%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.no-ip.biz/esa.html}{E.S.S.A. 1987} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours d'admission aux écoles du service de santé des armées 1987.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
	
		Épreuve de mathématique.
		
		Coefficient: 2
		
		Durée: 1 heure
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	\emph{Nota}: les candidats sont autorisés à utiliser des règles à calcul, des tables numériques et des calculatrices de poche à entrée unique par clavier, y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. Afin de prévenir les risques de fraude, l'échange des calculatrices entre les candidats pendant les épreuves est interdit, de même que l'usage des notices fournies par les constructeurs.
	
\end{sujet}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}1$.}

\begin{sujet}	
	
	Calculer $\displaystyle  \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^6x+\sin ^6x \right)\ \mathrm{d}x$.
	
	On pourra partir de la relation $\cos^2 x+ \sin ^2 x=1$.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $\displaystyle I= \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos ^6x \sin ^6 x \right) \ \mathrm{d}t$.}
	
	Puisque \[ \cos^2x+\sin^2x=1 \]
	\begin{align*}
		\cos ^6x+\sin^6x &= \cos^6x +\left( 1-\cos^2 \right)^3\\
		&= \cos^6x + 1 -3\cos^2x+3\cos^4 x -\cos^6x\\
		&= 1-3\cos^2x+3\cos^4x\\
		&= 1-3\cos^2 x \left( 1- \cos^2x\right)\\
		&=1-3\cos^2x\sin^2 x\\
		&= 1-3 \left( \cos (x) \sin (x)\right)^2\\
		\intertext{Avec une formule de duplication:}
		\cos ^6x+\sin^6x &= 1-3 \left( \frac{\sin (2x)}{2} \right)^2\\
		&= 1-\frac{3}{4} \sin^2(2x)\\
		\intertext{Avec une formule de linéarisation:}
		\cos ^6x+\sin^6x &= 1-\frac{3}{4}\cdot \frac{1-\cos(4x)}{2}\\
		&= \frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos(4x)
		\intertext{Nous en déduisons par linéarité de l'intégrale:}
		I &= \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{8} \ \mathrm{d}x +\frac{3}{8}\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos(4x)\ \mathrm{d}x\\
		&= \frac{5}{24} \pi + \frac{3}{8} \left[ \frac{\sin(4x)}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \\
		&= \frac{5}{24}\pi +\frac{3}{8} \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right)\\
		&= \frac{5}{24}\pi -\frac{3}{8} \cdot \frac{-\sqrt{3}}{2}
	\end{align*}
	
	Finalement:
	
	\begin{conclusion}
		
		$\displaystyle  \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^6x+\sin ^6x \right)\ \mathrm{d}x = \frac{5}{24}\pi +\frac{3}{16}\sqrt{3}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}2$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $\displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{x^2}$. En utilisant l'inégalité des accroissements finis sur $[p ,p+1]$, avec $p\in\mathbb{N}^*$, montrer que l'on a: \[ \frac{2}{(p+1)^3} \le f(p)-f(p+1) \le \frac{2}{p^3} \] 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'encadrement proposé.}
		
		Soit $p\in \mathbb{N}^*$.
		
		$f$ est dérivable sur $[p;p+1]$ et \[ \forall x\in [p;p+1],\ f'(x)=-\frac{2}{x^3} \]
		
		$f'$ est dérivable sur $[p;p+1]$ et \[ \forall x\in [p;p+1],\ f''(x)=\frac{6}{x^4} \]
		
		Puisque $f''>0$, $f'$ réalise une bijection de $[p,p+1]$ vers $[f'(p),f'(p+1)]$ et \[ \forall x\in[p,p+1],\ f'(p)\le f(x) \le f(p+1) \]
				
		$f$ est continue sur $[p;p+1]$, dérivable sur $]p;p+1[$, et, quelque soit $x\in [p,p+1]$, $f'(p)\le f'(x) \le f'(p+1)$, donc, d'après l'inégalité des accroissements finis \[ f'(p)\cdot(p+1-p) \le f(p+1)-f(p) \le f'(p+1)\cdot (p+1-p) \]
		
