
		\underline{Limite de $(u_n)$.}\newline $\frac{n}{\mathrm{e}^n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}0$ et donc \framebox{$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim \ u_n}=0$}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 2. \hfill 6 points}

	\begin{enumerate}
	\item \underline{Résolvons l'équation de degré 2 proposée dans $\mathcal{C}$.}
	
	\medskip
	Calculons son discriminant: 
	\begin{align*} 
	\Delta &= b^2-4ac \\
	&= (-8)^2 -4 \times 1 \times 25\\
	&= -36 
	\end{align*}
	L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre. L'une d'elles est: 
	\begin{align*}
	z_0 &= \frac{-b+\mathrm{i} \sqrt{-\Delta}}{2a} \\
	&= \frac{8+\mathrm{i}\sqrt{36}}{2\times 1} \\
	&= 4+3i
	\end{align*}
	
	\framebox{L'ensemble des solutions de $z^2-8x+25=0$ est $\{ 4+3i ;4-3i \}$ }
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item \underline{Exprimons $\frac{z_A}{z_A-z_B}$ sous forme algébrique.}
		
		\medskip
		\begin{align*} 
		\frac{z_A}{z_A-z_B} &= \frac{4+3\mathrm{i}}{4+3\mathrm{i}-(1+7\mathrm{i})} \\
		&= \frac{4+3\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}} \\
		&= \frac{(4+3\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})}{(3+4\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})}\\
		&= \frac{12+16\mathrm{i}+9\mathrm{i}-12}{3^2+4^2} \\
		&= \frac{25\mathrm{i}}{25}\\
		&= \mathrm{i}
		\end{align*} 
		On a donc démontré que: \framebox{la forme algébrique de $\frac{z_A}{z_A-z_B}$ est $\mathrm{i}$.}
		
		\item \underline{Interprétation géométrique.}
		
		\medskip
		D'après la question précédente on a: $z_A-z_O=(z_A-z_B)\mathrm{i}=(z_A-z_B)\mathrm{e} ^{\frac{\pi}{2}}$. Autrement dit: \framebox{$O$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.}
		
		\medskip
		\underline{Nature du triangle $ABO$.}
		
		\medskip
		D'après ce qui précède, la rotation étant une isométrie du plan, $OA=AB$. Comme de plus cette rotation est d'angle $\frac{\pi}{2}$, on a $(OA)\perp (AB)$. Ainsi: \framebox{$OAB$ est isocèle rectangle en $A$.}

		\item \underline{Déterminons l'affixe de $C$.}
		
		\medskip
		Commençons par déterminer l'affixe de $I$. $I$ étant le milieu de $[OB]$ on a: 
		\begin{align*}
		z_I &= \frac{z_O+z_B}{2} \\
		&= \frac{1+7\mathrm{i}}{2}\\
		&= \frac{1}{2} +\frac{7}{2}\mathrm{i}
		\end{align*}
		
		Puisque $C$ est symétrique de $A$ par rapport à $I$, $I$ est le milieu de $[AC]$ et on a donc les égalités successivement équivalentes: 
		\begin{align*} 
		z_I &= \frac{z_A+z_C}{2} \\
		z_C &= 2z_I-z_A \\
		z_C &= 1+7\mathrm{i} -(4+3\mathrm{i}) \\
		z_C &= -3+4\mathrm{i}
		\end{align*}
		
		\framebox{l'affixe de $C$ est $-3+4\mathrm{i}$.}
		
		\medskip	
		\underline{Montrons que $OABC$ est un carré.}
		
		\medskip
		Montrons que $A$ est l'image de $C$ par la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. On a d'une part: 
		\begin{align*} 
		(z_C-z_B)\mathrm{i} &= (-3+4\mathrm{i}-1-7\mathrm{i})\mathrm{i} \\
		&= (-4-3\mathrm{i})\mathrm{i}\\
		&= 3-4\mathrm{i}
		\end{align*}
		et d'autre part: 
		\begin{align*} 
		z_A-z_B &= 4+3\mathrm{i} -1-7\mathrm{i} \\
		&= 3-4\mathrm{i}
		\end{align*} 
		On a donc montré que: $(z_C-z_B)\mathrm{i}=z_A-z_B$. Autrement dit $A$ est l'image de $C$ par la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
		
