%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/esa.html}{E.S.S.A. 1988} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours d'admission aux écoles du service de santé des armées 1988.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
	
		Épreuve de mathématique.
		
		Coefficient: 2
		
		Durée: 1 heure
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\emph{Nota}: les candidats sont autorisés à utiliser des règles à calcul, des tables numériques et des calculatrices de poche à entrée unique par clavier, y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. Afin de prévenir les risques de fraude, l'échange des calculatrices entre les candidats pendant les épreuves est interdit, de même que l'usage des notices fournies par les constructeurs.
	
\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}1$.}
	
\begin{sujet}
	
	On pose $\displaystyle u_n= \int_0^1 \frac{x^n}{x^2+1}\ \mathrm{d}x$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que pour tout $x\in [0,1]$, on a: \[ \frac{x^n}{2} \le \frac{x^n}{1+x^2} \le x^n, \] et en déduire alors: \[ \frac{1}{2(n+1)} \le u_n \le \frac{1}{n+1}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons le premier encadrement.}
		
		Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $x\in [0,1]$.
		
		Autrement dit:
		\begin{align*}
			0 &\le x \le 1\\
			\intertext{La fonction carrée étant croissante sur $\mathbb{R}_+$}
			0 &\le x^2 \le 1\\
			1 &\le 1+x^2 \le 2\\
			\intertext{La fonction inverse étant décroissante sur $\mathbb{R}_+$}
			1 &\ge \frac{1}{1+x^2} \ge \frac{1}{2}\\
			\intertext{$x^n$ étant positif}
			x^n &\ge \frac{x^n}{1+x^2} \ge \frac{x^n}{2}
		\end{align*}
		

		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \forall x\in [0,1],\ \frac{x^2}{2} \le \frac{x^n}{1+x^2} \le x^n $.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons le deuxième encadrement.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		En intégrant le précédant encadrement sur $[0,1]$:
		\begin{align*}
			\int_0^1 \frac{x^n}{2}\ \mathrm{d}x &\le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^2} \ \mathrm{d}x \le \int_0^1 x^n\ \mathrm{d}x\\
			\frac{1}{2}\int_0^1 x^n\ \mathrm{d}x &\le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^2} \ \mathrm{d}x \le \int_0^1 x^n\ \mathrm{d}x\\
			\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n+1} x^{n+1} \right]_0^1 &\le u_n \le \left[ \frac{1}{n+1} x^{n+1} \right]_0^1\\
			\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n+1} &\le u_n \le \frac{1}{n+1}
		\end{align*}
		
		Nous avons établi
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*,\ \frac{1}{2(n+1)} \le u_n \le \frac{1}{n+1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Préciser le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$, et montrer qu'elle converge vers un réel $l$ que l'on calculera.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Sens de variation de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.}
		
		Soit $n\in\mathbb{n}^*$.
		
		\medskip
		Soit $x\in\ [0;1]$.
		
		Ainsi: $0\le x \le 1$. Comme $\frac{x^n}{1+x^2}>0$, nous en déduisons \[ \frac{x^n}{1+x^2} \times 0 \le \frac{x^n}{1+x^2}\cdot x \le \frac{x^n}{1+x^2} \times 1. \]
		
		Autrement dit \[ 0\ le \frac{x^{n+1}}{1+x^2} \le \frac{x^n}{1+x^2}. \]
		
		L'intégrale étant croissante, en intégrant le précédent encadrement sur $[0;1]$: \[ 0 \le \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x^2} \ \mathrm{d}x \le \int_0^1 \frac{x^{n}}{1+x^2} \ \mathrm{d}x .\]
		
		Nous avons donc démontré que, quelque soit $n\in\mathbb{n}^*$, \[ 0\le u_{n+1} \le u_n.\]
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Établissons la convergence de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.}
		
		Nous venons de démontrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante est minorée par $0$, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est convergente.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la valeur de $l$}
		