		Cet encadrement équivaut successivement à
		\[ -\frac{2}{p^3} \le f(p+1)-f(p) \le -\frac{2}{(p+1)^3} \]
		
		\[ \frac{2}{p^3} \ge -f(p+1)+f(p) \ge \frac{2}{(p+1)^3} \]
		
		Nous avons donc démontré que
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit $p\in\mathbb{N}^*$, \[ \frac{2}{(p+1)^3} \le f(p)-f(p+1) \le \frac{2}{p^3} \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2n^2} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} \le \frac{3}{2}-\frac{1}{2n^2}, \] pour $n\ge 2$; et montrer que: \[ u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} \] est le terme général d'une suite convergente.
		
		On ne cherchera pas à calculer explicitement le terme général de cette suite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions l'encadrement proposé.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$.
		
		\medskip
		D'après la question précédente, pour tout $p\in \llbracket 2,n \rrbracket$
		
		\begin{align*}
			f(p)-f(p+1) &\le \frac{2}{p^3} \le f(p-1)-f(p)\\
			\intertext{En sommant terme à terme ces $n$ encadrements nous obtenons:}
			\sum_{p=2}^n f(p)-f(p+1) &\le \sum_{p=2}^n \frac{2}{p^3} \le \sum_{p=2}^n f(p-1)-f(p)\\
			\intertext{En remarquant un téléscopage}
			f(2)-f(n+1) &\le 2 \cdot \sum_{p=2}^n \frac{1}{p^3} \le f(1)-f(n)\\
			\intertext{Par définition de $f$}
			\frac{1}{2^2} -\frac{1}{(n+1)^2} &\le 2\cdot \sum_{p=2}^n \frac{1}{p^3} \le \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2}\\
			\intertext{En divisant par $2$:}
			\frac{1}{8} -\frac{1}{2(n+1)^2} &\le \sum_{p=2}^n \frac{1}{p^3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{2n^2}\\
			\intertext{En ajoutant $1$:}
			\frac{9}{8} -\frac{1}{2(n+1)^2} &\le \sum_{p=2}^n \frac{1}{p^3} \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2n^2}
		\end{align*}
		
		Par décroissance de la fonction inverse sur $[1, +\infty[$ \[ \frac{1}{2}-\frac{1}{2n^2} \le \frac{9}{8} - \frac{1}{2(n+1)^2} \] et notre encadrement devient donc
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{2} -\frac{1}{n^2} &\le \sum_{p=2}^n \frac{1}{p^3} \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2n^2}
		\end{align*}
		
		nous avons donc démontré que
		
		\begin{conclusion}
			
			pour tout $n\ge 2$ entier naturel \[ \frac{1}{2} -\frac{1}{n^2} \le \sum_{p=2}^n \frac{1}{p^3} \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2n^2}. \]
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Montrons que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge.}
		
		$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite croissante puisque constituée d'une somme de termes positifs.
		
		De la question précédente nous déduisons pour tout entier naturel $n$ non nul \[ u_n\le \frac{3}{2} - \frac{1}{2n^2} \le \frac{3}{2} \]
		
		Ainsi $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite croissante et majorée donc convergente.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite convergente.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}3$.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer géométriquement l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que: \[ |z-3-2i|=|z-7+2i|. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons géométriquement l'ensemble des points $M$.}
		
		Notons $M$ le point du plan d'affixe $z$, $A$ celui d'affixe $3+2i$ et $B$ celui d'affixe $7-2i$.
		
		Nous avons alors \[ |z-3-2i|=|z-7+2i| \Leftrightarrow AM=BM \]
		
		Les points $M$ sont donc les points équidistants de $A$ et de $B$. Autrement dit les points $M$ forment la médiatrice de $[AB]$.
		
		\medskip
		Déterminons une équation cartésienne de cette droite.
		
