%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.no-ip.biz/esa.html}{E.S.S.A. 1996} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
%\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours d'admission aux écoles du service de santé des armées 1996.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		Épreuve de mathématique.
		
		Coefficient: 2
		
		Durée: 1 heure
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}1$. \hfill (6 points)}

\begin{sujet}
	
	On injecte à l'instant $t=0$, une substance dont la concentration, exprimée en $\mathrm{g}/\mathrm{l}$, dans le sang à l'instant $t$, exprimé en minutes, est $C(t)$ définie par $C(t)=t\mathrm{e}^{-t^2}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez la valeur exacte de l'instant $t$ auquel cette concentration est maximale.
		
		Donnez une valeur approchée au dixième de seconde près de cet instant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{resume}
		
		Deux approches possibles: résultats sur la variation des fonctions composées ou par recherche de variations par étude de la fonction dérivée.
		
	\end{resume}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions les variations de $C$ sur $\mathbb{R}_+$.}
		
		En tant que produit de composées de fonctions indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$, $C$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$. De plus sa dérivée est donnée pour tout $t\in\mathbb{R}_+$ par
		
		\begin{align*}
			C'(t) &= 1 \times \mathrm{e}^{-t^2} +t \times \left( -2t \times \mathrm{e}^{-t^2} \right) \\
			&= {\color{orange} \mathrm{e}^{-t^2}} -2t^2 {\color{orange}\mathrm{e}^{-t^2}} \\
			&= (1-2t^2) {\color{orange} \mathrm{e}^{-t^2}}
		\end{align*}
		
		Si $\mathrm{e}^{-t^2}$ est strictement positif, le signe de l'autre facteur reste à déterminer sur $\mathbb{R}_+$.
		
		\begin{align*}
			1-2t^2 > 0 &\Leftrightarrow 1-2t^2 {\color{orange}+ 2t^2} > 0 {\color{orange}+ 2t^2} \\
			&\Leftrightarrow 1> 2t^2\\
			&\Leftrightarrow \frac{1}{\color{orange}2} > \frac{2t^2}{\color{orange}2}\\
			&\Leftrightarrow \frac{1}{2} > t^2
			\intertext{Et comme $t\in\mathbb{R}_+$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur cet ensemble}
			1-2t^2> 0 &\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}} \ge \sqrt{t^2}\\
			&\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} > t
		\end{align*}
		
		Ainsi $C'$ est strictement positive sur $\left[ 0 ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right[$. En procédant de même nous établirions que $C'$ ne s'annule qu'en $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et que donc $C'$ est strictement négative sur $\left] \frac{\sqrt{2}}{2} ; +\infty \right[$.
		
		\medskip
		De plus:
		\begin{align*}
			C(0) &= 0\\
			C\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) &= \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}
		\end{align*}
		
Et \[ t\mathrm{e}^{-t^2}= \frac{1}{t} \cdot \frac{t^2}{\mathrm{e}^{-t^2}} \underset{\longrightarrow} {t \to +\infty}{0} \]
		
		Nous en déduisons la variation de $C$ sur $\mathbb{R}$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=2, deltacl=0.5]{$t$ /0.8, $C'(t)$ /0.8, $C(t)$ /1.6}
		{$0$ ,$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ , - / $0$ / }
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			La concentration est maximale à l'instant $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		L'instant correspondant en seconde est $\frac{\sqrt{2}}{2}\times 60$.
		 
		 \begin{conclusion}
		 	
		 	L'instant auquel cette concentration est maximale est au dixième de seconde près par défaut $42,4\ \mathrm{s}$.
		 	
		 \end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrez que la concentration maximale est égale à $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{e}}}\ \mathrm{g}/\mathrm{l}$.
		
