%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/eetaa.html}{EETAA 2018} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours EETAA session 2018.}

\begin{center}
	
	\emph{Durée: 2 heures.}
	
	\emph{Calculatrice autorisée.}
	
\end{center}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cet exercice, on justifiera chaque réponse en détaillant les étapes des calculs.}
	
	\medskip
	On considère le programme de calcul suivant:
	
	\begin{itemize}
		\item choisir un nombre entier positif;
		\item l'élever au carré;
		\item lui ajouter $3$;
		\item multiplier par $2$ le résultat;
		\item soustraire $6$ au résultat obtenu:
		\item prendre la moitié du dernier résultat.
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Appliquer ce programme de calcul en choisissant $3$ comme nombre de départ
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Appliquons le programme à $3$.}
		
		Notons $X$ la variable (informatique) dans laquelle est enregistrée les valeurs successives obtenues. Le tableau d'état de la variable est alors:
		
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Étapes & $X$
			\\
			\hline
			1 & $3$
			\\
			\hline
			2 & $3^2=9$
			\\
			\hline
			3 & $9+3=12$
			\\
			\hline
			4 & $2 \times 12=24$
			\\
			\hline
			5 & $24-6=18$
			\\
			\hline
			6 & $\frac{18}{2}=9$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si nous choisissons $3$ le programme renvoie $9$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le résultat final est $81$ lorsqu'on choisit $9$ comme nombre de départ.
		
	\end{sujet}

	\begin{correction}
		
		\objectif{Appliquons le programme à $9$.}
	
		En procédant comme à ma question précédente:
		
		\begin{center}
			
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Étapes & $X$
			\\
			\hline
			1 & $9$
			\\
			\hline
			2 & $9^2=81$
			\\
			\hline
			3 & $81+3=84$
			\\
			\hline
			4 & $2 \times 84=168$
			\\
			\hline
			5 & $168-6=162$
			\\
			\hline
			6 & $\frac{162}{2}=81$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si nous choisissons $9$ le programme renvoie $81$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Appliquer ce programme à un nombre $x$. Développer et réduire l’expression.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Appliquons le programme à un nombre $x$.}
		
		En procédant comme aux questions précédentes:
		
		\begin{center}
			
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Étapes & $X$
			\\
			\hline
			1 & $x$
			\\
			\hline
			2 & $x^2$
			\\
			\hline
			3 & $x^2+3$
			\\
			\hline
			4 & $2 (x^2+3)$
			\\
			\hline
			5 & $2(x^2+3)-6$
			\\
			\hline
			6 & $\frac{2(x^2+3)-6}{2}$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si nous choisissons $x$ le programme renvoie $\frac{2(x^2+3)-6}{2}$.
			
		\end{conclusion}
	
		\medskip
		\objectif{Développons ordonnons et réduisons $R(x)= \frac{2(x^2+3)-6}{2}$.}
		
		\begin{align*}
			R(x) &= \frac{2(x^2+3)}{2} - \frac{6}{2}\\
			&= x^2+3 -3\\
			&= x^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Quelque soit $x \in \mathbb{N}$ choisi en entrée, le programme renverra $x^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire le nombre de départ qui permet d'obtenir $25$ avec ce programme de calcul.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Recherchons la valeur choisie si le résultat est $25$.}
		
		En reprenant la notation précédente, nous cherchons $x \in \mathbb{N}$ (positif et entier) tel que \[ R(x) = 25. \]
		
		Cette équation équivaut successivement à 
		
		\begin{align*}
			x^2 &= 25 \\
			x=5 &\quad x=-5
		\end{align*}
		
		Mais puisque $x$ est un entier positif finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$5$ est le nombre qui permet d'obtenir $25$ avec ce programme.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au résultat final?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après ce qui précède 
		
		\begin{conclusion}
			
			il suffit d'élever le nombre au carré pour obtenir le résultat final.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill 5 points}


\begin{sujet}
	
	Soit $f$ la fonction définie par: $f(x)=(2x-5)^2-(2x-5)(3x-7)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Développer et réduire $f(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Développons, ordonnons et réduisons $f$.}
		
		Soit $x \in \mathbb{R}$.
		