		À la question précédente nous avons démontré que \[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ \frac{1}{2(n+1)} \le u_n \le \frac{1}{n+1}. \]
		
		Comme de plus \[ \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2(n+1)} =0, \] et \[ \lim_{n\to+\infty } \frac{1}{n+1}=0, \] en passant à la limite dans l'encadrement nous pouvons affirmer que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ converge vers $l=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ} 2$.}

\begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle f: \left\{ \begin{array}{rcl} \left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[ & \rightarrow & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & \frac{1}{\sin x} \end{array} \right.$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étudier et représenter cette fonction de courbe $\mathscr{C}_f$ dans un repère orthonormal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{resume}
		
		Nous pouvons étudier les variations en étudiant le signe de la dérivée ou en composant des fonctions.
		
	\end{resume}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Étudions les variations de $f$.}
		
		$x\mapsto \sin x$ est strictement décroissante sur $\left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[$ et à valeur strictement positives. Donc son inverse $x\mapsto \frac{1}{\sin x}$ est strictement croissante.
		
		\begin{conclusion}
		
			$f$ est strictement croissante sur $\left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Limite de $f$ en $\pi$.}
		
		Lorsque $x$ tend vers $\pi$ par valeur inférieurs, $\sin x$ tend vers $0$ par valeurs positives. Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \lim_{x\to \pi} f(x)=+\infty$.
			
		\end{conclusion}
		
		Autrement dit $\mathscr{C}_f$ admet la droite d'équation $x=\pi$ pour asymptote verticale.
		
		\medskip
		\objectif{Représentons graphiquement $f$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=1]
				\def\xY{1.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{3.5};
				\def\yZ{7};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (1.5, \yY) -- (1.5, \yZ) node[above]{$y$};
				\foreach \x in {1.5,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1}	\draw[thick]({1.5+0.1},\y)--({1.5-0.1},\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=90:170] plot({3.1415*\x/180},{ 1/(sin(\x)) });
				\draw[blue] (2,4) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};	
				\draw[red, dashed][samples=100,domain=\yY:\yZ] plot(3.1415, \x );
			\end{tikzpicture}
				
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $f$ possède une bijection réciproque $f^{-1}$, dont on précisera toutes les propriétés, sur un intervalle $I$ que l'on déterminera. Calculer le même $\left( f^{-1} \right)'(x)$ et donner l'ensemble sur lequel est définie $\left( f^{-1} \right) '$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f$ est strictement croissante sur $\left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[$, $f$ est continue sur $\left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[$, et $f\left( \left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[ \right)= [1; +\infty[$, donc $f$ réalise une bijection de $\left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[$ sur $[1,+\infty[$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}: [1,+\infty[ \rightarrow \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right[$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Par symétrie entre $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ par rapport à la première bissectrice, $y=x$, nous pouvons affirmer que $f$ est continue, strictement croissante sur $I=[1;+\infty[$.
		
		De plus $f^{-1}$ est majorée puisque $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ admet $y=\pi$ pour asymptote horizontale.
				
		\medskip
		\objectif{Déterminons $\left( f^{-1} \right)'$.}
		
		Remarquons que $f$ est dérivable sur son ensemble de définition en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, quelque soit $x\in \left[ \frac{\pi}{2} , \pi \right[$, 
		
		\begin{align*}
			f'(x) &= \frac{-\cos x}{(\sin x)^2}\\
			&= - \frac{\cos x}{\sin^2 x}
		\end{align*}
		
		Remarquons que $f'$ est strictement positive sur $\left] \frac{\pi}{2}, \pi \right[$.
		
		Puisque $f: \left] \frac{\pi}{2}, \pi \right[ \rightarrow ]1,+\infty[$ est strictement monotone, dérivable et que sa dérivée ne s'annule pas, $f^{-1}$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et, quelque soit $x \in ]1,+\infty[$, \[ \left( f^{-1} \right)'(x) =\frac{1}{f^{-1}\circ f'(x)} .\] 
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \left( f^{-1} \right)' = \frac{1}{f^{-1} \left( -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) }$.
			