		Donnez l'arrondi de cette valeur à $1\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}$ près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'expression souhaitée de $C\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.}
		
		\begin{align*}
			C\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) &=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}} \\
			&= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}} \\
			&= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\\
			&= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\mathrm{e}}}\\
			&= \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{e}}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La concentration maximale, en gramme par litre, est $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{e}}}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		
		\begin{conclusion}
			
			La concentration maximale est, arrondie au milligramme par litre, $0,429\ \mathrm{g}/\mathrm{l}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}2$. \hfill (7 points)}

\begin{sujet}
	
	Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec u,\vec v)$.
	
	Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $z_A=1+2i$, $z_B=-4+i$, $z_C=-3-4i$ et $z_D=2-3i$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représentez $A$, $B$, $C$, $D$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-5};
			\def\yY{-5};
			\def\xZ{5};
			\def\yZ{5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0);
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ);
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (A) at (1,2);
			\coordinate (B) at (-4,1);
			\coordinate (C) at (-3,-4);
			\coordinate (D) at (2,-3);
			\draw (O) node[below left]{$O$};
			\draw[>=latex,->,very thick,blue] (0,0)--(1,0) node[midway,below]{$\vec u$};
			\draw[>=latex,->,very thick,blue] (0,0)--(0,1) node[midway,left]{$\vec v$};
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below,fill=white]{$A$};
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below,fill=white]{$B$};
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[below,fill=white]{$C$};
			\draw (D) node{$\times$};
			\draw (D) node[below,fill=white]{$D$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminez l'affixe du milieu $E$ de $[AC]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'affixe de $E$.}
		
		Puisque $E$ est le milieu de $[AC]$ son affixe est
		
		\begin{align*}
			z_E &= \frac{1}{2} \left( z_A+z_C \right) \\
			&= \frac{1}{2} \left( 1+2i+(-3-4i) \right) \\
			&= \frac{1}{2} (-2-2i)\\
			&= -1-i
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affixe de $E$ est $-1-i$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}	
		
		Montrez que $\displaystyle \frac{z_B-z_E}{z_A-z_E}= \frac{z_D-z_E}{z_C-z_E}=i$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons les égalités souhaitées.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
			\frac{z_B-z_E}{z_A-z_E} &= \frac{-4+i-(-1-i)}{1+2i-(-1-i)}\\
			&= \frac{-3+2i}{2+3i}\\
			&= \frac{-3+2i}{2+3i} {\color{orange} \times (-i) \times i} \\
			&= \frac{(-3+2i)\times (-i)}{2+3i} \times i \\
			&= \frac{2+3i}{2+3i} \times i\\
			&= i
		\end{align*}
		
		\medskip
		et d'autre part
		
		\begin{align*}
			\frac{z_D-zE}{z_C-z_E} &= \frac{2-3i-(-1-i)}{-3-4i-(-1-i)} \\
			&= \frac{3-2i}{-2-3i}\\
			&= \frac{3-2i}{-2-3i} { \times (-i) \times i} \\
			&= \frac{(3-2i) \times (-i)}{-2-3i} \times i \\
			&= \frac{-2-3i}{-2-3i} \times i\\
			&= i
		\end{align*}
		
		et par conséquent:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \frac{z_B-z_E}{z_A-z_E}= \frac{z_D-z_E}{z_C-z_E}=i$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
	
		Montrez que $EB=EA$ et $ED=EC$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons que $EB=EA$.}
		
		Puisque $\frac{z_B-z_E}{z_A-z_E}=i$ en considérant les modules nous obtenons successivement
		
		\begin{align*}
			\left| \frac{z_B-z_E}{z_A-z_E} \right| = |i| \\
			\frac{[z_B-z_E|}{|z_A-z_E|} &= 1\\
			\frac{EB}{EA}=1\\
			\intertext{et donc}
			EB &= EA
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Ainsi $EB=EA$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Nous montrerions exactement de la même façon que
		
		\begin{conclusion}
			
			$ED=EC$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
			
		Déterminez les mesures des angles $(\overrightarrow{EA} , \overrightarrow{EB} )$ et $( \overrightarrow{EC} , \overrightarrow{ED} )$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la mesure de l'angle $(\overrightarrow{EA} , \overrightarrow{EB} )$.}
		