		\begin{align*}
			f(x) &= {\color{orange}(2x-5)^2}-{\color{violet}(2x-5)(3x-7)}\\
			&= {\color{orange} (2x)^2 -2 \times 2x \times 5 +5^2} -{\color{violet} [ 2x \times 3x +2x \times (-7) + (-5) \times 3x + (-5) \times (-7)]}\\
			&= {\color{orange} 4x^2-20x+25} - {\color{violet} [ 6x^2-14x-15x+35]}\\
			&= {\color{orange} 4x^2-20x+25} - {\color{violet} [ 6x^2-29x+35]}\\
			&= {\color{orange} 4x^2-20x+25}  {\color{violet} - 6x^2+29x-35]}\\
			&= -2x^2+9x-10
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)= -2x^2+9x-10$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $f(-2)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $f(-2)$.}
		
		En utilisant la forme développée {\color{orange} c'est la forme la plus simple a utiliser mais il ne faut pas avoir fait d'erreur en développant)} obtenue à la question précédente:
		
		\begin{align*}
			f(-2) &= -2 \times (-2)^2+ 9 \times (-2) -10 \\
			&= -8-16-10\\
			&= -34
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(-2)=-34$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $3$ est un antécédent de $-1$ par $f$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $f(3)=-1$.}
		
		\begin{align*}
			f(3) &= -2\times (3)^2 +9 \times (3) -10\\
			&= -18 +27-10\\
			&= -1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$f(3)=-1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Factoriser $f(x)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Factorisons l'expression de $f$.}
		
		Reprenons l'expression donnée dans l'énoncé.
		
		\begin{align*}
			f(x) &= (2x-5)^2-(2x-5)(3x-7)\\
			&= {\color{orange}(2x-5)}(2x-5)-{\color{orange}(2x-5)}(3x-7)\\
			&= (2x-5) \left[ (2x-5)-(3x-7) \right] \\
			&=(2x-5) \left[ 2x-5-3x+7 \right] \\
			&= (2x-5)(-x+2)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout $x$ réel, $f(x)=(2x-5)(-x+2)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire les solutions de l'équation $f(x)=0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation $f(x)=0$.}
		
		En utilisant la forme factorisée obtenue à la question précédente, nous pouvons affirmer que dire $f(x)=0$ équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			(2x-5)(-x+2) &= 0\\
			2x-5=0 \quad &\text{ou} \quad -x+2=0 \\
			2x-5 {\color{orange}+5} = 0 {\color{orange}+5} \quad &\text{ou} \quad -x+2 {\color{orange}-2} = 0 {\color{orange}-2}\\
			2x=5 \quad &\text{ou} \quad -x=-2\\
			\frac{2x}{\color{orange}2} = \frac{5}{\color{orange}} \quad &\text{ou} \quad \frac{-x}{\color{orange}-1}=\frac{-2}{\color{orange}-1}\\
			x=\frac{5}{2} \quad &\text{ou} \quad x= 2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\displaystyle \mathscr{S}_1= \left\{ \frac{5}{2} , 2 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	On considère la figure suivante (attention la figure n'est pas à l'échelle).
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (5,0);
			\coordinate (C) at (4.38,1.87);
			\coordinate (D) at (7,3);
			\coordinate (E) at (4,3);
			\draw (A)--(B)--(E)--(D)--(A);
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (D) node{$\bullet$};
			\draw (E) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[below]{$A$};
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (C) node[left]{$C$};
			\draw (D) node[above]{$D$};
			\draw (E) node[above]{$E$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On donne:
	\begin{enumerate}[]
		\item $CE=5\ \mathrm{cm}$,
		\item $CD=12\ \mathrm{cm}$,
		\item $CA=18\ \mathrm{cm}$,
		\item $CB=7,5\ \mathrm{cm}$,
		\item $AB=19,5\ \mathrm{cm}$.
	\end{enumerate}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que les droites $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons: $(ED) \parallel (AB)$.}
		
		{\color{orange}Configuration de Thalès.}
		
		Les points $A$, $C$ et $D$ d'une part, $B$, $C$ et $E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
		
		{\color{orange}Hypothèses pour la réciproque du théorème de Thalès.}
		
		D'une part
		
		\begin{align*}
			\frac{AC}{CD} &=  \frac{18}{12}\\
			&= \frac{3}{2}
		\end{align*}
		
		et d'autre part
		
		\begin{align*}
			\frac{BC}{CE} &= \frac{7,5}{5}\\
			&= \frac{3}{2}
		\end{align*}
		