		On en déduit $OABC$ est un trapèze rectangle dont les deux bases et un troisième côté ont la même longueur autrement dit: \framebox{$OABC$ est un carré.}
		
		\emph{Remarque:} on pouvait aussi adopter directement un raisonnement géométrique ici bien plus léger.		
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection*{\color{purple}Exercice 3. \hfill 6 points.}

	\begin{enumerate}
	\item Il y a exactement deux solutions à l'équation $f(x)=0$.
	
	$f$ est strictement décroissante sur $]0;\mathrm{e}^{-1}]$ et $\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim \ }f(x)=5$ donc $f\left( ]0;\mathrm{e}^{-1}] \right) = \left[\ln \left( \frac{1}{2} \right); \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim \ }f(x)\right]= \left[\ln \left( \frac{1}{2} \right); 5\right]$. Comme $0\in\left[\ln \left( \frac{1}{2} \right); 5\right]$, $f$ admet un zéro unique sur $]0;\mathrm{e}^{-1}]$.
	
	$f$ est strictement croissante sur $[\mathrm{e}^{-1}; \mathrm{e} ]$, or $f\left( [\mathrm{e}^{-1}; \mathrm{e} ]\right)= \left[ \ln \left( \frac{1}{2} \right) ;3 \right]$ et $0\in  \left[ \ln \left( \frac{1}{2} \right) ;3 \right]$, donc $f$ admet un unique zéro sur $[\mathrm{e}^{-1}; \mathrm{e} ]$.
	
	Réponse \textbf{C}.

	\item Il y a deux possibilités d'asymptotes au voisinage de $0^{+}$ et de $+\infty$.
	
	En 0, d'après le tableau de variation $f$ est prolongeable par continuité: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim \ } f(x)=5$. Il n'y a donc pas d'asymptote en 0.
	
	Clairement $f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=2$ au voisinage de $+\infty$.
	
	Réponse \textbf{B}.

	\item $\mathrm{e} \simeq 2,7$, donc, d'après le tableau de signe de $f'$, on a $f'(3)<0$. Donc la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 3 (qui existe puisque $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$) a, nécessairement, une équation réduite dont le coefficient directeur est, lui aussi, négatif. Nécessairement cette équation réduite est $y=-x+5$.
	
	Réponse \textbf{B}.

	\item D'après le tableau de variation $f$ est croissante sur $[5;+\infty [$ donc: 
	\[	\forall x\in [5;+\infty [ , f(5)\le f(x) \le \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim \ } f(x) \]
	En particulier en tenant compte des valeurs aux bornes de l'intervalle: \[ \forall x\in [5;7],\  \mathrm{e} -2\le f(x) \le 2 \]
	En intégrant cette inégalité sur $[5;7]$ on obtient successivement: 
	\begin{align*} 
	\int_5^7 \mathrm{e} -2 \,\mathrm{d}t &\le  \int_5^7 f(t)dt &\le  \int_5^7 2dt \\
	 2(\mathrm{e} -2) &\le  \int_5^7 f(t)dt &\le  2\times 2 \\
	 \frac{2}{\mathrm{e}^{2}} &\le  I &\le 4 
	 \end{align*}
	 et puisque $\mathrm{e} \simeq 2,7$: $1\le \int_5^7 f(t) dt \le 4$.
	 
	 Réponse \textbf{B}.

