%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/esa.html}{E.S.S.A. 1989} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
	\section{Concours d'admission aux écoles du service de santé des armées 1988.}
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{center}
			
			Épreuve de mathématique.
			
			Coefficient: 2
			
			Durée: 1 heure
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Nota}: les candidats sont autorisés à utiliser des règles à calcul, des tables numériques et des calculatrices de poche à entrée unique par clavier, y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. Afin de prévenir les risques de fraude, l'échange des calculatrices entre les candidats pendant les épreuves est interdit, de même que l'usage des notices fournies par les constructeurs.
		
	\end{sujet}
	
\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}1$.}
	
\begin{sujet}
	
	Soit la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\frac{\ln (1+x) }{x}$, avec $f(0)=1$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudier et représenter cette fonction dans un repère orthonormé.
		
		(On admettra que $\displaystyle f'(0)= - \frac{1}{2}$).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Ensemble de définition.}
			
			$x \mapsto \ln (1+x)$ est définie sur $]-1;+\infty[$.
			
			$x \mapsto \frac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$.
			
			Donc à priori $x \mapsto \frac{\ln (1+x)}{x}$ est définie sur $]-1; + \infty[ \setminus \{ 0 \}$, mais puisque l'énoncé précise que $f(0)=1$, le domaine de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-1 ;+ \infty[$.
			
			\item {\color{orange}Continuité.}
			
			$f$ est clairement continue sur son domaine de définition hormis en $0$. Attachons nous donc à ce cas.
			
			{\color{orange}Méthode hors programme. En utilisant le développement limité en $0$ de $x \mapsto \ln(1+x)$: 
			
			\begin{align*}
				f(x) &= \frac{1}{x} \left( x -\frac{x^2}{2} + \underset{x \to 0}{\mathrm{o}}(x^2) \right)\\
				&= 1- \frac{x}{2} + \underset{x \to 0}{\mathrm{o}} (x)
			\end{align*}
			
			Et par conséquent: $\lim_{x \to 0} f(x) =1$.}
		
			\medskip
			Remarquons, pour $x \in ]-1, + \infty[$,  \[ \frac{\ln(1+x)}{x}= \frac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x}. \] Nous reconnaissons dans cette dernière expression le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+x$. Puisque $\ln$ est dérivable en $1$ nous pouvons affirmer que \[ \frac{ \ln(1+x) - \ln(1)}{x} \underset{x \to 0}{\rightarrow} \ln'(1). \] Autrement dit: $\lim_{x \to 0} f(x) =1=f(1)$.
			 			
			Ainsi $f$ est continue sur $\mathscr{D}_f$.
			
			\item {\color{orange}Limites.}
			
			Nous avons aisément: $\lim_{x \to +\infty} f(x) =0$, par comparaison des logarithmes et puissances. Nous en déduisons l'existence d'une tangente horizontale à la courbe en $+\infty$.
			
			Puisque $\frac{1}{x} \underset{x\to -1}{\rightarrow} -1$ et $\ln(x+1) \underset{\begin{subarray}{c} x \to -1 \\x >-1 \end{subarray}}{\rightarrow} -\infty$,  $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to -1 \\ x>-1 \end{subarray} } f(x) =+\infty$. Nous en déduisons l'existence d'une tangente verticale en $-1$.
			
			\item {\color{orange}Ensemble de dérivabilité et fonction dérivée.}
			
			Si $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f \setminus \{ 0 \}$ en tant que quotient de fonctions dérivables, l'énoncé nous affirme de plus qu'elle est dérivable en $0$ et que $f'(0)=-\frac{1}{2}$.
			
			
			Soit $x \in \mathscr{D}_f \setminus \{ 0 \}$.
			
			$f= \frac{u}{v}$ avec $u(x)= \ln(1+x)$ et $v(x)=x$, donc $u'(x)= \frac{1}{1+x}$ et $v'(x)=1$.
			
			D'où:
			
			\begin{align*}
				f' &= \frac{u'v-uv'}{v^2}\\
				&= \frac{\frac{1}{x+1}x-\ln(1+x)}{x^2}\\
				&= 	\frac{x -(x+1) \ln(x+1)}{(x+1)x^2}
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Signe de $f'$ et variations de $f$.}
			
			Notons $g(x)=x-(x+1) \ln (x+1)$ et étudions son signe en étudiant ses variations sur $]-1, + \infty[$.
			
			$g$ est dérivable et $g'(x)=-\ln(x+1)$. Donc
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $g'$ /0.8, $g$ /1.6}
				{$-1$ ,$0$, $+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}%
				\tkzTabVar {-/ , + / $0$ , - /  / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Nous en déduisons que $f' \leqslant 0$ sur $]-1 ; + \infty[$.
			