		\end{conclusion}			
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Traçons $\mathscr{C}_{f^{-1}}$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{7};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\foreach \x in {0,1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1}	\draw[thick](0.1,\y)--(-0.1,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=90:170] plot({3.1415*\x/180},{ 1/(sin(\x)) });
				\draw[blue] (2,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_f$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=90:170] plot({ 1/(sin(\x)) },{3.1415*\x/180});
				\draw[red] (5,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_{f^{-1}}$};
			\end{tikzpicture}
				
		\end{center}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons l'abscisse de l'intersection des courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$.}
		
		Autrement dit nous cherchons $x \in \left] \frac{\pi}{2} , \pi \right[ \cap ]1 ,+ \infty[ $ tel que $\frac{1}{\sin x}=x$, ce qui équivaut à $1-\sin x=0$.
		
		Procédons par dichotomie, en sachant que $f$ est strictement croissante.
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			$a$ & $b$ & $1-\frac{a+b}{2}\sin \left( \frac{a+b}{2} \right)\approx$.
			\\
			\hline
			$2$ & $3$ & $-0,4962$
			\\
			\hline
			$2,5$ & $3$ & $-0,0495$
			\\
			\hline
			$2,75$ & $3$ & $0,24$
			\\
			\hline
			$2,75$ & $2,875$ & $0,091$
			\\
			\hline
			$2,75$ & $2,8125$ &
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'abscisse de l'intersection est, à $10^{-1}$ près: $2,78125$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire enfin $\displaystyle \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\displaystyle I=\int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}}$.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $I$.}
		
		D'après ce qui précède $\varphi : \left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left[ \frac{2\pi}{3} ,\frac{3\pi}{4} \right] & \rightarrow & \displaystyle \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} , \sqrt{2} \right] \\ x & \mapsto & \displaystyle  \frac{1}{\sin x} \end{array} \right.$ est une bijection. Nous pouvons donc procéder au changement de variable $t=\frac{1}{\sin x}$ dans $I$.
		
		\begin{align*}
			I &= \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\frac{1}{\sin x} \sqrt{\frac{1}{\sin ^2 x }-1}} \left( -\frac{\cos x}{\sin^2 x}\ \mathrm{d}x \right)\\
			&= - \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\sin x}{\sqrt{\frac{1-\sin ^2 x}{\sin ^2 x}}}\cdot \frac{\cos x}{\sin^2 x} \ \mathrm{d}x\\
			&= - \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\cos x}{\sqrt{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}}}\ \mathrm{d}x\\
			&= - \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\cos x}{\sin x \sqrt{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}}}\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{-\cos x}{|\cos x|}\ \mathrm{d}x\\
			&= \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}} 1\ \mathrm{d}x\\
			&= \left[ x \right]_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{4}}\\
			&= \frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$I=\frac{\pi}{12}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}	

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ} 3$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On pose $a=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$. Calculer $a^3$ et montrer que $a$ est solution d'une équation du $3^{\text{e}}$ degré à coefficients entiers.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $a^3$.}
		
		\begin{align*}
			a^3 &= \left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right)^3\\
			&= \sqrt[3]{2}^3 + 3\sqrt[3]{2}^2 \sqrt[3]{4}+ 3 \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}^2 + \sqrt[3]{4}^3\\
			&= 2+3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4} \left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right) +4\\
			&= 6+3\sqrt[3]{2 \times 4} \left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right)\\
			&= 6+3\sqrt[3]{8} \left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right)\\
			&= 6+3\times 2 \times a\\
			&= 6(1+a)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$a^3=6(1+a)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		De ce qui précède nous déduisons immédiatement
		
		\begin{conclusion}
			
			$a$ est solution de l'équation $X^3-6X-6=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre alors l'équation ainsi obtenue dans le corps des nombres complexes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation: $X^3-6X-6=0$.}
		