		Donc, par transitivité, \[ \frac{AC}{CD} = \frac{BC}{CE}. \]
		
		Nous en déduisons d'après le théorème de Thalès que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(AB) \parallel (DE)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $ED=13\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $ED$.}
		
		{\color{orange}Configuration de Thalès.}
		
		Les points $A$, $C$ et $D$ d'une part, $B$, $C$ et $E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
		
		{\color{orange}Hypothèses pour le théorème de Thalès.}
		
		D'après la question précédente les droites $ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.
		
		Nous en déduisons d'après le théorème de Thalès que 
		
		\begin{align*}
			\frac{AB}{ED} &= \frac{CA}{CB}\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à}
			\frac{19,5}{ED} &= \frac{18}{12}\\
			\frac{19,5}{ED} &= \frac{18}{12}\\
			\intertext{En faisant un produit en croix}
			12 \times 19,5 &= 18 \times ED\\
			234 &= 18 ED\\
			\frac{234}{\color{orange}18} &= \frac{18 ED}{\color{orange}18}\\
			13 &= ED
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$ED=13\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Prouver que le triangle $CED$ est un triangle rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $CED$ est rectangle.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Remarquons d'abord que $ED > CE$ et $ ED > CD$, par conséquent le triangle ne peut être rectangle qu'en $C$. Ce ue nous allons maintenant démontrer avec le théorème de Pythagore.
			
			\item D'une part: $CE^2+CD^2=5^2+12^2=169$ et d'autre part $ED^2= 13^2= 169$, donc, pr transitivité, $CE^2+CD^2=ED^2$. Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CED$ est rectangle en $C$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{DEC}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\widehat{DEC}$.}
		
		Puisque $DEC$ est rectangle en $C$:
		
		\begin{align*}
			\cos \left( \widehat{DEC} \right) &= \frac{CE}{ED}\\
			&= \frac{5}{13}
			\intertext{En utilisant la calculatrice nous en déduisons:}
			\widehat{DEC} &\approx 67,3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			En arrondissant au degré $\widehat{DEC} \approx 67^{\circ}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Faire une figure à l'échelle $1/2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le dessin qui est fait ici est à l'échelle $1/4$.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (19.5,0);
			\coordinate (C) at ({18*18/19.5},{18*7.5/19.5});
			\coordinate (D) at ({18*18/19.5 + 12*(18*18/19.5)/sqrt((18*18/19.5)*(18*18/19.5)+(18*7.5/19.5)*(18*7.5/19.5)) },{18*7.5/19.5 +12*(18*7.5/19.5)/sqrt((18*18/19.5)*(18*18/19.5)+(18*7.5/19.5)*(18*7.5/19.5))});
			\coordinate (E) at ({18*18/19.5+5*(18*18/19.5-19.5)/sqrt((18*18/19.5-19.5)*(18*18/19.5-19.5)+(18*7.5/19.5)*(18*7.5/19.5))},{18*7.5/19.5+5*(18*7.5/19.5)/sqrt((18*18/19.5-19.5)*(18*18/19.5-19.5)+(18*7.5/19.5)*(18*7.5/19.5))});
			\draw (A)--(B)--(E)--(D)--(A);
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (D) node{$\bullet$};
			\draw (E) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[below]{$A$};
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (C) node[right]{$C$};
			\draw (D) node[above]{$D$};
			\draw (E) node[above]{$E$};
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=10:30] plot({18*cos(\x)},{18*sin(\x)});
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=90:130] plot({19.5+7.5*cos(\x)},{7.5*sin(\x)});
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=10:30] plot({18*18/19.5+12*cos(\x)},{18*7.5/19.5+12*sin(\x)});
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=90:130] plot({18*18/19.5+5*cos(\x)},{18*7.5/19.5+5*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill 5 points}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Pour chaque question, une seule des cinq réponses proposées est exacte. Le candidat indique sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte une point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en cas de réponse fausse ou d'absence de réponse. Les cinq questions sont indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Question 1.}

\begin{sujet}
	
	En classe de seconde A, sur $30$ élèves, il y a $30\ \%$ de filles. En seconde $B$, sur $20$ élèves il y a $70\ \%$ de filles. Lorsque les deux classes sont réunies, quel est le pourcentage de filles dans le groupe?
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $23\ \%$,
		\item $46\ \%$,
		\item $100\ \%$,
		\item $50\ \%$,
		\item $40\ \%$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la proportion de filles au total.}
	
	Il y a au total $30+20=50$ élèves parmi lesquels il y a $\frac{30}{100} \times 30 + \frac{70}{100} \times 20= 29,7$ filles.
	