		En notant $I$ le milieu de $[AB]$ nous avons
		\begin{align*}
			& I \left( \frac{x_A+x_B}{2} , \frac{y_A+y_B}{2} \right)\\
			& I (5,0)
		\end{align*}
		
		Dire que $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			& \overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AI}=0\\
			& (x_M-x_I)(x_I-x_A)+(y_M-y_I)(y_I-y_A)=0\\
			& (x_M-5)(5-3)+(y_M-0)(0-2)=0 \\
			& 2x_M-2y_M-10=0
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des points est la droite du plan dont une équation cartésienne est: $x-y-5=0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Définir la transformation $f$, qui à $M$ d'affixe $z$ associe $M'$ d'affixe $z'$ telle que: \[ z'=(1+i\sqrt{3}) z-5i\sqrt{3}, \] et donner ses éléments caractéristiques.
		
		Préciser l'image $D'$ de l'ensemble $D$ trouvé à la question \textbf{1.} par la transformation $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $f$.}
		
		$z\mapsto z'$ est une fonction affine de $\mathbb{C}$ donc $f$ est bien une transformation du plan.
		
		\medskip
		Déterminons les invariants par $f$.
		
		Résolvons donc dans $\mathbb{C}$ l'équation \[ z=(1+i\sqrt{3}) z-5i\sqrt{3} \]
		
		Cette équation est successivement équivalente à 
		\begin{align*}
			0 &= (1+i\sqrt{3}) z-5i\sqrt{3} -z\\
			0 &= z+i\sqrt{3} z-5i\sqrt{3} -z\\
			0 &= i\sqrt{3} z-5i\sqrt{3}\\
			0 &= i\sqrt{3} (z-5)\\
			z &= 5
		\end{align*}
		
		Ainsi $f$ admet un unique point invariant $I$ d'affixe $5$.
		
		$f$ est donc une similitude de centre $I$.
		
		\medskip
		Déterminons les éléments caractéristiques de cette transformation.
		
		Soit $z\in\mathbb{C}\setminus \{ 5 \}$.
		
		\begin{align*}
			\frac{z'-5}{z-5} &= \frac{(1+i\sqrt{3})z-5i\sqrt{3} -5}{z-5}\\
			&= \frac{(1+i\sqrt{3})z-5(i\sqrt{3}+1)}{z-5}\\
			&= \frac{(1+i\sqrt{3})(z-5)}{z-5}\\
			&= 1+i\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		Or 
		\begin{align*}
			|1+i\sqrt{3}| &= \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}\\
			&= 2
		\end{align*}
		
		et
		\begin{align*}
			\frac{1+i\sqrt{3}}{|1+i\sqrt{3}|} &= \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} i\\
			&= \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}
		\end{align*}
		
		donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$f$ est la similitude de centre d'affixe $5$, d'angle $\frac{\pi}{3} \mod 2\pi$ et de rapport $2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons l'image $D'$ de $D$ par $f$.}
		
		L'image d'une droite par une similitude est une droite.
		
		\medskip
		$D$ passant par $I$ le centre de la similitude son image, $D'$, passe aussi par $I$.
		
		Ainsi, géométriquement, il suffit de construire l'image de $D$ par la rotation de centre $I$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.
		
		\medskip
		Nous vérifions immédiatement que les coordonnées de $F$ d'affixe $3+2i$ vérifie l'équation cartésienne de $D$.
		
		De plus l'affixe de $f(F)$ est
		
		\begin{align*}
			(1+i\sqrt{3}) (3+2i)-5i\sqrt{3} &= 3-2\sqrt{3} +i2+i3\sqrt{3}-5i\sqrt{3}\\
			&= (3-2\sqrt{3})+i(2-\sqrt{3})
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			$D'=(IF')$ avec $I(5,0)$ et $F'=(3-2\sqrt{3} , 2-\sqrt{3})$.
			
		\end{conclusion}		
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Question $\mathrm{n}^{\circ}4$.}

\begin{sujet}
	
	Dans le plan on considère un carré $ABCD$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, et on appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[AD]$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer et construire le barycentre $G$ de $A(1)$, $B(-3)$, $C(-3)$ et $D(1)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
			
		\objectif{Déterminons le barycentre du système de points pondérés proposé.}
		
		Remarquons que la somme des coefficients est non nulle: $1+(-3)+(-3)+1=-4\ne 0$ et que, par conséquent, le barycentre $G$ existe effectivement.
		