		{\color{orange} Faisons une résolution par analyse-synthèse.}
		
		\medskip
		{\color{orange}Analyse.}
		
		Notons $a$, $b$ et $c$ les racines du polynôme considéré.
		
		\[ X^3-6X-6=0 \Leftrightarrow (X-a)(X-b)(X-c)=0. \]
		
		Or
		
		\begin{align*}
			(X-a)(X-b)(X-c) &= X^3-(a+b+c)X^2+(ab+ac+bc)X-abc
		\end{align*}
		
		donc par identification des coefficients dans les expressions développées, $a$, $b$ et $c$ sont des racines si et seulement si: \[ \left\{ \begin{array}{lc} a+b+c =0 & (1) \\ ab+ac+bc=-6 & (2) \\ abc=6 & (3) \end{array} \right. .\]
		
		Des équations $(1)$ et $(2)$ nous déduisons \[ \left\{ \begin{array}{l} b+c =-a \\ bc = \frac{6}{a} \end{array} \right. \]
		
		Autrement dit $b$ et $c$ sont les racines du trinôme: $P(x)=x^2-(b+c)x+bc=x^2+ax+\frac{6}{a}$.
		
		\medskip
		Déterminons les racines de $P$. 
		
		\begin{align*}
			\Delta &= a^2 -4 \times 1 \times \frac{6}{a}\\
			&= a^2-\frac{24}{a}\\
			&= \frac{a^3-24}{a}\\
			\intertext{Or $a^3=6(1+a)$ donc}
			\Delta &= \frac{6a-18}{a}
		\end{align*}
		
		$\Delta <0$ donc $P$ admet deux racines complexes conjuguées \[ b=\frac{-a - i\sqrt{\frac{6a-18}{a}}}{2} \quad \text{ et } c=\frac{-a + i\sqrt{\frac{6a-18}{a}}}{2}. \]
		
		\medskip
		{\color{orange}Synthèse.}
		
		Nous vérifions aisément que $b=\frac{-a - i\sqrt{\frac{6a-18}{a}}}{2} \quad \text{ et } c=\frac{-a + i\sqrt{\frac{6a-18}{a}}}{2}$ sont des solutions distinctes de $X^3-6x-6=0$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation obtenue à la question précédente est \[ \mathscr{S}= \left\{ a, \frac{-a - i\sqrt{\frac{6a-18}{a}}}{2},\frac{-a + i\sqrt{\frac{6a-18}{a}}}{2} \right\}. \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ} 4$.}

\begin{sujet}
	
	Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct $(O; \vec i , \vec j)$ soit $A\left( \sqrt{3},0 \right)$ et $B(0,3)$. On appelle $r_1$ la rotation de centre $A$, et d'angle de mesure $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, et $r_2$ celle de centre $B$ et d'angle de mesure $\frac{2\pi}{3}$, et $s$ la réflexion d'axe $(AB)$.
	
	\medskip
	\emph{Rappel: une réflexion d'axe $(AB)$ est une symétrie orthogonale par rapport à $(AB)$.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Effectuer $r_2\circ r_1$, $r_1 \circ r_2$, $s\circ r_1$, $r_2 \circ s$ et donner dans chaque cas, la nature et les éléments caractéristiques de ces appellations. On construira une figure soignée pour chaque cas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{notes}
			
		Soit $M$ d'affixe $z$ un point du plan. Notons $a$ l'affixe de $A$ et $b$ celle de $B$.
		
		Puisque $r_1$ et $r_2$ sont des rotations de centres distincts et que la somme des mesures des angles de ces rotations n'est pas un multiple de $2\pi$, la composée de ces deux rotations est une rotation d'angle dont la mesure est $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}=\pi \mod{[2\pi]}$ (une symétrie centrale donc).
		