			Donc:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=3, deltacl=0.8]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
				{$-1$ , $0$,  $+\infty$}
				\tkzTabLine{d,-,z,-,}%
				\tkzTabVar {+D+/  / $+\infty $, R /,  - / $0$  / }
				\tkzTabIma{1}{3}{2}{1}
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\item {\color{orange}Tracer de la courbe.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-1.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{8.5};
				\def\yZ{4};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=1000,domain=-0.98:-0.1] plot({\x},{ln(\x +1)/\x});
				\draw[blue, thick][samples=5000,domain=-0.1:0.1] plot({\x},{ln(\x +1)/\x});
				\draw[blue, thick][samples=1000,domain=0.1:8.5] plot({\x},{ln(\x +1)/\x});
				\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$(C)$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer également que l'on ne peut tracer qu'une seule tangente à la courbe $(C)$ représentative de cette fonction, de l'origine $O$ du repère.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'unicité de la tangente.}
		
		{\color{orange}Je ne vois pas d'autre façon de déterminer les limites que les développements limités. Si vous voyez comme s'en passer dites-le moi: \href{mailto:aubry.levavasseur@gmail.com}{aubry.levavasseur@gmail.com}.}
		
		\medskip
		Déterminons le taux d'accroissement de $f$ entre $0$ et $h$ avec $h \in \mathscr{D}_f$.
		
		\begin{align*}
			\tau(h) &= \frac{f(h) -f(0)}{h}\\
			&= \frac{\frac{\ln(1+h)}{h} -1}{h} \\
			&= \frac{\ln(h+1)-h}{h^2} \\
			&= \frac{1}{h^2} \left( h-\frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + \mathrm{o}(h^3) -h\right) \\
			&= \frac{1}{h^2} \left( -\frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + \mathrm{o}(h^3) \right)\\
			&= -\frac{1}{2} + \frac{h}{3} + \mathrm{o}(h)
		\end{align*}
		
		Donc $\lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x>0 \end{subarray}} \tau(h)= \lim_{\begin{subarray}{c} x \to 0 \\ x<0 \end{subarray}} \tau(h) = -\frac{1}{2}$.
		
		Le nombre dérivé à droite égalant le nombre dérivé à gauche, nous pouvons affirmer
		
		\begin{conclusion}
			
			$(C)$ admet une unique tangente au point d'abscisse $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}2$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer $\cos x+ \sqrt{3}\sin x$ sous la forme  $A \cos (x-\varphi)$, avec $A$ et $\varphi$ réels à déterminer explicitement (on choisira $A$ positif).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $f(x)=\cos x +\sqrt{3} \sin x$ sous la forme souhaitée.}
		
		\begin{align*}
			f(x) &= 2\left( \frac{1}{2} \cos x +\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right)\\
			&= 2 \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos x+ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin x \right) \\
			&= 2\cos \left( x- \frac{\pi}{3} \right) \\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Ainsi: $\cos x+ \sqrt{3}\sin x= A \cos (x-\varphi)$, avec $A=2$ et $\varphi= \frac{\pi}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire alors: $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos x+ \sqrt{3} \sin x \right)'\ \mathrm{d}x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(x) \ \mathrm{d}x$.}
		
		\begin{align*}
			\int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(x)\ \mathrm{d}x &= \left[ f(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\
			&= \left[ 2 \cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\
			&= 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) -2 \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)\\
			&= \sqrt{3} -1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos x+ \sqrt{3} \sin x \right)'\ \mathrm{d}x = -1+ \sqrt{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}3$.}

\begin{sujet}
	
	Soit $(ABC)$ un triangle, non équilatéral, du plan, et on pose: $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$, où $a$, $b$, $c$ sont trois réels strictement positifs.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $GA^2$ en fonction de $a$, $b$, $c$ sachant que $G$ représente le centre de gravité de ce triangle.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire alors la valeur de $(b^2-c^2)GA^2+(c^2-a^2)GB^2+ (a^2-b^2)GC^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer ensuite l'ensemble des points $M$ du plan du triangle tels que: $(b^2-c^2) MA^2 + (c^2-a^2) MB^2 + (a^2-b^2) MC^2 =0$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}4$.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre l'équation $z^6-1=0$ dans le corps des complexes, et donner les solutions sous formes algébrique et trigonométrique. Représenter ces solutions dans le plan complexe.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Mettre le complexe $8i$ sous forme trigonométrique et résoudre $x^6-8i=0$. Représenter ces solutions dans le plan complexe.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le plan complexe on donne les points $A(-1+i)$, $B(2+3i)$ et $M(z)$, $M \ne A$ et $M\ne B$.
		
		On pose $\displaystyle Z= \left( \frac{z-2-3i}{z+1-i} \right) ^3$.
		
		Quel est l'ensemble des points $M$ tels que: 
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $|Z|=8$?
			\item $Z$ est imaginaire pur?
		\end{enumerate}
	
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}