		Comme $i=\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}}$ et puisque $\frac{z_B-z_E}{z_A-z_E} = i$,
		
		\begin{align*}
			\mathrm{Arg}\left( \frac{z_B-z_E}{z_A-z_E} \right) &\equiv \mathrm{Arg} \left( \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}} \right) \pmod{2\pi}\\
			&\equiv \frac{\pi}{2}
		\end{align*}
		
		Et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(\overrightarrow{EA} , \overrightarrow{EB} ) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		De même
		
		\begin{conclusion}
			
			$(\overrightarrow{EC} , \overrightarrow{ED} ) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		Déduisez-en la nature du quadrilatère $ABCD$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $E$ est le milieu de $[AC]$, que $EB=EA$ et que $ED=EC$, \[ EA=EB=EC=ED \]
		
		Comme $(\overrightarrow{EA} , \overrightarrow{EB} ) = ( \overrightarrow{EC} , \overrightarrow{ED} ) = \frac{\pi}{2}$ et que $A$ est le symétrique de $C$ par rapport à $C$, le quadrilatère $ABCD$ est non-croisé, dans le sens direct et ses diagonales sont perpendiculaires.
		
		Ainsi $ABCD$ est un quadrilatère non-croisé dont les diagonales de même longueur et perpendiculaires se coupent en leur milieu, autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un carré.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Une rédaction introduisant une rotation serait bien plus élégante.}
				
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}3$. \hfill (7 points)}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un dé cubique $A$ porte inscrit sur ses faces les nombres: $-2$, $1$, $1$, $1$, $2n$, $-n$ (où $n$ est un entier relatif). On suppose qu'à chaque lancer, les faces de $A$ ont la même probabilité d'apparition.
		
		On lance le dé $A$ et on note $X$ le nombre obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez la loi de probabilité de $X$, en fonction du paramètre $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la loi de probabilité de $X$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité entre les faces la loi de probabilité de $X$ est
			
			\medskip
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{X|}}
				\hline
				Valeurs de $X$ & $-2$ & $1$ & $2n$ & $-n$
				\\
				\hline
				Probabilité & $$\frac{1}{6}$$ & $$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$ & $$\frac{1}{6}$$ & $$\frac{1}{6}$$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
			\medskip
			Nous pourrions spécifier pour certaines valeurs prises par $n$.
			
			Si $n=-1$, alors
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Valeurs de $X$ & $-2$ & $1$
				\\
				\hline
				Probabilité & $\frac{1}{3}$ & $\frac{2}{3}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			Si $n=2$, alors
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Valeurs de $X$ & $-2$ & $1$ & $4$
				\\
				\hline
				Probabilité & $\frac{1}{3}$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{1}{6}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez $n$ pour que l'espérance mathématique de $X$ soit nulle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $n$.}
				
			L'espérance d'une variable aléatoire $X\in \{ x_1,\dots ,x_r \}$ est donnée par
			
			\begin{align*}
				E(X) &= \sum_{k=0}^r x_kP(X=x_k)\\
				&= -2 \times \frac{1}{6} +1 \times \frac{1}{2} + 2n \times \frac{1}{6} -n \times \frac{1}{6}\\
				&= \frac{1}{6} + n\times\frac{1}{6}\\
				&= \frac{1}{6} (1+n)
			\end{align*}
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$E(X)=0$ si et seulement si $n=-1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la suite, on donnera à $n$ cette valeur.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $B$ un autre dé cubique dont les faces portent les nombres $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$ de telle sorte que les probabilités d'apparition respectives de ces nombres soient les six termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminez la probabilité d'apparition de chacune des faces de $B$.
			