		Déterminons les centres de $r_1 \circ r_2$ et $r_2 \circ r_1$, autrement dit les points invariants pour ces rotations.
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{align*}
				r_1 \circ r_2 (M)=M &\Leftrightarrow \left[ (z-b)\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{3}} + b  -a \right] \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} +a=z\\
				&\Leftrightarrow (z-b)\mathrm{e}^{i\left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} +(b-a)\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}+a = z\\
				&\Leftrightarrow -z+b+ (b-a)\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}+a = z\\
				&\Leftrightarrow \frac{1}{2} \left[ a+b+(b-a)\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \right] = z\\
				&\Leftrightarrow \frac{1}{2} \left[ \sqrt{3} +3i+(3i-\sqrt{3}) \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \right] =z
				\intertext{En tenant compte du rôle symétrique joué par $a$ et $b$:}
				r_2 \circ r_1 (M)=M &\Leftrightarrow \frac{1}{2} \left[ b+a+(a-b)\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{3}} \right] = z
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\end{notes}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item ~
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (I) at (1,0);
				\coordinate (J) at (0,1);
				\coordinate (A) at ({sqrt(3)},0);
				\coordinate (B) at (0,3);
				\coordinate (C) at ({sqrt(3)},3);
				\draw (A) node{$\bullet$};
				\draw (B) node{$\bullet$};
				\draw (O) node{$\bullet$};
				\draw (C) node{$\bullet$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (B) node[below left]{$B$};
				\draw (O) node[below left]{$O$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				\draw (O)--(A)--(B)--(O);
				\draw[dashed] (B)--(C)--(A);
				\draw[dashed][samples=100,domain=120:180] plot({0.5*cos(\x )+sqrt(3)},{0.5*sin(\x )});
				\draw ({0.5*sqrt(3)},0.5) node {$\frac{\pi}{3}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}	
			
			Remarquons que $OAB$ étant rectangle en $O$ (puisque le repère est orthonormé), d'après le théorème de Pythagore: $AB^2= OA^2 +OB^2$. Donc: $AB=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
			
			Nous en déduisons: $\cos \left( \widehat{BAO} \right) = \frac{1}{2}$. Ainsi une mesure de $\widehat{BAO}$ est $\frac{\pi}{3}$.
			
			Par conséquent en notant $C(\sqrt{3} , 3)$ nous avons: $r_1= s_{(AB)} \circ s_{(AC)}$. 
					
			De même: $r_2=s_{(BC)} \circ s_{(AB)}$.
			
			D'où, puisque $s_{(AB)}$ est involutive: 
			
			\begin{align*}
				r_2 \circ r_1 &=s_{(BC)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(AC)}\\
				&= s_{(BC)} \circ s_{(AC)}
				\intertext{Comme $\widehat{BCA}= \frac{\pi}{2}$:}
				r_2 \circ r_1 &= r_{C,\pi}
			\end{align*}

			\begin{conclusion}
				
				$r_2 \circ r_1$ est la symétrie centrale de centre $C$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item De même
			
			\begin{align*}
				s\circ r_1 &= s_{(AB)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(AC)}
			\end{align*}
			
			donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$s\circ r_1= s_{(AC)}$.
				
			\end{conclusion}
				
			\item De même
			
			\begin{align*}
				r_1 \circ s &= s_{(BC)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(AB)}
			\end{align*}
			
			donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_2 \circ s= s_{(BC)}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Notons $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$. (Donc: $D ( - \sqrt{3} ; 3)$.)
						
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (I) at (1,0);
				\coordinate (J) at (0,1);
				\coordinate (A) at ({sqrt(3)},0);
				\coordinate (B) at (0,3);
				\coordinate (D) at ({-sqrt(3)},0);
				\coordinate (M) at ({-sqrt(3)/2},1.5);
				\draw (A) node{$\bullet$};
				\draw (B) node{$\bullet$};
				\draw (O) node{$\bullet$};
				\draw (D) node{$\bullet$};
				\draw (M) node{$\bullet$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (B) node[above left]{$B$};
				\draw (O) node[below left]{$O$};
				\draw (D) node[below left]{$D$};
				\draw (M) node[above left]{$M$};
				\draw (O)--(A)--(B)--(O);
				\draw (O)--(D)--(B)--(O);
				\draw (A)--(M);
				\draw[dashed][samples=100,domain=120:180] plot({0.5*cos(\x )+sqrt(3)},{0.5*sin(\x )});
				\draw ({0.5*sqrt(3)},0.5) node[above left] {$\frac{\pi}{3}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			Ainsi, par construction de $D$, $ABD$ est isocèle en $B$. Comme de plus $\widehat{BAO} \equiv \frac{\pi}{3} \mod{2\pi}$, $ABD$ est en fait équilatéral.
			