	\item On remarque que  la fonction définie par: $\ln \left( \ln (x) \right)$ est une primitive sur $\mathbb{R}_+^*$ de $\frac{1}{x\ln x}$ (dérivée logarithmique). On a donc les égalités successives suivantes: 
	\begin{align*} 
	\int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e} ^2} \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x &= \left[ \ln \left( \ln (x) \right) \right]_{\mathrm{e}} ^{\mathrm{e} ^2} \\
	&= \ln 2 
	\end{align*} 
	
	Réponse \textbf{A}.

	\item La valeur moyenne de $f$ sur $[0;2]$ est par définition: 
	\begin{align*} 
	\frac{1}{2-0} \int_0^2 \mathrm{e} ^\frac{x}{2} dx &= \frac{1}{2} \left[ 2\mathrm{e} ^{\frac{x}{2}} \right]_0^2 \\
	&= \mathrm{e} -1 
	\end{align*} 
	
	Réponse \textbf{D}.

	\item Par définition des probabilités conditionnelles: $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$. On en déduit: $P(A)=\frac{P(A\cap B) }{P_A(B)}=\frac{2}{5} \left( \frac{3}{5} \right)^{-1}=\frac{2}{3}$.
	
	Réponse \textbf{A}.
	
	\item Si $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de billets gagnants alors $X \sim \mathcal{B}\left( 4,\frac{1}{4} \right) $. Et donc: 
	\begin{align*}
	P(X\ge 1) &= 1-P(X=0) \\
	&= 1- \binom{4}{0}\left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{3}{4} \right) ^4 \\
	&= 1-\frac{81}{256} \\
	&= \frac{175}{256}
	\end{align*}
	
	Réponse \textbf{C}.

	\item On normalise l'équation $(E)$: $y'-\frac{3}{2}y=3$.
	
	Résolvons l'équation homogène $(E')$: $y-\frac{3}{2}y'=0$.  L'ensemble des solutions de $(E')$ est le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\left\{\begin{array}{lcl} \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ x & \longrightarrow &\lambda \mathrm{e} ^{\frac{3}{2}x} \\ \end{array}  , \lambda\in\mathbb{R} \right\}$.
	
	La fonction constante égale à -2 est une solution évidente particulière.
	
	On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle proposée est $\left\{\begin{array}{lcl} \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ x & \longrightarrow &\lambda \mathrm{e} ^{\frac{3}{2}x} -2 \\ \end{array}  , \lambda\in\mathbb{R} \right\}$.
	
	Réponse \textbf{C}.

	\item On a: $\forall n\in\mathbb{N},\ u_0\le v_n$. Donc $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite décroissante et minorée donc convergente.
	
	Réponse \textbf{C}

	\item Le système de points pondérés $\{ (A;2);\ (B;1);\ (C;-1)\}$ admet un barycentre (car $2+1-1\ne 0$) et pour tout pont $M$ de l'espace: $(2+1-1)\overrightarrow{MG}= 2.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$.
	
	Soit $M$ un point de l'espace. 
	\[ \left( || 2.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=3 \right) \Leftrightarrow \left( 2||\overrightarrow{MG}||=3 \right) \] ce qui équivaut encore à dire que $M$ appartient à la sphère de centre $G$ et de rayon $\frac{3}{2}$.
	
	Réponse \textbf{A}.

	\item Le vecteur $\vec n\,(3,0,-1)$ est normal au plan $(P)$ d'équation $3x-z+1=0$. $\vec j$ est orthogonal à $\vec n$. Donc l'axe $(O,\vec j)$ est parallèle ou confondu avec le plan $(P)$. Comme $O$ n'appartient pas à $(P)$ (ses coordonnées ne vérifient pas l'équation du plan) on peut affirmer que le plan est parallèle à l'axe $(O,\vec j)$.
	
	Réponse \textbf{B}.

	\end{enumerate}

\end{document}
\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (-4,-2.5);
	\coordinate (B) at (5,2.5);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!30, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (A) grid (B);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (A) grid (B);
	\draw[ ->,thick] (-1, -0) -- (7.5, 0) node[below left]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, -3) -- (0, 5) node[below left]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize $\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: def \x {a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