		\medskip
		$G$ est le barycentre si et seulement si
		
		\begin{align*}
			& \overrightarrow{GA}-3 \overrightarrow{GB}-3 \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD} = \vec 0\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à}
			& \overrightarrow{GJ}+\overrightarrow{JA} -3 (\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}) -3 ( \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}) + \overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{JD} = \vec 0\\
			& 2\overrightarrow{GJ}-6 \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD} -3( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ) = \vec 0\\
			\intertext{$I$ $J$ étant milieux respectivement de $[BC]$ et $[AD]$}
			& 2\overrightarrow{GJ}-6\overrightarrow{GI} = \vec 0\\
			& \overrightarrow{GJ} = 3\overrightarrow{GI}\\
			& \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IJ} = \vec 3 \overrightarrow{GI}\\
			& \overrightarrow{IJ} = 2\overrightarrow{GI}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \overrightarrow{IG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{JI}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Ce que nous représentons graphiquement par
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (2,0);
				\coordinate (C) at (2,-2);
				\coordinate (D) at (0,-2);
				\coordinate (I) at (2,-1);
				\coordinate (J) at (0,-1);
				\coordinate (G) at (3,-1);
				\draw (A) node[above left]{$A$};
				\draw (B) node[above right]{$B$};
				\draw (C) node[below right]{$C$};
				\draw (D) node[below left]{$D$};
				\draw (I) node[above right]{$I$};
				\draw (J) node[above left]{$J$};
				\draw (G) node[above right]{$G$};
				\draw (I) node{$\bullet$};
				\draw (J) node{$\bullet$};
				\draw (G) node{$\bullet$};
				\draw (1,-1) node{$\bullet$};
				\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
				\draw[dashed] (J)--(G);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Trouver l'ensemble des points $M$ du plan tels que: \[ \overrightarrow{MA}^2- 3 \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-3 \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MD} = \vec 0 \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le lieu géométrique définie par l'égalité vectorielle.}
		
		Soit $M$ un point du plan.
		
		\medskip
		\begin{align*}
			& \overrightarrow{MA}^2- 3 \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-3 \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MD} = \vec 0\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			& \overrightarrow{MA} \cdot \left( \overrightarrow{MA}- 3 \overrightarrow{MB}-3 \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right) = \vec 0\\
			& \overrightarrow{MA} \cdot \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}- 3 \overrightarrow{MG} -3 \overrightarrow{GB}-3 \overrightarrow{MG} -3 \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GD} \right) = \vec 0\\
			\intertext{et puisque $G$ est le barycentre}
			& \overrightarrow{MA} \cdot \left( -4 \overrightarrow{MG} \right) = \vec 0\\
			& \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MG} = \vec 0		
		\end{align*}
		
		Ainsi $\overrightarrow{MG}$ et $\overrightarrow{MA}$ sont orthogonaux.
		
		Autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}^2- 3 \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-3 \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MD} = \vec 0$ est le cercle de diamètre $[AG]$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Construisons cet ensemble sur la figure.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (2,0);
				\coordinate (C) at (2,-2);
				\coordinate (D) at (0,-2);
				\coordinate (I) at (2,-1);
				\coordinate (J) at (0,-1);
				\coordinate (G) at (3,-1);
				\draw (A) node[above left]{$A$};
				\draw (B) node[above right]{$B$};
				\draw (C) node[below right]{$C$};
				\draw (D) node[below left]{$D$};
				\draw (I) node[above right]{$I$};
				\draw (J) node[above left]{$J$};
				\draw (G) node[above right]{$G$};
				\draw (I) node{$\bullet$};
				\draw (J) node{$\bullet$};
				\draw (G) node{$\bullet$};
				\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
				\draw[dashed] (A)--(G);
				\draw (1.5,-0.5) node{$\bullet$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({1.5+0.5*sqrt(3^2+1^2)*cos(\x)},{-0.5+0.5*sqrt(3^2+1^2)*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}		
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cvm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\section{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\section{Python}

\begin{lstlisting}
\textbf{Inititalisation}
for i=1 to 14:
	print("oups")
	while 1<2:
		a=input()
	test
\end{lstlisting}


\section{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\section{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