			Notons $M$ le milieu de $[DB]$ (donc $M\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{3}{2} \right)$).
			
			Nous avons alors: $r_1=s_{(AM)} \circ s_{(AB)}$ et $r_2=s_{(AB)} \circ s_{(BD)}$.
			
			Par conséquent:
			
			\begin{align*}
				r_1 \circ r_2 &= s_{(AM)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(BD)} \\
				\intertext{Les symétries étant involutives:}
				r_1 \circ r_2 &= s_{(AM)} \circ s_{(BD)}
			\end{align*}
			
			Puisque $ABD$ est équilatéral, $[AM]$ est une hauteur de $ABD$ et par conséquent, $s_{(AM)} \circ s_{(BD)}$ est désigne la rotation de centre $M$ et d'angle $\pi$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_1 \circ r_2$ est la symétrie centrale de centre $M$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Effectuer enfin $r_1 \circ s$ et $s \circ r_2$ et déterminer et construire l'ensemble des points invariants de chacune de ces applications, avec une figure soignée dans chaque cas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}
			\item En utilisant les décompositions de la question précédente: 
			
			\begin{align*}
				r_1 \circ s &= s_{(AM)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(AB)}\\
				&= s_{(AM)}
			\end{align*}
			
			et 
			
			\begin{align*}
				s \circ r_2 &= s_{(AB)} \circ s_{(AB)} \circ s_{(BD)}\\
				&= s_{(BD)}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_1 \circ s$ désigne la symétrie orthogonale par rapport à $(AM)$ et $s\circ r_2$ celle par rapport à $(BD)$ dont les ensembles de points invariants sont respectivement $(AM)$ et $(BD)$.
				
			\end{conclusion}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\coordinate (O) at (0,0);
					\coordinate (I) at (1,0);
					\coordinate (J) at (0,1);
					\coordinate (A) at ({sqrt(3)},0);
					\coordinate (B) at (0,3);
					\coordinate (D) at ({-sqrt(3)},0);
					\coordinate (M) at ({-sqrt(3)/2},1.5);
					\draw (A) node{$\bullet$};
					\draw (B) node{$\bullet$};
					\draw (O) node{$\bullet$};
					\draw (D) node{$\bullet$};
					\draw (M) node{$\bullet$};
					\draw (A) node[below left]{$A$};
					\draw (B) node[above left]{$B$};
					\draw (O) node[below left]{$O$};
					\draw (D) node[above left]{$D$};
					\draw (M) node[left]{$M$};
					\draw (O)--(A)--(B)--(O);
					\draw (O)--(D)--(B)--(O);
					\draw (A)--(M);
					\draw[dashed][samples=100,domain=120:180] plot({0.5*cos(\x )+sqrt(3)},{0.5*sin(\x )});
					\draw ({0.5*sqrt(3)},0.5) node[above left] {$\frac{\pi}{3}$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=-0.5:1.5] plot({\x *(-sqrt(3)/2-sqrt(3))+sqrt(3)},{\x *(1.5-0)});
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.5:1.5] plot({\x *(sqrt(3))-sqrt(3)},{\x *(3)});
				\end{tikzpicture}
				
				En bleu l'ensemble des points invariants par $s\circ r_2$ et en rouge ceux invariants par $r_1 \circ s$.
				
			\end{center}
		
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}