			(Donnez les résultats sous forme de fractions  irréductibles).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la distribution de probabilité associée à cette expérience.}
			
			Les probabilité des faces forment une suite, $u_0,\dots, u_5$, géométrique de premier terme $u_0\in\mathbb{R}$ et de raison $\frac{1}{3}$.
			
			Ainsi quelque soit $k\in \llbracket 0 ; 5 \rrbracket$ \[ u_k=u_0\left(\frac{1}{3} \right)^k \]
			
			Or la somme des probabilités doit être égale à $1$, donc nécessairement
			
			\[ \sum_{k=0}^5 u_0\left( \frac{1}{3} \right)^k =1 \]
			
			Cette dernière égalité équivaut successivement à 
			
			\begin{align*}
				u_0 \sum_{k=0}^5 \left( \frac{1}{3} \right)^k &=1 \\
				u_0 \cdot \frac{1-\left( \frac{1}{3} \right)^6}{1-\frac{1}{3}} &= 1\\
				u_0\cdot \frac{364}{243} &=1\\
				u_0 &= \frac{243}{364}
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons la distribution de probabilité associée à cette expérience, en notant $Y$ la variable aléatoire indiquant le nombre obtenu
			
			\medskip
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{X|}}
				\hline
				Valeurs de $Y$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $1$ & $2$ & $3$ 
				\\
				\hline
				&&&&&&
				\\
				Probabilité & $\displaystyle \frac{243}{364}$ & $\displaystyle \frac{81}{364}$ & $\displaystyle \frac{27}{364}$ & $\displaystyle \frac{9}{364}$ & $\displaystyle \frac{3}{364}$ & $\displaystyle \frac{1}{364}$
				\\
				&&&&&&
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On lance simultanément les dés $A$ et $B$. On suppose que les résultats donnés par les dés sont indépendants.
			
			Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $-2$?
			
			Quelle la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $-1$?
			
			(Donnez les résultats sous forme de fractions irréductibles).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la probabilité de $(X=1)\cap (Y=-3)$.}
			
			Il n'y a effectivement qu'une seule façon d'obtenir que la somme des nombres obtenus soit égale à $-2$ c'est lorsque $A$ affiche $1$ et $B$ $-3$.
			
			Puisque les résultats donnés par les dés sont indépendants, ces événements le sont aussi et donc
			
			\begin{align*}
				P\left( (X=1)\cap (Y=-3) \right) &= P(X=1)\cdot P(X=-3) \\
				&= \frac{2}{3} \cdot \frac{243}{364}\\
				&= \frac{81}{182}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $-2$ est $\frac{81}{182}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons la probabilité de $\left[ (X=-2)\cap (Y=1) \right] \cup \left[ (X=1) \cap (Y=-2) \right]$.}
			
			Il y a effectivement deux  façons d'obtenir que la somme des nombres obtenus soit égale à $-1$ c'est lorsque $A$ affiche $-2$ et $B$ $1$ ou lorsque $A$ affiche $1$ et $B$ $-2$.
			
			Puisqu'il s'agit de deux issues distinctes (et donc d'événements disjoints):
			
			\begin{align*}
				&P \left( \left[ (X=-2)\cap (Y=1) \right] \cup \left[ (X=1) \cap (Y=-2) \right] \right) \\
				&= P \left[ (X=-2)\cap (Y=1) \right] + P \left[ (X=1) \cap (Y=-2) \right] \\
				\intertext{Comme précédemment, l'indépendance des résultats des deux dés permet de calculer:}
				&P \left( \left[ (X=-2)\cap (Y=1) \right] \cup \left[ (X=1) \cap (Y=-2) \right] \right) \\
				&= \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{364} +\frac{2}{3} \cdot \frac{81}{364}\\
				&= \frac{51}{364}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $-1$ est $\frac{51}{364}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
			
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cvm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\section{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\section{Python}

\begin{lstlisting}
\textbf{Inititalisation}
for i=1 to 14:
	print("oups")
	while 1<2:
		a=input()
	test
\end{lstlisting}


\section{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\section{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