	La proportion de fille est donc $\frac{29,7}{50}=0,594$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Il y a environ $60\ \%$ de filles.
		
	\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 2.}

\begin{sujet}
	
	Le nombre $\displaystyle \frac{14 \times 14^{-10}}{14^{-5} \times 14 ^2}$ est égal à:
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $14^{-6}$,
		\item $14^{-7}$,
		\item $14^{-13}$,
		\item $0$,
		\item $1$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Le plus simple consiste à rentrer le calcul tel quel dans la calculatrice et de regarder le résultat obtenu.}
	
	\medskip
	\objectif{Simplifions l'écriture du nombre proposé.}
	
	\begin{align*}
		\frac{14 \times 14^{-10}}{14^{-5} \times 14 ^2} &= \frac{14^{1-10}}{14^{-5+2}} \\
		&= \frac{14^{-9}}{14^{-3}}\\
		&= 14^{-9} \times 14^{3}\\
		&= 14^{-9+3}\\
		&= 14^{-6}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Question 2 réponse a.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Question 3.}

\begin{sujet}
	
	Le couple solution du système d'équation $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=7 \\ x+5y=-3 \end{array} \right.$ est:
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $(5;1)$,
		\item $(-1;2)$,
		\item $(-3;7)$,
		\item $(2;-3)$,
		\item $(2;-1)$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Il est possible de résoudre le système mais le plus simple est de tester toutes les solutions proposées et la seule pour laquelle les deux équations sont vérifiées est $(2;-1)$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Question 3 réponse e.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Question 4.}

\begin{sujet}
	
	Un élève a obtenu $18/20$; $15,5/20$; $13,5/20$ et $13/20$ à ses quatre premières évaluations en mathématiques. Combien doit-il avoir à la prochaine évaluation pour que sa moyenne soit d'au moins $15,5/20$?
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $15,5$,
		\item $16,5$,
		\item $10$,
		\item $49,6$,
		\item $18$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Notons $z$ la note qu'il obtiendra à la prochaine évaluation.
	
	On souhaite que la moyenne soit d'au moins $15,5$ autrement dit
	
	\begin{align*}
		\overline{x} &\geqslant 15,5\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à}
		\frac{18+ 15,5 + 13,5 +13 +z}{5} &\geqslant 15,5\\
		\frac{60+z}{5} &\geqslant 15,5\\
		{\color{orange}5 \times } \frac{60+z}{5} &\geqslant {\color{orange}5 \times} 15,5 \quad \text{car } 5>0\\
		60+z &\geqslant 77,5\\
		60+z {\color{orange}-60} &\geqslant 77,5 {\color{orange}-60}\\
		z &\geqslant 17,5
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Question 4 réponse e.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Question 5.}

\begin{sujet}
	
	$\displaystyle \sqrt{\frac{4}{9} - \frac{1}{4}}$ est égal à:
	
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$,
		\item $\sqrt{\frac{3}{5}}$,
		\item $\frac{\sqrt{7}}{6}$,
		\item $1$,
		\item $\sqrt{\frac{3}{13}}$.
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Là encore la calculatrice permet de répondre rapidement en donnant la réponse exacte.}
	
	\medskip
	\begin{align*}
		\sqrt{\frac{4}{9} - \frac{1}{4}} &= \sqrt{ \frac{4 \times 4}{9 \times 4} -\frac{1 \times 9}{4 \times 9}} \\
		&= \sqrt{ \frac{16}{36} - \frac{9}{36}}\\
		&= \sqrt{ \frac{16-9}{36}}\\
		&= \sqrt{\frac{7}{36}}\\
		&= \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{36}}\\
		&= \frac{sqrt{7}}{\sqrt{6^2}}\\
		&= \frac{\sqrt{7}}{6}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Question 5 réponse c.
		
	\end{conclusion}
\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}